Ilmiybaza.uz
DETERMINANTLAR NAZARIYASI
Reja
1. Ikkinchi tartibli determinantlar.
2. Uchinchi tartibli determinantlar.
3. O’rin almashtirishlar va oʻrinlashtirish.
4. n-tartibli determinantning ta’rifi va ba’zi bir xossalari.
Tayanch soʻz va iboralar. matritsa, determinant, kvadrat matritsa,
aniqlovchi, ikkinchi tartibli determinant, uchinchi tartibli determinant, Sarrus
qoidasi, oʻrin almashtirish, oʻrinlashtirish, n-tartibli determinant.
Ilmiybaza.uz
A kvadrat matritsaning skalyar (sonli) miqdorini aniqlovchi determinant
tushunchasining kiritilishi chiziqli tenglamalar sistemasini yechish bilan
chambarchas bogʻliq.
1. Ikkinchi tartibli determinantlar.
1-ta’rif. Ikkinchi tartibli determinant deb
11
12
11
22
12
21
21
22
a
a
a a
a a
a
a
(1)
tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Qisqacha, Δ deb belgilanadi. Bu
yerda
11
12
21
22
,
,
,
a
a
a
a
-determinantning elementlari deyiladi.
11
a , 12
a va
21
a , 22
a mos ravishda determinantning 1- va 2-satrlari,
11
21
a ,
a va
12
a , 22
a mos ravishda determinantning 1- va 2-ustunlari deyiladi. Ya’ni
satr tartibi
:
ustun tartibi.
ij
i
a
j
Determinantning ixtiyoriy satri yoki ustuni determinantning qatori deb
ataladi.
11
a , 22
a
-elementlar joylashgan diagonal bosh diagonal deyiladi.
21
a , 12
a -
elementlar joylashgan diagonal yordamchi diagonal deyiladi.
1-misol. Hisoblang: 3
2
4
5
► (1.1.1) formulani qo‘llaymiz:
3
2
3 5
2 ( 4)
15
8
23
4
5
.◄
Eslatma. Determinantning elementlari funksiyalar bo‘lishi ham mumkin,
shuning uchun determinantning qiymati, umuman olganda, funksiyadir.
2-misol.
Ilmiybaza.uz
Hisoblang: cos
sin
sin
cos
x
x
x
x
.
►
2
2
cos
sin
cos
sin
cos2
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
. ◄
2. Uchinchi tartibli determinantlar.
2-ta’rif. Uchinchi tartibli determinant deb
11
12
13
21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
12
21
33
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
11
23
a a a32
(2)
tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Ko‘pincha, determinant tartibiga
mos ravishda
3
deb ham belgilanadi.
3-misol.
Hisoblang:
2
1
3
1
1
4
2
3
5
.
► (1.1.2) formulani qo‘llaymiz:
2
1
3
1
1
4
2 1 5
( 1) 4 2
3 1 ( 3)
3 1 2
( 1) 1 5
2
3
5
2 4 ( 3)
10
8
9
6
5
24
16
. ◄
3. O’rin almashtirish va oʻrinlashtirish.
Ilmiybaza.uz
Endi biz n-tartibli determinant yoki n-tartibli kvadrat matritsaning
determinanti tushunchasini kiritamiz. Bu uchun avval quyidagi yordamchi faktlarni
kiritamiz.
ntartibli oʻrin almashtirish tushunchasini kiritamiz. 1,2,3,...,n sonlarning
biror bir tartibda yozilishi ntartibli oʻrin almashtirish deb ataladi.
3-misol. {1,2,3} toʻplam uchun barcha oʻrin almashtirishlarni yozing.
►
(1,2,3),
(2,3,1),
(3,1,2),
1
2
3
(3,2,1),
(2,1,3),
(1,3,2)
5
4
6
P
P
P
P
P
P
◄
Umuman olganda har qanday n ta elementdan tuzilgan toʻplamda oʻrin
almashtirish tushunchasini kiritish mumkin. Bu jarayonni toʻplam elementlarini 1
dan boshlab ketma-ket natural sonlar bilan nomerlaymiz va {1,2,..., }
n sonlar ustida
oʻrin almashtirishga keltiramiz. Ya’ni, {1,2,..., }
n sonlar ustida oʻrin almashtirish
tushunchasini qarash umumiylikni buzmaydi.
3-ta’rif. Agar m
k
boʻlib, m soni k dan chaproqda joylashgan boʻlsa, u
holda P oʻrin almashtirishda m va k sonlar inversiyani tashkil qiladi deyiladi.
4-ta’rif. P oʻrin almashtirishdagi barcha elementlar tashkil etgan umumiy
inversiyalar soni P oʻrin almashtirishning inversiyalar soni, deb ataladi va inv P
kabi belgilanadi.
inv P sonning juft yoki toq boʻlishiga qarab, mos ravishda, P oʻrin
almashtirish juft yoki toq deb ataladi.
Masalan,
P (1,4,3,2)
oʻrin almashtirishda 1 va 4 sonlari inversiya tashkil
qilmaydi. 3 soniga mos inversiyalar 1 ta, 2 soniga mos inversiyalar 2 ta. Demak,
1
2
3
inv P
. P oʻrin almashtirish toq.
Oʻrin almashtirish quyidagi xossalarga ega:
Ilmiybaza.uz
1. {1,2,3,..., }
n toʻplamdagi barcha oʻrin almashtirishlar soni !
n ga teng;
2. Juft va toq oʻrin almashtirishlar soni oʻzaro teng, ya’ni har biri !
2
n tadan;
3. Oʻrin almashtirishda ikkita elementning oʻrni almashtirilsa uning juft-
toqligi oʻzgaradi.
5-ta’rif. {1,2,3,..., }
n sonlar toʻplamini oʻziga akslantiruvchi, oʻzaro bir
qiymatli akslantirish oʻrinlashtirish deb ataladi.
Oʻrinlashtirishni ikkita oʻrin almashtirish bilan berishimiz mumkin. Ikkita
1P va
2P ntartibli oʻrin almashtirishlardan tuzilgan F oʻrinlashtirish quyidagicha
belgilanadi:
1
2
P .
F
P
Masalan,
1
1 2 3
2 3 1
F
va
2
3 1 2
1 2 3
F
oʻrinlashtirishlar oʻzaro teng.
Chunki bu oʻrinlashtirishlarning har biri 1 ga 2 ni, 2 ga 3 ni va 3 ga 1 ni mos
qoʻyadi.
Shu sababli oʻrinlashtirishni har doim
1
2
3
1 2 3 ...
...
n
n
F
i i
i
i
koʻrinishga keltirish
mumkin. Bunda
2
1
2
( , ,..., )
n
P
i i
i
biror ntartibli oʻrin almashtirish.
2P
almashtirish juft boʻlsa, F o‘rinlashtirish juft,
2P toq boʻlsa, F ham toq deyiladi.
2
( )
( 1)inv P
h F
miqdorga F oʻrinlashtirishning signaturasi deyiladi. Demak
aniqlanishiga koʻra
2
2
1,
(F)
1,
agar invP
juft bolsa
h
agar invP toq bolsa
4-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.
1
2
3
4
5
4
3
1
2
5
F
Ilmiybaza.uz
►4 soni soni 3, 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 3 ta inversiya
tashkil qiladi, 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta
inversiya tashkil qiladi, 1, 2 va 5 sonlari inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
3
2
5
invP
boʻladi. Bundan ( )
1
h F .◄
5-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.
4
2
3
1
5
4
2
5
3
1
F
►Birinchi qatorda sonlarni oʻsish tartibida joylashtirib chiqamiz, ya’ni
ustunlarning orinlarini almashtiramiz:
1
2
3
4
5
3
2
5
4
1
F
U holda 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya
tashkil qiladi, 2 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya
tashkil qiladi, 5 soni soni 1 va 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta
inversiya tashkil qiladi, 4 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta
inversiya tashkil qiladi, 1 soni inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
2 1 2 1
6
invP
boʻladi. Bundan ( )
1
h F .◄
ntartibli barcha oʻrinlashtirishlar toʻplamini
n
S bilan belgilaymiz.
4. n-tartibli determinantning ta’rifi va ba’zi bir xossalari.
Endi n tartibli determinant tushunchasini kiritamiz. Bizga ntartibli
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
kvadrat matritsa berilgan boʻlsin.
Ilmiybaza.uz
6-ta’rif. Barcha mumkin boʻlgan turli
1
2
3
1 2 3 ...
...
n
n
F
i i
i
i
oʻrinlashtirishlarga
mos
1
2
3
1
2
3
( )
...
n
i
i
i
ni
h F
a a a
a
koʻrinishdagi n! ta koʻpaytmalarning yig‘indisidan iborat
songa n tartibli determinant deyiladi.
n tartibli determinant det( )
A , |
|
A yoki
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
kabi belgilanadi.
Oʻrinlashtirish va oʻrin almashtirishlarning xossalariga asosan, bu ta’rifdan:
1) n tartibli determinant !
n ta hadning yig‘indisidan iborat;
2) bu yig‘indining har bir hadi matritsaning turli satrlari va turli ustunlarida
joylashgan n ta elementi koʻpaytmasidan iborat, ya’ni yig‘indining har bir hadida,
har bir satrdan va har bir ustundan yagona element qatnashadi.
3) yuqorida aytilgan koʻpaytmalarning yarmi ( !/ 2
n
tasi) oʻz ishorasi bilan,
qolgan yarmi qarama-qarshi ishora bilan olingan.
6-misol. Quyidagi koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining
qoʻshiluvchilaridan birortasini aniqlaydimi, agar aniqlasa bu qoʻshiluvchining
ishorasini toping.
13
22
31
46
55
64
a a a a a a
►Ta’rifga ko‘ra yig‘indining har bir hadida, har bir satrdan va har bir
ustundan yagona element qatnashadi. Birinchi indeksda qatnashayotgan sonlar har
xil va 1 dan 6 gacha (1,2,3,4,5,6), ikkinchi indeksda qatnashayotgan sonlar ham
har xil va 1 dan 6 gacha (1,2,3,4,5,6). Bundan bu ko‘paytma 6-tartibli
determinantning biror hadini bildirishi kelib chiqadi. Bu handing ishorasini topish
uchun quyidagi o‘rinlashtirishni tuzamiz:
1
2
3
4
5 6
3
2
1
6
5 4
F
Ilmiybaza.uz
U holda 3 soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil
qiladi, 2 soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi,
6 soni 5 va 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil qiladi, 5
soni 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi, 1 soni
inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
2 1
2 1
6
invP
boʻladi. Bundan
( )
1
h F va bu handing ishorasi ko‘paytmaning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi.◄
7-misol. Quyidagi koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining
qoʻshiluvchilaridan birortasini aniqlaydimi, agar aniqlasa bu qoʻshiluvchining
ishorasini toping.
34
21
46 17
73
54
62
a a a a a a a
►Bu ko‘paytmadagi
34
a va
54
a elementlar ikkalasi ham 4-ustunga tegishli,
n-tartibli determinantning ta’rifiga ko‘ra yig‘indining har bir qo‘shiluvchisida, har
bir satrdan va har bir ustundan yagona element qatnashishi kerak. Demak bu
koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining qoʻshiluvchilaridan
birortasi bo‘la olmaydi.◄
Biz yuqorida koʻrgan 2-tartibli kvadrat matritsaning determinantini n-tartibli
determinantning t’rifidan foydalanib hisoblaymiz:
11
12
11
22
21 12
21
22
a
a
a a
a a
a
a
.
Haqiqatan, ikkinchi tartibli turli oʻrinlashtirishlar soni 2!
2
ta. Bular
1 2
1 2
va 1 2
2 1
.
Bulardan birinchisi juft, ikkinchisi esa toq. Shu sababli determinant
11
22
a a
va
12
a a21
sonlarning yig‘indisidan iborat.
Endi uchinchi tartibli determinantni qaraymiz. Uchinchi tartibli turli
oʻrinlashtirishlar soni 3! 1 2 3
6
ta. Bular
Ilmiybaza.uz
1
1 2 3
1 2 3
S
,
2
1 2 3
2 3 1
S
,
3
1 2 3
3 1 2
S
,
4
1 2 3
3 2 1
S
,
5
1 2 3
2 1 3
S
,
6
1 2 3
1 3 2
S
.
Bu
oʻrinlashtirishlarning
ikkinchi
satridagi
oʻrin
almashtirishlarni
qaraymiz.
1S da
1
P (1,2,3)
boʻlib,
1
inv P 0
,
2
S da
2
P (2,3,1)
boʻlib,
2
0
0
2
2
inv P
,
3
S da
3
P (3,1,2)
boʻlib,
3
0
1 1
2
inv P
. Demak,
1
, 2
S S
va
3
S lar juft boʻlib, ularga mos signaturalar 1 ga teng. Shu sababli determinantni
ifodalovchi yig‘indida bu uchta oʻrinlashtirishga mos
11
22
33
a a a ,
12
23
31
a a a va
13
21
32
a a a koʻpaytmalar oʻz ishorasi bilan olinadi. Juft va toq oʻrin almashtirishlar
soni teng boʻlganligi sababli, qolgan uchta
4
S ,
5
S va
6
S lar toq va ularga mos
13
22
31
a a a ,
12
21
33
a a a va
11
23
32
a a a koʻpaytmalar qarama-qarshi ishora bilan olinishi
kerak.
Yuqoridagilarni umumlashtirsak, uchinchi tartibli determinant uchun
quyidagi ifodani olamiz:
11
12
13
21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
12
21
33
11
23
32
31
32
33
.
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
Bundan koʻrinib turibdiki, determinantni ta’rif boʻyicha hisoblash juda koʻp
amallardan iborat boʻlib, ma’lum noqulayliklarga ega. Misol uchun 4-tartibli
determinant 4!
24
ta haddan iborat. Har bir hadi matritsaning turli satr va
ustunlaridan olingan 4 ta elementi koʻpaytmasidan iborat. Bu hadlarning har
birining ishorasini topish uchun 24 ta oʻrinlashtirishning juft-toqligi aniqlanishi
talab qilinadi.
Shu sababdan determinantni uning ba’zi xossalaridan foydalanib hisoblash
qulayroq.
Bugungi ma’ruzamizda determinantning ba’zi bir xossalarini koʻramiz.
Ilmiybaza.uz
1-xossa. Agar determinant biror satri (yoki ustuni) ning barcha elementlari
nolga teng boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi.
Bu xossa bevosita ta’rifdan kelib chiqadi, chunki determunantni aniqlovchi
yigindining har bir qoshiluvchisida bu qatorning (yoki ustunning) albatta bitta
elementi kopaytuvchi sifatida qatnashadi.
Masalan,
6
7
3
0
0
0
6 0 2
0 4 3
7 0 3
3 0 3
6 4 0
7 0 2
0.
3
4
2
2-xossa. Diagonal matritsaning determinanti diagonal elementlarining
koʻpaytmasiga teng, ya’ni:
11
22
1
det( )
.
n
nn
ii
i
A
a
a
a
a
3-xossa. Yuqori (quyi) uchburchakli matritsalarning determinantlari uning
bosh diagonal elementlari koʻpaytmasiga teng, ya’ni:
11
22
1
det( )
n
nn
ii
i
A
a
a
a
a
.
Masalan,
2
3
4
0
5
9
2 5 6
60.
0
0
6
4-xossa. Determinantning biror satri (ustuni) elementlarini
k 0
songa
koʻpaytirish determinantni shu songa koʻpaytirishga teng kuchlidir yoki biror satr
(ustun)
elementlarining
umumiy
koʻpaytuvchisini
determinant
belgisidan
tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni:
11
12
13
11
12
13
11
12
13
21
22
23
21
22
23
21
22
23
31
32
33
31
32
33
31
32
33
.
a
a
a
ka
ka
ka
a
a
ka
k a
a
a
a
a
a
a
a
ka
a
a
a
a
a
a
a
a
ka
Masalan,
Ilmiybaza.uz
2
7
3
3 5
6
8
3 (24
60
56
18
70
64)
36.
1
4
2
3 2
3 7
3 3
5
6
8
72
180
168
54 192
210
36.
1
4
2
3 2
7
3
3 5
6
8
72
180
168
54
192
210
36.
3 1
4
2
5-xossa. ntartibli determinant uchun quyidagi tenglik oʻrinli:
det(
)
n det( )
kA
k
A
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar
1.
Uchinchi tartibli determinant deb nimaga aytiladi?
2.
Uchinchi tartibli determinantni hisoblash Sarrus qoidasi nimadan iborat?
3.
Uchinchi tartibli determinantni hisoblash uchburchak sxemasini yozing.
4.
Transpozitsiyalash deganda nimani tushunasiz?
5.
Juft yoki toq o’rin almashtirish tizimi deb, qanday o’rin almashtirishga
aytiladi?
6.
n-tartibli determinant deb nimaga aytiladi?
Asosiy adabiyotlar:
1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5nd
Edition, 2016.
2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers,
42nd Edition, 2012.
3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K.
Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.
4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv
Ilmiybaza.uz
uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.
5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар,
1995.
6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.
Asosiy adabiyotlar:
7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан
бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини
таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.:
Ўзбекистон, 2017.
9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини
биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy
qo‘llanma. Toshkent. 2014.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент
“Ўқитувчи” 1984.
12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических
университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов
технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к
решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука,
1987.
18. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по
Ilmiybaza.uz
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
19. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, -
М.: Наука. 1997.
