Ilmiybaza.uz
DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI
Determinantlar va ularni hisoblash.
Determinantlarning asosiy xossalari.
Ilmiybaza.uz
Matritsaning bir qator xususiyatlarini ta’riflash va o‘rganish uchun uning
determinanti tushunchasi kerak bo‘ladi.
1-TA’RIF. n - tartibli A kvadrat matritsaning elеmеntlaridan ma’lum bir qoida
asosida hosil qilinadigan son n – tartibli determinant deyiladi.
A kvadrat matritsaning determinanti |A| yoki detA kabi belgilanadi. Ayrim
o‘quv adabiyotlarida determinant atamasi aniqlovchi deb aytiladi. Umumiy holda
n-tartibli determinant quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
A
2
1
2
22
21
1
12
11
det
.
2-TA’RIF. Berilgan |A| determinantni tashkil etgan aij (i,j=1,2, … ,n) sonlar
determinantning elementlari, gorizontal ko‘rinishda joylashgan aij (j=1,2, … ,n)
elementlar determinantning i- satri (i=1,2, … ,n), vertikal ko‘rinishda joylashgan
aij (i=1,2, … ,n) elementlar esa determinantning j ustuni (j=1,2, … ,n) deyiladi.
Endi I, II va III tartibli determinantlarni hisoblash qoidasini formula ko‘rinishida
aniq ifodalaymiz.
I tartibli |A| determinant faqat bitta a11 sondan iborat bo‘lib, uning qiymati shu
sonni o‘ziga teng, ya’ni |A|=|a11|= a11 deb olinadi.
II tartibli determinantning qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:
21
12
22
11
22
21
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
A
(1)
Masalan,
2
20
18
4 5
3 6
6
5
4
3
,
58
8
50
4 ( 2)
5 10
10
2
4
5
III tartibli determinant esa quyidagi formula bilan hisoblanadi:
Ilmiybaza.uz
(2)
11
32
23
33
21
12
31
22
13
13
32
21
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
A
Bu yerda (2) formulani eslab qolish oson emas va shu sababli III tartibli
determinantlarni quyidagi usullarda hisoblash mumkin.
Uchburchaklar usuli. Bu usulda determinantning elementlari sxematik
ko‘rinishda nuqtalar singari ifodalanadi (8,а-rasmga qarang). So‘ngra asoslari
determinantning diagonallariga parallel bo‘lgan uchburchaklar qaraladi. Bu
uchburchaklarning
uchlarida
va
diagonallarda
joylashgan
elementlarning
ko‘paytmalari hosil qilinadi. I holda chiziqlar bilan tutashtirilgan elementlarning
ko‘paytmalari o‘z ishorasi, II holda esa qarama-qarshi ishora bilan olinadi.
Sarrius usuli. Bu usulda determinantning o‘ng tomoniga uning I va II
ustunlari takroran yozilib, 3×5 tartibli matritsa hosil qilinadi. Bu matritsaning
elementlari sxematik ko‘rinishda nuqtalar singari ifodalanadi (8,б-rasmga qarang)
va chiziqlar bilan tutashtirilgan elementlarning ko‘paytmasi I holda o‘z ishorasi, II
holda esa qarama-qarshi ishora bilan olinadi.
I
I
II
III
+
+
+
II
I
II
III
–
–
–
8,а-rasm
Ilmiybaza.uz
III tartibli determinantni hisoblashga doir misol keltiramiz:
112.
(2)
)1
4 (
6 1 0
( 2) 5 3
( 2)
)1
1 (
6 4 3
5 0
2
0
1
3
4
5
1
2
6
2
Determinantlar va matritsalar orasida quyidagi o‘xshashlik va farqlar mavjud:
1) matritsa sonlar jadvalini ifodalaydi. Determinant esa sonlar jadvalidan hosil
qilinadigan sonli ifoda bo‘lib, uning qiymati sondan iboratdir;
2) matritsa sonlar jadvalini dumaloq qavslar ichiga olish bilan belgilansa,
determinant bu jadvalni vertikal chiziqlar orasiga olish bilan belgilanadi;
3) A matritsa va |A| determinantni tashkil etuvchi sonlar ularning elеmеntlari
deyiladi;
4) matritsa va determinanant satrlar va ustunlardan iborat;
5) determinantlarda ustun va satrlar soni tеng bo‘lishi kerak, matritsalarda esa
bunday bo‘lishi shart emas.
Determinantlarning asosiy xossalari
Endi ixtiyoriy tartibli determinantlar uchun o‘rinli bo‘lgan xossalar bilan
tanishamiz. Aniqlik va soddalik uchun umumiy holda ifodalangan bu xossalarni
uchinchi tartibli determinantlar misolida ko‘rsatamiz va isbotlaymiz.
1-xossa. Agar determinantda har bir i-satr (i=1,2,3, ∙∙∙,n) i-ustun bilan
almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi.
I
II
III
I
II
I
II
+
+
I
+
II
III
I
II
–
–
–
8,б-rasm
Ilmiybaza.uz
Masalan,
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Bu tenglik bevosita III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidan kelib
chiqadi.
Demak determinantning satr va ustunlari tеng kuchlidir, ya’ni satr (ustun) uchun
o‘rinli bo‘lgan tasdiq ustun (satr) uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari bu
xossadan matritsani transponirlashda uning determinanti o‘zgarmay qolishi, ya’ni
detA=detAT bo‘lishi kelib chiqadi. Shu sababli determinantning keyingi xossalarini
faqat satrlar uchun ifodalaymiz.
2-xossa. Determinantda ixtiyoriy ikkita satrlar o‘rni o‘zaro almashtirilsa,
determinantning qiymati faqat ishorasini o‘zgartiradi.
Masalan,
13
12
11
23
22
21
33
32
31
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Bu tasdiq ham bevosita (2) formuladan kelib chiqadi.
3-xossa. Agar determinantda ikkita satr elеmеntlari bir xil bo‘lsa, uning qiymati
nolga tеng bo‘ladi.
Isbot: Berilgan determinantning qiymatini Δ , uning bir xil elеmеntli satrlarining
o‘rinlarini almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantning qiymatini esa Δ′ deb
belgilaymiz. Unda, 2-xossaga asosan, Δ′= –Δ bo‘ladi. Ammo determinantda bir xil
elеmеntli satrlarning o‘rinlari almashtirilganligi uchun uning ko‘rinishi o‘zgarmay
qoladi va shu sababli Δ′= Δ bo‘ladi. . Bu tengliklardan Δ = Δ natijani olamiz va
undan Δ=0 ekanligi kelib chiqadi.
Masalan, hozircha biz IV tartibli determinantni hisoblash formulasini bilmasakda,
3-xossaga asosan, birinchi va uchinchi satrlari bir xil bo‘lgan ushbu determinantning
qiymatini yozishimiz mumkin:
Ilmiybaza.uz
0
5
4
0
8
6
3
4
1
2
1
7
0
6
3
4
1
4-xossa. Determinantda biror satr elementlari umumiy λ ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa,
uni determinant belgisidan tashqariga chiqarib yozish mumkin.
Masalan,
.
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Isbot: III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidagi yig‘indining har bir
qo‘shiluvchisida λ umumiy ko‘paytuvchi qatnashadi. Bu λ umumiy ko‘paytuvchini
qavsdan tashqariga chiqarib, 4-xossadagi tasdiqning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil
etamiz.
5-xossa. Agar determinantda biror satr faqat nollardan iborat bo‘lsa, uning qiymati
nolga tang bo‘ladi.
Bu xossaning isboti oldingi xossadan λ=0 bo‘lgan holda kelib chiqadi.
Masalan, quyidagi III tartibli determinantning qiymatini (2) formula bilan hisoblab
o‘tirmay, 4-xossaga asosan to‘g‘ridan-to‘g‘ri
0
0
0
0
139
37
8
401
20
11
deb ta’kidlay olamiz.
6-xossa. Agar determinantning ixtiyoriy ikkita satr elеmеntlari o‘zaro proporsional bo‘lsa, uning
qiymati nolga tеng bo‘ladi.
Masalan,
0
33
32
31
13
12
11
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Isbot: 4-xossaga asosan λ proporsionallik koeffitsiyentini determinant belgisi
oldiga umumiy ko‘paytuvchi sifatida chiqarish mumkin. Bu holda ikkita satri bir xil
Ilmiybaza.uz
bo‘lgan determinant hosil bo‘ladi va uning qiymati, 3-xossaga asosan, nolga teng.
Bundan berilgan determinantning ham qiymati nol ekanligi kelib chiqadi.
Masalan,
0
5.4
5.7
3
8
1
4
3
5
2
,
chunki bu determinantda I va III satrlar proporsional va proporsionallik
koeffitsiyenti λ=1.5 ga teng.
7-xossa. Agar determinantning biror i-satri ikkita qo‘shiluvchi yig‘indisidan iborat, ya’ni aij+ bij
ko‘rinishda bo‘lsa, bu determinantni ikkita determinantlar yig‘indisi ko‘rinishida yozish mumkin.
Bunda bu determinantlarning i-satri mos ravishda aij va bij elementlardan iborat bo‘lib, qolgan
satrlari berilgan determinantniki singari bo‘ladi.
Masalan,
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
23
22
22
21
21
13
12
11
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
.
Bu xossaning o‘rinli ekanligiga bevosita (2) formula orqali ishonch hosil qilish
mumkin.
8-xossa. Agar |A| determinantning aii diagonal elementlaridan yuqorida yoki pastda
joylashgan barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati diagonal elementlar
ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.
Masalan,
22 33
11
33
32
31
22
21
11
33
23
22
13
12
11
0
0
0
0
0
0
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Isbot: Bu determinantlar uchun ularni (2) hisoblash formulasidagi a11a22a33
qo‘shiluvchidan boshqa hamma qo‘shiluvchilari nolga teng bo‘ladi va shuning
uchun ularning yig‘indisi, ya’ni determinantning qiymati shu ko‘paytmaga teng
bo‘ladi.
Masalan, ushbu IV tartibli determinantni hisoblaymiz:
Ilmiybaza.uz
30
)1
5 2 (
)3
(
1
0
0
0
7
2
0
0
9
11
5
0
5
4
2
3
.
9-xossa. Diagonal matritsaning determinanti uning diagonal elementlari
ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.
Bu xossa isboti bevosita oldingi xossadan kelib chiqadi. Jumladan har qanday birlik
matritsaning determinanti birga tengdir.
Navbatdagi xossani ifodalash uchun ikkita yangi tushuncha kiritamiz.
3-TA’RIF. Ixtiyoriy n-tartibli determinantning аij (i,j=1,2, … , n) elеmеntining
minori deb bu determinantdan shu element joylashgan i-satr va j- ustunni
o‘chirishdan hosil bo‘lgan (n–1)-tartibli determinant qiymatiga aytiladi.
Determinantning аij elеmеntining minori Mij deb belgilanadi va ularning soni n2 ta
bo‘ladi. Masalan,
1
2
0
7
3
2
2
5
1
(3)
determinantning II satr elementlarining minorlarini yozamiz va hisoblaymiz:
2.
2
0
5
1
,1
1
0
2
1
,1
1
2
2
5
23
22
21
M
M
M
Bunda III tartibli determinantning minorlari II tartibli determinantlar ekanligini yana
bir marta ta’kidlab o‘tamiz.
4-TA’RIF. Ixtiyoriy n-tartibli determinantning аij (i,j=1,2, … , n) elеmеntining
algebraik to‘ldiruvchisi deb (–1)i+j Mij kabi aniqlanadigan songa aytiladi.
Determinantning аij (i,j=1,2, … , n) elеmеntining algebraik to‘ldiruvchisi Aij kabi
belgilanadi va, ta’rifga asosan,
- toqbo'lsa.
,
- juft bo'lsa;
,
j
i
M
j
i
M
A
ij
ij
ij
formula bilan hisoblanadi. Masalan, (3) determinantning II satr elementlarining
algebraik to‘ldiruvchilari quyidagicha bo‘ladi:
Ilmiybaza.uz
A21 = – M21=1 , A22 = M22=1 , A23 = – M23=2 . (4)
10-xossa (Laplas teoremasi). Determinantning ixtiyoriy bir i-satrida joylashgan аij
(j=1,2, … , n) elеmеntlarini ularning Aij (j=1,2, … , n) algebraik to‘ldiruvchilariga
ko‘paytmalarining yig‘indisi shu determinantning qiymatiga teng bo‘ladi. bo‘lsa
Isbot: Bu xossa III tartibli |A| determinantning birinchi satri uchun quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi:
A
a A
a A
a A
13
13
12
12
11 11
(5)
Bu tenglikni isbotlash uchun algebraik to‘ldiruvchi ta’rifidan va determinantlarni
hisoblashning (1), (2) formulalaridan quyidagicha foydalanamiz:
.
)
(
)
(
)
(
13 22 31
21 33
12
11 23 32
13 21 32
23 31
12
22 33
11
13 22 31
13 21 32
23 31
12
21 33
12
11 23 32
22 33
11
22 31
21 32
13
23 31
21 33
12
23 32
22 33
11
32
31
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
13
13
12
12
11
11
13
13
12
12
11
11
A
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a M
a M
a M
a A
a A
A
a
Xuddi shunday tarzda determinantning ikkinchi va uchinchi satrlari uchun
A
A
a
A
a
a A
A
A
a
A
a
A
a
33
33
32
32
31
31
23
23
22
22
21 21
,
(6)
tengliklar o‘rinli bo‘lishi isbotlanadi
5-TA’RIF. Yuqoridagi (5) va (6) tengliklar determinantning satrlar bo‘yicha
yoyilmasi deb ataladi.
Shunga o‘xshash determinantning ustunlar bo‘yicha yoyilmasini ham
quyidagicha yozish mumkin:
.
,
,
33
33
23
23
13
13
23
23
22
22
12
12
31
31
21
21
11
11
A
A
a
A
a
A
a
A
A
a
A
a
a A
A
a A
A
a
A
a
(7)
Masalan, yuqorida keltirilgan (3) determinant qiymatini uning II satrining (4)
algebraik to‘ldiruvchilari yordamida hisoblaymiz:
7 2 13.
)3 1
(
2 1
7
)3
(
2
23
22
21
A
A
A
Laplas teoremasidan foydalanib yuqori tartibli determinantlarni hisoblash mumkin.
Bunda n-tartibli determinantni hisoblash n ta (n–1) - tartibli determinantni (Aij
algebraik to‘ldiruvchilarni) hisoblash va uning ixtiyoriy satr yoki ustuni bo‘yicha
