GOLOMORF AKSLANTIRISH
Teorema 4.
n
U
C
sohadagi z0 nuqtaning atrofida
:
m
f U
C
golomorf akslantirish bo`lsin.
Agar z0 nuqtaning atrofidagi f o`zaro bir qiymatli aklantirish bo`lsa,
0
fJ
z
0 bo`ladi.
n bo`yicha induksiyadan foydalanaiz. n=1 uchun usbotlangan (I qism 35-xatboshi); u n
dan kichik barcha qiymatlarda o`rinli bo`lsin. Faraz qilamiz,
0
fJ
z
0
bo`lsin va f (z0 )
matritsaning rangini
(0
1)
k
k
n
bilan belgilaymiz. Agar
0
k bo`lsa, umumiylikni
yo`qotmasdan det(
)
0
f
z
( ,
1,... ).
k
Ushbu 3-teoremaga asosan
1
1
( )
,...
k ( )
k
f z
w
f
z
w
tenglamalar sisteasi
1
, 2
,...,
k
z z
z golomorf funksiyalarga nisbatan yechiladi va shuning uchun
V
U
atrofda yangi local koordinatalar sifatida
( )
z
f
z
uchun
1,k
va
(
1, )
z
z
k
olishimiz mumkin.
f akslantirishning yangi koordinatalari ( biz ularni z deb belgilaymiz) ko`rinishi
(
1,... )
w
z
k
,
( )(
1,... )
w
f
z
k
n
va yakobiani
Shunday qilib, z0 nuqtada oxirgi determinant 0 ga teng bo`ladi. n-k o`lchovli
1
...
0
k
z
z
tekislik f akslantirishga ko`ra
1
...
0
k
w
w
tekislikka o`tadi va
shunga ko`ra, сужение
k 1,...,
n
f
f
f
n k
С dagi (
)
n
k
o`lchamli окрестнось V
V
П
ga golomorf akslanadi.
0
0
1
(
,...
)
k
n
z
z
nuqtadagi bu akslantirishning yakobiani (7)ga ko`ra 0 ga
teng va induksion farazga ko`ra f V da o`zaro bir qiymatli emas. Ammo, f ham V da o`zaro
bir qiymatli emas.
z0 nuqtadagi d barcha
0
f
z
0
k holati qoldi. Biz bir necha o`zgaruvchili golomorf
funksiya yakkalangan nollarga teng bo`la olmasligi ,ya`ni, nolga teng bo`lgan ixtiyoriy
nuqta uchun kichkina yo`l bor(23- xatboshi) xossasidan foydalanamiz.
0
fJ
z
0
bo`lganda
bu xossaga ko`ra
( )
0
fJ
z da oxiri z0 bilan tugaydigan yo`lak bor. Faqatgina ikkit holat:
(a) barcha z0ga tutashuvchi ning ba`zi segmentida
0
f
z
, va (b) assossiz z0ga
yaqinlashganda da barchasi
0
f
z
ga teng bo`lmagan 1 ta nuqta bor. (a) holatda f
akslantirish ning bu segmentini 1ta nuqtaga o`tkazadi va (b) holatda
0
fJ
z
0
da bor
bo`lgan z0ga yaqinlashadi lek rank
( )
0
f
z
k
. Ikkala holatda ham f z0ning atrofida o`zaro
bir qiymatli emas ( (b) holat yuqorida isbotlangan).
Shuningdek, golomorf akslantirishlar uchun maksimumlik prinsipi o`rinli. Uni
yetarlicha umumiy shaklga olish uchun, quyidagi xossalarga ega bo`lgan
(1) Barcha ,
n
z w
C
uchun z
w
z
w
(2) Barcha
C
va
n
z
C
uchun
z
z
(3)
0
z faqatgina
0
z bo`lsa. Yevklid va polidoira C -golomorf normalarga asosiy
misollar.
5-teorema(maksimumlik prinsipi).
n
C da D soha,
:
m
f U
C
golomorf akslantirish va
m
C da C -golomorf bir jinsli norma. Agar
( )
f z a nuqtada a
D
maksimumga
erishsa, (1) f ning komponentalari f D da chiziqli bog`liq va (2)
( )
f z =const D da
( )
b
f a
va
{
:
}
m
B
w
C
w
b
qaralayotgan sharda berilgan bo`lsin; normalarning
xossasiga ko`ra- bu qavariq ochiq to`plam.
0
b uchun qat`iy trivial, shu sababli biz
0
b deb faraz qla olamiz. So`ngra b
B
; B qavariq, unda
Re ( )
l w
(8)
deb yoza oladigan haqiqiy gipertekislik mavjud.
1
( )
m
l w
a w
kompleks chiziqli funksiya va Re ( )
l b . l funksiya tanlangan shu sababli
barcha w
B
lar uchun ( )
l w
o`rinli.
Biz hozir D da golomorf bo`lgan
el f
funksiyani qarab chiqamiz; biz D ning barcha
joyida
( )
Re
( )
l f z
l f z
e
e
e
ga egamiz va a ning moduli e ga teng. Maksimum prinsipiga
ko`ra( 5-xatboshidagi 6-teorema) D da
( )
l f z
const
. Bundan biz f ning komponentalari
f chiziqli bog`liq ( ular munosabatni qanoatlantiradi) va barcha z
D
lar uchun
( )
f z
(8) gipertekislik kesishmasiga tegishli va chegara B
, barcha z
D
lar uchun
( )
f z
b
ekanligini xulosa qilamiz.
Eslatma. Agar normadagi qaralayotgan B qat`iy qavariq shar bo`lsa, (8) gipertekislik
bilan B
kesishmasi nuqta va
( )
f z
const
(bu misol uchun Yevklid normasida sodir
bo`ladi). Shu sababli, umuman bu xulosa C -bir jinsli golomorf norma uchun to`g`ri emas
(polidoira normasi sababli).
Maksimumlik prinsipidan biz Umumlashgan Shvarts lemmasini olishimiz mumkin:
6-teorema.
1
n
B
C
va
2
m
B
C
mos ravishda C -bir jinsli golomorf
1 va
2
normalarda birlik sharlar va
(0)
0
f
golomorf akslantirish
1
2
f :
B
B
berilgan bo`lib,
ixtiyoriy
1
z
B
uchun
2
1
( )
f z
z
(9)
0
Cn
nuqtadan o`tuvchi
0
:l z
z
0
1
z
B
(
0
1
1
z
) va
C
;bu yerda -tekislikda
uning
1B bilan kesishmasi
{
1}.
U
aylana hosil bo`ladi kompleks chiziqni chizamiz,
Golomorf egri chiziqni
0
( )
(
) /
:
m
g
f
z
U
C
deb olamiz va ixtiyoriy r ,0
1
r
o`rnatamiz.2-teoremaga ko`ra, {
r}
doirada
( ) 2
1/
g
r
ga egamiz va
1
r ga
intilganda biz
( ) 2
1
g
, ixtiyoriy
U
nuqtada
0
2
(
)
f
z
larni anqlaymiz.
Endi
0
z
1B ning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin; so`ngra
0
1
1
/
z
z
z
B
va oxirgi
tenglikda
z 1
ni qo`ysak, (9) ga ega bo`lamiz.
5-bobda boshqa Umumlashgan Shvarts lemmasini qarab chiqamiz.
*Agar
0
1 /{0}
z
B
nuqta uchun (9) tenglik ega bo`lsak, so`ngra
2
1
( )
f z
z
bo`lsa, l
kompleks to`g`ri chiziqning barcha uqtalari 0 va
0z orqalio`tishini isbotlang.*
