Ilmiybaza.uz ANALITIK GEOMETRIYA Konus kesimlari - toʻgʻri doiraviy konus sirtnn uning uchidan oʻtmaydigan tekislik bilan kesganda hosil boʻladigan chiziqlar. SA yasovchi S dan farqli ixtiyoriy M nuqtani olib, u orqali konus oʻqiga perpendikulyar a, tekislik oʻtkazilsa, kesimda a y l a n a , ST ga perpendikulyar boʻlmagan va hamma yasovchilarni kesuvchi a2 tekislik oʻtkazilsa — ellips, biror yasovchi (mas, 5V)ga parallel boʻlgan a3 tekislik oʻtkazilsa parabola, ikkita yasovchiga parallel boʻlgan a4 tekislik oʻtkazilsa giperbola hosil boʻladi. M nuqtadan oʻtuvchi ixtiyoriy tekislik uchta yasovchiga parallel boʻla olmaganligi sababli, doiraviy ko-nusning kesimida boshqa chiziq hosil boʻlmaydi. Kesim ellips va parabola boʻlganda kesuvchi tekislik doiraviy konus sirtning bir qismini, giperbola boʻlganda ikkala qismini kesib oʻtadi. Konus kesimining ixtiyoriy M nuqtasi uchun df.di nisbat oʻzgarmas boʻladi. Bu nisbatning qiymati X konus Ilmiybaza.uz kesimining ekssentrisiteti deyiladi. Konus kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlardir. Konus kesimlari haqidagi izchil asar birinchi marta iskandariyalik olim Appoloniy Pergskiy tomonidan yozilgan (miloddan avvalgi 3-asr). 19-asrda belgiyalik matematik Dandelen Konus kesimlarini konus sirtga ichki chizilgan sfera yordamida toʻla oʻrgangan. Konus kesimlari astronomiya va texnikada keng qoʻllaniladi. Mas, projektor vareflektorlarda parabolik koʻzgular ishlatiladi. Quyosh sistemasidagi sayyoralar Konus kesimlari boʻylab harakatlanib, uning fokuslaridan birida Quyosh turadi. Kometalar parabola va giperbola boʻylab harakatlanadi.[1] Konus (qadimgi yunoncha: κώνος - konos — dubulgʻa uchi) — yopiq konus sirt va uni hosil qiluvchilarni kesuvchi S uchidan oʻtmaydigan tekislik bilan chegaralangan geometrik jism. Tekislikning Konus sirt ichida joylashgan qismi Konusning asosi deyiladi. Konus sirtning uchi va Konus asosi bilan chegaralangan qismiga Konusning yon sirti deyiladi. Agar Konusning asosi doiraviy boʻlsa, Konus doiraviy Konus deyiladi. S uchi shu doiraning markaziga proyeksiyalansa, Konus toʻgʻri doiraviy Konus deyiladi, SO kesma esa Konusning balandligi deyiladi. Toʻgʻri burchakli uchburchak oʻzining biror kateti atrofida aylantirilsa, toʻgʻri doiraviy Konus hosil boʻladi. Toʻgʻri doiraviy Konusning yon sirti , hajmi formula bilan hisoblangan, bunda: r — Konus asosining radiusi, h — Konus balandligi. Ilmiybaza.uz Konus sirt — qoʻzgʻalmas S nuqtadan oʻtuvchi SM toʻgʻri chiziqning biror L egri chiziq boʻylab sirpanishidan hosil boʻladigan sirt. 5nuqta Konus sirtning uchi, SM toʻgʻri chiziq yasovchisi, L egri chiziq yoʻnaltiruvchisi deyiladi. Agar Konus sirtning yoʻnaltiruvchisi aylana boʻlib, S ni aylana markazi O bilan tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aylana tekisligiga tik boʻlsa, u doiraviy Konus sirt deb, 05 toʻgʻri chiziq esa Konus sirtning oʻqi deb ataladi. Dekart koordinatalar tizimida tenglama yoʻnaltiruvchisi ellips boʻlgan Konus sirtni ifodalaydi: ta’rif. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida ko'rinishda yozish mumkin bo‘lsa , u konus deb ataladi. Bu tenglamada a > b > 0 * c> 0 munosabatlarbajarilishi talab qilinadi. Konus tenglamasidan ko‘rinib turibdiki, u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan, koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir. Bundan tashqari, agar Ilmiybaza.uz M 0 (x 0 , У о, Zq ) nuqta konusga tegishlibo‘lsa, 0 ( 0, 0, O) va M 0(x0, _y0, z0 ) nuqtalardano‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdagi har bir nuqta konusga tegishlidir. Haqiqatan ham, bu to‘g‘ri chiziqqa tegishli nuqta (tXQ, t y Q, tz Q ) ko‘rinishga ega va bevosita tenglikni tekshirib ko‘rish mumkin. Konusning har bir yasovchisi bu ellipsni bir marta ( faqat bitta nuqtada) kesib o'tadi. Konusda yotuvchi va bu xossaga ega bo'lgan chiziqlar konusning yasovchisi deyiladi. Bu ellipslarning markazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq konusning o‘qi deyiladi. Yuqoridagi kanonik tenglamada konusning o‘qi oz o‘qi bilan ustmaust tushadi. Koordinata boshi ham konusga tegishli, konusning hamma yasovchilari bu nuqtadan o'tadi. Konusning hamma yasovchilari o‘tuvchi nuqta uning uchi deb ataladi. ta’rif. Konusni uning uchidan o ‘Jmaydigan tekisliklar bilan kesish natijasida hosil bo ‘Igan chiziqlar konus kesimlar deyiladi. teorema. Aylanadan boshqa hamma konus kesimlar tekislikda berilgan nuqtagacha bo‘Igan masofasining berilgan to‘g ‘ri chiziqqacha bo‘Igan masofasiga nisbati о ‘zgarmas bo ‘Igan nuqtalaming geometrik о ‘midir. Isbot. Konusni octekislik bilan kesganimizda hosil bo‘lgan chiziqni Y bilan belgilaylik. Konusga ichki chizilgan va oc tekislikka urinuvchi sferaning tekislik bilan kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. Ichki chizilgan sfera konusga aylana bo‘ylab urinadi. Bu aylana yotuvchi tekislikni CO bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli ixtiyoriy M nuqta olib, undan o‘tuvchi yasovchi bilan CO tekislikning kesishish Ilmiybaza.uz 1-rasm nuqtasini В bilan beigilaymiz. Konus kesimga tegishli M nuqtadan Ct va 0) tekisliklar kesishishidan hosil bo'lgan ^to'g'ri chiziqqa perpendikulyar o'tkazamiz. Sferaga M nuqtadan o'tkazilgan urinmalar kesmalari bo‘lgani uchun FM = BM tenglik o'rinli bo'ladi. Berilgan M nuqtadan 0) tekislikkacha bo'lgan masofani a , b bilan belgflasak, tengliklar o'rinli bo‘ladi Bu yerda φ - α va Ω tekisliklar orasidagi burchak, ψ — konus yasovchi va Ω tekislik orasidagi burchak, nuqta esa M nuqtadan δ to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan peфendikulyar asosidir. Yuqoridagi tengliklardan Munosabatni olamiz. Bu munosobat ko’rinib turiptiki , FMAMnisbat M nuqtaga bog’liq emas.Teorema isbotlandi Konus kesim uchun F nuqta uning fokusi δ to‘g‘ri chiziq esa lirektrisa deyiladi. Yuqoridagi nisbat 1 dan kichik yoki teng bo'lganda tonus kesimning hamma nuqtalari Ilmiybaza.uz fokus bilan birgalikda direktrisaning tarafida yotadi. Haqiqatdan ham direktrisaning boshqa tarafida rotuvchi M' nuqta uchun tengsizlik o'rinli boladi. Agar yuqoridagi nisbat 1 dan katta bo‘lsa, lirektrisaning har ikkala tarafida konus kesimga tegishli nuqtalar bor. Demak, bu holda konus kesim ikki qismdan iborat. Biz bilamizki, agar e <1 bo‘lsa konus kesim ellips bo'ladi. Biz III >obda bu faktni isbotlaganmiz. Agar e = l bo‘Isa, konus kesim parabola >oiadi. Konus kesim uchun e < 1 bo‘lsa, u giperbola bo‘ladi. konusning birorta ekislik bilan kesishishidan hosil bo‘lar ekan. Bu faktni algebraik metod >ilan isbotlash ham mumkin. Konusni z = h tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kessak , :esimda yarim o'qlari mos ravishda kattaliklarga teng bo'lgan ellips hosil bo'ladi. Agar biz konusni x = h , у = h tenglamalar orqali aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda yarim o‘qlari mos ravishda kattaliklarga teng bo'lgan giperbolalar hosil bo‘ladi. Konus kesimda parabola hosil boiishini ko‘rsatish uchun, uni z=(c/a)x+h, h≠0 Tenglik bilan aniqlanuvchi ikkinchi tekislik bilan kesamiz, natijada kesimda Ilmiybaza.uz tenglama bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli chiziqni hosil qilamiz. Koordinatalar sistemasini almashtirish yordamida bu tenglamani ko'rinishga keltirsak, uning parabola ekanligini ko'ramiz.