Ilmiybaza.uz
DETERMINANTNING XOSSALARI
Reja
1. Determinantning asosiy xossalari
2. Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari
3. Laplas teoremasi
Ilmiybaza.uz
6-xossa.
Determinantda
ikkita
satr
(ustun)
oʻrinlari
almashtirilsa,
determinantning ishorasi oʻzgaradi. Masalan,
2
4
3
3
1
5
39.
1
2
1
Endi bu matritsada birinchi va uchinchi ustunlarining oʻrinlarini
almashtiramiz, u holda
3
4
2
5
1
3
3
12
20
2
20
18
39.
1
2
1
Bundan koʻrinib turibdiki, determinantlar faqat ishorasi bilan farq qiladi.
7-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda
uning qiymati nolga teng boʻladi. Masalan,
5
3
6
5
3
6
45
36
150
36 150
45
0.
2
5
3
8-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) elementlariga
boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini biror songa koʻpaytirib qoʻshilsa,
determinantning qiymati oʻzgarmaydi.
11
12
1
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
i
i
in
i
j
i
j
in
jn
j
j
jn
j
j
jn
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ka
a
ka
a
ka
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Masalan,
1
2
3
1
2
3
2
4
5
2
1 2
4
2 2
5
3 2 .
3
5
1
3
5
1
Ilmiybaza.uz
Haqiqatan ham, tenglikning chap tarafi
1
2
3
2
4
5
4
30
30
36
4
25
1.
3
5
1
tenglikning oʻng tarafi:
1
2
3
2
1 2
4
2 2
5
3 2
8
66
60
72
55
8
1.
3
5
1
Demak tenglik oʻrinli.
9-xossa. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari
proporsional boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi, ya’ni
11
12
13
11
12
11
11
12
13
21
22
21
31
32
33
31
32
31
0.
a
a
a
a
a
ka
ka
ka
ka
a
a
ka
a
a
a
a
a
ka
Masalan,
6
8
4
2 3
2 4
2 2
12
6
8
12
6
8
72
192
192
72
192
192
0.
3
4
2
3
4
2
10-xossa. Transponirlash natijasida determinantning qiymati oʻzgarmaydi.
Masalan,
2
4
3
2
3
1
3
1
5
4
1
2
39.
1
2
1
3
5
1
11-xossa. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki
qoʻshiluvchi yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinant ikki determinant
yigʻindisiga teng boʻlib, ulardan birining tegishli satri (ustuni) birinchi
qoʻshiluvchilaridan,
ikkinchisining
tegishli
satri
(ustuni)
ikkinchi
qoʻshiluvchilaridan iborat boʻladi, ya’ni:
Ilmiybaza.uz
11
12
1
1
1
2
2
1
2
n
i
i
i
i
in
in
n
n
nn
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a
11
12
1
11
12
1
1
2
1
2
1
2
1
2
.
n
n
i
i
in
i
i
in
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
12-xossa. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr
(ustun) larining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant nolga teng.
Masalan,
2
3
16
2
3
2 2
4 3
2
1
0
2
1
2 2
4 1
0.
3
2
2
3
2
3 2
4 2
13-xossa. Toq tartibli har qanday qiya simmetrik matritsaning determinanti
nolga teng. Masalan,
0
3
4
3
0
5
0
60
60
0
0
0
0.
4
5
0
14-xossa. Bir xil tartibli ikkita matritsalar koʻpaytmasining determinanti, bu
matritsalar determinantlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni:
det(
)
det( ) det( ).
A B
A
B
Bizga ntartibli kvadrat matritsa berilgan boʻlsin.
5-ta’rif. n tartibli
A kvadrat matritsaning 1
1
k
n
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy k ta satrlari va k ta ustunlari kesishgan joyda turgan
elementlardan
tashkil
topgan
k tartibli
matritsaning
determinanti
d
determinantning k tartibli minori deb ataladi.
Ilmiybaza.uz
k tartibli minor sifatida A kvadrat matritsaning n
k
ta satr va n
k
ta
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan determinant, deb ham qarash mumkin.
6-ta’rif. Matritsaning diagonal elementlari yordamida hosil boʻlgan minorlar
bosh minorlar deb ataladi.
7-ta’rif. ntartibli A kvadrat matritsada k tartibli M minor turgan satrlar
va ustunlar oʻchirib tashlangandan soʻng qolgan (
)
n
k
tartibli M minorga M
minorning toʻldiruvchisi deyiladi va aksincha.
M minor va uning M toʻldiruvchi minorini sxematik ravishda
quyidagicha tasvirlash mumkin:
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k
k
n
k
kk
kk
kn
k
k
k
k
k
k
n
n
nk
nk
nn
a
a
a
a
M
a
a
a
a
d
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Shunday qilib, determinantning oʻzaro toʻldiruvchi minorlar jufti haqida
gapirish mumkin. Xususiy holda,
ij
a element va determinantning i satri va j
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan (
n 1)
tartibli minor oʻzaro toʻldiruvchi
minorlar juftini hosil qiladi.
8-ta’rif.
ij
a elementning toʻldiruvchisi minori deb
ij
a element turgan satr va
ustunni ochirishdan hosil boʻlgan determinantga aytiladi va
ij
M deb belgilanadi.
9-ta’rif.
ij
a
minorning
(elementning)
algebraik
toʻldiruvchisi
deb
( 1)i
j
ij
ij
A
M
songa aytiladi.
Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun)
elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari
yigʻindisiga teng, ya’ni:
Ilmiybaza.uz
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...
( 1)
...
...
...
...
...
n
n
i
j
i
i
in
i
i
i
i
in
in
ij
ij
j
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a A
a A
a A
a M
a
a
a
Bu formulaga determinantni i satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi
deyiladi.
Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni)
elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng.
4-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
2
1
3
5
3
2 .
1
4
3
Yechish. Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha yoysak
1 1
1 2
1 3
11
12
13
11
12
13
2
1
3
5
3
2
2
3
2( 1)
( 1)
3( 1)
1
4
3
A
A
A
M
M
M
3
2
5
2
5
3
2
3
2(9
8)
(15
2)
3(20
3)
2
13
51
40.
4
3
1
3
1
4
5-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
1
0
3
2
2
1
4
1
3
2
1
5
1
0
6
2
.
Yechish. Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib
chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3-
tartibli determinant hosil boʻladi.
Ilmiybaza.uz
2 2
3 2
1
3
2
1
3
2
1 ( 1)
3
1
5
2 ( 1)
2
4
1 .
1
6
2
1
6
2
Yoki avval
32
2
a
elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2-
satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun
elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz:
2 2
1
0
3
2
1
3
2
2
1
4
1
1 ( 1)
7
9
7
21.
7
0
9
7
1
6
2
1
0
6
2
Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan
birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning
uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni
determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak
boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga
kamaytirishimiz mumkin.
6-misol.
2
4
12
7
6
4
8
9
4
5
5
11
2
7
2
4
A
matritsaning determinantini hisoblang.
Yechish. Bu determinantni hisoblash uchun avval 8-xossadan foydalanib,
birinchi ustunining birinchi elementidan boshqa barcha elementlarini nolga
aylantirib olamiz, keyin Laplas teoremasini qoʻllaymiz:
Ilmiybaza.uz
2
4
12
7
2
4
12
7
6
4
8
9
0
16
26
12
det( )
4
5
5
11
0
13
19
3
2
7
2
4
0
3
10
3
16
26
12
2
13
19
3
2(912
234
1560
684
1014
480)
3
10
3
2 1896
3792
A
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar
1. Determinantda ikkita satr (ustun) oʻrinlari almashtirilsa, determinantning
qiymati oʻzgaradimi?
2. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda uning
qiymati nimaga teng boʻladi?
3. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari proporsional
boʻlsa, u holda uning qiymati nimaga teng boʻladi?
4. Transponirlash natijasida determinantning qiymati qanday oʻzgaradi.
5. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki qoʻshiluvchi
yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinantni ikki determinant yigʻindisi
korinishida yozish mumkinmi?
6. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr (ustun) larining
chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant qiymati nimaga teng?
7. Toq tartibli qiya simmetrik matritsaning determinant nimaga teng?
8. n-tartibli determinant ixtiyoriy elementining minori deb nimaga aytiladi?
9. Algebraik to’ldiruvchi yoki ad’yunkt deb nimaga aytiladi?
10. Determinantni
transponirlashdan
tashqari
uning
ustida
qanday
almashtirishlar bajarganda kattaligi o’zgarmaydi?
11. n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti yoki aniqlovchisi deb nimaga
aytiladi?
Ilmiybaza.uz
Asosiy adabiyotlar:
1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5nd
Edition, 2016.
2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers,
42nd Edition, 2012.
3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K.
Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.
4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv
uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.
5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар,
1995.
6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.
Asosiy adabiyotlar:
7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан
бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини
таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.:
Ўзбекистон, 2017.
9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини
биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy
qo‘llanma. Toshkent. 2014.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент
“Ўқитувчи” 1984.
12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических
университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
Ilmiybaza.uz
упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов
технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к
решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
18. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
19. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, -
М.: Наука. 1997.
