CHIZIQSIZ REGRESSIYA 1. Chiziqsiz regressiya modellari: parabola, giperbola, n-darajali parabola. 2. Chiziqsiz regressiya modellari: ko‘rsatkichli funksiya, darajali funksiya, logistik funksiya. 3. Chiziqsiz regressiya modellarining parmetrlarini baholash uchun Eng kichik kvadratlar” (EKK). Tayanch iboralar: Bir omilli regression bog‘lanishlar, korrelyatsiya koeffitsienti, chiziqsiz regressiya. 1. Chiziqsiz regressiya modellari: parabola, giperbola, n-darajali parabola Tajribalar shuni ko‘rsatadiki chiziqsiz regressiyalar ichida ko‘proq ikkinchi tartibli parabola, ayrim hollarda uchinchi tartibli parabola ishlatiladi. Yuqori tartibli polinomlarni qo‘llashdagi chegaralanishlar o‘rganilayotgan to‘plamning bir jinsliligi bilan bog‘liq, polinom darajasi qancha yuqori bo‘lsa egri chiziqdagi sinishlar shuncha ko‘p bo‘ladi va mos ravishda natijaviy belgi to‘plami ham bir jinsli bo‘lmaydi. Undan tashqari ma’lumotlarni to‘plashda va hisoblashlarda noaniqliklar keltirib chiqaradi. Ikkinchi tartibli parabolani omil belgi qiymatlarining ma’lum bir oraliqda qaralayotgan o‘zgaruvchining bog‘lanish xususiyatini o‘zgarishiga: ya’ni to‘g‘ri bog‘lanishni teskari bog‘lanishga, teskari bog‘lanishni to‘g‘ri bog‘lanishga olib keladigan holatlarda qo‘llash maqsadga muvofiq. Bunday holatlarda omil belgining natijaviy belgini ekstrimal (maksimal yoki minimal) qiymatga erishtiruvchi qiymati aniqlanadi. 1 Buning uchun ikkinchi darajali parabolaning hosilasi nolga tenglashtiriladi; ya’ni dan hosila olamiz va `, bundan hosil bo‘ladi. Ikkinchi darajali parabola – Uchinchi darajali parabola – n-darajali parabola – Giperbola – b- darajali giperbola – Agar iqtisodiy jarayonlar orasida chiziqsiz munosabatlar mavjud bo‘lsa, u holda ular mos ravishda chiziqsiz funksiyalar orqali ifodalanadi: masalan; teng tomonli giperbola, ikkinchi tartibli parabola, va boshqalar. Chiziqsiz regressiya ikki sinfga bo‘linadi: - tenglamaga kiritilgan o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqsiz, lekin baholanuvchi parametrlar bo‘yicha chiziqli regressiyalar; - aniqlanuvchi parametrlar bo‘yicha chiziqsiz regressiya. Kiritilgan o‘zgaruvchilarga nisbattan chiziqsiz regressiyaga quyidagi funksiyalar misol bo‘la oladi: - turli darajali polinomlar, - - teng tomonli giperbola - Baholanuvchi parametrlar bo‘yicha chiziqsiz regressiyaga: - darajali - - ko‘rsatkichli - ; - eksponensial - - funksiyalar misol bo‘la oladi. Tenglamaga kiritilgan o‘zgaruvchilar bo‘yicha chiziqsiz regressiyaning parametrlarini baholash ko‘p qiyinchiliklarni yuzaga keltirmaydi. Ular chiziqli regressiyadagi kabi eng kichik kvadratlar usuli (EKKU) bilan aniqlanadi. Ikkinchi darajali parabola tenglamasida 2 o‘zgaruvchilarni , deb almashtirib quydagi ikki omilli chiziqli regressiya tenglamasini olamiz; Mos ravishda uchinchi, to‘rtinchi va hokazo tartibli polinomlarda ushbu usulni qo‘llab, uch, to‘rt va hokazo omilli chiziqli regressiya modellarini olish mumkin. Misol uchun , tartibli polinomda , ko‘p omilli chiziqli regressiya modelini hosil qilamiz. Ushbu tenglamalarning parametrlarni EKKU bilan hech qanday qiyinchiliksiz aniqlash mumkin. 9.2. Chiziqsiz regressiya modellari: ko‘rsatkichli funksiya, darajali funksiya, logistik funksiya Logarifmik – Yarim logarifmik – Ko‘rsatkichli funksiya – Darajali funksiya – Logistik funksiya – Chiziqsiz regressiya tenglamasi chiziqli bog‘lanish kabi korrelyasiya ko‘rsatkichlari, aynan quyidagi korrelyasiya indeksi ( ) bilan to‘ldiriladi. bu yerda: - natijaviy belgining umumiy dispersiyasi; - regressiya tenglamasidan kelib chiqib aniqlaniladigan qoldiq dispersiya. Korrelyasiya indeksini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: 3 Ushbu ko‘rsatkichning qiymati orlig‘ida yotadi, ya’ni , ko‘rsatkich qanchalik 1 ga yaqin bo‘lsa o‘rganilayotgan belgilar orasidagi bog‘lanish shunchalik zich bo‘ladi va tuzilgan regressiya tenglamasi shunchalik haqiqatga yaqin bo‘ladi. Misol. Kichik korxonalarning yillik tovar oboroti va muomala harajatlarining nisbiy darajasi to‘g‘risida quyidagi ma’lumotlar keltirilgan: Йиллик товar oboroti, mlrd. so‘m 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 Muomala harajatlarining nisbiy darajasi, % 25,0 23,0 22,0 22,5 22,2 22,0 21,4 Jadval ma’lumotlariga asosan tovar oboroti va muomala harajatlari orsida teskari bog‘lanish mavjud bo‘lganligi sababli bog‘lanish giperbola tenglamasi orqali aniqlanadi va unga mos normal tenglamalar sistemasining va koeffisientlari qiymatini topish hamda hosil bo‘lgan regressiya tenglamasida hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz: Regressiya tenglamasining hisob-kitobi m/r Yillik tovar oboroti, mln.so‘m, (x) Muomala xara- jatining nisbiy darajasi, %, (y) 1 5.0 25.0 0.200 5.000 0.0400 2 6.0 23.0 0.167 3.841 0.0278 3 7.0 22.0 0.143 3.146 0.0204 4 8.0 22.5 0.125 2.813 0.0156 5 9.0 22.2 0.111 2.464 0.0123 6 10.0 22.0 0.100 2.200 0.0100 7 11.0 21,4 0,091 1,955 0,0080 ∑ - 158,1 0,937 21,419 0,1321 158,1 4 Jadval ma’lumotlari asosida normal tenglamalar sistemasini tuzamiz: Tenglamalarni yechib a= 17,4 va v = 38,2 natijalarni olamiz. U holda, regressiya tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: . Hosil bo‘lgan regressiya tenglamasi uchun korrelyasiya indeksi quyidagiga teng: . Bu natija o‘rganilayotgan belgilar orasidagi bog‘lanish zichligi yuqori ekanligini ko‘rsatadi. Giperbola tenglamasidagi a- parametr tovar oborotining 1 mln. so‘mga o‘zgarishi muomala harajatlarini qancha o‘zgarishga olib kelishini ko‘rsatadi. Buning uchun regressiya tenglamasidan birinchi tartibli hosila olinadi: Tovar oborotining hajmi 5 mln. so‘mdan 6 mln. so‘mgacha ortganda, ya’ni 1mln. so‘mga farq qilganda, muomala harajatlarining nisbiy darajasi 1,53 foizga kamayadi. Yuqori tovar oborotiga ega bo‘lgan korxonalarda esa muomala harajatlari 0,38 foizga pasayishiga olib keladi. 5 9.3. Chiziqsiz regressiya modellarining parmetrlarini baholash uchun “Eng kichik kvadratlar” (EKK) Agar berilgan ma’lumatlar bog‘lanish yo‘nalishini o‘zgarishini ta’minlay olmasa, u holda ikkinchi tartibli parabola parametrlarining ma’nosini tushinish qiyin bo‘ladi. Bunday holatda bog‘lanish shakli boshqa chiziqsiz model bilan almashtiriladi. Ikkinchi darajali parabolaning paramerlarining qiymatlarini topish EKKUni qo‘llab quydagi normal tenglamalar sistemasini matematikaning biror bir usulini qo‘llab yechishga olib keladi: (6.1) va bo‘lganda egri chiziq eng yuqori nuqtaga, ya’ni egri chiziqning sinish, bog‘lanish yo‘nalishini o‘zgartirish nuqtasiga nisbatan simmetrik bo‘ladi, aynan o‘sish pasayishga o‘zgaradi. Bunday funksiyalarnini iqtisodiyotda jismoniy mehnat bilan shug‘ullanuvchi ishchilarning ish haqini ularning yoshiga bog‘liqligini o‘rganishda kuzatish mumkin. Ishchilarning yoshi kattalashib borgan sari ularning tajribasi ortishi bilan birga ularning malakasi ham yuqorilashib ish haqi ko‘payib boradi. Lekin ma’lum bir yoshdan boshlab organizimni qarishi natijasida mehnat samaradorligini pasayishi ishchining ish haqqini pasayishiga olib kelishi mumkin. Agar o‘zaro bog‘lanishning parabolik shakli natijaviy ko‘rsatkichni avval o‘sishini, so‘ngra pasayishini namoish etsa, u holda omil belgining natijani maksimumga erishtiradigan qiymati topiladi. Masalan, oilada maxsulot(birligini) daromad darajasiga bog‘liq holda iste’mol qilinishi tenglama bilan tavsiflansin. Tenglamaning birinchi tartibli hosilasini nolga tenglab , maksimal iste’mol miqdorini beruvchi daromad qiymatini topamiz, ya’ni ming so‘mda iste’mol maksimal darajaga yetadi. 6 va bo‘lganda ikkinchi darajali parabola o‘zining eng quyi nuqtasiga simmetrik bo‘ladi. Bunday holat funksiyaning bog‘lanish yo‘nalishini (kamayishni o‘sishga) o‘zgartiruvchi eng kichik qiymatni topish imkonini beradi. Faraz qilaylik ishlab chiqarish harajatlarini ishlab chiqarilgan maxsulot hajmiga bog‘liqligi quyidagi tenglama bilan tavsiflansin: , bu holatda eng kam harajatga maxsulot birligi ishlab chiqarilganda erishiladi . Bunga quyidagi jadvaldagi ning qiymatlarini tenglamaga qo‘yib ko‘rib ishonch hosil qilish mumkin: 10 11 12 13 14 15 16 17 800 782 768 758 752 750 752 758 Ikkinchi tartibli parabola egri chizig‘i simmetrik bo‘lganligi sababli u aniq tadqiqotlarda har doim ham qo‘llanilavermaydi. Tadqiqotchi ko‘pincha parabolaning to‘liq shakli bilan emas balki, uning ayrim segmentidan foydalanib ish yuritadi. Parabolik bog‘lanishning parametrlari har doim ham mantiqqa ega bo‘lavermaydi. Shuning uchun bog‘lanish grafigi ikkinchi tartibli parabolani aniq ifodalamasa, u boshqa chiziqsiz funksiyaga almashtiriladi, masalan darajali funksiyaga. Ikkinchi tartibli parabola ko‘proq qishloq xo‘jaligida xosildorlikni berilgan o‘g‘itlar miqdoriga bog‘liqligini tavsiflash uchun qo‘llaniladi. Bog‘lanishning bu shakli quyidagicha asoslanadi, -o‘simlikka berilayotgan o‘g‘itning miqdori ortishi bilan hosildorlik, faqat berilayotgan o‘g‘itning miqdori optimal dozasiga yetgunga qadar oshib boradi, deyiladi. Dozaning keyingi ortishi o‘simlik uchun zarar va hosildorlikni kamayishiga olib keladi. Shuning uchun amalda bunday bog‘lanish ko‘proq parabolaning segmenti ko‘rinishida beriladi. Nazorat uchun savollar 7