DETERMINANTNING XOSSALARI (Determinantning asosiy xossalari, Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari, Laplas teoremasi)

Yuklangan vaqt

2024-04-20

Yuklab olishlar soni

9

Sahifalar soni

10

Faytl hajmi

121,5 KB


Ilmiybaza.uz 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTNING XOSSALARI 
 
Reja 
1. Determinantning asosiy xossalari 
2. Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari 
3. Laplas teoremasi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilmiybaza.uz DETERMINANTNING XOSSALARI Reja 1. Determinantning asosiy xossalari 2. Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari 3. Laplas teoremasi
Ilmiybaza.uz 
 
6-xossa. 
Determinantda 
ikkita 
satr 
(ustun) 
oʻrinlari 
almashtirilsa, 
determinantning ishorasi oʻzgaradi. Masalan, 
2
4
3
3
1
5
39.
1
2
1




 
 
Endi bu matritsada birinchi va uchinchi ustunlarining oʻrinlarini 
almashtiramiz, u holda 
3
4
2
5
1
3
3
12
20
2
20
18
39.
1
2
1

  




 


 
Bundan koʻrinib turibdiki, determinantlar faqat ishorasi bilan farq qiladi. 
 
7-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda 
uning qiymati nolga teng boʻladi. Masalan, 
5
3
6
5
3
6
45
36
150
36 150
45
0.
2
5
3







 
 
8-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni)  elementlariga 
boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini biror  songa koʻpaytirib qoʻshilsa, 
determinantning qiymati oʻzgarmaydi. 
11
12
1
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
i
i
in
i
j
i
j
in
jn
j
j
jn
j
j
jn
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ka
a
ka
a
ka
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a




































 
Masalan, 
1
2
3
1
2
3
2
4
5
2
1 2
4
2 2
5
3 2 .
3
5
1
3
5
1

 


 
 
Ilmiybaza.uz 6-xossa. Determinantda ikkita satr (ustun) oʻrinlari almashtirilsa, determinantning ishorasi oʻzgaradi. Masalan, 2 4 3 3 1 5 39. 1 2 1     Endi bu matritsada birinchi va uchinchi ustunlarining oʻrinlarini almashtiramiz, u holda 3 4 2 5 1 3 3 12 20 2 20 18 39. 1 2 1             Bundan koʻrinib turibdiki, determinantlar faqat ishorasi bilan farq qiladi. 7-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi. Masalan, 5 3 6 5 3 6 45 36 150 36 150 45 0. 2 5 3        8-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) elementlariga boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini biror songa koʻpaytirib qoʻshilsa, determinantning qiymati oʻzgarmaydi. 11 12 1 11 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in i j i j in jn j j jn j j jn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a                                     Masalan, 1 2 3 1 2 3 2 4 5 2 1 2 4 2 2 5 3 2 . 3 5 1 3 5 1       
Ilmiybaza.uz 
Haqiqatan ham, tenglikning chap tarafi 
1
2
3
2
4
5
4
30
30
36
4
25
1.
3
5
1






 
 
tenglikning oʻng tarafi: 
1
2
3
2
1 2
4
2 2
5
3 2
8
66
60
72
55
8
1.
3
5
1
 


 






 
 
Demak tenglik oʻrinli. 
 
9-xossa. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari 
proporsional boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi, ya’ni 
11
12
13
11
12
11
11
12
13
21
22
21
31
32
33
31
32
31
0.
a
a
a
a
a
ka
ka
ka
ka
a
a
ka
a
a
a
a
a
ka


 
Masalan, 
6
8
4
2 3
2 4
2 2
12
6
8
12
6
8
72
192
192
72
192
192
0.
3
4
2
3
4
2











 
10-xossa. Transponirlash natijasida determinantning qiymati oʻzgarmaydi. 
Masalan, 
2
4
3
2
3
1
3
1
5
4
1
2
39.
1
2
1
3
5
1








 
 
11-xossa. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki 
qoʻshiluvchi yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinant ikki determinant 
yigʻindisiga teng boʻlib, ulardan birining tegishli satri (ustuni)  birinchi 
qoʻshiluvchilaridan, 
ikkinchisining 
tegishli 
satri 
(ustuni) 
ikkinchi 
qoʻshiluvchilaridan iborat boʻladi, ya’ni: 
Ilmiybaza.uz Haqiqatan ham, tenglikning chap tarafi 1 2 3 2 4 5 4 30 30 36 4 25 1. 3 5 1         tenglikning oʻng tarafi: 1 2 3 2 1 2 4 2 2 5 3 2 8 66 60 72 55 8 1. 3 5 1               Demak tenglik oʻrinli. 9-xossa. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari proporsional boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi, ya’ni 11 12 13 11 12 11 11 12 13 21 22 21 31 32 33 31 32 31 0. a a a a a ka ka ka ka a a ka a a a a a ka   Masalan, 6 8 4 2 3 2 4 2 2 12 6 8 12 6 8 72 192 192 72 192 192 0. 3 4 2 3 4 2            10-xossa. Transponirlash natijasida determinantning qiymati oʻzgarmaydi. Masalan, 2 4 3 2 3 1 3 1 5 4 1 2 39. 1 2 1 3 5 1         11-xossa. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki qoʻshiluvchi yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinant ikki determinant yigʻindisiga teng boʻlib, ulardan birining tegishli satri (ustuni) birinchi qoʻshiluvchilaridan, ikkinchisining tegishli satri (ustuni) ikkinchi qoʻshiluvchilaridan iborat boʻladi, ya’ni:
Ilmiybaza.uz 
11
12
1
1
1
2
2
1
2
n
i
i
i
i
in
in
n
n
nn
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a















 
11
12
1
11
12
1
1
2
1
2
1
2
1
2
.
n
n
i
i
in
i
i
in
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
























 
 
12-xossa. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr 
(ustun) larining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant nolga teng. 
Masalan, 
2
3
16
2
3
2 2
4 3
2
1
0
2
1
2 2
4 1
0.
3
2
2
3
2
3 2
4 2




 
 









 
 
13-xossa. Toq tartibli har qanday qiya simmetrik matritsaning determinanti 
nolga teng. Masalan, 
0
3
4
3
0
5
0
60
60
0
0
0
0.
4
5
0










 
14-xossa. Bir xil tartibli ikkita matritsalar koʻpaytmasining determinanti, bu 
matritsalar determinantlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni: 
det(
)
det( ) det( ).
A B
A
B



 
Bizga ntartibli kvadrat matritsa berilgan boʻlsin. 
5-ta’rif. n tartibli 
A kvadrat matritsaning 1
1
k
n


  tengsizlikni 
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy k  ta satrlari va k  ta ustunlari kesishgan joyda turgan 
elementlardan 
tashkil 
topgan 
k tartibli 
matritsaning 
determinanti 
d  
determinantning k tartibli minori deb ataladi.  
Ilmiybaza.uz 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a                11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 . n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a b b b a a a a a a                         12-xossa. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr (ustun) larining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant nolga teng. Masalan, 2 3 16 2 3 2 2 4 3 2 1 0 2 1 2 2 4 1 0. 3 2 2 3 2 3 2 4 2                  13-xossa. Toq tartibli har qanday qiya simmetrik matritsaning determinanti nolga teng. Masalan, 0 3 4 3 0 5 0 60 60 0 0 0 0. 4 5 0           14-xossa. Bir xil tartibli ikkita matritsalar koʻpaytmasining determinanti, bu matritsalar determinantlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni: det( ) det( ) det( ). A B A B    Bizga ntartibli kvadrat matritsa berilgan boʻlsin. 5-ta’rif. n tartibli A kvadrat matritsaning 1 1 k n    tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy k ta satrlari va k ta ustunlari kesishgan joyda turgan elementlardan tashkil topgan k tartibli matritsaning determinanti d determinantning k tartibli minori deb ataladi.
Ilmiybaza.uz 
 
k tartibli minor sifatida A kvadrat matritsaning n
 k
 ta satr va n
 k
 ta 
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan determinant, deb ham qarash mumkin. 
6-ta’rif. Matritsaning diagonal elementlari yordamida hosil boʻlgan minorlar 
bosh minorlar deb ataladi. 
7-ta’rif. ntartibli A kvadrat matritsada k tartibli M  minor turgan satrlar 
va ustunlar oʻchirib tashlangandan soʻng qolgan (
)
n
 k
tartibli M minorga M
minorning toʻldiruvchisi deyiladi va aksincha.  
 
M  minor va uning M toʻldiruvchi minorini sxematik ravishda 
quyidagicha tasvirlash mumkin: 
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k
k
n
k
kk
kk
kn
k
k
k
k
k
k
n
n
nk
nk
nn
a
a
a
a
M
a
a
a
a
d
a
a
a
a
a
a
a
a









. 
 
Shunday qilib, determinantning oʻzaro toʻldiruvchi minorlar jufti haqida 
gapirish mumkin. Xususiy holda, 
ij
a  element va determinantning i satri va j 
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan (
n 1)
tartibli minor oʻzaro toʻldiruvchi 
minorlar juftini hosil qiladi. 
8-ta’rif. 
ij
a  elementning toʻldiruvchisi minori deb 
ij
a  element turgan satr va 
ustunni ochirishdan hosil boʻlgan determinantga aytiladi va   
ij
M   deb belgilanadi.  
9-ta’rif. 
ij
a  
minorning 
(elementning) 
algebraik 
toʻldiruvchisi 
deb 
( 1)i
j
ij
ij
A
 M
 
 songa aytiladi. 
 
 
Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun) 
elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari 
yigʻindisiga teng, ya’ni: 
Ilmiybaza.uz k tartibli minor sifatida A kvadrat matritsaning n  k ta satr va n  k ta ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan determinant, deb ham qarash mumkin. 6-ta’rif. Matritsaning diagonal elementlari yordamida hosil boʻlgan minorlar bosh minorlar deb ataladi. 7-ta’rif. ntartibli A kvadrat matritsada k tartibli M minor turgan satrlar va ustunlar oʻchirib tashlangandan soʻng qolgan ( ) n  k tartibli M minorga M minorning toʻldiruvchisi deyiladi va aksincha. M minor va uning M toʻldiruvchi minorini sxematik ravishda quyidagicha tasvirlash mumkin: 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... k k n k kk kk kn k k k k k k n n nk nk nn a a a a M a a a a d a a a a a a a a          . Shunday qilib, determinantning oʻzaro toʻldiruvchi minorlar jufti haqida gapirish mumkin. Xususiy holda, ij a element va determinantning i satri va j  ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan ( n 1) tartibli minor oʻzaro toʻldiruvchi minorlar juftini hosil qiladi. 8-ta’rif. ij a elementning toʻldiruvchisi minori deb ij a element turgan satr va ustunni ochirishdan hosil boʻlgan determinantga aytiladi va ij M deb belgilanadi. 9-ta’rif. ij a minorning (elementning) algebraik toʻldiruvchisi deb ( 1)i j ij ij A  M   songa aytiladi. Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun) elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari yigʻindisiga teng, ya’ni:
Ilmiybaza.uz 
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...
( 1)
...
...
...
...
...
n
n
i
j
i
i
in
i
i
i
i
in
in
ij
ij
j
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a A
a A
a A
a M
a
a
a


 





 
 
Bu formulaga   determinantni i  satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi 
deyiladi. 
 
Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni) 
elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng. 
 
4-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang: 
2
1
3
5
3
2 .
1
4
3
 
 
 
Yechish. Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha yoysak 
1 1
1 2
1 3
11
12
13
11
12
13
2
1
3
5
3
2
2
3
2( 1)
( 1)
3( 1)
1
4
3
A
A
A
M
M
M



 






 





 
3
2
5
2
5
3
2
3
2(9
8)
(15
2)
3(20
3)
2
13
51
40.
4
3
1
3
1
4



 










 
 
5-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang: 
1
0
3
2
2
1
4
1
3
2
1
5
1
0
6
2

 
. 
 
Yechish. Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib 
chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3-
tartibli determinant hosil boʻladi.  
Ilmiybaza.uz 11 12 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ( 1) ... ... ... ... ... n n i j i i in i i i i in in ij ij j n n nn a a a a a a a A a A a A a M a a a            Bu formulaga  determinantni i satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi deyiladi. Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni) elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng. 4-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang: 2 1 3 5 3 2 . 1 4 3   Yechish. Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha yoysak 1 1 1 2 1 3 11 12 13 11 12 13 2 1 3 5 3 2 2 3 2( 1) ( 1) 3( 1) 1 4 3 A A A M M M                   3 2 5 2 5 3 2 3 2(9 8) (15 2) 3(20 3) 2 13 51 40. 4 3 1 3 1 4                5-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang: 1 0 3 2 2 1 4 1 3 2 1 5 1 0 6 2    . Yechish. Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3- tartibli determinant hosil boʻladi.
Ilmiybaza.uz 
2 2
3 2
1
3
2
1
3
2
1 ( 1)
3
1
5
2 ( 1)
2
4
1 .
1
6
2
1
6
2


    

 
 
Yoki avval 
32
2
a
 elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2-
satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun 
elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz: 
2 2
1
0
3
2
1
3
2
2
1
4
1
1 ( 1)
7
9
7
21.
7
0
9
7
1
6
2
1
0
6
2


 
   

 
 
 
Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan 
birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning 
uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni 
determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak 
boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga 
kamaytirishimiz mumkin.  
6-misol. 
2
4
12
7
6
4
8
9
4
5
5
11
2
7
2
4
A







 








 matritsaning determinantini hisoblang. 
Yechish. Bu determinantni hisoblash uchun avval 8-xossadan foydalanib, 
birinchi ustunining birinchi elementidan boshqa barcha elementlarini nolga 
aylantirib olamiz,  keyin Laplas teoremasini qoʻllaymiz: 
Ilmiybaza.uz 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ( 1) 3 1 5 2 ( 1) 2 4 1 . 1 6 2 1 6 2           Yoki avval 32 2 a  elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2- satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz: 2 2 1 0 3 2 1 3 2 2 1 4 1 1 ( 1) 7 9 7 21. 7 0 9 7 1 6 2 1 0 6 2            Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga kamaytirishimiz mumkin. 6-misol. 2 4 12 7 6 4 8 9 4 5 5 11 2 7 2 4 A                  matritsaning determinantini hisoblang. Yechish. Bu determinantni hisoblash uchun avval 8-xossadan foydalanib, birinchi ustunining birinchi elementidan boshqa barcha elementlarini nolga aylantirib olamiz, keyin Laplas teoremasini qoʻllaymiz: