CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI: CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI.

Yuklangan vaqt

2024-04-20

Yuklab olishlar soni

7

Sahifalar soni

21

Faytl hajmi

436,0 KB


 CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI: CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI. Reja 1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar. 2. Kroneker-Kapelli teoremasi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishiga misollar. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usuli. 6. Bazis yechim tushunchasi. 7. Gauss va Gauss-Jordan usullarining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi. Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Quyidagi  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1,  a x  a x  ...  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... (1) am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda a11, a12 , .... , amn sonlar (1) sistemaning koeffisiyentlari, sonlar esa ozod hadlar deyiladi. x1, x2 , …, xn lar noma’lumlar, b1,b2 ,...,bm Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan  a11 a12 ... a1n   a a ... a  A   21 22 2n   ... ... ... ...   a a ... a   m1 m2 mn   CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI: CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI. Reja 1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar. 2. Kroneker-Kapelli teoremasi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishiga misollar. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usuli. 6. Bazis yechim tushunchasi. 7. Gauss va Gauss-Jordan usullarining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi. Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Quyidagi  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1,  a x  a x  ...  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... (1) am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda a11, a12 , .... , amn sonlar (1) sistemaning koeffisiyentlari, sonlar esa ozod hadlar deyiladi. x1, x2 , …, xn lar noma’lumlar, b1,b2 ,...,bm Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan  a11 a12 ... a1n   a a ... a  A   21 22 2n   ... ... ... ...   a a ... a   m1 m2 mn        3x  y  4 1-ta’rif. Agar 1,2,…,n sonlar x1, x2 ,…, xn larning oʻrniga qoʻyilganda (1) sistemadagi tenglamalarni toʻgʻri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga sistemaning yechimlari tizimi, deb aytiladi belgilanadi. va X   ,  , …,   1 2 n  T (1) kabi matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar vektorini X  (x , x ,..., x )T ustun vektor, ozod hadlarni B  (b ,b ,...,b )T ustun 1 2 n 1 2 m vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin: AX  B. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi. 1-misol. yechimga ega. x  y  2, 2x  y  7 sistema birgalikda chunki sistema x  3, y  1 Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi. 2-misol. birgalikda emas. x  y  z  1, 3x  3y  3z  5 sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi. x  y  1, 3-misol. 2x  2 y  2, sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu 3x  3y  3 sistema x   , y  1   koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda  - ixtiyoriy haqiqiy son. Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. 4-misol. 2x  3y  5  x  2 y  3 (a) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) . 3x  2 y  1 (b) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .  (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.       3x  y  4 1-ta’rif. Agar 1,2,…,n sonlar x1, x2 ,…, xn larning oʻrniga qoʻyilganda (1) sistemadagi tenglamalarni toʻgʻri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga sistemaning yechimlari tizimi, deb aytiladi belgilanadi. va X   ,  , …,   1 2 n  T (1) kabi matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar vektorini X  (x , x ,..., x )T ustun vektor, ozod hadlarni B  (b ,b ,...,b )T ustun 1 2 n 1 2 m vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin: AX  B. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi. 1-misol. yechimga ega. x  y  2, 2x  y  7 sistema birgalikda chunki sistema x  3, y  1 Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi. 2-misol. birgalikda emas. x  y  z  1, 3x  3y  3z  5 sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi. x  y  1, 3-misol. 2x  2 y  2, sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu 3x  3y  3 sistema x   , y  1   koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda  - ixtiyoriy haqiqiy son. Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi. 4-misol. 2x  3y  5  x  2 y  3 (a) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) . 3x  2 y  1 (b) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .  (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.   Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ( A | B) matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi. 5-misol. x  3y  5 3x  y  5 (a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga koʻpaytirib 2-tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz.  x  3y  5 (b) natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent. 10 y  10 Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin. Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda uning biror yechimi mavjud va x1  1 ,x2  2 ,...,xn  n dan iborat bo‘lsin. Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak: ega bo‘lamiz. ai11  ai 22 Λ ainn  bi , i  1,2,...,m (2) Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:  a11   a12   a1n   b1   a   a   a   b    21     22  Λ   2n    2  , i  1,2,...,m (3) 1  Μ  2  Μ  n  Μ   Μ   a   a   a   b   m1   m 2   mn   m  Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi. Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng, r  A  r  A B .   Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ( A | B) matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli. Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi. 5-misol. x  3y  5 3x  y  5 (a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga koʻpaytirib 2-tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz.  x  3y  5 (b) natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent. 10 y  10 Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin. Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda uning biror yechimi mavjud va x1  1 ,x2  2 ,...,xn  n dan iborat bo‘lsin. Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak: ega bo‘lamiz. ai11  ai 22 Λ ainn  bi , i  1,2,...,m (2) Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:  a11   a12   a1n   b1   a   a   a   b    21     22  Λ   2n    2  , i  1,2,...,m (3) 1  Μ  2  Μ  n  Μ   Μ   a   a   a   b   m1   m 2   mn   m  Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi. Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng, r  A  r  A B . Teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent. A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular  A B  (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin. Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:  a11   a12   a1r   b1   a   a   a   b    21     22  Λ   2r    2  1  Μ  2  Μ  r  Μ   Μ   a   a   a   b   m1   m 2   mr   m  munosabatni qanoatlantiruvchi 1,2 ,...,r lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent: ai11  ai 22 Λ airr Agar (1) tenglamalar sistemasiga  bi , i  1,2,...,m x1  1 ,x2  2 ,...,xr  r ,xr 1  0,...,xn  0 , (4) qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan  A B  matritsasining ranglari teng. r  r  A  r  A B qiymatni berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz. Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi. Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan: ai1 x1  ai 2 x2 Λ ain xn  bi , i  1,2,...,r (5) bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1) tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli. Teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent. A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular  A B  (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin. Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:  a11   a12   a1r   b1   a   a   a   b    21     22  Λ   2r    2  1  Μ  2  Μ  r  Μ   Μ   a   a   a   b   m1   m 2   mr   m  munosabatni qanoatlantiruvchi 1,2 ,...,r lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent: ai11  ai 22 Λ airr Agar (1) tenglamalar sistemasiga  bi , i  1,2,...,m x1  1 ,x2  2 ,...,xr  r ,xr 1  0,...,xn  0 , (4) qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan  A B  matritsasining ranglari teng. r  r  A  r  A B qiymatni berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz. Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi. Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan: ai1 x1  ai 2 x2 Λ ain xn  bi , i  1,2,...,r (5) bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1) tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli. b O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni r  n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi. Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin: 1) r  n ; r  n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin. Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X  Bb . Bunda Ab bazis minorga mos matritsa. det( Ab )  0 bo‘lganligi sababli, A1 mavjud va X  EX  A1A X  A1( A X )  A1B b b b b b tenglik yagona yechimni ifodalaydi. 2) r  n bo‘lsin. Tenglamalarda x1 , x2 ,..., xr bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema: ko‘rinishni oladi. ai1 x1  ai 2 x2 Λ air xr  bi  air 1 xr 1 Λ ain xn . Agar erki xr , xr 1 ,..., xn noma’lumlarga biror r1,...,n sonli qiymatlarni bersak, u holda x1,..., xr o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p. Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. 6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan. Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi A B C 1 5 12 7 2000 2 10 6 8 1660 3 9 11 4 2070 Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing. Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun b O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni r  n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi. Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin: 1) r  n ; r  n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin. Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X  Bb . Bunda Ab bazis minorga mos matritsa. det( Ab )  0 bo‘lganligi sababli, A1 mavjud va X  EX  A1A X  A1( A X )  A1B b b b b b tenglik yagona yechimni ifodalaydi. 2) r  n bo‘lsin. Tenglamalarda x1 , x2 ,..., xr bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema: ko‘rinishni oladi. ai1 x1  ai 2 x2 Λ air xr  bi  air 1 xr 1 Λ ain xn . Agar erki xr , xr 1 ,..., xn noma’lumlarga biror r1,...,n sonli qiymatlarni bersak, u holda x1,..., xr o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p. Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. 6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan. Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi A B C 1 5 12 7 2000 2 10 6 8 1660 3 9 11 4 2070 Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing. Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun  ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , 7x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi: uchun 5x1  12x2  7x3  2000 . Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar 10x1  6x2  8x3  1660, 9x1  11x2  4x3  2070 tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi: 5x1  12x2  7x3  2000, 10x1  6x2  8x3  1660, 9x  11x  4x  2070.  1 2 3 Ikki bozor muvozanati masalasi. Koʻp bozorli muvozanat modelida tenglamalar sistemasi har bir bozordagi talab, taklifning muvozanatini ifodalaydi. Bunda talab va taklif har bir bozorda, boshqa bozordagi narxlarga bog‘liq. Masalan, kofega boʻlgan talab, faqat kofening narxiga bog‘liq emas shuningdek oʻrin bosuvchi tovar boʻlgan choyning ham narxiga bog‘liq. Mashinaga talab uning narxiga bog‘liq va shuningdek, toʻldiruvchi tovar boʻlgan uning yoqilg‘isiga ham bog‘liq. Korxonalarning taklifi turli koʻrinishdagi tovarlar narxiga bog‘liq. Masalan, biror firma ishlab chiqargan mahsulot, boshqasi uchun xom ashyo material boʻlishi mumkin. Ikki tovar bog‘liqligi modeli masalasi qs     p   p  qd  a  b p  b p  1 1 11 1 12 2  taklif 1 1 11 1 12 2  talab qs     p   p qd  a  b p  b p 2 2 21 1 22 2  2 2 21 1 22 2  Natijada masalan, 12  0 ikkinchi firmadagi materiallar narxi oʻsishi, birinchi firmani material sarfini kamaytiradi, natijada esa birinchi firma ishlab chiqarishni kamaytiradi. Har bir bozordagi talab va taklifning tengligining oʻrnatilishi muvozanat narxlar boʻlgan p1 va p2 larni aniqlash uchun ikki tenglamalar sistemasini beradi. bij  s va ij  s lar nolga teng ham boʻlishi mumkin. Bu tenglamalar modelning asosini tashkil etadi va strukturali tenglik, deb ataladi. (b11  11)  p1  (b12  12 )  p2  2  1 (b21  21)  p1  (b22  22 )  p2  2  1 Ikkinchi tenglamadan p1 ni topsak:  ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , 7x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi: uchun 5x1  12x2  7x3  2000 . Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar 10x1  6x2  8x3  1660, 9x1  11x2  4x3  2070 tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi: 5x1  12x2  7x3  2000, 10x1  6x2  8x3  1660, 9x  11x  4x  2070.  1 2 3 Ikki bozor muvozanati masalasi. Koʻp bozorli muvozanat modelida tenglamalar sistemasi har bir bozordagi talab, taklifning muvozanatini ifodalaydi. Bunda talab va taklif har bir bozorda, boshqa bozordagi narxlarga bog‘liq. Masalan, kofega boʻlgan talab, faqat kofening narxiga bog‘liq emas shuningdek oʻrin bosuvchi tovar boʻlgan choyning ham narxiga bog‘liq. Mashinaga talab uning narxiga bog‘liq va shuningdek, toʻldiruvchi tovar boʻlgan uning yoqilg‘isiga ham bog‘liq. Korxonalarning taklifi turli koʻrinishdagi tovarlar narxiga bog‘liq. Masalan, biror firma ishlab chiqargan mahsulot, boshqasi uchun xom ashyo material boʻlishi mumkin. Ikki tovar bog‘liqligi modeli masalasi qs     p   p  qd  a  b p  b p  1 1 11 1 12 2  taklif 1 1 11 1 12 2  talab qs     p   p qd  a  b p  b p 2 2 21 1 22 2  2 2 21 1 22 2  Natijada masalan, 12  0 ikkinchi firmadagi materiallar narxi oʻsishi, birinchi firmani material sarfini kamaytiradi, natijada esa birinchi firma ishlab chiqarishni kamaytiradi. Har bir bozordagi talab va taklifning tengligining oʻrnatilishi muvozanat narxlar boʻlgan p1 va p2 larni aniqlash uchun ikki tenglamalar sistemasini beradi. bij  s va ij  s lar nolga teng ham boʻlishi mumkin. Bu tenglamalar modelning asosini tashkil etadi va strukturali tenglik, deb ataladi. (b11  11)  p1  (b12  12 )  p2  2  1 (b21  21)  p1  (b22  22 )  p2  2  1 Ikkinchi tenglamadan p1 ni topsak: i i  p  (2  1)  (b22  22 )  p2 1 (b   ) 21 21 Endi buni birinchi tenglikka qoʻyamiz p  (b11  11)  (2  a2 )  (b21  21)  (1  a1) 2 (b   )  (b   )  (b   )  (b   ) p1 ni topsak: 11 11 22 22 21 21 12 12 p  (b22  22 )  (1  a1)  (b12  12 )  (b12  12 ) 2 (b   )  (b   )  (b   )  (b   ) p1 va 11 11 22 22 21 21 12 12 p2 larni bunday ta’riflash kamaytirilgan forma deb ataladi. Chunki ular faqat modelning koʻrsatkichlariga boʻg‘liq. ai ,i ,bij , ij i, j  1, 2 larning alohida parametrlari uchun biz pi ning qiymatlarini topa olamiz. Keyingi misollarda bu qiymatni qanday topish koʻrsatilgan. Toʻldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati. Faraz qilaylik iste’molchilar bozorida oʻrin bosadigan tovarlarga talab, taklif tengligi quyidagicha: qs  1  p , qd  20  2 p  p 1-tovar 1 1 1 1 2 qs  p , qd  40  2 p  p 2-tovar Bu yerda s va 2 2 2 2 1 d talab va taklif miqdori. pi tovar narxlari bu tovarlarning oʻrinbosar ekanligidan agar birinchi tovarga talab kamaysa, ikkinchi tovar narxi koʻtariladi. Endi muvozanat narxni toping (ikki tovar uchun). Yechish. qs  qd tengligidan ikkita tenglik kelib chiqadi 3 p1  p2  21 p1  3 p2  40 Ikkinchi tenglikdan p1  40  3 p2 topib, birinchisiga qoʻysak: va p1  2,875 3  (40  3 p2 )  p2  21  8 p2  99  p2  12,375 ekanligi keladi. Natijada bu narx bozordagi muvozanat narxni beradi. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:  a11x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1, a x  a x  ....  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... (6)  an1x1  an 2 x2  ....  ann xn  bn . n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi. q q i i i i  p  (2  1)  (b22  22 )  p2 1 (b   ) 21 21 Endi buni birinchi tenglikka qoʻyamiz p  (b11  11)  (2  a2 )  (b21  21)  (1  a1) 2 (b   )  (b   )  (b   )  (b   ) p1 ni topsak: 11 11 22 22 21 21 12 12 p  (b22  22 )  (1  a1)  (b12  12 )  (b12  12 ) 2 (b   )  (b   )  (b   )  (b   ) p1 va 11 11 22 22 21 21 12 12 p2 larni bunday ta’riflash kamaytirilgan forma deb ataladi. Chunki ular faqat modelning koʻrsatkichlariga boʻg‘liq. ai ,i ,bij , ij i, j  1, 2 larning alohida parametrlari uchun biz pi ning qiymatlarini topa olamiz. Keyingi misollarda bu qiymatni qanday topish koʻrsatilgan. Toʻldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati. Faraz qilaylik iste’molchilar bozorida oʻrin bosadigan tovarlarga talab, taklif tengligi quyidagicha: qs  1  p , qd  20  2 p  p 1-tovar 1 1 1 1 2 qs  p , qd  40  2 p  p 2-tovar Bu yerda s va 2 2 2 2 1 d talab va taklif miqdori. pi tovar narxlari bu tovarlarning oʻrinbosar ekanligidan agar birinchi tovarga talab kamaysa, ikkinchi tovar narxi koʻtariladi. Endi muvozanat narxni toping (ikki tovar uchun). Yechish. qs  qd tengligidan ikkita tenglik kelib chiqadi 3 p1  p2  21 p1  3 p2  40 Ikkinchi tenglikdan p1  40  3 p2 topib, birinchisiga qoʻysak: va p1  2,875 3  (40  3 p2 )  p2  21  8 p2  99  p2  12,375 ekanligi keladi. Natijada bu narx bozordagi muvozanat narxni beradi. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:  a11x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1, a x  a x  ....  a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  ... ... ... ... ... ... (6)  an1x1  an 2 x2  ....  ann xn  bn . n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish ikki bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga oshiriladi. q q i i  1- bosqich. (6) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat. Buning uchun, a11  0 , deb (agar a11  0 boʻlsa, 1-tenglamani ai1  0 boʻlgan i -tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni a11 ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama  ai1 a11 ga koʻpaytirilib, i -tenglamaga qoʻshiladi. Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab x1 noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni qilinadi: n  1 marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil  x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1,  x  a x  ...  a x  b ,  2 23 3 2n n 2  ...................................................  ann xn  bn . 2- bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning oxirgi tenglamasidan xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan xn1 topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan x1 topiladi. Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi. Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz: 7- misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini toping.  2x2  x3  7,  x  x  3x  2,  1 2 3 3x  2x  2x  10.  1 2 3 Yechish. Dastlab ikkinchi va uchinchi tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻq qilinadi va keyin x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat x3 noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan boshlaymiz:  x1  x2  3x3  2,  2x  x  7,  2 3 3x  2x  2x  10  1 2 3 2-tenglamada x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3- tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshish orqali bajariladi.  1- bosqich. (6) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat. Buning uchun, a11  0 , deb (agar a11  0 boʻlsa, 1-tenglamani ai1  0 boʻlgan i -tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng tomoni a11 ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama  ai1 a11 ga koʻpaytirilib, i -tenglamaga qoʻshiladi. Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab x1 noma’lum yoʻqotiladi. Bu jarayonni qilinadi: n  1 marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil  x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1,  x  a x  ...  a x  b ,  2 23 3 2n n 2  ...................................................  ann xn  bn . 2- bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning oxirgi tenglamasidan xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan xn1 topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan x1 topiladi. Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi. Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotish usuli deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz: 7- misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini toping.  2x2  x3  7,  x  x  3x  2,  1 2 3 3x  2x  2x  10.  1 2 3 Yechish. Dastlab ikkinchi va uchinchi tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻq qilinadi va keyin x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat x3 noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan boshlaymiz:  x1  x2  3x3  2,  2x  x  7,  2 3 3x  2x  2x  10  1 2 3 2-tenglamada x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3- tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshish orqali bajariladi.    3 x1  x2  3x3  2,  2x  x  7,  5x 2 3  11x  4.  Keyingi bosqichda 2-tenglamani 1 2 2 3 ga koʻpaytirib, x2 ning koeffisiyentini 1 ga aylantiramiz. x1  x2  3x3  2,  1 7  x2  2 x3   2 ,  5x2  11x3  4. Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani –5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshamiz. x2 ni yoʻqotamiz.  x1  x2  3x3  2,  1 7  x2  2 x3   2 ,  27 x  27 .  2 3 2 Soʻng oxirgi tenglamani 2 27 ga koʻpaytirib x3  1 qiymatni topamiz. Bu qiymatni ikkinchi tenglamaga qо‘yib, x2  3 qiymatni hosil qilamiz. x3  1 va x2  3 qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1  2 qiymatni olamiz. Shunday qilib, sistema yagona 2; 3;1yechimga ega. Mashqni bajaring. Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.  x  x  3,  x1  2x2  x3  4, 2x  3x  x  0, 1) 1 2 2)  x  x  x  5, 3) 1 2 3  x  5x  5.  1 2 3  x  x  x  0.  1 2 2x  3x  x  1.  1 2 3  1 2 3 8- misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: 2x1  x2  4x3  1, 3x1  2x2  x3  9,  x  4x  2x  4.  1 2 3 Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib yechimni topamiz:    3 x1  x2  3x3  2,  2x  x  7,  5x 2 3  11x  4.  Keyingi bosqichda 2-tenglamani 1 2 2 3 ga koʻpaytirib, x2 ning koeffisiyentini 1 ga aylantiramiz. x1  x2  3x3  2,  1 7  x2  2 x3   2 ,  5x2  11x3  4. Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani –5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshamiz. x2 ni yoʻqotamiz.  x1  x2  3x3  2,  1 7  x2  2 x3   2 ,  27 x  27 .  2 3 2 Soʻng oxirgi tenglamani 2 27 ga koʻpaytirib x3  1 qiymatni topamiz. Bu qiymatni ikkinchi tenglamaga qо‘yib, x2  3 qiymatni hosil qilamiz. x3  1 va x2  3 qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1  2 qiymatni olamiz. Shunday qilib, sistema yagona 2; 3;1yechimga ega. Mashqni bajaring. Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.  x  x  3,  x1  2x2  x3  4, 2x  3x  x  0, 1) 1 2 2)  x  x  x  5, 3) 1 2 3  x  5x  5.  1 2 3  x  x  x  0.  1 2 2x  3x  x  1.  1 2 3  1 2 3 8- misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: 2x1  x2  4x3  1, 3x1  2x2  x3  9,  x  4x  2x  4.  1 2 3 Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket yoʻqotib yechimni topamiz:      1 2 3       6   2x1  x2  4x3  1,  x1  4x2  2x3  4, x1  4x2  2x3  4, 3x1  2x2  x3  9,  2x1  x2  4x3  1,   9x2  9,  x  4x  2x  4  3x  2x  x  9  14x  7x  21.  1 2 3  1 2 3  2 3  x1  4x2  2x3  4,   x  2x  3,  3 2  x2  1. x2  1 qiymatni ikkinchi tenglamaga qо‘yib, x3  1qiymatni hosil qilamiz. x2  1 va x3  1qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1  2 qiymatni olamiz. Shunday qilib, sistema yagona 2;1;1yechimga ega. Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: x1  2x2  x3  3, 1) 3x1  x2  4x3  6, x1  2x2  3x3  6, 2) 2x  3x  4x  20, 3) x1  2x2  x3  3, 3x1  x2  4x3  6, 5x  5x  2x  8. 3x  2x  5x  6. 5x  3x  2x  12.  1 2 3  1 2 3  1 2 3 Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko‘p bo‘lsa ham, ya’ni sistema birgalikda bo‘lib aniq bo‘lmasa ham uning yechimini Gauss usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz. 9- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: x1  x2  2x3  x4  4, x  x  x  x  10,  1 2 3 4 7x  2x  8x  6x  44,  1 2 3 4 5x1  2x2  5x3  6x4  30. Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, qolganlaridan ketma-ket x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x3 noma’lumni yoʻqotamiz. Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish olib boramiz:  1 1 2 1 4   1 1 2 1 4   1 1 2 1 4   1 1 1 1 10   0 2  1 2 6   0 2  1 2   7 2 8 6 44   0 9 6 1 16   0 0 3 16 22   5 2 5 6 30   0 7 5 1 10   0 0 3 16 22        Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning      1 2 3       6   2x1  x2  4x3  1,  x1  4x2  2x3  4, x1  4x2  2x3  4, 3x1  2x2  x3  9,  2x1  x2  4x3  1,   9x2  9,  x  4x  2x  4  3x  2x  x  9  14x  7x  21.  1 2 3  1 2 3  2 3  x1  4x2  2x3  4,   x  2x  3,  3 2  x2  1. x2  1 qiymatni ikkinchi tenglamaga qо‘yib, x3  1qiymatni hosil qilamiz. x2  1 va x3  1qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1  2 qiymatni olamiz. Shunday qilib, sistema yagona 2;1;1yechimga ega. Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: x1  2x2  x3  3, 1) 3x1  x2  4x3  6, x1  2x2  3x3  6, 2) 2x  3x  4x  20, 3) x1  2x2  x3  3, 3x1  x2  4x3  6, 5x  5x  2x  8. 3x  2x  5x  6. 5x  3x  2x  12.  1 2 3  1 2 3  1 2 3 Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko‘p bo‘lsa ham, ya’ni sistema birgalikda bo‘lib aniq bo‘lmasa ham uning yechimini Gauss usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz. 9- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: x1  x2  2x3  x4  4, x  x  x  x  10,  1 2 3 4 7x  2x  8x  6x  44,  1 2 3 4 5x1  2x2  5x3  6x4  30. Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, qolganlaridan ketma-ket x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x3 noma’lumni yoʻqotamiz. Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish olib boramiz:  1 1 2 1 4   1 1 2 1 4   1 1 2 1 4   1 1 1 1 10   0 2  1 2 6   0 2  1 2   7 2 8 6 44   0 9 6 1 16   0 0 3 16 22   5 2 5 6 30   0 7 5 1 10   0 0 3 16 22        Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning chapdan oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik. Endi x4 erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi. x1  x2  2 x3  x4  4,  x1  8x4  34 / 3  2 x  x  2 x  6,   x  11x  2 / 3   2 3 4  2 4  3 x3  16 x4  22 x3  16x4  22 / 3   Javob:  8x  34 ; 11x4  2 ; 16x4  22 ; x , x  R.  4 3 3 3 4  4   Mashqni bajaring. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: 2x1  x2  x3  x4  5,  x  x  3x  6,  x1  3x2  5, 1)  x  2x  2x  3x  6, 2) 1 2 3 3) x  x  1,  1 2 3 4 2x  2x  6x  9.  1 2 3x  x  x  2x  1.  1 2 3  4x  x  2.  1 2 3 4  1 2 Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss-Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan  A B matritsasi quriladi. Yuqorida keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi. Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss-Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:  A B ~ E X  . Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma- ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi – yechimlar ustuni quriladi. 10- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching: x1  x2  2x3  3x4  1, 3x  x  x  2x  4,  1 2 3 4 2x  3x  x  x  6,  1 2 3 4 x1  2x2  3x3  x4  4. Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz: chapdan oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik. Endi x4 erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi. x1  x2  2 x3  x4  4,  x1  8x4  34 / 3  2 x  x  2 x  6,   x  11x  2 / 3   2 3 4  2 4  3 x3  16 x4  22 x3  16x4  22 / 3   Javob:  8x  34 ; 11x4  2 ; 16x4  22 ; x , x  R.  4 3 3 3 4  4   Mashqni bajaring. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching: 2x1  x2  x3  x4  5,  x  x  3x  6,  x1  3x2  5, 1)  x  2x  2x  3x  6, 2) 1 2 3 3) x  x  1,  1 2 3 4 2x  2x  6x  9.  1 2 3x  x  x  2x  1.  1 2 3  4x  x  2.  1 2 3 4  1 2 Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss-Jordan usulining (Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan  A B matritsasi quriladi. Yuqorida keltirilgan sistemaning teng kuchliligini saqlovchi elementar almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik matritsa hosil qilinadi. Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil boʻladi. Gauss-Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:  A B ~ E X  . Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma- ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi – yechimlar ustuni quriladi. 10- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching: x1  x2  2x3  3x4  1, 3x  x  x  2x  4,  1 2 3 4 2x  3x  x  x  6,  1 2 3 4 x1  2x2  3x3  x4  4. Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan kengaytirilgan matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz: 3             2         1 1 2 3 1   1 1 2 3 1   1 1 2 3 1   1 1 2 4   0 4 7 11  7   0 1 1  4 5  2 3 1 1 6   0 1 5 7 8   0 1 5 7 8   1 2 3 1 4   0 1 1 4 5  0 4 7 11 7   1 0 1 7  6   1 0 1 7   6   1 0 0   2 3    0 1 1 4 5   0 1 1 4 5   0 1 0 13 14    0 0 6 3 3   0 0 1 9 9   0 0 1 9 9   0 0 3 27 27   0 0 2 1 1   0 0 0 17 17           0 1 0 1 0 0  1 1  11- misol. Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching: 5x1  2x2  3x3  3x4  1, 2x  2x  5x  2x  4,  1 2 3 4 3x  4x  2x  2x  2.  1 2 3 4 Yechish. Berilgan sistemada kengaytirilgan matritsani ajratib olamiz:  5 2 3 3 1   2 5 2 4   3 4 2 2 2    va unga Gauss-Jordan usulini tatbiq etamiz:  1 2 /5 3 / 5 3 /5 1 / 5   1 0 8 / 7 5 / 7 5 / 7   0      14/5 19/5 4 /5 18 /5  ~  0 1 19 / 14 2 / 7 9/ 7  ~  0 14 / 5 1 / 5 1 / 5 13 / 5  0 0 4 1 1       1 0 0 3 / 7 3 / 7    ~  0 1 0 3 / 56 53 / 56   0 0 1 1 / 4 1 / 4  Sistema trapetsiyasimon koʻrinishiga keldi:  x  3 x  3  1 7 4 7  3 53 x  x   2 56 4 56  x  1 x  1  3 4 4 4  1 0 0 2 3   1 0 0  0 1 0 13 14   0 1 0   0 0 1 9 9   0 0 1     0 0 0 1 1   0 0 0    3             2         1 1 2 3 1   1 1 2 3 1   1 1 2 3 1   1 1 2 4   0 4 7 11  7   0 1 1  4 5  2 3 1 1 6   0 1 5 7 8   0 1 5 7 8   1 2 3 1 4   0 1 1 4 5  0 4 7 11 7   1 0 1 7  6   1 0 1 7   6   1 0 0   2 3    0 1 1 4 5   0 1 1 4 5   0 1 0 13 14    0 0 6 3 3   0 0 1 9 9   0 0 1 9 9   0 0 3 27 27   0 0 2 1 1   0 0 0 17 17           0 1 0 1 0 0  1 1  11- misol. Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching: 5x1  2x2  3x3  3x4  1, 2x  2x  5x  2x  4,  1 2 3 4 3x  4x  2x  2x  2.  1 2 3 4 Yechish. Berilgan sistemada kengaytirilgan matritsani ajratib olamiz:  5 2 3 3 1   2 5 2 4   3 4 2 2 2    va unga Gauss-Jordan usulini tatbiq etamiz:  1 2 /5 3 / 5 3 /5 1 / 5   1 0 8 / 7 5 / 7 5 / 7   0      14/5 19/5 4 /5 18 /5  ~  0 1 19 / 14 2 / 7 9/ 7  ~  0 14 / 5 1 / 5 1 / 5 13 / 5  0 0 4 1 1       1 0 0 3 / 7 3 / 7    ~  0 1 0 3 / 56 53 / 56   0 0 1 1 / 4 1 / 4  Sistema trapetsiyasimon koʻrinishiga keldi:  x  3 x  3  1 7 4 7  3 53 x  x   2 56 4 56  x  1 x  1  3 4 4 4  1 0 0 2 3   1 0 0  0 1 0 13 14   0 1 0   0 0 1 9 9   0 0 1     0 0 0 1 1   0 0 0    56     3 4 Bu yerda x1, x2 va x3 oʻzgaruvchilarni bazis sifatida qabul qilamiz, chunki ular 1 0 0 oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant 0 1 0 0 0 1  1  0 . Bu determinant oxirgi sistemaning koeffisiyentlaridan tuzilgan asosiy matritsaning ham bazis minori boʻladi. Erkli oʻzgaruvchi boʻlib x4 xizmat qiladi. Oxirgi sistemadan quyidagi yechimga x  3  3 x , 1 7 7 4 x  53  3 x , 2 56 56 4 x  1  1 x . 3 4 4 4 ega boʻlamiz. Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy X yechimini    3  3 x   7 7 4  X  53 3      x4   56 56   1  1 x    koʻrinishda tasvirlash mumkin.  4 4 4   x4  Agar x4  2 , deb olsak, u holda berilgan sistemaning         7  X  59  1        1     2    koʻrinishdagi xususiy yechimini topamiz. Agar boʻlamiz: x4  0 ni olsak berilgan sistemaning quyidagi bazis yechimiga ega 56     3 4 Bu yerda x1, x2 va x3 oʻzgaruvchilarni bazis sifatida qabul qilamiz, chunki ular 1 0 0 oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant 0 1 0 0 0 1  1  0 . Bu determinant oxirgi sistemaning koeffisiyentlaridan tuzilgan asosiy matritsaning ham bazis minori boʻladi. Erkli oʻzgaruvchi boʻlib x4 xizmat qiladi. Oxirgi sistemadan quyidagi yechimga x  3  3 x , 1 7 7 4 x  53  3 x , 2 56 56 4 x  1  1 x . 3 4 4 4 ega boʻlamiz. Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy X yechimini    3  3 x   7 7 4  X  53 3      x4   56 56   1  1 x    koʻrinishda tasvirlash mumkin.  4 4 4   x4  Agar x4  2 , deb olsak, u holda berilgan sistemaning         7  X  59  1        1     2    koʻrinishdagi xususiy yechimini topamiz. Agar boʻlamiz: x4  0 ni olsak berilgan sistemaning quyidagi bazis yechimiga ega 56 n 4 2-ta’rif. Faqat bazis o‘zgaruvchilari noldan farqli bo‘lishi mumkin bo‘lgan yechim tenglamalar sistemasining bazis yechimi deyiladi.    3     7  X  53  b     .    1     0    Iqtisodiy masalalarning chiziqli tenglamalar sistemasi yordamida ifodalanadigan modellarida odatda noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo‘ladi. Bu holat bir tomondan erkli o‘zgaruvchilarni tanlash hisobiga bizga qo‘shimcha erkinlik beradi. Biroq sistema yechimlari cheksiz ko‘p bo‘lgani sabab mumkin bo‘lgan barcha holatlarni ko‘rish mumkin bo‘lmay qoladi va buning oqibatida iqtisodiy jihatdan optimal yechimni topishning imkoniyati bo‘lmaydi. Bunday holatlarda odatda bazis yechim tushunchasidan foydalanish maqsadga muvofiq hisoblanadi. Bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilarning qiymatlari nolga teng, deb olinadi. Tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p bo‘lsada, bazis yechimlar soni chekli bo‘ladi. Bazis yechimlar soni bazis minorlar soniga teng bo‘ladi. Faraz qilaylik sistemaning rangi r ga, noma’lumlar soni n ga teng bo‘lsin. n  r bo‘lganda bazis minorlar soni (bazis yechimlar soni) ko‘pi bilan Cr  n! r!(n  r)! ga teng. Tasdiq. Agar X1, X 2 ,..., Xk vektorlar AX  B tenglamalar sistemasining bazis yechimlari bo‘lsa, 1  2  ...  k  1 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy 1,2,...,k sonlar uchun 1X1  2 X 2  ...  k Xk chiziqli kombinatsiya ham AX  B tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham A(1X1  2 X 2  ...  k Xk )  1AX1  2 AX 2  ...  k AX k   1B  2 B  ...  k B  (1  2  ...  k )B  B. Umuman olganda, sistemaning ixtiyoriy yechimini bazis yechimlarning koeffisiyentlari yig’indisi birga teng bo‘lgan chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin. 56 n 4 2-ta’rif. Faqat bazis o‘zgaruvchilari noldan farqli bo‘lishi mumkin bo‘lgan yechim tenglamalar sistemasining bazis yechimi deyiladi.    3     7  X  53  b     .    1     0    Iqtisodiy masalalarning chiziqli tenglamalar sistemasi yordamida ifodalanadigan modellarida odatda noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta bo‘ladi. Bu holat bir tomondan erkli o‘zgaruvchilarni tanlash hisobiga bizga qo‘shimcha erkinlik beradi. Biroq sistema yechimlari cheksiz ko‘p bo‘lgani sabab mumkin bo‘lgan barcha holatlarni ko‘rish mumkin bo‘lmay qoladi va buning oqibatida iqtisodiy jihatdan optimal yechimni topishning imkoniyati bo‘lmaydi. Bunday holatlarda odatda bazis yechim tushunchasidan foydalanish maqsadga muvofiq hisoblanadi. Bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilarning qiymatlari nolga teng, deb olinadi. Tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p bo‘lsada, bazis yechimlar soni chekli bo‘ladi. Bazis yechimlar soni bazis minorlar soniga teng bo‘ladi. Faraz qilaylik sistemaning rangi r ga, noma’lumlar soni n ga teng bo‘lsin. n  r bo‘lganda bazis minorlar soni (bazis yechimlar soni) ko‘pi bilan Cr  n! r!(n  r)! ga teng. Tasdiq. Agar X1, X 2 ,..., Xk vektorlar AX  B tenglamalar sistemasining bazis yechimlari bo‘lsa, 1  2  ...  k  1 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy 1,2,...,k sonlar uchun 1X1  2 X 2  ...  k Xk chiziqli kombinatsiya ham AX  B tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham A(1X1  2 X 2  ...  k Xk )  1AX1  2 AX 2  ...  k AX k   1B  2 B  ...  k B  (1  2  ...  k )B  B. Umuman olganda, sistemaning ixtiyoriy yechimini bazis yechimlarning koeffisiyentlari yig’indisi birga teng bo‘lgan chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin.   12- misol. Ushbu sistemada: 2x1  3x2  4x3  6x4  6x5  3, 3x1  4x2  6x3  8x4  9x5  5. a) noma’lumlarni bazis va erkin o‘zgaruvchilarga ajratish usuli sonini aniqlang: b) bazis yechimlarini toping. Yechish. a) mazkur sistemada ikkita tenglama va beshta noma’lum qatnashmoqda (m  2, n  5) . Ko‘rinib turibdiki, r  2 . Demak, noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda: C 2  5!   3!4  5  10 . Bunda guruhlar: 5 2!3! 1 2  3! x1 , x2 ; x1 , x3 ; x1 , x4 ; x1 , x5 ; x2 , x3 ; x2 , x4 ; x2 , x5 ; x3 , x4 ; x3 , x5 ; x4 , x5 . Bu juftliklarning qaysi birida no‘malumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli bo‘lsa, o‘sha juftlik noma’lumlari bazis o‘zgaruvchi bo‘la oladi. Shuning uchun quyidagi determinantlarni hisoblaymiz: 2  3  1  0; 3  4 2 4  0; 3 6 2 6  2  0; 3 8 2 6  0; 3 9  3 4  2  0;  4 6  3 6  0;  4 8  3 6  3  0;  4 9 4 6  4  0; 6 8 4 6  0; 6 9 6 6  6  0. 8 9 Bundan ko‘rinib turibdiki 2, 4, 6, 9-juftliklar bazis o‘zgaruvchilar bo‘la olmaydi. Chunki bu juftliklarga mos bazis minorlar nolga teng. Demak, sistemani bazis va erkin o‘zgaruvchilarga oltita usul bilan ajratish mumkin: 1) x1 va 2) x1 va x2 - bazis, x4 - bazis, x3 , x4 , x5 x2 , x3 , x5 - erkli; - erkli; 3) x2 va 4) x2 va x3 - bazis, x5 - bazis, x1 , x4 , x5 x1 , x3 , x4 - erkli; - erkli; 5) x3 va x4 - bazis, x1, x2, x5 - erkli; 6) x4 va x5 - bazis, x1 , x2 , x3 - erkli. b) berilgan sistemaning bazis yechimlarini topamiz. Yuqoridagi a) punktda sistema oltita bazis yechimga ega ekanligini ko‘rgan edik. Birinchi bazis yechimni topish uchun x1 va x2 bazis o‘zgaruvchilarni o‘zgarishsiz qoldirib, x3 , x4 , x5 erkli o‘zgaruvchilarni nolga tenglaymiz. Natijada 2x1  3x2  3, 3x1  4x2  5. sistemaga ega bo‘lamiz va uning yechimi x1  3, x2  1.   12- misol. Ushbu sistemada: 2x1  3x2  4x3  6x4  6x5  3, 3x1  4x2  6x3  8x4  9x5  5. a) noma’lumlarni bazis va erkin o‘zgaruvchilarga ajratish usuli sonini aniqlang: b) bazis yechimlarini toping. Yechish. a) mazkur sistemada ikkita tenglama va beshta noma’lum qatnashmoqda (m  2, n  5) . Ko‘rinib turibdiki, r  2 . Demak, noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda: C 2  5!   3!4  5  10 . Bunda guruhlar: 5 2!3! 1 2  3! x1 , x2 ; x1 , x3 ; x1 , x4 ; x1 , x5 ; x2 , x3 ; x2 , x4 ; x2 , x5 ; x3 , x4 ; x3 , x5 ; x4 , x5 . Bu juftliklarning qaysi birida no‘malumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli bo‘lsa, o‘sha juftlik noma’lumlari bazis o‘zgaruvchi bo‘la oladi. Shuning uchun quyidagi determinantlarni hisoblaymiz: 2  3  1  0; 3  4 2 4  0; 3 6 2 6  2  0; 3 8 2 6  0; 3 9  3 4  2  0;  4 6  3 6  0;  4 8  3 6  3  0;  4 9 4 6  4  0; 6 8 4 6  0; 6 9 6 6  6  0. 8 9 Bundan ko‘rinib turibdiki 2, 4, 6, 9-juftliklar bazis o‘zgaruvchilar bo‘la olmaydi. Chunki bu juftliklarga mos bazis minorlar nolga teng. Demak, sistemani bazis va erkin o‘zgaruvchilarga oltita usul bilan ajratish mumkin: 1) x1 va 2) x1 va x2 - bazis, x4 - bazis, x3 , x4 , x5 x2 , x3 , x5 - erkli; - erkli; 3) x2 va 4) x2 va x3 - bazis, x5 - bazis, x1 , x4 , x5 x1 , x3 , x4 - erkli; - erkli; 5) x3 va x4 - bazis, x1, x2, x5 - erkli; 6) x4 va x5 - bazis, x1 , x2 , x3 - erkli. b) berilgan sistemaning bazis yechimlarini topamiz. Yuqoridagi a) punktda sistema oltita bazis yechimga ega ekanligini ko‘rgan edik. Birinchi bazis yechimni topish uchun x1 va x2 bazis o‘zgaruvchilarni o‘zgarishsiz qoldirib, x3 , x4 , x5 erkli o‘zgaruvchilarni nolga tenglaymiz. Natijada 2x1  3x2  3, 3x1  4x2  5. sistemaga ega bo‘lamiz va uning yechimi x1  3, x2  1. 1 0 0     Shunday qilib, birinchi bazis yechim  3      X1b   0  .         Ikkinchi bazis yechimni topamiz. o‘zgaruvchilarni nolga tenglab x1 va x4 – bazis, u holda x2 , x3 , x5 erkli 2x1  6x4  3, 3x1  8x4  5 sistemaga ega bo‘lamiz va x  3, x  1 yechimi topamiz. 1 4 2  3   0    Shunday qilib, ikkinchi bazis yechim X 2b   0  .  0,5  0    Xuddi shu usul bilan qolgan bazis yechimlarni ham topamiz:  0   1   0   1   0   0   0   0          X 3b  1,5 ; X 4b   0  ; X 5b   1,5  ; X 6b   0  .  0   0   0,5  0,5          0   1   0   1          Aniq r ta noldan farqli noma’lumdan tashkil topgan bazis yechimga xosmas bazis yechim deyiladi, bunda r – sistemaning rangi. Yuqorida qaralgan misoldagi barcha oltita yechim ham xosmas bazis yechim bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilar nolga teng, bazis yechimlar esa odatda noldan farqli. Lekin, bazis yechimning bazis o‘zgaruvchilari ham nolga teng bo‘lib qolishi mumkin. Bunday bazis yechimlar xos (maxsus) bazis yechimlar deb ataladi. 13- misol. Ushbu 2x1  x2  2x3  2, 3x1  4x2  8x3  3 tenglamalar sistemasining bazis yechimlari topilsin. 1 0 0     Shunday qilib, birinchi bazis yechim  3      X1b   0  .         Ikkinchi bazis yechimni topamiz. o‘zgaruvchilarni nolga tenglab x1 va x4 – bazis, u holda x2 , x3 , x5 erkli 2x1  6x4  3, 3x1  8x4  5 sistemaga ega bo‘lamiz va x  3, x  1 yechimi topamiz. 1 4 2  3   0    Shunday qilib, ikkinchi bazis yechim X 2b   0  .  0,5  0    Xuddi shu usul bilan qolgan bazis yechimlarni ham topamiz:  0   1   0   1   0   0   0   0          X 3b  1,5 ; X 4b   0  ; X 5b   1,5  ; X 6b   0  .  0   0   0,5  0,5          0   1   0   1          Aniq r ta noldan farqli noma’lumdan tashkil topgan bazis yechimga xosmas bazis yechim deyiladi, bunda r – sistemaning rangi. Yuqorida qaralgan misoldagi barcha oltita yechim ham xosmas bazis yechim bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilar nolga teng, bazis yechimlar esa odatda noldan farqli. Lekin, bazis yechimning bazis o‘zgaruvchilari ham nolga teng bo‘lib qolishi mumkin. Bunday bazis yechimlar xos (maxsus) bazis yechimlar deb ataladi. 13- misol. Ushbu 2x1  x2  2x3  2, 3x1  4x2  8x3  3 tenglamalar sistemasining bazis yechimlari topilsin. 3  0    0  0   Yechish. Sistema ikkita tenglama va uchta noma’lumdan iborat (m  2, n  3) va r  2 . Demak, bazis o‘zgaruvchilar guruhi ikkita noma’lumdan tashkil topgan. Bazis yechimlar soni C 2  3! 2!1!  3 dan katta emas. x1 va x2 – bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli: 2 3 1  5  0 . U holda 4 x3 – erkli o‘zgaruvchi. Tenglamalarga x3  0 qiymatni qo‘yib, 2x1  x2  2, 3x1  4x2  3. sistemaga ega bo‘lamiz va uning yechimi  1  x1  1, x2  0 . Topilgan birinchi bazis yechim X1b   0  , chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi     x2  0 . x1 va x3 – ham bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli: 2  2  10  0 . U holda 3  8 x2 – erkli o‘zgaruvchi. Tenglamalarga x2  0 qo‘yib, 2x1  2x3  2, 3x1  8x3  3 sistemaga ega bo‘lamiz, uning yechimi  1  x1  1, x3  0 . Ikkinchi bazis yechim X 2b   chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi     x3  0 . x2 va x3 lar bazis o‘zgaruvchilar emas, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant nolga teng: 1 4 bazis yechim mavjud emas.  2  0 . Demak, uchinchi  8 14- misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan. 3  0    0  0   Yechish. Sistema ikkita tenglama va uchta noma’lumdan iborat (m  2, n  3) va r  2 . Demak, bazis o‘zgaruvchilar guruhi ikkita noma’lumdan tashkil topgan. Bazis yechimlar soni C 2  3! 2!1!  3 dan katta emas. x1 va x2 – bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli: 2 3 1  5  0 . U holda 4 x3 – erkli o‘zgaruvchi. Tenglamalarga x3  0 qiymatni qo‘yib, 2x1  x2  2, 3x1  4x2  3. sistemaga ega bo‘lamiz va uning yechimi  1  x1  1, x2  0 . Topilgan birinchi bazis yechim X1b   0  , chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi     x2  0 . x1 va x3 – ham bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant noldan farqli: 2  2  10  0 . U holda 3  8 x2 – erkli o‘zgaruvchi. Tenglamalarga x2  0 qo‘yib, 2x1  2x3  2, 3x1  8x3  3 sistemaga ega bo‘lamiz, uning yechimi  1  x1  1, x3  0 . Ikkinchi bazis yechim X 2b   chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi     x3  0 . x2 va x3 lar bazis o‘zgaruvchilar emas, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant nolga teng: 1 4 bazis yechim mavjud emas.  2  0 . Demak, uchinchi  8 14- misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan. Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi (tonna) 1 2 3 1 5 12 3 20 2 2 6 8 16 3 9 7 4 20 Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 1- tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2, 3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , 3x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi: Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar uchun 2x1  6x2  8x3  16, 9x1  7x2  4x3  20 5x1  12x2  3x3  20 . tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 5x1  12x2  3x3  20, 2x  6x  8x  16,  1 2 3 9x  7x  4x  20  1 2 3 Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulidan foydalanamiz: 5x1  12x2  3x3  20, 2x  6x  8x  16,  1 2 3 9x  7x  4x  20  1 2 3  5x1  12x2  3x3   20, 5x1  12x2  3x3  20,  6 34 2x  6x  8x  16, ~  x  x  8, ~ 1 2 3   5 2 5 3 9x  7x  4x  20   1 2 3   73 x  7 x  16  5 2 5 3 Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi (tonna) 1 2 3 1 5 12 3 20 2 2 6 8 16 3 9 7 4 20 Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlang. Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 1- tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1- xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2, 3-tur mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , 3x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi: Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar uchun 2x1  6x2  8x3  16, 9x1  7x2  4x3  20 5x1  12x2  3x3  20 . tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 5x1  12x2  3x3  20, 2x  6x  8x  16,  1 2 3 9x  7x  4x  20  1 2 3 Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishda Gauss usulidan foydalanamiz: 5x1  12x2  3x3  20, 2x  6x  8x  16,  1 2 3 9x  7x  4x  20  1 2 3  5x1  12x2  3x3   20, 5x1  12x2  3x3  20,  6 34 2x  6x  8x  16, ~  x  x  8, ~ 1 2 3   5 2 5 3 9x  7x  4x  20   1 2 3   73 x  7 x  16  5 2 5 3 5x1  12x2  3x3  20, 5x1  12x2  3x3  20, ~  6x  34x  40, ~  6x  34x  16,  2 3   1220 1220  2 3 x  1.   x3    3  3 3 15-misol. Korxona toʻrt xildagai xom ashyo ishlatib toʻrt turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari jadvalda berilgan. Matematik modelini tuzamiz.  x1  2x2  x3  8, x  3x  x  15,  2 3 4 4x  x  x  11,  1 3 4  x1  x2  5x4  23 Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usuli bilan yechamiz. Yechish. 1-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan x1 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 1-tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga koʻpaytirib mos ravishda 3, 4-tenglamalarga hadma-had qoʻshish orqali ushbu sistemani hosil qilamiz:  x1  2x2  x3  8,  0  x  3x  x  15,  2 3 4 0  8x  3x  x  21,  2 3 4  0  x2  x3  5x4  15. Endi 2-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan х2 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), (8), (1) larga ketma-ket koʻpaytirib, mos ravishda 1, 3, 4 – tenglamalarga hadma-had qoʻshamiz va ushbu sistemani hosil qilamiz: Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi (tonna) 1 2 3 4 1 1 2 1 0 8 2 0 1 3 1 15 3 4 0 1 1 11 4 1 1 0 23 23 5x1  12x2  3x3  20, 5x1  12x2  3x3  20, ~  6x  34x  40, ~  6x  34x  16,  2 3   1220 1220  2 3 x  1.   x3    3  3 3 15-misol. Korxona toʻrt xildagai xom ashyo ishlatib toʻrt turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari jadvalda berilgan. Matematik modelini tuzamiz.  x1  2x2  x3  8, x  3x  x  15,  2 3 4 4x  x  x  11,  1 3 4  x1  x2  5x4  23 Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usuli bilan yechamiz. Yechish. 1-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan x1 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 1-tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga koʻpaytirib mos ravishda 3, 4-tenglamalarga hadma-had qoʻshish orqali ushbu sistemani hosil qilamiz:  x1  2x2  x3  8,  0  x  3x  x  15,  2 3 4 0  8x  3x  x  21,  2 3 4  0  x2  x3  5x4  15. Endi 2-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan х2 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), (8), (1) larga ketma-ket koʻpaytirib, mos ravishda 1, 3, 4 – tenglamalarga hadma-had qoʻshamiz va ushbu sistemani hosil qilamiz: Xom ashyo turlari Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari Xom ashyo zahirasi (tonna) 1 2 3 4 1 1 2 1 0 8 2 0 1 3 1 15 3 4 0 1 1 11 4 1 1 0 23 23    x1  0  5x2  2х3  22,  0  x  3x  x  15,  2 3 4  0  0  21x  9х  99,  3 4  0  0  2х3  6x4  30. Endigi qadamda 3-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan х3 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 3-tenglamani ketma-ket   5 ,   3 ,   2      larga koʻpaytirib mos ravishda 1, 2, 4 – tenglamalarga  21   21   21        hadma-had qoʻshsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil boʻladi:  x  0  0  3 х  33 ,  1 21 4 21  6 18 0  x  0  x  ,  2 21 4 21 0  0  21x3  9х4  99,  0  0  0  х4  4. Oxirgi qadamda 4-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, х4 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 4 - tenglamani ketma-ket   21 ,   21 , 9 larga koʻpaytirib, mos ravishda 1, 2, 3 - tenglamalarga  3   6      hadma-had qoʻshamiz natijada, quyidagiga ega boʻlamiz:  x1  0  0  0  1,  0  x2  0  0  2, 0  0  21x  0  63,  3  0  0  0  x4  4. Oxirgi sistemadan x1  1, x2  2 , x3  3, x4  4 yechimni olamiz. O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar 1. Chiziqli tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi? 2. Chiziqli tenglamalar sistemaning yechimi deb nimaga aytiladi? 3. Chiziqli tenglamalar sistemaning matritsaviy shakli. 4. Qanday sistemalarga birgalikda, aniq, aniqmas va birgalikda bo’lmagan sistemalar deyiladi? 5. Birgalikdagi chiziqli tenglamalar sistemasi nima bilan xarakterlanadi va erkli noma’lumlar deb nimaga aytiladi? 6. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deb nimaga aytiladi?    x1  0  5x2  2х3  22,  0  x  3x  x  15,  2 3 4  0  0  21x  9х  99,  3 4  0  0  2х3  6x4  30. Endigi qadamda 3-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan х3 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 3-tenglamani ketma-ket   5 ,   3 ,   2      larga koʻpaytirib mos ravishda 1, 2, 4 – tenglamalarga  21   21   21        hadma-had qoʻshsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil boʻladi:  x  0  0  3 х  33 ,  1 21 4 21  6 18 0  x  0  x  ,  2 21 4 21 0  0  21x3  9х4  99,  0  0  0  х4  4. Oxirgi qadamda 4-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, х4 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 4 - tenglamani ketma-ket   21 ,   21 , 9 larga koʻpaytirib, mos ravishda 1, 2, 3 - tenglamalarga  3   6      hadma-had qoʻshamiz natijada, quyidagiga ega boʻlamiz:  x1  0  0  0  1,  0  x2  0  0  2, 0  0  21x  0  63,  3  0  0  0  x4  4. Oxirgi sistemadan x1  1, x2  2 , x3  3, x4  4 yechimni olamiz. O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar 1. Chiziqli tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi? 2. Chiziqli tenglamalar sistemaning yechimi deb nimaga aytiladi? 3. Chiziqli tenglamalar sistemaning matritsaviy shakli. 4. Qanday sistemalarga birgalikda, aniq, aniqmas va birgalikda bo’lmagan sistemalar deyiladi? 5. Birgalikdagi chiziqli tenglamalar sistemasi nima bilan xarakterlanadi va erkli noma’lumlar deb nimaga aytiladi? 6. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deb nimaga aytiladi? 7. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi mavjudlik va yagonalik yetarli shartlari nimalardan iborat? 8. Kroneker-Kapelli teoremasi. 9. Ikki bozor muvozanati masalasi. 10. To’ldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati masalasi. 11. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli? 12. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulining qanday modifikatsiyalarini bilasiz? 13. Chiziqli tenglamalar sistemasi Gaussning klassik usulida qanday yechiladi? 14. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar deganda nimani tushunasiz? 15. Chiziqli tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini topish o’rniga uning umumiy yechimini qurish yetarlimi? 16. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi mazmun-mohiyatini so’zlab bering va sxemasini yozing? 17. Bazis yechim tushunchasi. 18. Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi. 7. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi mavjudlik va yagonalik yetarli shartlari nimalardan iborat? 8. Kroneker-Kapelli teoremasi. 9. Ikki bozor muvozanati masalasi. 10. To’ldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati masalasi. 11. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli? 12. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulining qanday modifikatsiyalarini bilasiz? 13. Chiziqli tenglamalar sistemasi Gaussning klassik usulida qanday yechiladi? 14. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar deganda nimani tushunasiz? 15. Chiziqli tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini topish o’rniga uning umumiy yechimini qurish yetarlimi? 16. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi mazmun-mohiyatini so’zlab bering va sxemasini yozing? 17. Bazis yechim tushunchasi. 18. Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi.