CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI: CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI.
Yuklangan vaqt
2024-04-20
Yuklab olishlar soni
11
Sahifalar soni
21
Faytl hajmi
436,0 KB
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
MATRITSA, GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI: CHIZIQLI
ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING MATRITSA,
GAUSS VA GAUSS-JORDAN USULLARI.
Reja
1.
Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar.
2.
Kroneker-Kapelli teoremasi.
3.
Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishiga
misollar.
4.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
5.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usuli.
6.
Bazis yechim tushunchasi.
7.
Gauss va Gauss-Jordan usullarining iqtisodiy masalalarni
yechishga qo’llanilishi.
Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar
sistemasi deyiladi. Quyidagi
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
... ... ... ... ... ...
(1)
am1x1 am2 x2 ... amn xn bm
sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki
soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda a11, a12 , .... , amn
sonlar (1) sistemaning koeffisiyentlari,
sonlar esa ozod hadlar deyiladi.
x1, x2 , …, xn lar noma’lumlar, b1,b2 ,...,bm
Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
a11
a12
... a1n
a
a
... a
A 21
22
2n
...
...
...
...
a
a
... a
m1
m2
mn
3x y 4
1-ta’rif. Agar 1,2,…,n sonlar x1, x2 ,…, xn larning oʻrniga qoʻyilganda (1)
sistemadagi tenglamalarni toʻgʻri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga
sistemaning yechimlari tizimi, deb aytiladi
belgilanadi.
va X , , …,
1
2
n
T
(1)
kabi
matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar
vektorini X (x , x ,..., x )T ustun vektor, ozod hadlarni B (b ,b ,...,b )T ustun
1
2
n
1
2
m
vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa
shaklida yozilishi mumkin:
AX B.
Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda
bunday sistema birgalikda deyiladi.
1-misol.
yechimga ega.
x y 2,
2x y 7
sistema birgalikda chunki sistema
x 3, y 1
Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda
boʻlmagan sistema deyiladi.
2-misol.
birgalikda emas.
x y z 1,
3x 3y 3z 5 sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli
Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va
cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi.
x y 1,
3-misol. 2x 2 y 2,
sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu
3x 3y 3
sistema x , y 1 koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda -
ixtiyoriy haqiqiy son.
Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega
boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi.
4-misol.
2x 3y 5
x 2 y 3 (a) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y) (1,1) .
3x 2 y 1 (b) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y) (1,1) .
(a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.
Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi
uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ( A | B) matritsalarining
ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa
koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema
berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi.
5-misol.
x 3y 5
3x y 5
(a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga
koʻpaytirib 2-tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz. x 3y 5 (b)
natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
10 y 10
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini
quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda
uning biror yechimi mavjud va x1 1 ,x2 2 ,...,xn n dan iborat bo‘lsin.
Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga
qo‘ysak:
ega bo‘lamiz.
ai11 ai 22 Λ ainn bi ,
i 1,2,...,m
(2)
Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
a11
a12
a1n b1
a
a
a b
21
22 Λ
2n 2 ,
i 1,2,...,m
(3)
1 Μ
2 Μ
n Μ Μ
a
a
a b
m1
m 2
mn m
Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy
matritsa ustunlari kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki
matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni
tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar
ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak,
asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan
edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r A r A B .
Teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga
ekvivalent.
A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular A B
(kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r
ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis
ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:
a11
a12
a1r b1
a
a
a b
21
22 Λ
2r 2
1 Μ
2 Μ
r Μ Μ
a
a
a b
m1
m 2
mr m
munosabatni qanoatlantiruvchi 1,2 ,...,r lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi
munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent:
ai11 ai 22 Λ airr
Agar (1) tenglamalar sistemasiga
bi ,
i 1,2,...,m
x1 1 ,x2 2 ,...,xr r ,xr 1 0,...,xn 0 ,
(4)
qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning
(4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema
yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Kroneker-Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar
sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan A B
matritsasining ranglari teng. r r A r A B qiymatni berilgan sistemaning
rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis
satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb
ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda
qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar,
deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi
tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.
Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin.
Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:
ai1 x1 ai 2 x2 Λ ain xn bi ,
i 1,2,...,r
(5)
bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1)
tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish
yetarli.
b
O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas,
ya’ni r n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar
sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:
1) r n ;
r n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.
Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X Bb . Bunda Ab bazis minorga mos
matritsa. det( Ab ) 0 bo‘lganligi sababli, A1 mavjud va
X EX A1A X A1( A X ) A1B
b
b
b
b
b
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.
2)
r n
bo‘lsin.
Tenglamalarda
x1 , x2 ,..., xr
bazis
noma’lumlar
qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5)
sistema:
ko‘rinishni oladi.
ai1 x1 ai 2 x2 Λ air xr bi air 1 xr 1 Λ ain xn .
Agar erki xr , xr 1 ,..., xn noma’lumlarga biror r1,...,n sonli qiymatlarni
bersak, u holda x1,..., xr o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz
va bu sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli
u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi
sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp
masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali
ifodalanadi.
6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot
ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.
Xom ashyo
turlari
Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari
Xom ashyo
zahirasi
A
B
C
1
5
12
7
2000
2
10
6
8
1660
3
9
11
4
2070
Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab
chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda
x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo
sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun
ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi
mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda
12x2 , 7x3 boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:
uchun
5x1 12x2 7x3 2000 . Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar
10x1 6x2 8x3 1660,
9x1 11x2 4x3 2070
tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli
uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik
modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:
5x1 12x2 7x3 2000,
10x1 6x2 8x3 1660,
9x 11x 4x 2070.
1
2
3
Ikki bozor muvozanati masalasi. Koʻp bozorli muvozanat modelida
tenglamalar sistemasi har bir bozordagi talab, taklifning muvozanatini ifodalaydi.
Bunda talab va taklif har bir bozorda, boshqa bozordagi narxlarga bog‘liq.
Masalan, kofega boʻlgan talab, faqat kofening narxiga bog‘liq emas shuningdek
oʻrin bosuvchi tovar boʻlgan choyning ham narxiga bog‘liq. Mashinaga talab uning
narxiga bog‘liq va shuningdek, toʻldiruvchi tovar boʻlgan uning yoqilg‘isiga ham
bog‘liq. Korxonalarning taklifi turli koʻrinishdagi tovarlar narxiga bog‘liq.
Masalan, biror firma ishlab chiqargan mahsulot, boshqasi uchun xom ashyo
material boʻlishi mumkin.
Ikki tovar bog‘liqligi modeli masalasi
qs p p
qd a b p b p
1
1
11 1
12 2 taklif
1
1
11 1
12 2 talab
qs p p
qd a b p b p
2
2
21 1
22 2
2
2
21 1
22 2
Natijada masalan, 12 0 ikkinchi firmadagi materiallar narxi oʻsishi,
birinchi firmani material sarfini kamaytiradi, natijada esa birinchi firma ishlab
chiqarishni kamaytiradi. Har bir bozordagi talab va taklifning tengligining
oʻrnatilishi muvozanat narxlar boʻlgan p1 va p2 larni aniqlash uchun ikki
tenglamalar sistemasini beradi. bij s va ij s lar nolga teng ham boʻlishi mumkin.
Bu tenglamalar modelning asosini tashkil etadi va strukturali tenglik, deb
ataladi.
(b11 11) p1 (b12 12 ) p2 2 1
(b21 21) p1 (b22 22 ) p2 2 1
Ikkinchi tenglamadan p1 ni topsak:
i
i
p (2 1) (b22 22 ) p2
1
(b )
21
21
Endi buni birinchi tenglikka qoʻyamiz
p (b11 11) (2 a2 ) (b21 21) (1 a1)
2
(b ) (b ) (b ) (b )
p1 ni topsak:
11
11
22
22
21
21
12
12
p (b22 22 ) (1 a1) (b12 12 ) (b12 12 )
2
(b ) (b ) (b ) (b )
p1 va
11
11
22
22
21
21
12
12
p2 larni bunday ta’riflash kamaytirilgan forma deb ataladi. Chunki ular
faqat modelning koʻrsatkichlariga boʻg‘liq. ai ,i ,bij , ij i, j 1, 2 larning alohida
parametrlari uchun biz pi ning qiymatlarini topa olamiz. Keyingi misollarda bu
qiymatni qanday topish koʻrsatilgan.
Toʻldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati. Faraz qilaylik
iste’molchilar bozorida oʻrin bosadigan tovarlarga talab, taklif tengligi
quyidagicha:
qs 1 p , qd 20 2 p p
1-tovar
1
1
1
1
2
qs p , qd 40 2 p p
2-tovar
Bu yerda
s va
2
2
2
2
1
d talab va taklif miqdori. pi tovar narxlari bu tovarlarning
oʻrinbosar ekanligidan agar birinchi tovarga talab kamaysa, ikkinchi tovar narxi
koʻtariladi. Endi muvozanat narxni toping (ikki tovar uchun).
Yechish. qs qd tengligidan ikkita tenglik kelib chiqadi
3 p1 p2 21
p1 3 p2 40
Ikkinchi tenglikdan p1 40 3 p2 topib, birinchisiga qoʻysak:
va p1 2,875
3 (40 3 p2 ) p2 21 8 p2 99 p2 12,375
ekanligi keladi. Natijada bu narx bozordagi muvozanat narxni
beradi.
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan boʻlsin:
a11x1 a12 x2 .... a1n xn b1,
a x a x .... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
... ... ... ... ... ...
(6)
an1x1 an 2 x2 .... ann xn bn .
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish ikki
bosqichda (dastlab chapdan oʻngga, soʻngra oʻngdan chapga qarab) amalga
oshiriladi.
q
q
i
i
1- bosqich. (6) sistemani uchburchak koʻrinishga keltirishdan iborat.
Buning uchun, a11 0 , deb (agar a11 0 boʻlsa, 1-tenglamani ai1 0
boʻlgan i -tenglama bilan oʻrin almashtiriladi) birinchi tenglamaning chap va oʻng
tomoni a11 ga boʻlinadi. Soʻngra, 1 tenglama ai1
a11
ga koʻpaytirilib, i -tenglamaga
qoʻshiladi. Bunda, sistemaning 2-tenglamasidan boshlab x1 noma’lum yoʻqotiladi.
Bu jarayonni
qilinadi:
n 1 marotaba takrorlab quyidagi uchburchaksimon sistema hosil
x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1,
x a x ... a x b ,
2
23 3
2n n
2
...................................................
ann xn bn .
2- bosqich. Oxirgi sistemani yechishdan iborat. Bunda, dastlab sistemaning
oxirgi tenglamasidan xn topilib, undan oldingi tenglamaga qoʻyiladi va undan xn1
topiladi. Shu jarayon davom ettirilib, nihoyat 1-tenglamadan x1 topiladi.
Sistema Gauss usuli bilan yechilganda uchburchaksimon shaklga kelsa u
yagona yechimga ega boʻladi. Agar sistema pog’onasimon shaklga kelsa u cheksiz
koʻp yechimga ega boʻladi yoki yechimga ega boʻlmaydi.
Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli noma’lumlarni ketma-ket
yoʻqotish usuli deb ham ataladi. Bu jarayonni kattaroq teglamalar sistemasiga
qoʻllash mumkin, chunki bu juda samarali. Quyidagi misolni koʻrib chiqamiz:
7- misol. Tenglamalar sistemasining barcha mumkin boʻlgan yechimlarini
toping.
2x2 x3 7,
x x 3x 2,
1
2
3
3x 2x 2x 10.
1
2
3
Yechish. Dastlab ikkinchi va uchinchi tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻq
qilinadi va keyin x2 noma’lumni uchinchi tenglamadan yoʻqotamiz. Keyin faqat
x3 noma’lum qoladi. Lekin biz dastlabki 2 ta tenglamaning oʻrnini almashtirishdan
boshlaymiz:
x1 x2 3x3 2,
2x x 7,
2
3
3x 2x 2x 10
1
2
3
2-tenglamada
x1 yoʻq. Keyingi qadamda 1-tenglamani ishlatib 3-
tenglamadagi x1 noma’lumni yoʻqotamiz. Bu jarayon 1-tenglamani 3 ga
koʻpaytirib 3-tenglamaga qoʻshish orqali bajariladi.
3
x1 x2 3x3 2,
2x x 7,
5x 2
3
11x 4.
Keyingi bosqichda 2-tenglamani 1
2
2
3
ga koʻpaytirib,
x2 ning koeffisiyentini 1 ga
aylantiramiz.
x1 x2 3x3 2,
1
7
x2 2 x3 2 ,
5x2 11x3 4.
Oxirgi tenglamalar sistemasidagi 2-tenglamani –5 ga koʻpaytirib 3-tenglamaga
qoʻshamiz. x2 ni yoʻqotamiz.
x1 x2 3x3 2,
1
7
x2 2 x3 2 ,
27 x 27 .
2
3
2
Soʻng oxirgi tenglamani 2
27
ga koʻpaytirib x3 1 qiymatni topamiz. Bu qiymatni
ikkinchi
tenglamaga
qо‘yib,
x2 3 qiymatni
hosil
qilamiz.
x3 1
va
x2 3 qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1 2 qiymatni olamiz. Shunday
qilib, sistema yagona 2; 3;1yechimga ega.
Mashqni bajaring. Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.
x x 3,
x1 2x2 x3 4,
2x 3x x 0,
1)
1
2
2) x x x 5, 3)
1
2
3
x 5x 5.
1
2
3
x x x 0.
1
2
2x 3x x 1.
1
2
3
1
2
3
8- misol. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
2x1 x2 4x3 1,
3x1 2x2 x3 9,
x 4x 2x 4.
1
2
3
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni ketma-ket
yoʻqotib yechimni topamiz:
1
2
3
6
2x1 x2 4x3 1,
x1 4x2 2x3 4,
x1 4x2 2x3 4,
3x1 2x2 x3 9, 2x1 x2 4x3 1,
9x2 9,
x 4x 2x 4
3x 2x x 9
14x 7x 21.
1
2
3
1
2
3
2
3
x1 4x2 2x3 4,
x 2x 3,
3
2
x2
1.
x2 1 qiymatni ikkinchi tenglamaga qо‘yib, x3 1qiymatni hosil qilamiz. x2 1
va x3 1qiymatlarni birinchi tenglamaga qо‘yib x1 2 qiymatni olamiz.
Shunday qilib, sistema yagona 2;1;1yechimga ega.
Mashqni bajaring. Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan
yeching:
x1 2x2 x3 3,
1) 3x1 x2 4x3 6,
x1 2x2 3x3 6,
2) 2x 3x 4x 20, 3)
x1 2x2 x3 3,
3x1 x2 4x3 6,
5x 5x 2x 8.
3x 2x 5x 6.
5x 3x 2x 12.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenlamalar sonidan ko‘p bo‘lsa
ham, ya’ni sistema birgalikda bo‘lib aniq bo‘lmasa ham uning yechimini Gauss
usulida topish mumkin. Buni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz.
9- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan
yeching:
x1 x2 2x3 x4 4,
x x x x 10,
1
2
3
4
7x 2x 8x 6x 44,
1
2
3
4
5x1 2x2 5x3 6x4 30.
Yechish. Birinchi qadamda sistemadagi birinchi tenglamani oʻzgarishsiz
qoldirib, qolganlaridan ketma-ket x1 noma’lumni yoʻqotamiz, ikkinchi qadamda
ikkinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x2 noma’lumni yoʻqotamiz, uchinchi
qadamda uchinchi tenglamani qoldirib qolganlaridan x3 noma’lumni yoʻqotamiz.
Soddalik uchun tenglamalar sistemasi oʻrniga kengaytirilgan matritsa ustida ish
olib boramiz:
1 1 2 1 4
1 1
2
1 4
1 1
2
1 4
1
1
1
1 10
0
2
1
2 6
0
2
1
2
7
2
8 6 44
0
9
6
1 16
0
0
3
16 22
5
2
5 6 30
0
7
5
1 10
0
0
3
16 22
Hosil boʻlgan sistemada ikkita bir hil tenglamadan bittasini qoldirib, ikkinchisini
tashlab yuboramiz. Shu yerda chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning
chapdan oʻngga qarab bosqichi tugadi. Tenglamalar soni noma’lumlar sonidan
kichik. Endi x4 erkli oʻzgaruvchini oʻng tomonga oʻtkazamiz. Soʻngra oʻngdan
chapga qarab harakat yordamida sistemaning barcha yechimlari topiladi.
x1 x2 2 x3 x4 4,
x1 8x4 34 / 3
2 x x 2 x 6, x 11x 2 / 3
2
3
4
2
4
3 x3 16 x4 22
x3 16x4 22 / 3
Javob: 8x 34 ; 11x4 2 ; 16x4 22 ; x
, x R.
4
3
3
3
4
4
Mashqni bajaring. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli
bilan yeching:
2x1 x2 x3 x4 5,
x x 3x 6,
x1 3x2 5,
1) x 2x 2x 3x 6, 2)
1
2
3
3) x x 1,
1
2
3
4
2x 2x 6x 9.
1
2
3x x x 2x 1.
1
2
3
4x x 2.
1
2
3
4
1
2
Tenglamalar sistemasini yechishda Gauss-Jordan usulining (Gauss usulining
Jordan modifikatsiyasi) mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal
koʻrinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan A B matritsasi quriladi.
Yuqorida
keltirilgan
sistemaning
teng
kuchliligini
saqlovchi
elementar
almashtirishlar yordamida, kengaytirilgan matritsaning chap qismida birlik
matritsa hosil qilinadi. Bunda birlik matritsadan oʻngda yechimlar ustuni hosil
boʻladi. Gauss-Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin:
A B ~ E X .
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish Gauss-Jordan usuli noma’lumlarni ketma-
ket yoʻqotishning Gauss strategiyasi va teskari matritsa qurishning Jordan
taktikasiga asoslanadi. Teskari matritsa oshkor shaklda qurilmaydi, balki oʻng
ustunda bir yoʻla teskari matritsaning ozod hadlar ustuniga koʻpaytmasi –
yechimlar ustuni quriladi.
10- misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida
yeching:
x1 x2 2x3 3x4 1,
3x x x 2x 4,
1
2
3
4
2x 3x x x 6,
1
2
3
4
x1 2x2 3x3 x4 4.
Yechish. Chiziqli tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan kengaytirilgan
matritsa tuzamiz. Tenglamalar ustida bajariladigan almashtirishlar yordamida
asosiy matritsani quyidagicha birlik matritsaga keltirib javobni topamiz:
3
2
1
1
2
3 1
1
1
2
3 1
1
1
2
3 1
1 1 2 4
0
4
7 11
7
0
1
1
4 5
2
3
1 1 6
0 1 5
7 8
0 1 5
7 8
1
2
3
1 4
0
1
1 4 5
0
4
7 11 7
1 0 1
7
6
1 0 1
7
6
1 0 0
2 3
0 1 1 4 5 0
1 1 4 5 0
1 0 13 14
0 0 6
3 3
0 0 1
9 9
0 0 1
9
9
0 0 3 27 27
0 0 2
1 1
0 0 0 17 17
0 1
0 1
0 0
1 1
11- misol. Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usulida yeching:
5x1 2x2 3x3 3x4 1,
2x 2x 5x 2x 4,
1
2
3
4
3x 4x 2x 2x 2.
1
2
3
4
Yechish. Berilgan sistemada kengaytirilgan matritsani ajratib olamiz:
5
2
3 3 1
2 5 2 4
3
4
2 2 2
va unga Gauss-Jordan usulini tatbiq etamiz:
1
2 /5
3 / 5
3 /5 1 / 5 1 0
8 / 7
5 / 7 5 / 7
0
14/5 19/5 4 /5 18 /5 ~ 0 1 19 / 14 2 / 7 9/ 7 ~
0
14 / 5
1 / 5
1 / 5 13 / 5 0 0
4
1
1
1 0 0
3 / 7
3 / 7
~ 0 1 0 3 / 56 53 / 56
0 0 1
1 / 4
1 / 4
Sistema trapetsiyasimon koʻrinishiga keldi:
x 3 x 3
1
7
4
7
3
53
x
x
2
56 4
56
x 1 x 1
3
4 4
4
1 0 0
2 3
1 0 0
0 1 0 13 14
0 1 0
0 0 1
9
9
0 0 1
0 0 0
1
1
0 0 0
56
3
4
Bu yerda x1, x2 va x3 oʻzgaruvchilarni bazis sifatida qabul qilamiz, chunki ular
1 0 0
oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan determinant 0 1 0
0 0 1
1 0 . Bu determinant
oxirgi sistemaning koeffisiyentlaridan tuzilgan asosiy matritsaning ham bazis
minori boʻladi. Erkli oʻzgaruvchi boʻlib x4 xizmat qiladi.
Oxirgi sistemadan quyidagi yechimga
x 3 3 x ,
1
7
7
4
x 53 3 x ,
2
56 56 4
x 1 1 x .
3
4
4
4
ega boʻlamiz. Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy X yechimini
3 3 x
7
7 4
X
53 3
x4
56 56
1 1 x
koʻrinishda tasvirlash mumkin.
4
4
4
x4
Agar x4 2 , deb olsak, u holda berilgan sistemaning
7
X
59
1
1
2
koʻrinishdagi xususiy yechimini topamiz.
Agar
boʻlamiz:
x4 0 ni olsak berilgan sistemaning quyidagi bazis yechimiga ega
56
n
4
2-ta’rif. Faqat bazis o‘zgaruvchilari noldan farqli bo‘lishi mumkin bo‘lgan
yechim tenglamalar sistemasining bazis yechimi deyiladi.
3
7
X
53
b
.
1
0
Iqtisodiy
masalalarning
chiziqli
tenglamalar
sistemasi
yordamida
ifodalanadigan modellarida odatda noma’lumlar soni tenglamalar sonidan katta
bo‘ladi. Bu holat bir tomondan erkli o‘zgaruvchilarni tanlash hisobiga bizga
qo‘shimcha erkinlik beradi. Biroq sistema yechimlari cheksiz ko‘p bo‘lgani sabab
mumkin bo‘lgan barcha holatlarni ko‘rish mumkin bo‘lmay qoladi va buning
oqibatida iqtisodiy jihatdan optimal yechimni topishning imkoniyati bo‘lmaydi.
Bunday holatlarda odatda bazis yechim tushunchasidan foydalanish
maqsadga muvofiq hisoblanadi.
Bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilarning qiymatlari nolga teng, deb olinadi.
Tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p bo‘lsada, bazis yechimlar soni chekli bo‘ladi.
Bazis yechimlar soni bazis minorlar soniga teng bo‘ladi.
Faraz qilaylik sistemaning rangi r ga, noma’lumlar soni n ga teng bo‘lsin.
n r
bo‘lganda bazis minorlar soni (bazis yechimlar soni) ko‘pi bilan
Cr
n!
r!(n r)! ga teng.
Tasdiq. Agar X1, X 2 ,..., Xk vektorlar AX B tenglamalar sistemasining
bazis yechimlari bo‘lsa, 1 2 ... k 1 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
1,2,...,k
sonlar uchun 1X1 2 X 2 ... k Xk chiziqli kombinatsiya ham
AX B tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi.
Haqiqatan ham
A(1X1 2 X 2 ... k Xk ) 1AX1 2 AX 2 ... k AX k
1B 2 B ... k B (1 2 ... k )B B.
Umuman olganda, sistemaning ixtiyoriy yechimini bazis yechimlarning
koeffisiyentlari yig’indisi birga teng bo‘lgan chiziqli kombinatsiyasi shaklida
ifodalash mumkin.
12- misol. Ushbu
sistemada:
2x1 3x2 4x3 6x4 6x5 3,
3x1 4x2 6x3 8x4 9x5 5.
a) noma’lumlarni bazis va erkin o‘zgaruvchilarga ajratish usuli sonini
aniqlang:
b) bazis yechimlarini toping.
Yechish. a) mazkur sistemada ikkita tenglama va beshta noma’lum
qatnashmoqda
(m 2, n 5) .
Ko‘rinib
turibdiki,
r 2 .
Demak,
noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda:
C 2 5!
3!4 5 10 .
Bunda guruhlar:
5
2!3! 1 2 3!
x1 , x2 ; x1 , x3 ; x1 , x4 ; x1 , x5 ; x2 , x3 ;
x2 , x4 ; x2 , x5 ; x3 , x4 ; x3 , x5 ; x4 , x5 .
Bu juftliklarning qaysi birida no‘malumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan
determinant noldan farqli bo‘lsa, o‘sha juftlik noma’lumlari bazis o‘zgaruvchi
bo‘la oladi. Shuning uchun quyidagi determinantlarni hisoblaymiz:
2 3 1 0;
3 4
2 4 0;
3 6
2 6 2 0;
3 8
2 6 0;
3 9
3 4 2 0;
4 6
3 6 0;
4 8
3 6 3 0;
4 9
4 6 4 0;
6 8
4 6 0;
6 9
6 6 6 0.
8 9
Bundan ko‘rinib turibdiki 2, 4, 6, 9-juftliklar bazis o‘zgaruvchilar bo‘la
olmaydi. Chunki bu juftliklarga mos bazis minorlar nolga teng. Demak, sistemani
bazis va erkin o‘zgaruvchilarga oltita usul bilan ajratish mumkin:
1) x1 va
2) x1 va
x2 - bazis,
x4 - bazis,
x3 , x4 , x5
x2 , x3 , x5
- erkli;
- erkli;
3) x2 va
4) x2 va
x3 - bazis,
x5 - bazis,
x1 , x4 , x5
x1 , x3 , x4
- erkli;
- erkli;
5) x3 va x4 - bazis, x1, x2, x5 - erkli;
6) x4 va x5 - bazis, x1 , x2 , x3 - erkli.
b) berilgan sistemaning bazis yechimlarini topamiz. Yuqoridagi a) punktda
sistema oltita bazis yechimga ega ekanligini ko‘rgan edik. Birinchi bazis yechimni
topish uchun x1 va x2 bazis o‘zgaruvchilarni o‘zgarishsiz qoldirib, x3 , x4 , x5 erkli
o‘zgaruvchilarni nolga tenglaymiz. Natijada 2x1 3x2 3,
3x1 4x2 5.
sistemaga ega
bo‘lamiz va uning yechimi x1 3,
x2 1.
1
0
0
Shunday qilib, birinchi bazis yechim
3
X1b 0 .
Ikkinchi bazis yechimni topamiz.
o‘zgaruvchilarni nolga tenglab
x1 va x4 – bazis, u holda x2 , x3 , x5 erkli
2x1 6x4 3,
3x1 8x4 5
sistemaga ega bo‘lamiz va x 3,
x 1
yechimi topamiz.
1
4
2
3
0
Shunday qilib, ikkinchi bazis yechim X 2b 0 .
0,5
0
Xuddi shu usul bilan qolgan bazis yechimlarni ham topamiz:
0
1
0
1
0
0
0
0
X 3b 1,5 ; X 4b 0 ; X 5b 1,5 ; X 6b 0 .
0
0
0,5
0,5
0
1
0
1
Aniq r ta noldan farqli noma’lumdan tashkil topgan bazis yechimga xosmas
bazis yechim deyiladi, bunda r – sistemaning rangi.
Yuqorida qaralgan misoldagi barcha oltita yechim ham xosmas bazis yechim
bo‘ladi.
Ta’rifga ko‘ra bazis yechimda erkli o‘zgaruvchilar nolga teng, bazis
yechimlar esa odatda noldan farqli. Lekin, bazis yechimning bazis o‘zgaruvchilari
ham nolga teng bo‘lib qolishi mumkin. Bunday bazis yechimlar xos (maxsus) bazis
yechimlar deb ataladi.
13- misol. Ushbu
2x1 x2 2x3 2,
3x1 4x2 8x3 3
tenglamalar sistemasining bazis yechimlari topilsin.
3
0
0
0
Yechish. Sistema ikkita tenglama va uchta noma’lumdan iborat
(m 2, n 3) va r 2 . Demak, bazis o‘zgaruvchilar guruhi ikkita noma’lumdan
tashkil topgan. Bazis yechimlar soni C 2 3!
2!1! 3 dan katta emas.
x1 va x2 – bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan
tuzilgan determinant noldan farqli: 2
3
1 5 0 . U holda
4
x3 – erkli o‘zgaruvchi.
Tenglamalarga x3 0 qiymatni qo‘yib,
2x1 x2 2,
3x1 4x2 3.
sistemaga ega bo‘lamiz va uning yechimi
1
x1 1,
x2 0 . Topilgan birinchi bazis
yechim X1b 0 , chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi
x2 0 .
x1 va x3 – ham bazis o‘zgaruvchilar, chunki ular oldidagi koeffisiyentlardan
tuzilgan determinant noldan farqli:
2 2 10 0 . U holda
3 8
x2 – erkli
o‘zgaruvchi. Tenglamalarga x2 0 qo‘yib,
2x1 2x3 2,
3x1 8x3 3
sistemaga ega bo‘lamiz, uning yechimi
1
x1 1, x3 0 . Ikkinchi bazis yechim
X 2b
chunki ikkinchi bazis o‘zgaruvchi
x3 0 .
x2
va
x3
lar bazis o‘zgaruvchilar emas, chunki ular oldidagi
koeffisiyentlardan tuzilgan determinant nolga teng: 1
4
bazis yechim mavjud emas.
2 0 . Demak, uchinchi
8
14- misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot
ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.
Xom ashyo
turlari
Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo
sarflari
Xom ashyo
zahirasi (tonna)
1
2
3
1
5
12
3
20
2
2
6
8
16
3
9
7
4
20
Berilgan xom ashyo zahirasini ishlatib, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish
hajmini aniqlang.
Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda
x1, x2 , x3 lar bilan belgilaymiz. 1-tur mahsulotga, 1-xil xom ashyo, bittasi uchun
sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun 5x1 1- tur mahsulot ishlab chiqarish uchun ketgan 1-
xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday 2, 3-tur mahsulotlarni ishlab
chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda 12x2 , 3x3 boʻlib,
uning
uchun
quyidagi
tenglama
oʻrinli
boʻladi:
Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar uchun
2x1 6x2 8x3 16,
9x1 7x2 4x3 20
5x1 12x2 3x3 20 .
tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlarida quyidagi uch noma’lumli
uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
5x1 12x2 3x3 20,
2x 6x 8x 16,
1
2
3
9x 7x 4x 20
1
2
3
Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasidan
iborat boʻladi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan
yechiladi.
Bunday
tenglamalar
sistemasini
yechishda
Gauss
usulidan
foydalanamiz:
5x1 12x2 3x3 20,
2x 6x 8x 16,
1
2
3
9x 7x 4x 20
1
2
3
5x1 12x2 3x3
20, 5x1 12x2 3x3 20,
6
34
2x 6x 8x 16, ~
x
x 8, ~
1
2
3
5
2
5
3
9x 7x 4x 20
1
2
3
73 x
7 x 16
5
2
5 3
5x1 12x2 3x3 20,
5x1 12x2 3x3 20,
~
6x 34x 40, ~
6x 34x 16,
2
3
1220
1220
2
3
x 1.
x3
3
3
3
15-misol. Korxona toʻrt xildagai xom ashyo ishlatib toʻrt turdagi mahsulot
ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari jadvalda berilgan.
Matematik modelini tuzamiz.
x1 2x2 x3 8,
x 3x x 15,
2
3
4
4x x x 11,
1
3
4
x1 x2 5x4 23
Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan usuli bilan yechamiz.
Yechish.
1-tenglamani
oʻzgarishsiz
qoldirib
sistemaning
qolgan
tenglamalaridan x1 noma’lumni yoʻqotamiz, buning uchun 1-tenglamani ketma-ket
(-4), (-1) ga koʻpaytirib mos ravishda 3, 4-tenglamalarga hadma-had qoʻshish
orqali ushbu sistemani hosil qilamiz:
x1 2x2 x3 8,
0 x 3x x 15,
2
3
4
0 8x 3x x 21,
2
3
4
0 x2 x3 5x4 15.
Endi 2-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan
х2 noma’lumni
yoʻqotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), (8), (1) larga ketma-ket koʻpaytirib,
mos ravishda 1, 3, 4 – tenglamalarga hadma-had qoʻshamiz va ushbu sistemani
hosil qilamiz:
Xom ashyo
turlari
Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari
Xom ashyo
zahirasi (tonna)
1
2
3
4
1
1
2
1
0
8
2
0
1
3
1
15
3
4
0
1
1
11
4
1
1
0
23
23
x1 0 5x2 2х3 22,
0 x 3x x 15,
2
3
4
0 0 21x 9х 99,
3
4
0 0 2х3 6x4 30.
Endigi qadamda 3-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan
х3 noma’lumni
yoʻqotamiz,
buning
uchun
3-tenglamani
ketma-ket
5 , 3 , 2
larga koʻpaytirib mos ravishda 1, 2, 4 – tenglamalarga
21 21 21
hadma-had qoʻshsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil boʻladi:
x 0 0 3 х
33 ,
1
21 4
21
6
18
0 x 0
x
,
2
21 4
21
0 0 21x3 9х4 99,
0 0 0 х4 4.
Oxirgi qadamda 4-tenglamani oʻzgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, х4
noma’lumni
yoʻqotamiz,
buning
uchun
4
-
tenglamani
ketma-ket
21 , 21 ,
9 larga koʻpaytirib, mos ravishda 1, 2, 3 - tenglamalarga
3
6
hadma-had qoʻshamiz natijada, quyidagiga ega boʻlamiz:
x1 0 0 0 1,
0 x2 0 0 2,
0 0 21x 0 63,
3
0 0 0 x4 4.
Oxirgi sistemadan x1 1, x2 2 , x3 3, x4 4 yechimni olamiz.
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar
1. Chiziqli tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi?
2. Chiziqli tenglamalar sistemaning yechimi deb nimaga aytiladi?
3. Chiziqli tenglamalar sistemaning matritsaviy shakli.
4. Qanday sistemalarga birgalikda, aniq, aniqmas va birgalikda bo’lmagan
sistemalar deyiladi?
5. Birgalikdagi chiziqli tenglamalar sistemasi nima bilan xarakterlanadi va erkli
noma’lumlar deb nimaga aytiladi?
6. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deb nimaga aytiladi?
7. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi mavjudlik va yagonalik yetarli shartlari
nimalardan iborat?
8. Kroneker-Kapelli teoremasi.
9. Ikki bozor muvozanati masalasi.
10. To’ldiruvchi tovarlar uchun ikki bozor muvozanati masalasi.
11. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli?
12. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulining qanday
modifikatsiyalarini bilasiz?
13. Chiziqli tenglamalar sistemasi Gaussning klassik usulida qanday yechiladi?
14. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar deganda nimani
tushunasiz?
15. Chiziqli tenglamalar sistemasining barcha yechimlarini topish o’rniga uning
umumiy yechimini qurish yetarlimi?
16. Chiziqli
tenglamalar
sistemasini
yechish
Gauss
usulining
Jordan
modifikatsiyasi mazmun-mohiyatini so’zlab bering va sxemasini yozing?
17. Bazis yechim tushunchasi.
18. Chiziqli
tenglamalar
sistemasining
iqtisodiy
masalalarni
yechishga
qo’llanilishi.