Elektromagnit tebranishlar Reja : 1. Tebranish konturi 2. Elektromagnit tebranishlar 3. Majburiy elektromagnit tebranishlar 4. Rezonans hodisasi 5. Qarshilikli elektromagnit zanjirdagi erkin so’nuvchi tebranishlar Tayanch iboralar : Kondensator, induktivlik g’altagi, zaryad, kuchlanish, tok, tebranish konturi, eleltromagnit tebranishlar, siljish tenglamasi, differensial tenglamasi, potensiallar farqi, tebranish davri, xususiy chastota. Elektromagnit tebranishlar, qarshilik, induktivlik,majbur etuvchi tashqi EYuK ,sig’im, differensial tenglama, konturdagi tok, konden-sator, induktivlik qarshiligi, aktiv qarshilik, vektor diagrammasi, tebranish konturining impedansi, kuchlanishning rezonansi, rezonans chastotasi. 17.1. Tebranish konturi С kondensator va L induktivlikdan tashkil topgan yopiq elektr zanjirida yuz beradigan zaryad, kuchlanish va toklarning tebranishlarini kuzatamiz. Eng sodda tebranish konturi 17.1 - rasmda keltirilgan. 17.1 - rasm. Eng sodda yopiq elektr zanjir Berk zanjirning qarshiligini hisobga olmaymiz. K kalitni 1 - holatga ulab, kondensatorni Uc potensiallar farqigacha zaryadlaymiz. Keyin K kalitni 2 - holatga keltirib, yopiq zanjir hosil qilamiz. Boshlanishda energiyaning hammasi W=CU c 2 2 kondensatorning elektr maydonida joylashgan bo’ladi (17.2 a - rasm). 17.2a - rasm. Yopiq elektr zanjirida elektromagnit tebranishlar Keyin esa kondensator L induktivlik g’altagi orqali razryadlana boshlaydi va g’altak ichida magnit maydoni hosil bo’ladi. Kondensator to’la razryadlanganda zanjir orqali o’tayotgan tok maksimal qiymatga erishadi va barcha energiya g’altak ichidagi magnit maydoniga joylashgan bo’ladi (17.2б - rasm). W= LI 2 2 =CU c 2 2 L induktivlik g’altak qarshiligi ortishi bilan tokning qiymati kamaya boshlaydi, natijada g’altakda o’zinduksiya elektr yurituvchi kuchi ε уз=−L dI dt paydo bo’ladi. Bu EYuK zanjirdan o’tayotgan tokni o’sha yo’nalishda tiklashga intiladi. Natijada С kondensator yana zaryadlana boshlaydi (17.2в - rasm), ammo kondensator qoplamalarida zaryadlarning ishorasi avvalgi holatiga nisbatan teskari bo’ladi. Zanjir bo’yicha tok yo’qolganda, С – kondensator to’la zaryadlanib bo’ladi va barcha energiya kondensator qoplamalari orasidagi elektr maydoniga joylashadi. Undan keyin teskari yo’nalishda kondensator razryadlana boshlaydi va barcha energiya g’altak ichidagi teskari yo’nalishdagi magnit maydoniga o’tadi (17.2г - rasm). Shunday qilib, zanjirdagi elektromagnit tebranish bitta to’la tebranish davridan o’tadi. 17.2 Elektromagnit tebranishlar Kondensatordagi potensiallar farqi Uc=Q C ga tengdir. Kirxgofning 2-qonunidan tebranish konturidagi elektromagnit tebranishning differensial tenglamasini topamiz −L dI dt =Q C yoki dI dt + 1 LC Q=0 , (17.2.1) Bu tenglamaning yechimi siljish tenglamasi y=A⋅sin(ωt+ϕ ) ga o’xshashdir. Faqat “u” tebranuvchi kattalikni Q zaryadga,  burchak tezlikni 1 √LC bilan almashtirsak, quyidagi ifodaga Q=Q0 sin( 1 √LC t+ϕ) , (17.2.2) ga ega bo’lamiz. Kondensator qoplamalaridagi potensiallar farqini quyidagicha ifodalash mumkin. Uc= Q0 C sin( 1 √LC t+ϕ) , (17.2.3) (17.2.2) - ifodadan vaqt bo’yicha hosila olsak, tebranish konturidagi tokning vaqt bo’yicha garmonik tebranish ifodasiga ega bo’lamiz: I=dQ dt = Q0 √LC cos( 1 √ LC t+ϕ)= Q0 √ LC sin( t √LC +ϕ+ π 2) , (17.2.4) (17.2.2), (17.2.3), (17.2.4) - ifodalardan kondensator qoplamalaridagi potensiallar farqi va kontur bo’yicha toklar o’zgarishini garmonik qonunlarga bo’ysunishi, ularning tebranish chastotalari bir xil qiymatga ega bo’lishi, kuchlanish va zaryadning fazalari bir xil ekanligi va tokning fazasidan π /2 qiymatga orqada qolishi ko’rinib turibdi. Agar siklik chastota ω= 1 √LC ligini hisobga olsak, ideal konturning tebranish davri quyidagiga teng bo’ladi: T=2 π ω =2π √LC , (17.2.5) Bu ifoda Tomson formulasi deb ataladi. 17.3 Majburiy elektromagnit tebranishlar Elektromagnit tebranishlar so’nmasligi uchun, tebranish konturiga R - qarshilik, L - induktivlik va S - sig’imga ketma-ket va parallel ulangan, ε=ε0 Sinωt garmonik qonun bo’yicha o’zgaradigan, majbur etuvchi tashqi EYuK kiritiladi (17.3 - rasm). 17.3 - rasm. Majburiy elektromagnit tebranish hosil qiluvchi elektr zanjir Kirxgof qonuniga asosan ε ning oniy qiymati kontur elementlaridagi kuchlanish tushishlarining oniy qiymatlari yig’indisiga tengdir U L+UR+U C=ε , (17.3.1) bu yerda UL - induktivlikdagi, UR - qarshilikdagi va UC - kondensatordagi kuchlanish tushishlaridir. (17.3.1) - ifodada quyidagi almashtirishlarni amalga oshirsak U L=L d2Q dt2 ; U R=R dQ dt ; UC=Q C ; ε=ε0 sinωt majburiy elektromagnit tebranishlarning differensial tenglamasiga ega bo’lamiz. L d2Q dt2 + R dQ dt + 1 C Q=ε0 Sinωt , (17.3.2) Bu tenglamaning yechimini konturdagi tok uchun quyidagicha ifodalash mumkin: I=I 0Sin (ωt−ϕ ) , (17.3.3) va uni integrallasak kondensator qoplamalaridagi zaryadning o’zgarish qonunini topishimiz mumkin: Q=∫ I 0 Sin(ωt−ϕ)dt=− I 0 ω Cos (ωt−ϕ )= I 0 ω Sin(ωt−ϕ−π 2) , (17.3.4) o’z navbatida bu tenglamani differensiallasak g’altakdagi tokning o’zgarish tezligini topishimiz mumkin. d2Q dt 2 =I 0 ωCos (ωt−ϕ )=I 0 ωSin(ωt−ϕ+ π 2) , (17.3.5) 17.3.1-17.3.5 - ifodalardan foydalansak, quyidagi majburiy elektromagnit tebranishlar tenglamasini keltirib chiqaramiz: LωI0Sin(ωt−ϕ+ π 2 )+RI 0 Sin (ωt−ϕ )+ I 0 ωc Sin(ωt −ϕ− π 2)=ε0 Sinωt , (17.3.6) (17.3.1)- va (17.3.6)- tenglamalardan quyidagi qonuniyatlarni tasavvur qilishimiz mumkin: 1) U L=LωI 0 Sin(ωt−ϕ+ π 2) ; RL=ωL konturning induktivlik qarshiligidagi kuchlanishning tebranish qonuni; 2) U R=RI0 Sin (ωt−ϕ ) - R aktiv qarshilikdagi kuchlanishning tebranish qonuni va; 3) UC= 1 ωC I 0Sin(ωt−ϕ− π 2 ) RC= 1 ωC sig’im qarshiligidagi kuchlanishning tebranish qonuni. Bu yerda ω LI 0=U L0 ; RI0=U R0 ; I 0 ωC=U C0 – induktivlik, qarshilik va sig’imdagi kuchlanishlarining amplituda qiymatlaridir. U L,U R va UC kuchlanishlarni taqqoslasak, U R ga nisbatan U L fazasi + π 2 oldinda, UС fazasi, esa −π 2 orqada qoladi (17.4 - rasm). 17.4 - rasm. Elektromagnit zanjirning induktivlik qarshiligi va sig’imidagi kuchlanishlarning amplitudalari Rasmda yuqoridagi kuchlanishlarning fazaviy holatlari kuchlanishning vektor diagrammasi ko’rinishida keltirilgan. Diagrammadan ε 02=R2 I 02=(ωL− 1 ωc) 2 I 02 , (17.3.7) Bu yerdan I 0= ε0 √ R2+(ωL− 1 ωc) 2 , (17.3.8) √R2+(ωL− 1 ωc ) 2 - tebranish konturining impedansi – yoki to’la qarshiligi deb ataladi. Kuchlanishlar diagrammasidan ϕ boshlang’ich fazani ham topish mumkin. tg ϕ= ωL− 1 ωc R , (17.3.9) Tok kuchining amplitudasi konturning (L, R va C) parametrlaridan tashqari ε0 majburlovchi EYuK va uning siklik chastotasiga bog’liq. 17.4 Rezonans hodisasi I0 tok kuchi amplitudasining ω - siklik chastotaga bog’liqligi 17.5 - rasmda keltirilgan. 17.5. - rasm. Tebranish konturi tok kuchi amplitudasining siklik chastotaga bog’liq o’zgarishi R1<R2<R3 Majbur etuvchi EYuK ning  chastotasi o’zgarishi bilan ωL= 1 ωc teng bo’lish holatiga erishish mumkin va konturning reaktiv qarshiligi nolga aylanadi: (ωL− 1 ωc)=0 , (17.4.1) Bu shart bajarilganda zanjirdagi tok kuchining amplitudasi maksimal bo’ladi va faqat aktiv qarshilikka bog’liq bo’ladi. I 0max=ε 0 R , (17.4.2) R, L, C ga majbur etuvchi EYuK ni ketma-ket ulanganda tebranish konturidagi tok kuchi amplitudasining birdan oshish hodisasi kuchlanishning rezonansi deb ataladi. Rezonans sodir bo’ladigan ωрез chastota rezonans chastotasi deb ataladi va (17.4.1) - shart bilan aniqlanadi. ω рез= 1 √LC =ω0 , (17.4.3) bu yerda ω0 - tebranish konturining xususiy chastotasidir. 17.5 - rasmda keltirilgan egri chiziqlar rezonans egri chiziqlari deb ataladi. Barcha egri chiziqlarning maksimumi, mexanik rezonansdan farqli ravishda, ωрез chastotaga to’g’ri keladi. Kuchlanishning rezonansida UL va UC o’zlarining maksimal qiymatlariga erishadilar: U LO=U CO=ε0√ L C R , U C0 ε0 =√ L C R =η , (17.4.4) nisbat tebranish konturining aslligi deb ataladi. Bu yerda √ L C konturning to’lqin qarshiligidir. Endi majbur etuvchi EYuK ning tebranish konturi induktivligi va sig’imiga parallel ulanish holatini ko’rib chiqamiz (17.6 - rasm). 17.6 - rasm. Induktivlik va sig’imga parallel ulangan EYuK li tebranish konturi Tarmoqlardagi aktiv qarshiliklarni juda kichik deb hisoblaymiz va ularni inobatga olmasak ham bo’ladi. R1=R2=0. U holda, vaqtning istalgan momentida, o’zaro parallel bo’lgan sig’im va induktivlikdagi kuchlanishlar bir-biriga tengdir. U L=UC=ε Zanjirning ikkala tarmog’idagi har bir tokning amplituda qiymatlari va ularning fazalarini quyidagicha hisoblash mumkin. I 01= ε0 1 ωc ; (R1=0,ωL=0) va tg ϕ1= − 1 ωc 0 =−∞ , (17.4.5) I 02= ε0 ωL ; (R2=0, ω 1 ∞=0) va tg ϕ2=ωL 0 =∞ , (17.4.6) Bu tenglamalardan ϕ1=π 2 , ϕ2=3 2 π ga tengdir. Tashqi zanjirda tokning amplitudasi I 0=|I01−I02|=ε0|ωc− 1 ωL| , (17.4.7) ga teng. Agarda ω=ω рез= 1 LC bo’lsa, I0=ε0| C √LC −√LC L |=ε0|√ C L −√ C L|=0 , (17.4.8) Bu holda kontur qarshiligi katta bo’lgan filtrni eslatadi. 17.5 Qarshilikli elektromagnit zanjirdagi erkin so’nuvchi tebranishlar Kondesator, g’altak va qarshilikdan iborat bo’lgan har qanday zanjirda elektromagnit so’nuvchi tebranishlar sodir bo’ladi. Shunday zanjir 17.7 - rasmda tasvirlangan. 17.7 - rasm. Qarshilikli elektromagnit zanjiri Agar kondensatorni zaryadlasak va zanjirni o’z holicha qoldirsak, unda elektromagnit so’nuvchi tebranishlar sodir bo’ladi. Chunki zanjir bo’yicha tok qarshilik qismidan o’tayotganda elektr energiyasi issiqlik energiyasi ajralib chiqishiga sarf bo’ladi. Shu sababli, konturdagi energiya zahirasi va tebranishlar amplitudasi asta - sekin kamaya boradi, natijada tebranishlar so’na boshlaydi. So’nuvchi elektromagnit tebranish uchun Kirxgofning II qonunini yozamiz: −L dI dt =RI+ Q C , (17.5.1) bu yerda RI – qarshilikdagi kuchlanish tushishidir. I ni dQ dt va dI dt ni d 2Q dt2 bilan almashtirsak, quyidagiga ega bo’lamiz: d2Q dt2 + R L dQ dt + 1 LC Q=0 , (17.5.2) Bu ifoda erkin so’nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasini o’zidir. Bu vaqtda tebranuvchi kattaliklar bir-biriga quyidagicha o’xshashlikka egadirlar. y→Q , r→ R , m→L va ω0→ 1 √LC Endi β= R 2L , ω0 2= 1 LC belgilashlarni kiritsak (17.3.2) – ifoda quyidagi ko’rinishni oladi d2Q dt2 +2 β dQ dt +ω0 2Q=0 , (17.5.3) Bu differensial tenglama so’nuvchi mexanik tebranishlarning differensial tenglamasiga o’xshashdir. β2<ω0 2 yoki R2 4 L2 < 1 LC shartlar bajarilgan holda, (17.5.3) – ifodaning yechimi quyidagidan iborat bo’ladi. Q=Q0 e −βt sin(ω 't+α ) , (17.5.4) bu yerda ω '=√ω0 2−β2=√ 1 LC − R2 4 L2 , (17.5.5) Bu holda ham, elektromagnit so’nuvchi tebranishlar chastotasi  xususiy chastota o dan kichikdir. R = 0 bo’lganda ω '=ω0= 1 √LC shart bajariladi. Faza o’zgarishi nolga teng bo’lgan ( = 0) oddiy holatni ko’ramiz. Q=Q0 e−βt sin {ω ' t¿ , (17.5.6) Tok uchun