CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASI VA ULARNI YECHISH USULLARI.CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLMALAR SISTEMASI VA UNING YECHIMI

Yuklangan vaqt

2024-04-20

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

18

Faytl hajmi

499,0 KB


3x 2 y 5 x y 2 CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASI VA ULARNI YECHISH USULLARI.CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLMALAR SISTEMASI VA UNING YECHIMI.CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINING YECHIMI MAVJUDLIGINING ZARURIY VA YETERLI SHRTI KRONEKER- KAPELLI TEOREMASI. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING KRAMER USULI. REJA: 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi 2. Kroneker-Kopelli teoremasi 3. Kramer usulı Tayanch iboralar: tenglamalar sistemasi(CHTS),tenglamalar sistemasining yechimi, yagona yechim, sistema birgalikda, aniq bo’lmagan sistema,ekvivalent sistema, birgalikda bo’lmagan sistema, sistema matrittsasi, kengaytirilgan matrittsa, Kroneker-Kapelli teoremasi, bir jinsli sistema, bosh o’zgaruvchilar, nomahlumlarni yo’qotish, teskari qadam 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Dastlab quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz: 1misol. Ushbu 3x 2 y 5 6x 4 y 5 tenglamalar 2 ta to’g’ri chiziq tenglamalari bo’lib, bu to’g’ri chiziqlar parallel va kesishmaydi. 3.2-misol. tenglamalar parallel bo’lmagan va bitta nuqtada kesishgan to’g’ri chiziqlar tenglamasidir. 3.3-misol. 3x 2 y 5 6x 4 y 10 tenglamalar sistemasi 2 ta ustma-ust tushgan to’g’ri chiziq tenglamalari bo’lib, bu sistema cheksiz ko’p yechimga ega. Bu misollardan shuni ko’rish mumkinki, R fazoda ko’rilgan tenglamalar sistemasi yoki 3x 2 y 5 x y 2 CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASI VA ULARNI YECHISH USULLARI.CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLMALAR SISTEMASI VA UNING YECHIMI.CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINING YECHIMI MAVJUDLIGINING ZARURIY VA YETERLI SHRTI KRONEKER- KAPELLI TEOREMASI. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING KRAMER USULI. REJA: 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi 2. Kroneker-Kopelli teoremasi 3. Kramer usulı Tayanch iboralar: tenglamalar sistemasi(CHTS),tenglamalar sistemasining yechimi, yagona yechim, sistema birgalikda, aniq bo’lmagan sistema,ekvivalent sistema, birgalikda bo’lmagan sistema, sistema matrittsasi, kengaytirilgan matrittsa, Kroneker-Kapelli teoremasi, bir jinsli sistema, bosh o’zgaruvchilar, nomahlumlarni yo’qotish, teskari qadam 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Dastlab quyidagi misollarni ko’rib chiqamiz: 1misol. Ushbu 3x 2 y 5 6x 4 y 5 tenglamalar 2 ta to’g’ri chiziq tenglamalari bo’lib, bu to’g’ri chiziqlar parallel va kesishmaydi. 3.2-misol. tenglamalar parallel bo’lmagan va bitta nuqtada kesishgan to’g’ri chiziqlar tenglamasidir. 3.3-misol. 3x 2 y 5 6x 4 y 10 tenglamalar sistemasi 2 ta ustma-ust tushgan to’g’ri chiziq tenglamalari bo’lib, bu sistema cheksiz ko’p yechimga ega. Bu misollardan shuni ko’rish mumkinki, R fazoda ko’rilgan tenglamalar sistemasi yoki yechimga ega emas, yoki bitta yechimga ega, yoki cheksiz ko’p yechimga ega. Lekin bu misollarni geometric usulda, yhani to’g’ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi, yoki parallel, yoki ustma-ust tushishini bilgan holda echdik. endi umumiy holda n ta nomalumdan iborat m ta tenglamalar sistemasini qaraylik: yechimga ega emas, yoki bitta yechimga ega, yoki cheksiz ko’p yechimga ega. Lekin bu misollarni geometric usulda, yhani to’g’ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi, yoki parallel, yoki ustma-ust tushishini bilgan holda echdik. endi umumiy holda n ta nomalumdan iborat m ta tenglamalar sistemasini qaraylik: a11 x1 . . . a1n xn b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) am1 x1 . . amn xn bm Bu yerda x1 , . . . xn -nomahlum o’zgaruvchilar a11 , . . .amn , b1 , . . . bm koeffitsentlar. Bu sistemani yuqorida keltirilgan usulida yechib bo’lmaydi. Agar sistema kamida bitta yechimga ega bo’lsa, yahni nomahlumlar uchun shunday qiymatlar ko’rsatish mumkin bo’lsaki, ularni sistemaga qo’yganda tenglamalarning har biri ayniyatga aylansa, u holda sistema birgalikda deyiladi. Quyida chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish alomatini keltiramiz. Buning uchun sistema koeffitsientlaridan tuzilgan ushbu matrisani va A matrittsadan unga ozod hadlar ustunini qo’shish bilan hosil qilingan ushbu (2) (4) matrittsani qaraymiz. A matrittsa (1) -sistemaning asosiy matrittsasi, V matritsa esa (1)- sistemaning kengaytirilgan matrittsasi deyiladi. Bu matrittsalarning ranglari tengsizlik bilan bog’langan bo’ladi. 1. CHTS haqida umumiy tushunchalar. Mahlumki bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi hamma tenglamalar chiziqli (1-darajali) bo’lsa, bunday tenglamalar sistemasiga chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi nomahlumlar o’rniga mahlum sonlar majmuini qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu sistema aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va . a11 x1 . . . a1n xn b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) am1 x1 . . amn xn bm Bu yerda x1 , . . . xn -nomahlum o’zgaruvchilar a11 , . . .amn , b1 , . . . bm koeffitsentlar. Bu sistemani yuqorida keltirilgan usulida yechib bo’lmaydi. Agar sistema kamida bitta yechimga ega bo’lsa, yahni nomahlumlar uchun shunday qiymatlar ko’rsatish mumkin bo’lsaki, ularni sistemaga qo’yganda tenglamalarning har biri ayniyatga aylansa, u holda sistema birgalikda deyiladi. Quyida chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish alomatini keltiramiz. Buning uchun sistema koeffitsientlaridan tuzilgan ushbu matrisani va A matrittsadan unga ozod hadlar ustunini qo’shish bilan hosil qilingan ushbu (2) (4) matrittsani qaraymiz. A matrittsa (1) -sistemaning asosiy matrittsasi, V matritsa esa (1)- sistemaning kengaytirilgan matrittsasi deyiladi. Bu matrittsalarning ranglari tengsizlik bilan bog’langan bo’ladi. 1. CHTS haqida umumiy tushunchalar. Mahlumki bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi hamma tenglamalar chiziqli (1-darajali) bo’lsa, bunday tenglamalar sistemasiga chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Tenglamalar sistemasidagi nomahlumlar o’rniga mahlum sonlar majmuini qo’yganda, sistemaning hamma tenglamalari ayniyatga aylansa, bunday sonlar majmuiga tenglamalar sistemasining yechimi (ildizi) deyiladi. Bunday sonlar majmui bitta bo’lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lib, bu sistema aniqlangan (tayin, muayyan) deb ataladi va . bu tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi. Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday sistemaga birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini 0dan farqli songa ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi). Fan va texnikaning ko’p sohalarida bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. CHiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga iqtisodiyotdan misol qaraymiz. 1-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan. 1-jadval. Xom-ashyo xillari Mahsulot turlari bo’yicha xom-ashyo sarflari Xom-ashyo zahirasi 1 2 3 1 5 12 7 2000 2 10 6 8 1660 3 9 11 4 2070 Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1 , x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5 x1 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12 x2 , 7 x3 bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 x1+ 12 x2 + 7 x3 =2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun 10x1 9x1 6x2 11x2 8x3 4x3 1660 , 2070 tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: bu tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi. Birgalikda bo’lgan sistema bittadan ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday sistema aniq bo’lmagan sistema deyiladi. Birgalikda bo’lgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega bo’lsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. Tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo’lmasa, bunday sistemaga birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini 0dan farqli songa ko’paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo’shish bilan hosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo’ladi (bu xossadan kelgusida ko’p foydalaniladi). Fan va texnikaning ko’p sohalarida bo’lganidek, iqtisodiyotning ham ko’p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. CHiziqli tenglamalar sistemasini tuzishga iqtisodiyotdan misol qaraymiz. 1-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari 1-jadvalda berilgan. 1-jadval. Xom-ashyo xillari Mahsulot turlari bo’yicha xom-ashyo sarflari Xom-ashyo zahirasi 1 2 3 1 5 12 7 2000 2 10 6 8 1660 3 9 11 4 2070 Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari bo’yicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Echish: Ishlab chiqarilishi kerak bo’lgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1 , x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik bo’lganligi uchun 5 x1 1-tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2,3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12 x2 , 7 x3 bo’lib, uning uchun quyidagi tenglama o’rinli bo’ladi: 5 x1+ 12 x2 + 7 x3 =2000. Yuqoridagiga o’xshash 2,3-xil xom ashyolar uchun 10x1 9x1 6x2 11x2 8x3 4x3 1660 , 2070 tenglamalar hosil bo’ladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch nomag’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: a11 a12 a1n a21 a22 a2n , an1 an2 ann 1 5 x1+ 12 x2 + 7 x3 =2000 , 5x1 12x2 7x3 2000, 10x1 6x2 8x3 1660, 9x1 11x2 4x3 2070 9x1 11x2 4x3 2070. Bu masalaning matematik modeli uch nomahlumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz. 2. CHiziqli tenglamalar sistemasini matrittsalar yordamida yechish endi matrittsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz. a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 … a1n xn b1 … a2n xn b2 (7) ……………………………… an1 x1 an2 x2 … ann xn bn n nomahlumli, n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. b1 A B b2 … bn belgilashlarni kiritamiz. Endi (7) sistemani matrittsalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib, AX B (8) ko’rinishda yozish mumkin. det A 0 bo’lsa, teskari matrittsa A mavjud va A 1AX A 1B hosil bo’ladi. SHunday qilib, nomahlum X matrittsa A 1B matrittsaga teng bo’ladi, yahni X = A 1B . Bu (7) tenglamalar sistemasini yechishning matrittsaviy yozuvini bildiradi. X x1 x2 … xn , a11 a12 a1n a21 a22 a2n , an1 an2 ann 1 5 x1+ 12 x2 + 7 x3 =2000 , 5x1 12x2 7x3 2000, 10x1 6x2 8x3 1660, 9x1 11x2 4x3 2070 9x1 11x2 4x3 2070. Bu masalaning matematik modeli uch nomahlumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz. 2. CHiziqli tenglamalar sistemasini matrittsalar yordamida yechish endi matrittsalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz. a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 … a1n xn b1 … a2n xn b2 (7) ……………………………… an1 x1 an2 x2 … ann xn bn n nomahlumli, n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. b1 A B b2 … bn belgilashlarni kiritamiz. Endi (7) sistemani matrittsalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib, AX B (8) ko’rinishda yozish mumkin. det A 0 bo’lsa, teskari matrittsa A mavjud va A 1AX A 1B hosil bo’ladi. SHunday qilib, nomahlum X matrittsa A 1B matrittsaga teng bo’ladi, yahni X = A 1B . Bu (7) tenglamalar sistemasini yechishning matrittsaviy yozuvini bildiradi. X x1 x2 … xn , 1 1 1 1 1 1-misol. matrittsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching: x1 x2 x1 2x2 x1 3x2 x3 4, 4x3 4, . 9x3 2 Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 1 1 1 x1 4 A 1 2 4 ; X x2 ; B 4 . 1 3 9 x3 2 Bu matrittsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini AX B (9) ko’rinishda yozamiz. Endi A matrittsaning determinantini hisoblaymiz. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 2 9 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 9 1 4 3 2 . A matrittsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona A matrittsa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi A teskari matrittsani topish uchun determinant elementlarining hamma algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz: A11 A 2 4 18 3 9 1 1 12 6, 6, A A12 1 4 4 9 8, A 5, A13 1 1 2 1 1 3 21 3 9 22 A 1 1 2, A 1 9 23 1 3, A 3 1 1 1. 31 2 4 32 4 33 1 2 Teskari A matrittsani topish formulasiga asosan, 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1-misol. matrittsalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching: x1 x2 x1 2x2 x1 3x2 x3 4, 4x3 4, . 9x3 2 Echish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 1 1 1 x1 4 A 1 2 4 ; X x2 ; B 4 . 1 3 9 x3 2 Bu matrittsalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini AX B (9) ko’rinishda yozamiz. Endi A matrittsaning determinantini hisoblaymiz. 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 2 9 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 9 1 4 3 2 . A matrittsaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona A matrittsa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi A teskari matrittsani topish uchun determinant elementlarining hamma algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz: A11 A 2 4 18 3 9 1 1 12 6, 6, A A12 1 4 4 9 8, A 5, A13 1 1 2 1 1 3 21 3 9 22 A 1 1 2, A 1 9 23 1 3, A 3 1 1 1. 31 2 4 32 4 33 1 2 Teskari A matrittsani topish formulasiga asosan, 2 1 1 1 1 1 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 6 6 2 A 1 5 8 3 2 1 2 1 3 2,5 0,5 3 1 4 1,5 0,5 (9) tenglikning ikki tomonini chapdan A ga ko’paytirsak, A 1AX A 1B yoki X A 1B bo’lib, yahni 3 X 2,5 3 1 4 4 1,5 4 3 4 ( 2,5 4 3) 4 4 4 1 2 ( 1,5) 2 0,5 0,5 2 0,5 4 1 4 0,5 2 Tenglik hosil bo’ladi. x1 SHunday qilib, X x2 x3 yoki х1 2 , х2 3 , х3 1. (Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin). 3 .Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 … a1n xn b1 … a2n xn b2 (1) ……………………………… am1 x1 am2 x2 … amn xn bm umumiy ko’rinishdagi,yag’ni n ta nomag’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Berilgan sistema nomahlumlari koeffitsientlaridan A matrittsani hamda bu matrittsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matrittsani tuzamiz, yahni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi. A va B 1 2 3 1 1 2 3 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2n b1 b2 am1 am2 amn bm 1 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 6 6 2 A 1 5 8 3 2 1 2 1 3 2,5 0,5 3 1 4 1,5 0,5 (9) tenglikning ikki tomonini chapdan A ga ko’paytirsak, A 1AX A 1B yoki X A 1B bo’lib, yahni 3 X 2,5 3 1 4 4 1,5 4 3 4 ( 2,5 4 3) 4 4 4 1 2 ( 1,5) 2 0,5 0,5 2 0,5 4 1 4 0,5 2 Tenglik hosil bo’ladi. x1 SHunday qilib, X x2 x3 yoki х1 2 , х2 3 , х3 1. (Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin). 3 .Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 … a1n xn b1 … a2n xn b2 (1) ……………………………… am1 x1 am2 x2 … amn xn bm umumiy ko’rinishdagi,yag’ni n ta nomag’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Berilgan sistema nomahlumlari koeffitsientlaridan A matrittsani hamda bu matrittsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matrittsani tuzamiz, yahni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi. A va B 1 2 3 1 1 2 3 1 a11 a12 a1n a21 a22 a2n b1 b2 am1 am2 amn bm А matrittsaga (1) sistemaning matrittsasi, B matrittsaga sistemaning kengaytirilgan matrittsasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli. 1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). CHiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matrittsasi А ning rangi sistema kengaytirilgan B matrittsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin. k1, k2 ,…, ks uning yechimlaridan biri bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi nomahlumlar o’rniga qo’yib, s ta ayniyat hosil qilamiz.Bu ayniyatlar B matrittsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko’paytmasidan olingan yig’indisi ekanligini ko’rsatadi. B matrittsaning har qanday boshqa ustuni A matrittsaga ham kiradi va shuning uchun u matrittsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, A matrittsaning har qanday ustuni B matrittsani ham ustuni bo’ladi, yahni bu matrittsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan A va B matrittsalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu matrittsalarning rangi bir xil bo’ladi, yahni r A r B kelib chiqadi. Etarliligi. A va B matrittsalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan A matrittsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi B matrittsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi.SHunda qilib A matrittsa ustunlari sistemasi orqali B matrittsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday k1, k2 ,…, ks sonlar majmui mavjud bo’ladiki, A matrittsaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari yig’indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yahni k1, k2 ,…, ks sonlar (1) sistemaning yechimi bo’ladi, shunday qilib, A va B matrittsalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz. A matrittsaning rangi B matrittsaning rangiga teng bo’lib, r A r B k bo’lsin. Bunda k son A matrittsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo’lib, k nomahlumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema tenglamalari soni nomahlumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha topish mumkin bo’ladi. Endi matrittsalarning rangi k nomahlumlar sonidan kichik, yahni k n bo’lsin.Bu holda k - tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida А matrittsaga (1) sistemaning matrittsasi, B matrittsaga sistemaning kengaytirilgan matrittsasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli. 1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). CHiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matrittsasi А ning rangi sistema kengaytirilgan B matrittsasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin. k1, k2 ,…, ks uning yechimlaridan biri bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi nomahlumlar o’rniga qo’yib, s ta ayniyat hosil qilamiz.Bu ayniyatlar B matrittsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko’paytmasidan olingan yig’indisi ekanligini ko’rsatadi. B matrittsaning har qanday boshqa ustuni A matrittsaga ham kiradi va shuning uchun u matrittsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, A matrittsaning har qanday ustuni B matrittsani ham ustuni bo’ladi, yahni bu matrittsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan A va B matrittsalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu matrittsalarning rangi bir xil bo’ladi, yahni r A r B kelib chiqadi. Etarliligi. A va B matrittsalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan A matrittsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi B matrittsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi.SHunda qilib A matrittsa ustunlari sistemasi orqali B matrittsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday k1, k2 ,…, ks sonlar majmui mavjud bo’ladiki, A matrittsaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari yig’indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yahni k1, k2 ,…, ks sonlar (1) sistemaning yechimi bo’ladi, shunday qilib, A va B matrittsalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz. A matrittsaning rangi B matrittsaning rangiga teng bo’lib, r A r B k bo’lsin. Bunda k son A matrittsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo’lib, k nomahlumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema tenglamalari soni nomahlumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha topish mumkin bo’ladi. Endi matrittsalarning rangi k nomahlumlar sonidan kichik, yahni k n bo’lsin.Bu holda k - tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida xk 1 , xk 2 , …, xn nomahlumli hadlarini tenglamalarning o’ng tomoniga o’tkazamiz va bu nomahlumlar uchun biror ck 1 , ck 2 ,…, cn qiymatlari majmuini tanlab olib k nomahlumli k ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va yagona c1, c2 ,…, ck yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining o’ng tomoniga o’tkazilgan nomahlumlarni ozod nomahlumlar deb ataymiz. CHap tomondagi nomag’lumlarbosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod nomahlumlar uchun ck 1 , ck 2 ,…, cn sonlarni ixtiyoriy tanlab olishig’iz mumkin bo’lganligi uchun hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil qilinadi. SHunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz. 3.3. Kroneker-Kopelli teoremasi 3.4.-teorema. (Kroneker-Kapelli). (1)-chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun asosiy matrittsa bilan kengaytirilgan matrittsaning rangi teng, yahni bo’lishi zarur va yetarli. Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi: 1) Agar bo’lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi, yahni sistema yechimga ega emas; 2) Agar bo’lsa (1)-tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega; 3) Agar bo’lsa tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Agar tenglamalar sistemasi yechimga ega bo’lsa, bu sistema birgalikda deyiladi. Agar bu yechimlar yagona bo’lsa, sistema aniqlangan sistema deyiladi Endi bo’lgan sistemani qaraymiz. Bu holda sistemaga bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Ushbu bir jinsli a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 ... ... a1n xn 0 a2n xn 0 (5) .......................................... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0 sistema doim birgalikda, chunki V matrisa A matrisadan faqat elementlari nollardan iborat ustun bilan farq qiladi, yahni xk 1 , xk 2 , …, xn nomahlumli hadlarini tenglamalarning o’ng tomoniga o’tkazamiz va bu nomahlumlar uchun biror ck 1 , ck 2 ,…, cn qiymatlari majmuini tanlab olib k nomahlumli k ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va yagona c1, c2 ,…, ck yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining o’ng tomoniga o’tkazilgan nomahlumlarni ozod nomahlumlar deb ataymiz. CHap tomondagi nomag’lumlarbosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod nomahlumlar uchun ck 1 , ck 2 ,…, cn sonlarni ixtiyoriy tanlab olishig’iz mumkin bo’lganligi uchun hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil qilinadi. SHunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz. 3.3. Kroneker-Kopelli teoremasi 3.4.-teorema. (Kroneker-Kapelli). (1)-chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun asosiy matrittsa bilan kengaytirilgan matrittsaning rangi teng, yahni bo’lishi zarur va yetarli. Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi: 1) Agar bo’lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi, yahni sistema yechimga ega emas; 2) Agar bo’lsa (1)-tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega; 3) Agar bo’lsa tenglamalar sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Agar tenglamalar sistemasi yechimga ega bo’lsa, bu sistema birgalikda deyiladi. Agar bu yechimlar yagona bo’lsa, sistema aniqlangan sistema deyiladi Endi bo’lgan sistemani qaraymiz. Bu holda sistemaga bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Ushbu bir jinsli a11 x1 a21 x1 a12 x2 a22 x2 ... ... a1n xn 0 a2n xn 0 (5) .......................................... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0 sistema doim birgalikda, chunki V matrisa A matrisadan faqat elementlari nollardan iborat ustun bilan farq qiladi, yahni a11 A a21 .... am1 a12 a22 .... am 2 ... ... ... ... a1n a2n , .... amn a11 B a21 .... am1 a12 a22 .... am 2 ... ... ... ... a1n a2n .... amn 0 0 0 .(6) 0 SHu sababli . A matrittsa bilan V matrisa teng bo’lishi uchun (5)-tenglamalar sistemasi doim nolh yechimga ega, yahni: . Bu yechimlarga trivial yechimlar deyiladi. (5)- bir jinsli sistema qachon nolmas yechimga ega bo’lishi haqidagi savolga ushbu teorema javob beradi. 3.5.-teorema. (1)-tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun A matrisaning rangi nomahlumlar soni (n) dan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir: . 3.6.-natija. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni m nomahlumlar sonin dan kichik bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimga ega bo’ladi. Haqiqatdan ham, . 3.7.-misol: Ushbu sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangi 3 dan ortiq bo’lishi mumkin emas. Uni elementar almashtirishlar yordamida topamiz. a11 A a21 .... am1 a12 a22 .... am 2 ... ... ... ... a1n a2n , .... amn a11 B a21 .... am1 a12 a22 .... am 2 ... ... ... ... a1n a2n .... amn 0 0 0 .(6) 0 SHu sababli . A matrittsa bilan V matrisa teng bo’lishi uchun (5)-tenglamalar sistemasi doim nolh yechimga ega, yahni: . Bu yechimlarga trivial yechimlar deyiladi. (5)- bir jinsli sistema qachon nolmas yechimga ega bo’lishi haqidagi savolga ushbu teorema javob beradi. 3.5.-teorema. (1)-tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun A matrisaning rangi nomahlumlar soni (n) dan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir: . 3.6.-natija. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni m nomahlumlar sonin dan kichik bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimga ega bo’ladi. Haqiqatdan ham, . 3.7.-misol: Ushbu sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangi 3 dan ortiq bo’lishi mumkin emas. Uni elementar almashtirishlar yordamida topamiz. . Hosil bo’lgan ekvivalent matrisaning rangi , chunki . Demak, A matrisaning rangi ham 3 ga teng: . Kengaytirilgan matrisaning rangini hisoblaymiz: Elementar almashtirishlar bajaramiz: Ekvivalent matrisa rangga ega, chunki . V matrittsaning rangi 4 ga teng: .Matrisalarning ranglari har xil, demek, sistema birgalikda emas. Sistema yechimga ega emas. 3.8.-misol: Ushbu . Hosil bo’lgan ekvivalent matrisaning rangi , chunki . Demak, A matrisaning rangi ham 3 ga teng: . Kengaytirilgan matrisaning rangini hisoblaymiz: Elementar almashtirishlar bajaramiz: Ekvivalent matrisa rangga ega, chunki . V matrittsaning rangi 4 ga teng: .Matrisalarning ranglari har xil, demek, sistema birgalikda emas. Sistema yechimga ega emas. 3.8.-misol: Ushbu sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangini hisoblaymiz: ,chunki . Kengaytirilgan V maritsanining rangini hisoblaymiz: , chunki . Sistema birgalikda, chunki .Rang nomahlumlar sonidan kichik bhlgani uchun sistema cheksiz khp echimga ega. Bu yechimlarni topamiz. Uchinchi tenglama birinchi va ikkinchi tenglamaning chiziqli kombinatsiyasi bo’lganligi uchun uni tashlab yuborish mumkin. . va nomahlumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan. Bu nomahlumlarni tenglikning chap qismida qoldirib, qolgan qo’shiluvchilarni tenglikdan o’ng tomonga o’tkazamiz: sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangini hisoblaymiz: ,chunki . Kengaytirilgan V maritsanining rangini hisoblaymiz: , chunki . Sistema birgalikda, chunki .Rang nomahlumlar sonidan kichik bhlgani uchun sistema cheksiz khp echimga ega. Bu yechimlarni topamiz. Uchinchi tenglama birinchi va ikkinchi tenglamaning chiziqli kombinatsiyasi bo’lganligi uchun uni tashlab yuborish mumkin. . va nomahlumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan. Bu nomahlumlarni tenglikning chap qismida qoldirib, qolgan qo’shiluvchilarni tenglikdan o’ng tomonga o’tkazamiz: va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlarni, masalan, , qiymatlarni beramiz. Sistema ushbu ko’rinishni oladi. Bu sistemani yechib, , ni topamiz. Berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Ularni va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlar berish yo’li bilan aniqlaymiz. Umumiy ko’rinishda bu bunday yoziladi: 3.9.-misol: Ushbu sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangi 3 dan ortiq bo’lishi mumkin emas. Uni elemaentar almashtirishlar yordamida topamiz. , chunki . Kengaytirilgan B matrittsaning rangini hisoblaymiz: va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlarni, masalan, , qiymatlarni beramiz. Sistema ushbu ko’rinishni oladi. Bu sistemani yechib, , ni topamiz. Berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Ularni va “ozod nomahlum”larga ixtiyoriy qiymatlar berish yo’li bilan aniqlaymiz. Umumiy ko’rinishda bu bunday yoziladi: 3.9.-misol: Ushbu sistema birgalikdami? Echish: Ushbu matrisaning rangi 3 dan ortiq bo’lishi mumkin emas. Uni elemaentar almashtirishlar yordamida topamiz. , chunki . Kengaytirilgan B matrittsaning rangini hisoblaymiz: Elementar almashtirishlar bajaramiz: . , chunki . bo’lganligi uchun sistema birgalikda, bundan tashqari matrittsalar rangi nomahlumlar soniga teng, shu sababli sistema birgina yechimga ega. minor birinchi uchta tenglama koeffisientlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta tenglamaning chiziqli kombinatsiyasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin. Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamasidan tuzilgan sistemani yechib, , ga teng. 1. Чизиқли тенгламалар системасини йечишнинг Крамер усули Крамер (детерминант) усули. Айтайлик бизга n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин. Elementar almashtirishlar bajaramiz: . , chunki . bo’lganligi uchun sistema birgalikda, bundan tashqari matrittsalar rangi nomahlumlar soniga teng, shu sababli sistema birgina yechimga ega. minor birinchi uchta tenglama koeffisientlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta tenglamaning chiziqli kombinatsiyasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin. Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamasidan tuzilgan sistemani yechib, , ga teng. 1. Чизиқли тенгламалар системасини йечишнинг Крамер усули Крамер (детерминант) усули. Айтайлик бизга n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин.                   n n nn n n n n n n b a x x a x a b x a a x x a b a x a x x a ..... ..................................... .......... ..... ...... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (4.1) Бу йерда -номаълумлар, -коеффисийентлар, 1 , 2 ,..., n b b b -озод сонлар. Теорема: Агар (12)-тенгламалар системасининг асосий детерминанти нолдан фарқли бўлса, у ҳолда тенгламалар системаси биргаликда дейилади. Бу ҳолда система ягона ечимга эга бўлади ва улар қуйидаги формулалардан топилади . 1 2 1 2 0 , , , ..., n n x x x x x x            (4.2) Бу Крамер формуласидан иборат. Бу йерда   0 ,га бош детерминант 1 2 3 , , ,..., n x x x x     ларга ёрдамчи детерминантлар дейилади. Соддалик учун 3 номаълумли, 3 та чизиқли тенгламалар системасини қараймиз.             3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 b a z a y x a b a z y a x a b a z a y x a (4.3) 3 номаълумли 3 та чизиқли тенгламалар системасини ечишда дастлаб бош(асосий) детерминант 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a   (4.4) топилади.   0 бўлсин. Ундан сўнг ёрдамчича детерминантлар ҳисобланади (бунда бош детерминантнинг устун элементлари мос равшда озод ҳадлар билан алмаштирилади): 1 12 13 2 22 23 3 32 33 x b a a b a a b a a   , 11 1 13 21 2 23 31 3 33 y a b a a b a a b a   , 11 12 1 21 22 2 31 32 3 z a a b a a b a a b   (4.5)                   n n nn n n n n n n b a x x a x a b x a a x x a b a x a x x a ..... ..................................... .......... ..... ...... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (4.1) Бу йерда -номаълумлар, -коеффисийентлар, 1 , 2 ,..., n b b b -озод сонлар. Теорема: Агар (12)-тенгламалар системасининг асосий детерминанти нолдан фарқли бўлса, у ҳолда тенгламалар системаси биргаликда дейилади. Бу ҳолда система ягона ечимга эга бўлади ва улар қуйидаги формулалардан топилади . 1 2 1 2 0 , , , ..., n n x x x x x x            (4.2) Бу Крамер формуласидан иборат. Бу йерда   0 ,га бош детерминант 1 2 3 , , ,..., n x x x x     ларга ёрдамчи детерминантлар дейилади. Соддалик учун 3 номаълумли, 3 та чизиқли тенгламалар системасини қараймиз.             3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 b a z a y x a b a z y a x a b a z a y x a (4.3) 3 номаълумли 3 та чизиқли тенгламалар системасини ечишда дастлаб бош(асосий) детерминант 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a   (4.4) топилади.   0 бўлсин. Ундан сўнг ёрдамчича детерминантлар ҳисобланади (бунда бош детерминантнинг устун элементлари мос равшда озод ҳадлар билан алмаштирилади): 1 12 13 2 22 23 3 32 33 x b a a b a a b a a   , 11 1 13 21 2 23 31 3 33 y a b a a b a a b a   , 11 12 1 21 22 2 31 32 3 z a a b a a b a a b   (4.5) Номаълумлар қуйидаги формулалар ёрдамида ҳисобланади:          z z y y x x , , (4.6) Мисол.Ушбу системани ечинг: Ечиш:Қуйидаги детерминантларни тузамиз ва ҳисоблаймиз: , , . 2 3 6 ,1 3 3 ,1 3 3                  z z y y x x Номаълумлар қуйидаги формулалар ёрдамида ҳисобланади:          z z y y x x , , (4.6) Мисол.Ушбу системани ечинг: Ечиш:Қуйидаги детерминантларни тузамиз ва ҳисоблаймиз: , , . 2 3 6 ,1 3 3 ,1 3 3                  z z y y x x O’z-o’zini tekshirish uchun savollar 1. CHiziqli tenglamalar sistemasining matrisasi va kengaytirilgan matrisasining rangi deb nimaga aytiladi? 2. Qanday chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deb ataladi? O’z-o’zini tekshirish uchun savollar 1. CHiziqli tenglamalar sistemasining matrisasi va kengaytirilgan matrisasining rangi deb nimaga aytiladi? 2. Qanday chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deb ataladi? 3. n nomahlumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi qachon birgalikda bo’ladi? 4. n nomahlumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi qachon nolmas yechimga ega? 3. n nomahlumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi qachon birgalikda bo’ladi? 4. n nomahlumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi qachon nolmas yechimga ega?