ilmiybaza.uz ELEKTR MAYDON TENGLAMALARI REJA: 1. Maksvell-Lorens tenglamalarining birinchi jufti. 2. Elektromagnit maydon uchun ta’sir integral. TAYANCH SO’Z VA IBORALAR Gradient, rotor, divergensiya, yopiq sirt, vektor oqimi, Gauss tenglamasi, Stoks teoremasi, maydon sirkulyatsiyasi, ta’sir integrali, superpozitsiya, variatsiya, betta funksiya, uzluksiz funksiya, uzluksizlik tenglamasi, fazoviy cheksizlik, eng kichik ta’sir prinsipi, siljish toki, magnit zaryadi, energiya-impuls tenzori. ilmiybaza.uz 1-savol bayoni: Maksvell-Lorens tenglamalarining birinchi jufti. Elektromagnit maydon qonunlarini aniqlovchi asosiy tenglamalarni aniqlashga kirishamiz. Vektor analiz kursidan ma’lumki birorta vektorning divergensiyasi va rotori ma’lum bo’lmasa, u aniqlangan bo’ladi Elektr va magnit maydonga berilgan matematik ta’rifiga ko‘ra Bu ifodalarning birinchisidan rotor olamiz: O‘ng tomonidagi birinchi had aynan nolga tengligini hisobga olib, elektr maydonni aniqlovchi quyidagi tenglamani olamiz: (1) Bu yerda ni hisobga oldik. Bu tenglamadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi magnit maydon uyurmali elektr maydonni yuzaga keltirib chiqaradi. Endi magnit maydon aniqlovchi birinchi tenglamani hosil qilamiz. Buning uchun, magnit maydon kuchlanganligidan divergensiya olamiz va ekanligini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz: (2) Bu tenglama magnit maydonni hosil qiluvchi manba - magnit zaryadlari yo‘qligini ko‘rsatadi. (1) va (2) -Maksvell-Lorens tenglama-larining birinchi jufti deyiladi. Bu tenglamalar hali elektr va magnit maydonni to’liq aniqlamaydi. Birinchidan, yuqorida ta’kidlaganmiizdek va larni aniqlovchi tenglamalar yo‘q, ikkinchidan. (1) tenglamada magnit maydonning vaqt bo‘yicha o‘zgarishi ishtirok rot A H t A c grad E           , 1  t A rot c rot grad rotE        1  t H c rotE       1 rot A H    rot A  0 div  H  0 div  E div  H rot  ilmiybaza.uz etioqda. Shu vaqtda, elektr maydonning vaqt bo‘yicha o‘zgarishi yuqoridagi tenglamalarda yo‘q. Bu masalaga keyinroq qaytamiz. Endi Maksvell-Lorens tenglamalarining birinchi juftining integral ko‘rinishi hosil qilamiz. Buning uchun (2) tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriq V- hajm bo‘yicha integrallaymiz: (3) Bu tenglamaga Ostrogradskiy-Gauss formulasini tatbiq qilamiz: (4) Vektordan birorta sirt bo‘yicha integral shu sirt bo‘yicha vektoning oqmii deyiladi. (4) tenglamaga asosan, istagan berk sirt bo‘yicha magnit maydon oqmii nolga tengligi kelib chiqadi. Bunday xossaga ega bo’lgan maydon uyurmali maydon deyiladi. Shunday qilib, magnit maydon uyurmali bo’lib, kuch chiqlari berk chiziq-lardan iborat va yopiq sirt bo‘yicha uning oqmii nolga teng. (1) tenglamaning har ikkala tomonini ixtiyoriq S sirt bo‘yicha integrallaymiz: (5) Bu tenglamaning chap tomoniga Ctoks formulasini tatbiq qilamiz: (6) Bu yerda integrallash sirti vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi deb, vaqt bo‘yicha hosila bilan integralning o‘rnini almashtirdik. Chap tomonidagi integral S sirtni tortib turuvchi berk kontur bo‘yicha olinadi. Berk kontur bo‘yicha integral shu vektorning sirkulyatsiyasi deyiladi. Birorta kontur bo‘yicha elektr maydon sirkulyatsiyasi shu konturdagi elektr yurutuvchi kuch deyiladi. Shunday qilib: Konturda hosil bo’ladigan elektr yurituvchi kuch, shu kontur tortib turgan sirtdan o‘tayotgan magnit oqimining vaqt bo‘yicha o‘zgarishiga teskari ishora bilan proporsional ekan.   V divH dV 0    S H dS 0    dS A          S S t dS H c E dS rot     1       l S H dS c t dl E   1 ilmiybaza.uz Bu qonun elektromagnit induksiya yoki Faradey induksiya qonuni deyiladi. (4) va (5) Maksvell-Lorens birinchi juft tenglamalarining integral ko‘rinishini beradi. Maksvell-Lorens tenglamalarining birinchi jufti (1) va (2) ni elektro-magnit maydon tenzori ifodasidan foydalanib, to‘rt O’lchovli ko‘rinishda ham yozish mumkin. Misol sifatida (1) tenglamaning x-o‘qiga proek-siyasini to‘rt O’lchovli belgilashlarda yozamiz. yoki Bu tenglamani va ekanligini hisobga olib, qayta yozamiz: (7) Shunga o‘xshash (1) tenglamaning va o‘qiga proeksiyalarini va (2) tenglamani to‘rt O’lchovli belgilashlarda yozamiz: (8) (9) (10) (7)-(10) tenglamalarni umumlashtirib, Maksvell-Lorens tenglamalarini to‘rt O’lchovli ko‘rinishda yozamiz: (11) Bunda har bir had uchinchi rangli antismiietrik tenzor bo’lganligi uchun (11) ga bitta to‘rt O’lchovli vektorni mos keltirish mumkin 0 1     t H c E rot X X  0 1          t H c z E y E X Y Z 32 03 20 , , F H F E F E x z y     0 3 2 , , x ct x z x y    0 0 32 3 20 2 03          x F x F x F y z 0 0 13 1 30 3 01          x F x F x F 0 0 21 2 30 1 02          x F x F x F 0 3 21 2 13 1 32          x F x F x F  0         i kl k li l ik x F x F x F  0   l ik iklm x F e