CHIZIQSIZ TENGLAMALAR TAQRIBIY YECHISH METODLARI

Yuklangan vaqt

2024-05-17

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

8

Faytl hajmi

191,1 KB


Ilmiybaza.uz CHIZIQSIZ TENGLAMALAR TAQRIBIY YECHISH METODLARI Tayanch so‘z va iboralar: Chiziqsiz tenglama ildizlarni taqribiy topish: oddiy iteratsiya, Nyuton, vatarlar usullari Ilmiybaza.uz CHIZIQSIZ TENGLAMALAR TAQRIBIY YECHISH METODLARI Tayanch so‘z va iboralar: Chiziqsiz tenglama ildizlarni taqribiy topish: oddiy iteratsiya, Nyuton, vatarlar usullari Ilmiybaza.uz IV.1. Chiziqsiz tenglama ildizlarni taqribiy topish Oddiy iteratsiya usuli D x x x x x f f x x     ) ( , ,0 ) ( , ,0 ) , ( 2 1 2 1 2 2 1 1 tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. a) Iteratsiya usuli. Tenglamalar sistemasi ekvivalent iteratsiya usulini qo‘llash uchun qulay ko‘rinishga keltirib olinadi: ), ( , ), ( , 0 ,0 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 x x g x g x x x f f      max '( ) 1 x D q g x    . max '( ) 1 x D q g x    -yaqinlashish sharti, 1 ( ), 2 g x g ( ) x -funksiyalar iteratsiya funksiyalari deyiladi. (0) (0) (0) 1 2 ( , ) x x x  boshlang‘ich iteratsiya tanlangach, iteratsiyalar quyidagicha quriladi: ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , ), ( , ), 1,2,..... k k k k k k x g x x x g x x k        Qoldiq had-aniq echim  bilan taqribiy echim ( ) x k orasidagi farq norma 2 D  R sohadagi normada quyidagicha beriladi: ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( 1) , 1 k k k k k q x q x x x x q            IV.2. Nyuton iteratsiya usuli b) Soddalashtirilgan Nyuton usuli (0) (0) (0) (0) 1 1 1 2 2 1 1 2 (0) (0) (0) 1 2 (0) (0) (0) (0) 1 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) (0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) (0) (0) 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ( , ) ( , ) k k k k k k f x x f x x d d x x f x x f x x f x x f x x f x x f x d d f x x f x x                  ( 1) ( 1) 2 (0) (0) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 1 2 , ) ( , ) ( , ) k k k k x f x x f x x      ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 2 1 1 2 2 (0) (0) , k k k k k k d d x x x x d d         v) Nyuton usuli 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) f f f f f f d d x x d d x x d d x x f f f f f f               1) ( 2 1) ( 2 ( ) 2 1) ( 1 1) ( 1 ( ) 1 ) ( , ) (         k k k k k k d d x x d d x x Ilmiybaza.uz IV.1. Chiziqsiz tenglama ildizlarni taqribiy topish Oddiy iteratsiya usuli D x x x x x f f x x     ) ( , ,0 ) ( , ,0 ) , ( 2 1 2 1 2 2 1 1 tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. a) Iteratsiya usuli. Tenglamalar sistemasi ekvivalent iteratsiya usulini qo‘llash uchun qulay ko‘rinishga keltirib olinadi: ), ( , ), ( , 0 ,0 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 x x g x g x x x f f      max '( ) 1 x D q g x    . max '( ) 1 x D q g x    -yaqinlashish sharti, 1 ( ), 2 g x g ( ) x -funksiyalar iteratsiya funksiyalari deyiladi. (0) (0) (0) 1 2 ( , ) x x x  boshlang‘ich iteratsiya tanlangach, iteratsiyalar quyidagicha quriladi: ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , ), ( , ), 1,2,..... k k k k k k x g x x x g x x k        Qoldiq had-aniq echim  bilan taqribiy echim ( ) x k orasidagi farq norma 2 D  R sohadagi normada quyidagicha beriladi: ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( 1) , 1 k k k k k q x q x x x x q            IV.2. Nyuton iteratsiya usuli b) Soddalashtirilgan Nyuton usuli (0) (0) (0) (0) 1 1 1 2 2 1 1 2 (0) (0) (0) 1 2 (0) (0) (0) (0) 1 2 1 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) (0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) (0) (0) 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ( , ) ( , ) k k k k k k f x x f x x d d x x f x x f x x f x x f x x f x x f x d d f x x f x x                  ( 1) ( 1) 2 (0) (0) ( 1) ( 1) 1 2 1 2 2 1 2 , ) ( , ) ( , ) k k k k x f x x f x x      ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 2 1 1 2 2 (0) (0) , k k k k k k d d x x x x d d         v) Nyuton usuli 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) f f f f f f d d x x d d x x d d x x f f f f f f               1) ( 2 1) ( 2 ( ) 2 1) ( 1 1) ( 1 ( ) 1 ) ( , ) (         k k k k k k d d x x d d x x Ilmiybaza.uz 2 ( ) (0) 2 1 2 1 1 , , 2 max ( ) , min ( ) 1. k k x D x D M x q x q q m M f x f x m                 d) Minimizatsiya masalasiga keltirish 2 2 1 2 ( ): ( ) ( ),min ( ) ( ) 0 x D F x f x f x F x F       Tenglamani iteratsiya usulini qo‘llash uchun qulay ko‘rinishga keltirish.(Iteratsiya funksiyalarini topish). Umumiy holda ( ): n n f x D R R   bo‘lsin. ( ) 0 f x  vektor tenglamani ( ) ( ), : n n x g x x Lf x L R R     ,ekvivalent vektor tenglamaga olib kelamiz, bu erda ,det( ) 0. L ì àò ðèöà L   Ravshanki, 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) . . . ( ) . ( ) n n n n f x f x f x f x f x                 , 1 1 1 1 1 0 0 ( ) . ( ) ( ) ( ) 0 1 0 . . . 0 0 1 ( ) . ( ) n n n n f x f x g x E Lf x L f x f x                               max '( ) 1 x D q g x    tengsizlik bajarilishi uchun quyidagi talablarni qo‘yish mumkin: 1) ( ) 0 g x   , bu erda x -biror nuqta, jumladan, (0) x  x -boshlang‘ich iteratsiya. Bu holda 1 ( 1) ( ) 1 ( ) [ ( )] , [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k L f x x x f x f x k          va iteratsiyalar ( 1) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k x x f x f x k       formula asosida quriladi. Bu soddalashtirilgan Nyuton iteratsiya usuli. 2) ( ( ) ) 0, 0,1,.... g x k k    Bu holda ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] , [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k k k L f x x x f x f x k          va iteratsiyalar ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k k x x f x f x k       formula asosida quriladi. Bu Nyuton iteratsiya usuli. Masalaning qo‘yilishi. Ushbu sistema yechilsin : Ilmiybaza.uz 2 ( ) (0) 2 1 2 1 1 , , 2 max ( ) , min ( ) 1. k k x D x D M x q x q q m M f x f x m                 d) Minimizatsiya masalasiga keltirish 2 2 1 2 ( ): ( ) ( ),min ( ) ( ) 0 x D F x f x f x F x F       Tenglamani iteratsiya usulini qo‘llash uchun qulay ko‘rinishga keltirish.(Iteratsiya funksiyalarini topish). Umumiy holda ( ): n n f x D R R   bo‘lsin. ( ) 0 f x  vektor tenglamani ( ) ( ), : n n x g x x Lf x L R R     ,ekvivalent vektor tenglamaga olib kelamiz, bu erda ,det( ) 0. L ì àò ðèöà L   Ravshanki, 1 1 1 1 ( ) . ( ) ( ) . . . ( ) . ( ) n n n n f x f x f x f x f x                 , 1 1 1 1 1 0 0 ( ) . ( ) ( ) ( ) 0 1 0 . . . 0 0 1 ( ) . ( ) n n n n f x f x g x E Lf x L f x f x                               max '( ) 1 x D q g x    tengsizlik bajarilishi uchun quyidagi talablarni qo‘yish mumkin: 1) ( ) 0 g x   , bu erda x -biror nuqta, jumladan, (0) x  x -boshlang‘ich iteratsiya. Bu holda 1 ( 1) ( ) 1 ( ) [ ( )] , [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k L f x x x f x f x k          va iteratsiyalar ( 1) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k x x f x f x k       formula asosida quriladi. Bu soddalashtirilgan Nyuton iteratsiya usuli. 2) ( ( ) ) 0, 0,1,.... g x k k    Bu holda ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] , [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k k k L f x x x f x f x k          va iteratsiyalar ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ), 0,1,.... k k k k x x f x f x k       formula asosida quriladi. Bu Nyuton iteratsiya usuli. Masalaning qo‘yilishi. Ushbu sistema yechilsin : Ilmiybaza.uz f(x,y)=x*x+y*y-1=0,g(x,y)=x*x-y=0. Birinchi tenglama birlik aylana, ikkinchi tenglama kvadratik paraboladir. Ular 1- va 4- choraklarda kesishadi va 2 ta haqiqiy ildizlarga ega. Uni Mathcad da grafik chizib ham ko‘ramiz. f x ( ) 1   x2  1 2  g x ( ) x2  x 4 4  y 10 10  5 0 5 0 10 20 f x ( ) g x ( ) x Masalaning Mathcad dasturida yechilishi. a) Given ...Find bloki yordamida yechish x  1 y 0  Given x2  y2 1 x2  y 0 r Find x y (  )  r 0.7861512594 0.6180339205    x  1 y 0  Given x2  y2 1 x2  y 0 r Find x y (  )  r 0.7861512594  0.6180339205    b) iteratsiya usulini Mathcad da tashkil etish Ilmiybaza.uz f(x,y)=x*x+y*y-1=0,g(x,y)=x*x-y=0. Birinchi tenglama birlik aylana, ikkinchi tenglama kvadratik paraboladir. Ular 1- va 4- choraklarda kesishadi va 2 ta haqiqiy ildizlarga ega. Uni Mathcad da grafik chizib ham ko‘ramiz. f x ( ) 1   x2  1 2  g x ( ) x2  x 4 4  y 10 10  5 0 5 0 10 20 f x ( ) g x ( ) x Masalaning Mathcad dasturida yechilishi. a) Given ...Find bloki yordamida yechish x  1 y 0  Given x2  y2 1 x2  y 0 r Find x y (  )  r 0.7861512594 0.6180339205    x  1 y 0  Given x2  y2 1 x2  y 0 r Find x y (  )  r 0.7861512594  0.6180339205    b) iteratsiya usulini Mathcad da tashkil etish Ilmiybaza.uz ORIGIN 1  g x ( ) 1 0.5 cos x2     sin x1  1   1.2     k 1 5   x 1   0.4 0.5    x k 1    g x k      x 0.4 0.5 0.5612087191 0.21455027  0.5114638779 0.2000459608  0.5099712771 0.2017596534  0.5101422642 0.2018492731  0.5101512458 0.2018388938     x 1   0.6  0.1     x k 1    g x k      x 0.6  0.1  0.5024979174 0.8105816577  0.6554614854 0.2023314299  0.5101996345 0.2035819541  0.5103256662 0.2018354178  0.510149857 0.2018277933     c) Nyuton usulini Mathcad da tashkil etish s) Boshlang‘ich qiymat x0=[-1,0.5] Nyuton va soddalashtirilgan Nyuton usullari Nyuton usuli Sodda Nyuton usuli g x ( ) x1   2 x2   2  1  x1   2 x2         J x ( ) 2 x1  2 x1  2 x2  1       k 1 5   x 1   1  0.5    y 1   x 1    x k 1    x k   J x k       1  g x k        y k 1    y k   J y 1       1  g y k        x 1  0.5 0.8125  0.625 0.786592  0.618056 0.786152  0.618034 0.786151  0.618034 0.786151  0.618034    ORIGIN  1 Ilmiybaza.uz ORIGIN 1  g x ( ) 1 0.5 cos x2     sin x1  1   1.2     k 1 5   x 1   0.4 0.5    x k 1    g x k      x 0.4 0.5 0.5612087191 0.21455027  0.5114638779 0.2000459608  0.5099712771 0.2017596534  0.5101422642 0.2018492731  0.5101512458 0.2018388938     x 1   0.6  0.1     x k 1    g x k      x 0.6  0.1  0.5024979174 0.8105816577  0.6554614854 0.2023314299  0.5101996345 0.2035819541  0.5103256662 0.2018354178  0.510149857 0.2018277933     c) Nyuton usulini Mathcad da tashkil etish s) Boshlang‘ich qiymat x0=[-1,0.5] Nyuton va soddalashtirilgan Nyuton usullari Nyuton usuli Sodda Nyuton usuli g x ( ) x1   2 x2   2  1  x1   2 x2         J x ( ) 2 x1  2 x1  2 x2  1       k 1 5   x 1   1  0.5    y 1   x 1    x k 1    x k   J x k       1  g x k        y k 1    y k   J y 1       1  g y k        x 1  0.5 0.8125  0.625 0.786592  0.618056 0.786152  0.618034 0.786151  0.618034 0.786151  0.618034    ORIGIN  1 Ilmiybaza.uz Taqribiy yechimda tenglamaning qanoatlanishi boshlang‘ich qiymat x0=[1,0.5] y 1  0.5 0.8125  0.625 0.791016  0.617188 0.78723  0.618134 0.786375  0.618022 0.7862  0.618035    g x 5     0 0    g y 5     0.000338 0.000364    ORIGIN  1 Nyuton va soddalashtirilgan Nyuton usullari Nyuton usuli Sodda Nyuton usuli Taqribiy yechimda tenglamaning qanoatlanishi g x ( ) x1   2 x2   2  1  x1   2 x2         J x ( ) 2 x1  2 x1  2 x2  1       k 1 5   x 1   1 0.5    y 1   x 1    x k 1    x k   J x k       1  g x k        y k 1    y k   J y 1       1  g y k        x 1 0.5 0.8125 0.625 0.786592 0.618056 0.786152 0.618034 0.786151 0.618034 0.786151 0.618034    y 1 0.5 0.8125 0.625 0.791016 0.617188 0.78723 0.618134 0.786375 0.618022 0.7862 0.618035    g x 5     0 0    g y 5     0.000338 0.000364    Ilmiybaza.uz Taqribiy yechimda tenglamaning qanoatlanishi boshlang‘ich qiymat x0=[1,0.5] y 1  0.5 0.8125  0.625 0.791016  0.617188 0.78723  0.618134 0.786375  0.618022 0.7862  0.618035    g x 5     0 0    g y 5     0.000338 0.000364    ORIGIN  1 Nyuton va soddalashtirilgan Nyuton usullari Nyuton usuli Sodda Nyuton usuli Taqribiy yechimda tenglamaning qanoatlanishi g x ( ) x1   2 x2   2  1  x1   2 x2         J x ( ) 2 x1  2 x1  2 x2  1       k 1 5   x 1   1 0.5    y 1   x 1    x k 1    x k   J x k       1  g x k        y k 1    y k   J y 1       1  g y k        x 1 0.5 0.8125 0.625 0.786592 0.618056 0.786152 0.618034 0.786151 0.618034 0.786151 0.618034    y 1 0.5 0.8125 0.625 0.791016 0.617188 0.78723 0.618134 0.786375 0.618022 0.7862 0.618035    g x 5     0 0    g y 5     0.000338 0.000364    Ilmiybaza.uz g) Minimizatsiya usuli Individual topshiriqlar 1         2 cos 2 2,1 )1 sin( y x y x 2         3 cos 5,0 )1 cos( y x y x 3         7,0 )1 cos( 2 2 sin x y y x 4         1 5,0 ) sin( 2 5,1 cos y x y x 5        1 2 6,0 4,0 ) ( 2 2 2 y x x xy tg 6         1 0 6,1 ) sin( 2 2 y x x y x 7         1 5,0 ) sin( 2 5,1 cos y x y x 8         1 2,0 2,1 ) sin( 2 2 y x x y x 9 sin( 0,5) 1 2 sin( 0,5) 1 x y x y          10 2 2 2 ( 0,3) 0,9 2 1 tg xy x x y         11 cos( 0,5) 0,8 sin 2 1,6 x y y x         12 2 2 sin( ) 1,3 0; 1 x y x x y         ORIGIN 1  f x ( ) x1   2 x2   2   1     2 x1   2  x2     2   x 1  0.5    y 1 0.5    x Minimize f x (  )  x 0.786151  0.618034    y Minimize f y (  )  y 0.786151 0.618034    f x ( ) 1.287 10 15    f y ( ) 1.287 10 15    Ilmiybaza.uz g) Minimizatsiya usuli Individual topshiriqlar 1         2 cos 2 2,1 )1 sin( y x y x 2         3 cos 5,0 )1 cos( y x y x 3         7,0 )1 cos( 2 2 sin x y y x 4         1 5,0 ) sin( 2 5,1 cos y x y x 5        1 2 6,0 4,0 ) ( 2 2 2 y x x xy tg 6         1 0 6,1 ) sin( 2 2 y x x y x 7         1 5,0 ) sin( 2 5,1 cos y x y x 8         1 2,0 2,1 ) sin( 2 2 y x x y x 9 sin( 0,5) 1 2 sin( 0,5) 1 x y x y          10 2 2 2 ( 0,3) 0,9 2 1 tg xy x x y         11 cos( 0,5) 0,8 sin 2 1,6 x y y x         12 2 2 sin( ) 1,3 0; 1 x y x x y         ORIGIN 1  f x ( ) x1   2 x2   2   1     2 x1   2  x2     2   x 1  0.5    y 1 0.5    x Minimize f x (  )  x 0.786151  0.618034    y Minimize f y (  )  y 0.786151 0.618034    f x ( ) 1.287 10 15    f y ( ) 1.287 10 15    Ilmiybaza.uz 13 cos( 0,5) 0,8 sin 2 1,6 y x x y         14 2 2 2 ( 0,1) ; 0,5 2 1 tg xy x x y        15 2 cos( 1) 0; sin 0,4 x y y x          16 2 2 sin( ) 1,1 0,1; 1 x y x x y         17 cos( 0,5) 2 sin 2 1 y x x y         18 2 2 ( ) 0 2 1 tg x y xy x y         19 sin( 2) 1,5 cos( 2) 0,5 y x y x          20 2 2 sin( ) 1; 3 4 x y xy x y         21 sin( 1) 1 2 cos 2 x y x y         22 2 2 2 ( 0,2) ; 2 1 tg xy x x y        23 cos( 1) 0,8 cos 2 x y x y         24 2 2 sin( ) 1,5 0; 1 x y x x y         25 sin 2 1,6 cos( 1) 1 x y y x         26 2 2 2 0,5 2 1 tgxy x x y       27 1,2 2 sin( 0,5) 2 cox y x y         28 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         29 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         30 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         Mavzu bo‘yicha savollar 1. Nyuton usulining g‘oyasining aytib bering. 2. Nyuton usulining geometrik ma’nosini aytib bering. 3. Nyuton usulining yaqinlashish tartibi qanday? 4. Nyuton usulining qoldiq xadining baholang. Ilmiybaza.uz 13 cos( 0,5) 0,8 sin 2 1,6 y x x y         14 2 2 2 ( 0,1) ; 0,5 2 1 tg xy x x y        15 2 cos( 1) 0; sin 0,4 x y y x          16 2 2 sin( ) 1,1 0,1; 1 x y x x y         17 cos( 0,5) 2 sin 2 1 y x x y         18 2 2 ( ) 0 2 1 tg x y xy x y         19 sin( 2) 1,5 cos( 2) 0,5 y x y x          20 2 2 sin( ) 1; 3 4 x y xy x y         21 sin( 1) 1 2 cos 2 x y x y         22 2 2 2 ( 0,2) ; 2 1 tg xy x x y        23 cos( 1) 0,8 cos 2 x y x y         24 2 2 sin( ) 1,5 0; 1 x y x x y         25 sin 2 1,6 cos( 1) 1 x y y x         26 2 2 2 0,5 2 1 tgxy x x y       27 1,2 2 sin( 0,5) 2 cox y x y         28 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         29 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         30 2 2 sin( ) 1,2 0,2 1 x y x x y         Mavzu bo‘yicha savollar 1. Nyuton usulining g‘oyasining aytib bering. 2. Nyuton usulining geometrik ma’nosini aytib bering. 3. Nyuton usulining yaqinlashish tartibi qanday? 4. Nyuton usulining qoldiq xadining baholang.