Bergman yadrosi -nolni o’z ichiga oluvchi chegaralangan soha.  esa ,  ni o’ziga akslantiruvchi golomorf akslantirish gruppasi, 0  -uning nolni saqlovchi qism gruppasi. Ma’lumki, 0  uning hadlari orqali chiziqli ifodalandi ya’ni ni o’ziga akslantirish: 1 2 1 1 ( ) ... 1 2 1 ... 2 ... n n n n m m m i i ij j m m n j m m w u z a z z z         (1.1) 1 ( )n uij matritsa ma’lum bo’lsa yoyilma to’liq aniqlanadi. Xuddi shunday, 0  kompakt. Umumiylikka ziyon yetkazmaslik uchun 1 ( )n iju U unitar matritsa deb olamiz. 0 \   faktor guruhni qaraymiz. Bitta sinfga kiruvchi barcha almashtirishlar barchasi a nuqtani nolga o’tkazadi. Bunday a nuqtalar jamlanmasi da to’plamni hosil qiladi. Nolni saqlovchi bunday to’plam  ga nisbatan tranzitiv to’plam deyiladi. Shunday qilib,  dagi istalgan element  dagi a element va 0  dagi 1 ( )n iju U unitar matritsa orqali yagona ko’rinishda aniqlanadi.  ning elementlari orqali aniqlangan akslantirishlarni quyidagicha yozish mumkin: ( , ,   f z a U) , 0 , a  U  (1.2) 0 ( , , ), , z f x b V b V    (1.3) boshqa biror akslantirish bo’lsin va ( ( , , ), , ) ( , , ) f f x b V a V f x c W    (1.4) (1.2) va (1.3) ning ko’paytmasi.   0 desak, darhol ( , , ) a  f c b V (1.5) ni olamiz. (1.4) ni differensiallab, quyidagiga ega bo’lamiz: 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n i i k k j k j f x c W f z a U f x b V x z x           (1.6) (1.2) ning Yakobianini ( , , ) ( , , ) ( ), i ij ij j f z a U J z a U a a x     orqali belgilaymiz. Agar (1.4) da x  c bo’lsa, u holda z  a . Demak, ( , , ) ( , , ) ( , , ) J c c W J a a U J c b V   Belgilashni o’zgartirib, ( , , ) ( , , ) ( , , ) J x x W J z z U J x b V   (1.7) ni olamiz. O’z navbatida, bu formula dagi x va z uchun quyidagi munosabatni qanoatlantiradi: ( , , ) z  f x b V (1.8) Agar biz boshqa ( , , 0 ) u  f x b V akslantirishga ega bo’lsak, bu akslantirish nolni saqlaydi,demak 0 0 z z U u           - unitar matritsa Bu yerdan kelib chiqadiki,     0 0 ( , , ) ( , , ) x b x b z z J x b V J x b V u              Xullas, biz 0 0 ( , , ) ( , , ) J b b V U J b b V (1.9) ga ega bo’ldik. 0 U - 0  dagi matritsa. Xuddi shunday, 0 0 ( , , )' ( , , ) ( , , )' ( , , ) J z z V J z z V J z z V J z z V    (1.10) Bu shuni ko’rsatadiki, ' J J - 0 \   qo’shni sinfga bog’liq, ammo undagi akslantirishning tanlanishiga bog’liq emas. Demak biz det ( , , ) 2 ( , ) J z z V  Q z z ni yozishimiz mumkin. da yotadigan va (1.8) ni qanoatlantiradigan z va x lar uchun (1.7) dan quyidagiga egamiz: 2 ( , ) ( , ) det ( , , ) Q x x Q z z J x b V  (1.11) Bergman isbotlaganidek, Bergman yadrosi     ( , ) ( , ) , , K x x K z z Q x x Q z z  (1.12) qonuniyatga bo’ysunadi. Teorema. -chegaralangan doiraviy soha bo’lsa, u holda da yotuvchi z lar uchun quyidagi o’rinli 1 ( , ) ( , ) K z z Q z z    Bu yerda,  -  ning to’la hajmi. 2-§. , , , I II III IV     sohalarda Bergman yadrosi 1. I  sohada Bergman yadrosi. I  uchun  avtomorfizmlar gruppasidagi avtomorfizmlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi:    1 Z1 AZ B CZ D     Bu yerda,         , , , A m m B m n C n m D n n     lar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: ( ) ' ' m AA BB I   , ' ' AC  BD , ( ) ' ' n CC DD I    , m  n uchun qaraymiz va det 1 A B C D         deb faraz qilamiz. Teorema. I  uchun Bergman yadrosi     ( ) 1 det ( ) m n I I Z Z V     Bu yerda   1! 2! ... ( 1)!1! 2! ... ( 1)! 1! 2! ... ( 1)! mn I m n V m n                   2. II  sohada Bergman yadrosi. II  uchun  avtomorfizmlar gruppasidagi avtomorfizmlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 1 1 ( )( ) Z AZ B BZ A     Bu yerda , ' ' , A B  B A ' ' AA BB I   Teorema. II  uchun Bergman yadrosi     ( 1) 1 det ( ) n II I ZZ V     Bu yerda,   ( 1) 2 2! 4! ... (2 2)! ! ( 1)! ... (2 1)! n n II n V n n n               3. III  sohada Bergman yadrosi. III uchun  avtomorfizmlar gruppasidagi avtomorfizmlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi:    1 Z1 AZ B BZ A      Bu yerda, ' ' A B  B A , ' ' A A B B I   Teorema. III uchun Bergman yadrosi     1 1 det ( ) n III I Z Z V     Bu yerda,   ( 1) 2 2! 4! ... (2 4)! ( 1)! ... (2 3)! n n II n V n n              3. IV  sohada Bergman yadrosi. IV uchun  avtomorfizmlar gruppasidagi avtomorfizmlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 1 1 1 1 1 1 ( ' 1), ( ' 1)) ' ' ( ' 1), ( ' 1) ' ' 2 2 2 2 w zz zz A zB zz zz C zD i                                   Bu yerda,         2 2 , 2 , 2 , A B n C n D n n     matritsalar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: (2) (2) ( ) (2) 0 0 ' 0 0 n A B A B I I C D C D I I                            det 1 A B C D         Teorema. IV uchun Bergman yadrosi   2 1 1 ' 2 ' ( ) n IV zz zz V     Bu yerda,   2 1 ! n IV n V n     