GOLOMORF AKSLANTIRISH

Yuklangan vaqt

2024-04-05

Yuklab olishlar soni

2

Sahifalar soni

4

Faytl hajmi

405,3 KB


GOLOMORF AKSLANTIRISH 
 
 
Teorema 4.
n
U
 C
sohadagi z0 nuqtaning atrofida 
:
m
f U
 C
golomorf akslantirish bo`lsin. 
Agar z0 nuqtaning atrofidagi f o`zaro bir qiymatli aklantirish bo`lsa, 


0
fJ
z
 0 bo`ladi. 
  n bo`yicha induksiyadan foydalanaiz. n=1 uchun usbotlangan (I qism 35-xatboshi); u n 
dan kichik barcha qiymatlarda o`rinli bo`lsin. Faraz qilamiz, 


0
fJ
z
 
0
 bo`lsin va f (z0 ) 
matritsaning rangini 
(0
1)
k
k
n



 bilan belgilaymiz. Agar 
0
k  bo`lsa, umumiylikni 
yo`qotmasdan det(
)
0
f
z





 ( ,
1,... ).
k
  
 Ushbu 3-teoremaga asosan 
1
1
( )
,...
k ( )
k
f z
w
f
z
w


 
tenglamalar sisteasi 
1
, 2
,...,
k
z z
z  golomorf funksiyalarga nisbatan yechiladi va shuning uchun 
V
U
atrofda yangi local koordinatalar sifatida 
( )
z
f
z

  
uchun 
 1,k
va 
(
1, )
z
z
k

   

  
olishimiz mumkin. 
 f  akslantirishning yangi koordinatalari ( biz ularni z deb belgilaymiz) ko`rinishi 
(
1,... )
w
z
k

  

, 
( )(
1,... )
w
f
z
k
n






 va yakobiani  
 
 
 
 
Shunday qilib, z0 nuqtada oxirgi  determinant 0 ga teng bo`ladi. n-k o`lchovli 


1
...
0
k
z
z





tekislik  f  akslantirishga ko`ra  

1
...
0
k
w
w



 tekislikka o`tadi va 
shunga ko`ra, сужение 


k 1,...,
n
f
f
f


  
n k
С   dagi (
)
n
 k
o`lchamli окрестнось V
V
П

 
ga golomorf akslanadi. 
0
0
1
(
,...
)
k
n
z
z

nuqtadagi bu akslantirishning yakobiani (7)ga ko`ra 0 ga 
GOLOMORF AKSLANTIRISH Teorema 4. n U  C sohadagi z0 nuqtaning atrofida : m f U  C golomorf akslantirish bo`lsin. Agar z0 nuqtaning atrofidagi f o`zaro bir qiymatli aklantirish bo`lsa,   0 fJ z  0 bo`ladi. n bo`yicha induksiyadan foydalanaiz. n=1 uchun usbotlangan (I qism 35-xatboshi); u n dan kichik barcha qiymatlarda o`rinli bo`lsin. Faraz qilamiz,   0 fJ z 0  bo`lsin va f (z0 ) matritsaning rangini (0 1) k k n    bilan belgilaymiz. Agar 0 k  bo`lsa, umumiylikni yo`qotmasdan det( ) 0 f z      ( , 1,... ). k    Ushbu 3-teoremaga asosan 1 1 ( ) ,... k ( ) k f z w f z w   tenglamalar sisteasi 1 , 2 ,..., k z z z golomorf funksiyalarga nisbatan yechiladi va shuning uchun V U atrofda yangi local koordinatalar sifatida ( ) z f z     uchun  1,k va ( 1, ) z z k       olishimiz mumkin. f akslantirishning yangi koordinatalari ( biz ularni z deb belgilaymiz) ko`rinishi ( 1,... ) w z k      , ( )( 1,... ) w f z k n       va yakobiani Shunday qilib, z0 nuqtada oxirgi determinant 0 ga teng bo`ladi. n-k o`lchovli   1 ... 0 k z z      tekislik f akslantirishga ko`ra   1 ... 0 k w w    tekislikka o`tadi va shunga ko`ra, сужение   k 1,..., n f f f    n k С  dagi ( ) n  k o`lchamli окрестнось V V П  ga golomorf akslanadi. 0 0 1 ( ,... ) k n z z  nuqtadagi bu akslantirishning yakobiani (7)ga ko`ra 0 ga
teng va induksion farazga ko`ra f  V da o`zaro bir qiymatli emas. Ammo, f  ham V da o`zaro 
bir qiymatli emas. 
    z0 nuqtadagi d barcha 
0
f
z




  
0
k   holati qoldi. Biz bir necha o`zgaruvchili golomorf 
funksiya yakkalangan nollarga teng bo`la olmasligi ,ya`ni, nolga teng bo`lgan ixtiyoriy 
nuqta uchun kichkina yo`l bor(23- xatboshi) xossasidan foydalanamiz. 


0
fJ
z
 0
  bo`lganda 
bu xossaga ko`ra 
( )
0
fJ
z  da oxiri z0 bilan tugaydigan  yo`lak bor. Faqatgina ikkit holat: 
(a) barcha z0ga tutashuvchi    ning ba`zi segmentida 
0
f
z




 , va (b)  assossiz   z0ga 
yaqinlashganda  da barchasi 
0
f
z




 ga teng bo`lmagan 1 ta nuqta bor. (a) holatda f  
akslantirish   ning bu segmentini 1ta nuqtaga o`tkazadi va (b) holatda  


0
fJ
z
 
0
 da bor 
bo`lgan z0ga yaqinlashadi lek rank 
( )
0
f
z
k


 . Ikkala holatda ham f  z0ning atrofida o`zaro 
bir qiymatli emas ( (b) holat yuqorida isbotlangan).  
        Shuningdek, golomorf akslantirishlar uchun maksimumlik prinsipi o`rinli. Uni 
yetarlicha umumiy shaklga olish uchun, quyidagi xossalarga ega bo`lgan  
(1) Barcha ,
n
z w
C
uchun z
w
z
w



 
(2) Barcha 
C
va 
n
z
C
uchun 
z
z

 

 
(3) 
0
z   faqatgina 
0
z  bo`lsa. Yevklid va polidoira C -golomorf normalarga asosiy 
misollar. 
  5-teorema(maksimumlik prinsipi). 
n
C  da D  soha,
:
m
f U
 C
 golomorf akslantirish va 
m
C da     C -golomorf bir jinsli norma. Agar 
( )
f z  a  nuqtada a
D
 maksimumga 
erishsa, (1) f ning komponentalari f  D  da chiziqli bog`liq va  (2) 
( )
f z =const D  da 
       
( )
b
 f a
va
{
:
}
m
B
w
C
w
b



qaralayotgan sharda berilgan bo`lsin; normalarning 
xossasiga ko`ra- bu qavariq ochiq to`plam. 
0
b   uchun qat`iy trivial, shu sababli biz 
0
b  deb faraz qla olamiz. So`ngra b
B
 ; B  qavariq, unda  
                                                               Re ( )
l w
 
                                                                         
(8) 
deb yoza oladigan haqiqiy gipertekislik mavjud. 
1
( )
m
l w
a w




 kompleks chiziqli funksiya va   Re ( )
l b . l  funksiya tanlangan shu sababli 
barcha w
B
 lar uchun ( )
l w
 
o`rinli. 
teng va induksion farazga ko`ra f V da o`zaro bir qiymatli emas. Ammo, f ham V da o`zaro bir qiymatli emas. z0 nuqtadagi d barcha 0 f z      0 k  holati qoldi. Biz bir necha o`zgaruvchili golomorf funksiya yakkalangan nollarga teng bo`la olmasligi ,ya`ni, nolga teng bo`lgan ixtiyoriy nuqta uchun kichkina yo`l bor(23- xatboshi) xossasidan foydalanamiz.   0 fJ z 0  bo`lganda bu xossaga ko`ra ( ) 0 fJ z  da oxiri z0 bilan tugaydigan  yo`lak bor. Faqatgina ikkit holat: (a) barcha z0ga tutashuvchi  ning ba`zi segmentida 0 f z      , va (b) assossiz z0ga yaqinlashganda  da barchasi 0 f z      ga teng bo`lmagan 1 ta nuqta bor. (a) holatda f akslantirish  ning bu segmentini 1ta nuqtaga o`tkazadi va (b) holatda   0 fJ z 0  da bor bo`lgan z0ga yaqinlashadi lek rank ( ) 0 f z k    . Ikkala holatda ham f z0ning atrofida o`zaro bir qiymatli emas ( (b) holat yuqorida isbotlangan). Shuningdek, golomorf akslantirishlar uchun maksimumlik prinsipi o`rinli. Uni yetarlicha umumiy shaklga olish uchun, quyidagi xossalarga ega bo`lgan (1) Barcha , n z w C uchun z w z w    (2) Barcha C va n z C uchun z z     (3) 0 z  faqatgina 0 z  bo`lsa. Yevklid va polidoira C -golomorf normalarga asosiy misollar. 5-teorema(maksimumlik prinsipi). n C da D soha, : m f U  C golomorf akslantirish va m C da  C -golomorf bir jinsli norma. Agar ( ) f z a nuqtada a D maksimumga erishsa, (1) f ning komponentalari f D da chiziqli bog`liq va (2) ( ) f z =const D da ( ) b  f a va { : } m B w C w b    qaralayotgan sharda berilgan bo`lsin; normalarning xossasiga ko`ra- bu qavariq ochiq to`plam. 0 b  uchun qat`iy trivial, shu sababli biz 0 b  deb faraz qla olamiz. So`ngra b B  ; B qavariq, unda Re ( ) l w   (8) deb yoza oladigan haqiqiy gipertekislik mavjud. 1 ( ) m l w a w     kompleks chiziqli funksiya va   Re ( ) l b . l funksiya tanlangan shu sababli barcha w B  lar uchun ( ) l w   o`rinli.