Ilmiybaza.uz BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. BERNULLI VA OʻZGARMASLARNI VARIATSIYALASH (LAGRANJ) USULLARI. Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa, birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish algoritmini bilamiz. Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy koʻrinishi 𝑎(𝑥) ∙ 𝑦′(𝑥) + 𝑏(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥) standart koʻrinishi esa 𝑦′(𝑥) + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) boʻladi. Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz: 1) Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli (Lagranj usuli). 2) Bernulli usuli. Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha: 1. 𝑦′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 0 – oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi ⟹ 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑐, 𝑥) – umumiy yechim topiladi. 2. 𝒄 ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz ⟹ 𝑐 = 𝑢(𝑥) ⟹ Ilmiybaza.uz 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥), usulning nomi ham shundan kelib chiqqan – oʻzgarmasni variatsiyalash (oʻzgartirish) 3. 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥) ni 𝑦′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) differensial tenglamaga qoʻyamiz. Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelishi lozim! 4. Hosil boʻlgan oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechib, u(x) ni topamiz. 5. u(x) ni ifodasini 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥) ga qoʻyib umumiy yechimni topamiz. Misol 1. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥2 1. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 0 ⟹ 𝑑𝑦 𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦| = −𝑥2 + 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒−𝑥2 2. 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒−𝑥2 ⟹ 𝐶 = 𝑢(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒−𝑥2 3. (𝑢 ∙ 𝑒−𝑥2) ′ + 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒−𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥2 ⟹ 𝑢′ ∙ 𝑒−𝑥2 + 𝑢 ∙ (−2𝑥) ∙ 𝑒−𝑥2 + 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒−𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥2 ⟹ 𝑢′ = 𝑥 4. 𝑢′ = 𝑥 ⟹ 𝑢 = 1 2 𝑥2 + 𝐶 5. 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒−𝑥2 ⟹ 𝑦 = ( 1 2 𝑥2 + 𝐶) ∙ 𝑒−𝑥2 Misol 3. 𝑦′ + 𝑦 𝑥 − 2𝑒𝑥2 = 0, 𝑦(1) = 𝑒 Misol 4. 𝑦′ − 2𝑦 𝑥+1 = (𝑥 + 1)3, 𝑦(0) = 1 2 Misol 5. 𝑦′ + 𝑦 ∙ 𝑡𝑔𝑥 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 Bernulli usuli algoritmi quyidagicha: 1. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ bunda 𝑢, 𝑣 − hozircha nomaʼlum funksiyalar, almashtirish bajaramiz. 2. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 almashtirishni differensial tenglamaga qoʻyamiz ⟹ (𝑢 ∙ 𝑣)′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥) ⟹ 𝑢′𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥) 3. Ikkinchi va uchinchi qoʻshiluvchilardan qavsdan tashqariga chiqarsa boʻladigan hamma narsa chiqariladi: 𝑢′𝑣 + 𝑢(𝑣′ + 𝑝(𝑥)𝑣) = 𝑞(𝑥) Ilmiybaza.uz 4. Tenglamalar sistemasiga kelamiz: {𝑣′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 0 𝑢′𝑣 = 𝑞(𝑥) 5. Birinchi tenglamadan v ni topamiz, faqat bu bosqichda C qatnashmaydi. 6. v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi. 7. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 – ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz. Misol 2. 𝑦′ = 2𝑥(𝑥2 + 𝑦) 1. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 2. 𝑢′𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ − 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥3 ⟹ 𝑢′𝑣 + 𝑢 ∙ (𝑣′ − 2𝑥 ∙ 𝑣) = 2𝑥3 3. {𝑣′ − 2𝑥𝑣 = 0 𝑢′𝑣 = 2𝑥3 4. 𝑣′ − 2𝑥𝑣 = 0 ⟹ 𝑑𝑣 𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑣| = 𝑥2 ⟹ 𝑣 = 𝑒𝑥2 , bu bosqichda 𝑐 − qatnashmaydi. 5. 𝑢′𝑣 = 2𝑥3 ⟹ 𝑢′ ∙ 𝑒𝑥2 = 2𝑥3 ⟹ 𝑢′ = 2𝑥3 ∙ 𝑒−𝑥2 ⟹ 𝑢 = ∫ 2𝑥3 ∙ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = −𝑥2 ∙ 𝑒−𝑥2 − 𝑒−𝑥2 + 𝑐 6. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ 𝑦 = (−𝑥2 ∙ 𝑒−𝑥2 − 𝑒−𝑥2 + 𝑐) ∙ 𝑒𝑥2 = −𝑥2 − 1 + 𝑐 ∙ 𝑒𝑥2- umumiy yechim boʻladi.