Ilmiybaza.uz
DETERMINANTNING XOSSALARI
Reja
1. Determinantning asosiy xossalari
2. Minor va algebraic toldiruvchi tushunchalari
3. Laplas teoremasi
Ilmiybaza.uz
6-xossa.
Determinantda
ikkita
satr
(ustun)
oʻrinlari
almashtirilsa,
determinantning ishorasi oʻzgaradi. Masalan,
2
4
3
3
1
5
39.
1
2
1
Endi bu matritsada birinchi va uchinchi ustunlarining oʻrinlarini
almashtiramiz, u holda
3
4
2
5
1
3
3
12
20
2
20
18
39.
1
2
1
Bundan koʻrinib turibdiki, determinantlar faqat ishorasi bilan farq qiladi.
7-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun)ga ega boʻlsa, u holda
uning qiymati nolga teng boʻladi. Masalan,
5
3
6
5
3
6
45
36
150
36 150
45
0.
2
5
3
8-xossa. Agar determinantning biror satri (yoki ustuni) elementlariga
boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini biror songa koʻpaytirib qoʻshilsa,
determinantning qiymati oʻzgarmaydi.
11
12
1
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
i
i
in
i
j
i
j
in
jn
j
j
jn
j
j
jn
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ka
a
ka
a
ka
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Masalan,
1
2
3
1
2
3
2
4
5
2
1 2
4
2 2
5
3 2 .
3
5
1
3
5
1
Ilmiybaza.uz
Haqiqatan ham, tenglikning chap tarafi
1
2
3
2
4
5
4
30
30
36
4
25
1.
3
5
1
tenglikning oʻng tarafi:
1
2
3
2
1 2
4
2 2
5
3 2
8
66
60
72
55
8
1.
3
5
1
Demak tenglik oʻrinli.
9-xossa. Agar determinant ikki satri (ustuni)ning mos elementlari
proporsional boʻlsa, u holda uning qiymati nolga teng boʻladi, ya’ni
11
12
13
11
12
11
11
12
13
21
22
21
31
32
33
31
32
31
0.
a
a
a
a
a
ka
ka
ka
ka
a
a
ka
a
a
a
a
a
ka
Masalan,
6
8
4
2 3
2 4
2 2
12
6
8
12
6
8
72
192
192
72
192
192
0.
3
4
2
3
4
2
10-xossa. Transponirlash natijasida determinantning qiymati oʻzgarmaydi.
Masalan,
2
4
3
2
3
1
3
1
5
4
1
2
39.
1
2
1
3
5
1
11-xossa. Agar determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikki
qoʻshiluvchi yigʻindisidan iborat boʻlsa, u holda determinant ikki determinant
yigʻindisiga teng boʻlib, ulardan birining tegishli satri (ustuni) birinchi
qoʻshiluvchilaridan,
ikkinchisining
tegishli
satri
(ustuni)
ikkinchi
qoʻshiluvchilaridan iborat boʻladi, ya’ni:
Ilmiybaza.uz
11
12
1
1
1
2
2
1
2
n
i
i
i
i
in
in
n
n
nn
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
a
a
11
12
1
11
12
1
1
2
1
2
1
2
1
2
.
n
n
i
i
in
i
i
in
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
12-xossa. Agar determinant satr (ustun)laridan biri uning qolgan satr
(ustun) larining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlsa, determinant nolga teng.
Masalan,
2
3
16
2
3
2 2
4 3
2
1
0
2
1
2 2
4 1
0.
3
2
2
3
2
3 2
4 2
13-xossa. Toq tartibli har qanday qiya simmetrik matritsaning determinanti
nolga teng. Masalan,
0
3
4
3
0
5
0
60
60
0
0
0
0.
4
5
0
14-xossa. Bir xil tartibli ikkita matritsalar koʻpaytmasining determinanti, bu
matritsalar determinantlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni:
det(
)
det( ) det( ).
A B
A
B
Bizga ntartibli kvadrat matritsa berilgan boʻlsin.
5-ta’rif. n tartibli
A kvadrat matritsaning 1
1
k
n
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy k ta satrlari va k ta ustunlari kesishgan joyda turgan
elementlardan
tashkil
topgan
k tartibli
matritsaning
determinanti
d
determinantning k tartibli minori deb ataladi.
Ilmiybaza.uz
k tartibli minor sifatida A kvadrat matritsaning n
k
ta satr va n
k
ta
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan determinant, deb ham qarash mumkin.
6-ta’rif. Matritsaning diagonal elementlari yordamida hosil boʻlgan minorlar
bosh minorlar deb ataladi.
7-ta’rif. ntartibli A kvadrat matritsada k tartibli M minor turgan satrlar
va ustunlar oʻchirib tashlangandan soʻng qolgan (
)
n
k
tartibli M minorga M
minorning toʻldiruvchisi deyiladi va aksincha.
M minor va uning M toʻldiruvchi minorini sxematik ravishda
quyidagicha tasvirlash mumkin:
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k
k
n
k
kk
kk
kn
k
k
k
k
k
k
n
n
nk
nk
nn
a
a
a
a
M
a
a
a
a
d
a
a
a
a
a
a
a
a
.
Shunday qilib, determinantning oʻzaro toʻldiruvchi minorlar jufti haqida
gapirish mumkin. Xususiy holda,
ij
a element va determinantning i satri va j
ustunini oʻchirishdan hosil boʻlgan (
n 1)
tartibli minor oʻzaro toʻldiruvchi
minorlar juftini hosil qiladi.
8-ta’rif.
ij
a elementning toʻldiruvchisi minori deb
ij
a element turgan satr va
ustunni ochirishdan hosil boʻlgan determinantga aytiladi va
ij
M deb belgilanadi.
9-ta’rif.
ij
a
minorning
(elementning)
algebraik
toʻldiruvchisi
deb
( 1)i
j
ij
ij
A
M
songa aytiladi.
Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun)
elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari
yigʻindisiga teng, ya’ni:
Ilmiybaza.uz
11
12
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
...
...
...
...
...
...
...
( 1)
...
...
...
...
...
n
n
i
j
i
i
in
i
i
i
i
in
in
ij
ij
j
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a A
a A
a A
a M
a
a
a
Bu formulaga determinantni i satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi
deyiladi.
Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni)
elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng.
4-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
2
1
3
5
3
2 .
1
4
3
Yechish. Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha yoysak
1 1
1 2
1 3
11
12
13
11
12
13
2
1
3
5
3
2
2
3
2( 1)
( 1)
3( 1)
1
4
3
A
A
A
M
M
M
3
2
5
2
5
3
2
3
2(9
8)
(15
2)
3(20
3)
2
13
51
40.
4
3
1
3
1
4
5-misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
1
0
3
2
2
1
4
1
3
2
1
5
1
0
6
2
.
Yechish. Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib
chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3-
tartibli determinant hosil boʻladi.
Ilmiybaza.uz
2 2
3 2
1
3
2
1
3
2
1 ( 1)
3
1
5
2 ( 1)
2
4
1 .
1
6
2
1
6
2
Yoki avval
32
2
a
elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2-
satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun
elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz:
2 2
1
0
3
2
1
3
2
2
1
4
1
1 ( 1)
7
9
7
21.
7
0
9
7
1
6
2
1
0
6
2
Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan
birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning
uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni
determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak
boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga
kamaytirishimiz mumkin.
6-misol.
2
4
12
7
6
4
8
9
4
5
5
11
2
7
2
4
A
matritsaning determinantini hisoblang.
Yechish. Bu determinantni hisoblash uchun avval 8-xossadan foydalanib,
birinchi ustunining birinchi elementidan boshqa barcha elementlarini nolga
aylantirib olamiz, keyin Laplas teoremasini qoʻllaymiz:
