Ilmiybaza.uz
DETERMINANTLAR NAZARIYASI
Reja
1. Ikkinchi tartibli determinantlar.
2. Uchinchi tartibli determinantlar.
3. O’rin almashtirishlar va oʻrinlashtirish.
4. n-tartibli determinantning ta’rifi va ba’zi bir xossalari.
Tayanch soʻz va iboralar. matritsa, determinant, kvadrat matritsa,
aniqlovchi, ikkinchi tartibli determinant, uchinchi tartibli determinant, Sarrus
qoidasi, oʻrin almashtirish, oʻrinlashtirish, n-tartibli determinant.
Ilmiybaza.uz
A kvadrat matritsaning skalyar (sonli) miqdorini aniqlovchi determinant
tushunchasining kiritilishi chiziqli tenglamalar sistemasini yechish bilan
chambarchas bogʻliq.
1. Ikkinchi tartibli determinantlar.
1-ta’rif. Ikkinchi tartibli determinant deb
11
12
11
22
12
21
21
22
a
a
a a
a a
a
a
(1)
tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Qisqacha, Δ deb belgilanadi. Bu
yerda
11
12
21
22
,
,
,
a
a
a
a
-determinantning elementlari deyiladi.
11
a , 12
a va
21
a , 22
a mos ravishda determinantning 1- va 2-satrlari,
11
21
a ,
a va
12
a , 22
a mos ravishda determinantning 1- va 2-ustunlari deyiladi. Ya’ni
satr tartibi
:
ustun tartibi.
ij
i
a
j
Determinantning ixtiyoriy satri yoki ustuni determinantning qatori deb
ataladi.
11
a , 22
a
-elementlar joylashgan diagonal bosh diagonal deyiladi.
21
a , 12
a -
elementlar joylashgan diagonal yordamchi diagonal deyiladi.
1-misol. Hisoblang: 3
2
4
5
► (1.1.1) formulani qo‘llaymiz:
3
2
3 5
2 ( 4)
15
8
23
4
5
.◄
Eslatma. Determinantning elementlari funksiyalar bo‘lishi ham mumkin,
shuning uchun determinantning qiymati, umuman olganda, funksiyadir.
2-misol.
Ilmiybaza.uz
Hisoblang: cos
sin
sin
cos
x
x
x
x
.
►
2
2
cos
sin
cos
sin
cos2
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
. ◄
2. Uchinchi tartibli determinantlar.
2-ta’rif. Uchinchi tartibli determinant deb
11
12
13
21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
12
21
33
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
11
23
a a a32
(2)
tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Ko‘pincha, determinant tartibiga
mos ravishda
3
deb ham belgilanadi.
3-misol.
Hisoblang:
2
1
3
1
1
4
2
3
5
.
► (1.1.2) formulani qo‘llaymiz:
2
1
3
1
1
4
2 1 5
( 1) 4 2
3 1 ( 3)
3 1 2
( 1) 1 5
2
3
5
2 4 ( 3)
10
8
9
6
5
24
16
. ◄
3. O’rin almashtirish va oʻrinlashtirish.
Ilmiybaza.uz
Endi biz n-tartibli determinant yoki n-tartibli kvadrat matritsaning
determinanti tushunchasini kiritamiz. Bu uchun avval quyidagi yordamchi faktlarni
kiritamiz.
ntartibli oʻrin almashtirish tushunchasini kiritamiz. 1,2,3,...,n sonlarning
biror bir tartibda yozilishi ntartibli oʻrin almashtirish deb ataladi.
3-misol. {1,2,3} toʻplam uchun barcha oʻrin almashtirishlarni yozing.
►
(1,2,3),
(2,3,1),
(3,1,2),
1
2
3
(3,2,1),
(2,1,3),
(1,3,2)
5
4
6
P
P
P
P
P
P
◄
Umuman olganda har qanday n ta elementdan tuzilgan toʻplamda oʻrin
almashtirish tushunchasini kiritish mumkin. Bu jarayonni toʻplam elementlarini 1
dan boshlab ketma-ket natural sonlar bilan nomerlaymiz va {1,2,..., }
n sonlar ustida
oʻrin almashtirishga keltiramiz. Ya’ni, {1,2,..., }
n sonlar ustida oʻrin almashtirish
tushunchasini qarash umumiylikni buzmaydi.
3-ta’rif. Agar m
k
boʻlib, m soni k dan chaproqda joylashgan boʻlsa, u
holda P oʻrin almashtirishda m va k sonlar inversiyani tashkil qiladi deyiladi.
4-ta’rif. P oʻrin almashtirishdagi barcha elementlar tashkil etgan umumiy
inversiyalar soni P oʻrin almashtirishning inversiyalar soni, deb ataladi va inv P
kabi belgilanadi.
inv P sonning juft yoki toq boʻlishiga qarab, mos ravishda, P oʻrin
almashtirish juft yoki toq deb ataladi.
Masalan,
P (1,4,3,2)
oʻrin almashtirishda 1 va 4 sonlari inversiya tashkil
qilmaydi. 3 soniga mos inversiyalar 1 ta, 2 soniga mos inversiyalar 2 ta. Demak,
1
2
3
inv P
. P oʻrin almashtirish toq.
Oʻrin almashtirish quyidagi xossalarga ega:
Ilmiybaza.uz
1. {1,2,3,..., }
n toʻplamdagi barcha oʻrin almashtirishlar soni !
n ga teng;
2. Juft va toq oʻrin almashtirishlar soni oʻzaro teng, ya’ni har biri !
2
n tadan;
3. Oʻrin almashtirishda ikkita elementning oʻrni almashtirilsa uning juft-
toqligi oʻzgaradi.
5-ta’rif. {1,2,3,..., }
n sonlar toʻplamini oʻziga akslantiruvchi, oʻzaro bir
qiymatli akslantirish oʻrinlashtirish deb ataladi.
Oʻrinlashtirishni ikkita oʻrin almashtirish bilan berishimiz mumkin. Ikkita
1P va
2P ntartibli oʻrin almashtirishlardan tuzilgan F oʻrinlashtirish quyidagicha
belgilanadi:
1
2
P .
F
P
Masalan,
1
1 2 3
2 3 1
F
va
2
3 1 2
1 2 3
F
oʻrinlashtirishlar oʻzaro teng.
Chunki bu oʻrinlashtirishlarning har biri 1 ga 2 ni, 2 ga 3 ni va 3 ga 1 ni mos
qoʻyadi.
Shu sababli oʻrinlashtirishni har doim
1
2
3
1 2 3 ...
...
n
n
F
i i
i
i
koʻrinishga keltirish
mumkin. Bunda
2
1
2
( , ,..., )
n
P
i i
i
biror ntartibli oʻrin almashtirish.
2P
almashtirish juft boʻlsa, F o‘rinlashtirish juft,
2P toq boʻlsa, F ham toq deyiladi.
2
( )
( 1)inv P
h F
miqdorga F oʻrinlashtirishning signaturasi deyiladi. Demak
aniqlanishiga koʻra
2
2
1,
(F)
1,
agar invP
juft bolsa
h
agar invP toq bolsa
4-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.
1
2
3
4
5
4
3
1
2
5
F
Ilmiybaza.uz
►4 soni soni 3, 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 3 ta inversiya
tashkil qiladi, 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta
inversiya tashkil qiladi, 1, 2 va 5 sonlari inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
3
2
5
invP
boʻladi. Bundan ( )
1
h F .◄
5-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.
4
2
3
1
5
4
2
5
3
1
F
►Birinchi qatorda sonlarni oʻsish tartibida joylashtirib chiqamiz, ya’ni
ustunlarning orinlarini almashtiramiz:
1
2
3
4
5
3
2
5
4
1
F
U holda 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya
tashkil qiladi, 2 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya
tashkil qiladi, 5 soni soni 1 va 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta
inversiya tashkil qiladi, 4 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta
inversiya tashkil qiladi, 1 soni inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
2 1 2 1
6
invP
boʻladi. Bundan ( )
1
h F .◄
ntartibli barcha oʻrinlashtirishlar toʻplamini
n
S bilan belgilaymiz.
4. n-tartibli determinantning ta’rifi va ba’zi bir xossalari.
Endi n tartibli determinant tushunchasini kiritamiz. Bizga ntartibli
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
kvadrat matritsa berilgan boʻlsin.
Ilmiybaza.uz
6-ta’rif. Barcha mumkin boʻlgan turli
1
2
3
1 2 3 ...
...
n
n
F
i i
i
i
oʻrinlashtirishlarga
mos
1
2
3
1
2
3
( )
...
n
i
i
i
ni
h F
a a a
a
koʻrinishdagi n! ta koʻpaytmalarning yig‘indisidan iborat
songa n tartibli determinant deyiladi.
n tartibli determinant det( )
A , |
|
A yoki
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
kabi belgilanadi.
Oʻrinlashtirish va oʻrin almashtirishlarning xossalariga asosan, bu ta’rifdan:
1) n tartibli determinant !
n ta hadning yig‘indisidan iborat;
2) bu yig‘indining har bir hadi matritsaning turli satrlari va turli ustunlarida
joylashgan n ta elementi koʻpaytmasidan iborat, ya’ni yig‘indining har bir hadida,
har bir satrdan va har bir ustundan yagona element qatnashadi.
3) yuqorida aytilgan koʻpaytmalarning yarmi ( !/ 2
n
tasi) oʻz ishorasi bilan,
qolgan yarmi qarama-qarshi ishora bilan olingan.
6-misol. Quyidagi koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining
qoʻshiluvchilaridan birortasini aniqlaydimi, agar aniqlasa bu qoʻshiluvchining
ishorasini toping.
13
22
31
46
55
64
a a a a a a
►Ta’rifga ko‘ra yig‘indining har bir hadida, har bir satrdan va har bir
ustundan yagona element qatnashadi. Birinchi indeksda qatnashayotgan sonlar har
xil va 1 dan 6 gacha (1,2,3,4,5,6), ikkinchi indeksda qatnashayotgan sonlar ham
har xil va 1 dan 6 gacha (1,2,3,4,5,6). Bundan bu ko‘paytma 6-tartibli
determinantning biror hadini bildirishi kelib chiqadi. Bu handing ishorasini topish
uchun quyidagi o‘rinlashtirishni tuzamiz:
1
2
3
4
5 6
3
2
1
6
5 4
F
Ilmiybaza.uz
U holda 3 soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil
qiladi, 2 soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi,
6 soni 5 va 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil qiladi, 5
soni 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi, 1 soni
inversiya tashkil qilmaydi. Demak
2
2 1
2 1
6
invP
boʻladi. Bundan
( )
1
h F va bu handing ishorasi ko‘paytmaning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi.◄
7-misol. Quyidagi koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining
qoʻshiluvchilaridan birortasini aniqlaydimi, agar aniqlasa bu qoʻshiluvchining
ishorasini toping.
34
21
46 17
73
54
62
a a a a a a a
►Bu ko‘paytmadagi
34
a va
54
a elementlar ikkalasi ham 4-ustunga tegishli,
n-tartibli determinantning ta’rifiga ko‘ra yig‘indining har bir qo‘shiluvchisida, har
bir satrdan va har bir ustundan yagona element qatnashishi kerak. Demak bu
koʻpaytma birorta determinantni aniqlovchi yigʻindining qoʻshiluvchilaridan
birortasi bo‘la olmaydi.◄
Biz yuqorida koʻrgan 2-tartibli kvadrat matritsaning determinantini n-tartibli
determinantning t’rifidan foydalanib hisoblaymiz:
11
12
11
22
21 12
21
22
a
a
a a
a a
a
a
.
Haqiqatan, ikkinchi tartibli turli oʻrinlashtirishlar soni 2!
2
ta. Bular
1 2
1 2
va 1 2
2 1
.
Bulardan birinchisi juft, ikkinchisi esa toq. Shu sababli determinant
11
22
a a
va
12
a a21
sonlarning yig‘indisidan iborat.
Endi uchinchi tartibli determinantni qaraymiz. Uchinchi tartibli turli
oʻrinlashtirishlar soni 3! 1 2 3
6
ta. Bular
Ilmiybaza.uz
1
1 2 3
1 2 3
S
,
2
1 2 3
2 3 1
S
,
3
1 2 3
3 1 2
S
,
4
1 2 3
3 2 1
S
,
5
1 2 3
2 1 3
S
,
6
1 2 3
1 3 2
S
.
Bu
oʻrinlashtirishlarning
ikkinchi
satridagi
oʻrin
almashtirishlarni
qaraymiz.
1S da
1
P (1,2,3)
boʻlib,
1
inv P 0
,
2
S da
2
P (2,3,1)
boʻlib,
2
0
0
2
2
inv P
,
3
S da
3
P (3,1,2)
boʻlib,
3
0
1 1
2
inv P
. Demak,
1
, 2
S S
va
3
S lar juft boʻlib, ularga mos signaturalar 1 ga teng. Shu sababli determinantni
ifodalovchi yig‘indida bu uchta oʻrinlashtirishga mos
11
22
33
a a a ,
12
23
31
a a a va
13
21
32
a a a koʻpaytmalar oʻz ishorasi bilan olinadi. Juft va toq oʻrin almashtirishlar
soni teng boʻlganligi sababli, qolgan uchta
4
S ,
5
S va
6
S lar toq va ularga mos
13
22
31
a a a ,
12
21
33
a a a va
11
23
32
a a a koʻpaytmalar qarama-qarshi ishora bilan olinishi
kerak.
Yuqoridagilarni umumlashtirsak, uchinchi tartibli determinant uchun
quyidagi ifodani olamiz:
11
12
13
21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
12
21
33
11
23
32
31
32
33
.
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
Bundan koʻrinib turibdiki, determinantni ta’rif boʻyicha hisoblash juda koʻp
amallardan iborat boʻlib, ma’lum noqulayliklarga ega. Misol uchun 4-tartibli
determinant 4!
24
ta haddan iborat. Har bir hadi matritsaning turli satr va
ustunlaridan olingan 4 ta elementi koʻpaytmasidan iborat. Bu hadlarning har
birining ishorasini topish uchun 24 ta oʻrinlashtirishning juft-toqligi aniqlanishi
talab qilinadi.
Shu sababdan determinantni uning ba’zi xossalaridan foydalanib hisoblash
qulayroq.
Bugungi ma’ruzamizda determinantning ba’zi bir xossalarini koʻramiz.
