Ilmiybaza.uz CHIZIQLI FAZO. YEVKLID FAZOSI. Reja: 1. Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar. 2. Chiziqli fazoning olchovi va bazisi. 3. Chiziqli fazo elementini basis elementlari boyicha yoyish. 4. Chiziqli fazoning qism fazolari. 5. Evklid fazosining ta’rifi. Evklid fazosida elementning normasi tushunchasi. 6. Evklid fazosida ortonormallangan basis qurish. Tayanch soʻz va iboralar: chiziqli fazo, elementlarning chiziqli kombinatsiyasi, chiziqli kombinatsiya koeffitsientlari, chiziqli bogʻliq va chiziqli erkli elementlar, chiziqli fazo bazisi, chiziqli fazo oʻlchami, qism fazo, Yevklid fazosi. Ilmiybaza.uz Toʻplam elementlari orasida ularni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallarini kiritish mumkin va toʻplamlar turli tabiatli boʻlishiga qaramasdan ular ustida kiritilgan qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari juda koʻp umumiy xossalarga ega boʻladi. Biz quyida toʻplam elementlarining tabiatini hisobga olmasdan bu toʻplamlar uchun umumiy boʻlgan nazariya bilan tanishamiz. 1- ta’rif. Agar elementlari ixtiyoriy tabiatli boʻlgan L toʻplam berilgan va bu toplam elementlari orasida qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari kiritilgan, yaʻni 1) ixtiyoriy x L  va y L elementlar juftiga x va y elementlarning yigʻindisi, deb ataluvchi yagona z x y L    element mos qoʻyilgan; 2) x L  element va K (K -haqiqiy yoki kompleks sonlar toʻplami) songa x vektorning  songa koʻpaytmasi deb ataluvchi yagona z x L    element mos qoʻyilgan boʻlib, aniqlangan bu qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidаgi 8 ta aksiomani bajarsa, u holda L toʻplаm chiziqli (yoki vektor) fazo dеyilаdi: 1. Qoʻshish kommutativ, x y y x    ; 2. Qoʻshish assotsiativ, ( ) ( ) x y z x y x      ; 3. L toʻplаmda barcha x elementlar uchun x x   shartni qanoatlantiradigan nol element  mavjud; 4. L toʻplаmda har qanday x element uchun ( ) x x     shartni qanoatlantiradigan x  qarama-qarshi element mavjud; 5.   x y x y       ; 6.  x x x        ; 7.     x x     ; 8. 1 x x   . Bundan keyin biz chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb aytamiz. Аgаr chiziqli fаzodаgi vеktorlаr uchun fаqаt hаqiqiy songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzo hаqiqiy chiziqli fаzo dеyilаdi. Аgаr chiziqli fаzodаgi Ilmiybaza.uz vеktorlаr uchun komplеks songа koʻpаytirish аmаli аniqlаngаn boʻlsа, u holdа bundаy fаzogа komplеks chiziqli fаzo dеyilаdi. Chiziqli fаzoni аniqlovchi аksiomаlаrdаn, quyidаgi хossаlаrni аjrаtish mumkin: 1- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzo uchun yagonа  -nol vеktor mаvjud. 2- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir x vеktor uchun ungа qаrаmа- qаrshi boʻlgаn yagonа  x vеktor mаvjud. 3- xossa. Hаr qаndаy chiziqli fаzodа hаr bir x vеktor uchun 0   x  tеnglik oʻrinli. 4- xossa. Hаr qаndаy  haqiqiy sonva   L element uchun      munosabat hamma vaqt bajariladi. 5-xossa. 0          a yoki yoki a Izoh. y x  vеktorlаr аyirmаsi dеb, y vа x  vеktorlаr yigʻindisi tushunilаdi. Yuqoridagi aniqlashimizga koʻra chiziqli fаzo elementlari turli tabiatli boʻlishi mumkin. Quyida biz chiziqli fаzolarni aniq misollarda koʻrib chiqamiz. 1- misol. Barcha haqiqiy sonlar toʻplami - haqiqiy sonlarni qoʻshish va koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. 2- misol. Barcha kompleks sonlar toʻplami kompleks sonlarni qoʻshish va koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. 3- misol. Oldingi mavzularda koʻrgan ( 1,2,3,..., ) Rn n k  fazolar n oʻlchovli vektorlarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. 4- misol. Elementlari n m  - tartibli matritsalardan iborat boʻlgan M n m  matritsalar toʻplami matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. 5- misol.     , , C a b  a b kesmada aniqlangan va uzluksiz barcha haqiqiy f  f (t ) funksiyalar toʻplami funksiyalarni qoʻshish      f g t f (t ) g(t ) va songa koʻpaytirish  f (t ) amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. Ilmiybaza.uz 6- misol. Darajasi n dan yuqori boʻlmagan barcha koʻphadlar toʻplami koʻphadlarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qiladi. 7- misol. Darajasi roppa-rosa n ga teng boʻlgan barcha koʻphadlar toʻplami koʻphadlarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallariga nisbatan chiziqli fаzo tashkil qilmaydi. Haqiqatan ham 1 1 1 0        n n n n n P (t ) a t a t a t a L va 1 1 1 0         n n n n n Q (t ) a t b t bt b L n  darajali koʻphadlar, lekin ( ) ( )  n n P t Q t koʻphadning darajasi n dan kichik. 8- misol. Quyidagi chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0                   n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x Bizga maʻlumki, agar 1 2 X va X vektorlar chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining echimlari boʻlsa, u holda bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi 1 1 2 2  X   X ham bu sistemaning echimi boʻladi. Demak chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining echimlari toʻplami chiziqli fazo tashkil qiladi. 9- misol. Agar a va b haqiqiy sonlar boʻlsa, u holda    ; (         z z M a e b e z funktsiyalar toʻplami chiziqli fazo tashkil qiladi. 2- ta’rif. L chiziqli fazodan olingan 1 2 n x ,x ,...,x elementlar va i   R , ( i 1  ...n ) sonlar yordamida qurilgan 1 1 2 2 3 3 n n x x x ... x         ifodaga 1 2 n x ,x ,...,x - elementlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. 3- ta’rif. Agar 1 1 2 2 n n y x x x       tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda y element 1 , 2 ,..., n x x x elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat deyiladi. Ilmiybaza.uz 4- ta’rif. Agar 1 , 2 ,..., n    koeffitsiyentlardan hech boʻlmaganda bittasi noldan farqli boʻlganda 1 1 2 2 n n x x x        tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda 1 2 n x ,x ,...,x elementlar chiziqli bogʻliq deyiladi. Agar 1 1 2 2 n n x x x        tenglik 1 , 2 ,..., n    koeffitsiyentlardan barchasi nolga teng boʻlgandagina oʻrinli boʻlsa, u holda 1 2 n x ,x ,...,x - elementlar chiziqli erkli , aks holda 1 2 n x ,x ,...,x - elementlar chiziqli bogliqli deyiladi . Bu yerda,  -chiziqli fazoning nol elementi. 5- ta’rif. Agar L chiziqli fаzoda n ta chiziqli erkli elementlar mavjud boʻlib, har qanday 1 n  ta element chiziqli bogʻliqli boʻlsa, u holda L chiziqli fаzoning oʻlchovi n ga teng deyiladi. 6- ta’rif. n oʻlchovli L chiziqli fаzoda har qanday n ta chiziqli erkli vektorlar sistemasi bu fazoning bazisi deyiladi. Odatda bazis vektorlar sistemasi 1 , 2 ,..., n e e e kabi belgilanadi.Masalan, darajasi n dan oshmaydigan barcha koʻphadlar toʻplami chekli oʻlchovli, yaʻni ( 1 n  ) oʻlchovli chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoning bazisini   2 1 ,t,t ,...,tn vektorlar sistemasi tashkil qiladi. 10- misol. Barcha ikkinchi tartibli matritsalarning chiziqli fazosi 11 12 2 11 12 21 22 21 22 a a M : a ,a ,a ,a R a a               berilgan boʻlsin. Bu chiziqli fazoning bazisi va oʻlchamini toping. Yechish. Bu fazoning bazislaridan biri sifatida quyidagi matritsalar sistemasini olish mumkin. 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 e , e , e , e                             Chunki ixtiyoriy 2-tartibli matritsani bu matritsalarning chiziqli kombinatsiyasi orqali quyidagicha yozish mumkin 11 12 11 1 12 2 21 3 22 4 21 22 a a a e a e a e a e a a           Ilmiybaza.uz 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 e , e , e , e                             matritsalar sistemasining chiziqli erkliligini koʻrsatamiz. Buning uchun quyidagi tenglikni qaraymiz: 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 0               e e e e . Bu tenglik faqat va faqat 1 2 0, 0,     3   0, 4   0 bajarilsagina oʻrinli boʻlgani uchun 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 e , e ,               3 0 0 1 0 e ,        4 0 0 0 1 e        matritsalar sistemasi 2 M fazoning bazisi hisoblanadi. Bundan 2 M fazoning oʻlchovi 4 ga tengligi ham kelib chiqadi. 1-teorema. n oʻlchovli L chiziqli fаzoning har bir elementi bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi koʻrinishida bir qiymatli yoziladi. Isbot. Faraz qilaylik   1 , 2 ,..., n e e e -elementlar sistemasi L fazoning bazisi va x L  ixtiyoriy element boʻlsin. U holda   1 , 2 ,..., n , e e e x elementlar sistemasi L fazoda chiziqli bogʻliq boʻladi. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng boʻlmagan   1 , 2 ,..., n ,     sonlar ketma-ketligi mavjudki, 1 1 2 2 n n x x x x          (1) tenglik oʻrinli boʻladi. Bu yerda   0 boʻladi, aks holda 1 1 2 2 n n x x x        tenglikda   1 , 2 ,..., n    sonlarning hech boʻlmaganda bittasi noldan farqli boʻlishi kerak, ammo bu   1 , 2 ,..., n e e e elementlar sistemasining bazisligiga ziddir. Chunki 1 1 2 2 1 0 n n n e e e ...              . (1) tenglikdan quyidagiga ega boʻlamiz: 1 2 1 2 ... n n x e e  e           , yoki ( 1,2,..., ) i i i n       belgilashdan, 1 1 2 2 ... n n x e e e        (2) yaʻni L fazoning ixtiyoriy elementi bazis elementlarining kombinatsiyasi, koʻrinishida ifodalanadi. Ilmiybaza.uz Endi (2) yoyilma bir qiymatli yoʻzilishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik bu x elementni boshqa koʻrinishda ham ifodalash mumkin boʻlsin: 1 1 2 2 ... n n x e e e        (3) (2) va (3) ifodalarni hadma-had ayirib quyidagini hosil qilamiz 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ... ( ) n n n e e e               . Bu tenglikdan va   1 , 2 ,..., n e e e elementlar sistemasining bazisligidan 1 1 2 2 ... 0 n n              yani 1 1 2 2 , ,..., n n          . Demak (2) yoʻyilma yagona boʻladi. 7- ta’rif. (2) tenglik x L  elementning   1 , 2 ,..., n e e e bazis vektorlari boʻyicha yoyilmasi deyiladi, 1 , 2 ,..., n    sonlarga esa x elementning bu bazis vektorlar boʻyicha koordinatalari deyiladi Chiziqli fazo elementlari uchun chiziqli bogʻliqlik va erklilik tushunchalariga misollar koʻramiz. 11- misol. [ , ] C a b fazoda 1 t x  e va 2 3 t x  e funksiyalar chiziqli bogʻliq boʻladimi? Yechish. Bu vektorlarning quyidagicha chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz va uni nolga tenglaymiz: 1 1 2 2 1 2 0 3 0           t t x x e e , 1 2 3 0     . Demak, bu funksiyalar chiziqli bogʻliq. Xuddi shunga oʻxshab koʻrsatish mumkinki [ , ] C a b fazoda 2 1y  sin t , 2 2y  cos t , 3 1 2 y  funksiyalar ham chiziqli bogʻliq boʻladi. Chunki 1 2 2 3 0 y y y    . 8- ta’rif. Agar chiziqli fazo cheksiz sondagi chiziqli erkli vektorlar sistemasiga ega boʻlsa, u holda bunday chiziqli fazoga cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo deyiladi. Yuqorida koʻrilgan [ , ] C a b fazo cheksiz oʻlchovli chiziqli fazo boʻladi, chunki   2 1 ,t,t ,...,tn funksiyalar barcha n N lar uchun chiziqli erkli boʻladi. 9- ta’rif. L chiziqli fаzoning V qism toʻplamining oʻzi ham L da aniqlangan elementlarni qoʻshish va elementlarni songa koʻpaytirish amallariga Ilmiybaza.uz nisbatan chiziqli fazo tashkil qilsa, u holda V fazo L fazoning chiziqli qism fazosi deyiladi. 12- misol. Barcha n -tartibli kvadrat matritsalar chiziqli fazosini qaraymiz. Bu fazo uchun barcha n -tartibli diagonal matritsalar fazosi chiziqli qism fazo boʻladimi? Yechish. Ixtiyoriy 11 11 22 22 1 2 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ,,, ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... nn nn a b a b D D a b                           matritsalarni qaraymiz. Maʻlumki bunda 11 11 22 22 1 2 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... nn nn a b a b D D a b                  yaʻni ikkita diagonal matritsaning yigʻindisi yana diagonal matritsa boʻladi. Endi diagonal matritsaning  songa koʻpaytmasini tekshiramiz: 11 11 22 22 1 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ,,, ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... nn nn a a a a D a a                                 yaʻni diagonal matritsani  songa koʻpaytirsak yana diagonal matritsa hosil boʻladi. Bundan tashqari bizga maʻlumki, n tartibli matritsalar uchun chiziqli fazo uchun oʻrinli boʻlgan yuqoridagi 8 ta aksioma bajariladi. Demak, n -tartibli diagonal matritsalar toʻplami n tartibli matritsalar fazosining chiziqli qism fazosini tashkil qiladi. Endi biz oldingi mavzuda n R arifmetik fazo uchun kiritilgan ckalyar koʻpaytma tushunchasini chiziqli fazo uchun umumlashtiramiz. 10- ta’rif. L chiziqli fazoning har bir x va y vektorlar juftligiga biror qoida bilan haqiqiy son   ,x y mos qoʻyilgan boʻlib, bu moslik uchun quyidagi shartlar: 1)     , , x y  y x ; Ilmiybaza.uz 2)       , , , x y z x z y z    ; 3)     , , x y x y   . 4)   , x x  0 , ixtiyoriy x L  uchun   , 0 x x x     ; bajarilsa, u holda   ,x y son x va y vektorlarning skalyar koʻpaytmasi deyiladi. 11- ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skаlyar koʻpаytmа aniqlangan boʻlsa, bu fazo Yevklid fаzosi dеyilаdi va n E koʻrinishda belgilanadi. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skаlyar koʻpаytmаni aniqlash orqali uni Yevklid fаzosigа aylantirish mumkin. 12- ta’rif. Yevklid fаzosidаn olingan x vеktor uchun quyidagicha ( ) , x  x x aniqlangan songa x vektorning normаsi (uzunligi) dеb аytilаdi: Vеktorning uzunligi uchun quyidаgi хossаlаr oʻrinlidir: 1. x  0 barcha  x L elementlar uchun. 0     x x 2.     x x , bundа  R ; 3. ( , )   x y x y (Koshi-Bunyakovskiy tеngsizligi); 4.   x  y x y (uchburchаk tеngsizligi). 13- ta’rif. Agar ,  n x y E elementlar uchun ( , ) x y  0 boʻlsa u holda x va y elementlar ortogonal vektorlar deyiladi. 14- ta’rif. Noldan farqli 1 , 2 ,...,  n n a a a E elementlardan tashkil topgan vektorlar sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi. 15- ta’rif. Agar   1 , 2 ,...,  n n a a a E ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib   1 1,2,..., ia i n   boʻlsa, u holda   1 2 3 , , ,..., n a a a a vektorlar sistemasi ortonormal vektorlar sistemasi deyiladi. Ilmiybaza.uz 16- ta’rif. Agar   1 2 3 , , ,..., n n e e e e  E vektorlar sistemasi n E fazoning bazisi boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi. Ortonormallangan   1 2 3 , , ,..., n n e e e e  E bazis uchun quyidagi munosabat oʻrinli:   1, ' , 0, ' i k agar i k bo lsa e e agar i k bo lsa       2-teorema. (Pifagor teoremasining umumlashmasi) Agar   1 , 2 ,...,  n n a a a E vektorlar sistemasi juft-jufti bilan ortogonal boʻlsa, u holda quyidagi munosabat oʻrinli 2 2 2 2 1 2 1 2 ... ... n n a a a a a a        3-teorema. Agar   1 , 2 ,...,  n n a a a E vektorlar noldan farqli va juft-jufti bilan orthogonal boʻlsa u holda bu vektorlar chiziqli erkli boʻladi. Isbot. Bu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzib uni nolga tenglaymiz 1 2 1 2 ... 0 n n a a a        Bu tenglikning ikkala tomonini 1a ga skalyar koʻpaytiramiz: 1 1 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 n n a a a a a a        Teorema shartiga koʻra   1 1 1 ( , ) 0, ( , ) 0 2,3,..., i a a a a i n    boʻlgani uchun oxirgi tenglikdan 2 1 1 1 1 1 ( , ) 0, a a a     ga ega boʻlamiz. Bundan 1   0 ekani kelib chiqadi. Xuddi shunga oʻxshab 2 3 ... 0       n  ekanligi isbotlanadi. Demak 1 , 2 ,..., n k a a a E chiziqli erkli vektorlar sistemasini tashkil qiladi. Teorema isbotlandi. 4-teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Evklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud. Ilmiybaza.uz Isbot. Faraz qilaylik   1 2 3 , , ,..., n n e e e e  E vektorlar sistemasi n E fazoning ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz: 1 1) 1 e  e , deb olib keyingi qadamda     1 t 1 2) ,             t i t t i i i i e e e e e e e 2, 3, ..., t k  Teorema isbotlandi. 13- misol. 3 R fazoda berilgan a1(1,1,1) , a2 (0,1,1) , a3 (0, 0,1) vektorlar sistemasidan ortonormallangan bazis quring. Yechish. Birinchi navbatda a1(1,1,1) , a2 (0,1,1) , a3 (0, 0,1) vektorlar sistemasining rangini aniqlab olamiz 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1  1 2 3 ( , , ) 3 rang a a a  boʻlganligi sababli bu sistemadagi vektorlar chiziqli erkli. Sistemani ortogonal sistemaga aylantirish uchun Shmidt formulasidan foydalanamiz: 1 1 1) (1,1,1) b  a ;         1 2 2 2 1 1 1 , 2 2 1 1 2) 0,1,1 1,1,1 , , 3 3 3 3 , b a b a b b b             ;         1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 , 1 1 3) 0; ; 2 2 , b a b a b a b b b b b b            . Berilgan vektorlar sistemasi ustida qurilgan ortogonal sistema vektorlarini butun koordinatali vektorlarga aylantirish uchun 1 1 (1,1,1) c  b ; 2 2 1 1 , , 3 3 3 b         ni unga Ilmiybaza.uz kollinear boʻlgan 2 2 ( 2,1,1) 3 c b   bilan; 3 0; 1 1 ; 2 2 b         ni esa unga kollinear boʻlgan 3 3 (0, 1,1) 2 c b   bilan almashtirib va 1 1 (1,1,1) c  b belgilash kiritib: c1(1,1,1) , 2( 2,1,1) c  , 3(0, 1,1) c  ortogonal vektorlar sistemasini hosil qilamiz. Nol boʻlmagan c vektorning birlik vektori, deb c c vektorga aytiladi. Yuqoridagi misolda topilgan ortogonal c1(1,1,1) , 2( 2,1,1) c  , 3(0, 1,1) c  vektorlar sistemasini ortonormal vektorlar sistemasiga keltiramiz.   1 2 2 2 1 1 1 1 1 1,1,1 , , 3 3 3 1 1 1 c c             2 2 2 2 2 1 2 1 1 2, 1, 1 , , 6 6 6 ( 2) 1 1 c c                3 2 2 2 3 1 1 1 0, 1, 1 0, , 2 2 0 ( 1) 1 c c              Tayanch soʻz va iboralar: chiziqli fazo, elementlarning chiziqli kombinatsi yasi, chiziqli kombinatsiya koeffitsientlari, chiziqli bogʻliq va chiziqli erkli elementlar, chiziqli fazo bazisi, chiziqli fazo oʻlchami, qism fazo, Yevklid fazosi Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 1. Chiziqli fazo deb nimaga aytiladi? 2. Chiziqli fazoning qism osti fazosi deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring. 3. Chiziqli fazoda elementlarning chiziqli kombinatsiyasi. 4. n-oʻlchovli chiziqli fazo deb qanday chiziqli fazoga aytiladi? 5. Chiziqli fazo oʻlchovi deb nimaga aytiladi? 6. n-oʻlchovli chiziqli fazo bazisi deb nimaga aytiladi? 7. Chiziqli fazo elementlarining bazis vektorlari boʻyicha yoyilmasi, elementlarining bazisdagi koordinatalari. 8. Har qanday xєLn vektorni fazoning bazisi orqali yoyish mumkinmi? 9. Vektorning biror-bir bazisdagi koordinatalari deb nimaga aytiladi? 10. Qanday chiziqli fazoga Yevklid fazo deyiladi? Ilmiybaza.uz Asosiy adabiyotlar: 1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5 nd Edition, 2016. 2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers, 42nd Edition, 2012. 3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020. 4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019. 5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 1995. 6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991. Qo‘shimcha adabiyotlar: 7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет. 8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.: Ўзбекистон, 2017. 9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017. 10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy qo‘llanma. Toshkent. 2014. 11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент “Ўқитувчи” 1984. 12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: Ilmiybaza.uz ФИЗМАТЛИТ, 2004. 13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. 14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015. 15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008. 16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013. 17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: На