GOLOMORF FUNKSIYANING XOSSALARI Quydagi belgilashlarni kiritaylik:   : , 1,..., n U z z a r n          - polikrug. a-markazi, 1 ( ,..., n) r r r   - radius vektori.   ( ) U C U U O da golomorf va U da uzluksiz bo’lgan funksiyalar to’plami. Teorema.1. Agar   ( ) f U C U  O funksiya z  U nuqtada Koshining integral formulasi orqali ifodalanadi: 1 ( ) ( ) (2 )n f f z z d i         (1) 1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ), ( , ,..., ), , ,..., n n n z z z z d d d d            :  polikrug ostovi,   n z a r        aylanalar ko’paytmasining chegarasi. Isbot. 1 2 1 , z z ,..., n z  nuqtalarni fikserlab 1 2 ( , ,..., n) f z z z n z o’zgaruvchiga bog’liq funksiyani qaraymiz. Bu funksiya   n n n z a r   doirada n z ga nisbatan golomorf va uning yopilmasida uzluksiz. Koshining integral formulasiga ko’ra: 1 2 1 1 2 ( , ,..., , ) 1 ( , ,..., ) , 2 n n n n n n n n n f z z z f z z z d i z             1 2 1 ( , ,..., , ) n n f z z z   olib 1 2 2 , z z ,..., n z  va n  fikserlab, n 1 z  o’zgaruvchiga bog’liq deb qaraymiz. Bu funksiya   1 1 1 n n n z a r      doirada golomorf yopilmasida uzluksizligidan Koshining integral formulasi orqali ifodalaymiz: 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ( , ,..., , ) 1 ( , ,..., , ) 2 ( ) n n n n n n n n f z z f z z z d i z                 . Bu jarayonni davom ettirsak 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ,..., ) 1 ( , ,..., ) ... ( )...( ) (2 ) n n n n n n n n n f f z z z d d d z z i                    . Integral ostidagi funksiya uzluksizligidan takroriy integralni karrali integralga teng: 1 1 2 1 1 1 ( ,..., ) 1 ( , ,..., ) ... ( )...( ) (2 ) n n n n n n f f z z z d d z z i             Izoh. Bu 1-teoremani isbotlashda f funksiyani   U z a r       polikrugda z nuqtalarga nisbatan golomorf va U da o’zgaruvchilarga nisbatan uzluksizligidan foydalanildi. Funksiyani Koshi integrali bilan ifodalanilishi uni darajali qatorga yoyish imkonini beradi. Buni isbotlash uchun integral yadrosini kengaytiramiz: 1 1 1 1 ( )(1 ) 1 a z z a z a a z z                   1 1 0 1 1 1 1 1 ( ) (1 )...(1 ) k n n k n n z a z a z a a a a a a                       bu yerda 1 2 ( , ,..., n) k k k k  vektor 1 2 ... n k k k k     1 1 1 1 1 ( ) ( ) ... ( ) n k k k n n n n z a z a z a a a a             1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) k k k k k z a z a z a a a                     bu yerda 1 1 ( 1,..., 1) n k k k z U       da bu ifoda  bo’yicha  ostovda absolyut va tekis yaqinlashadi. Ifodani  ostovda uzluksiz ( ) (2 )n f i   ifodaga ko’paytirib, integrallaymiz va kerakli tasdiqqa ega bo’lamiz. 1 1 0 0 1 ( ) ( )( ) 1 ( )( ) ( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) k k n n k n k k k f f z a f z a f z d d d z i i a i a                                   Teorema.2. Agar   ( ) f U C U O bo’lsa, z  U nuqtada quydagi darajali qatorga yoyiladi: 0 ( ) ( )k k k f z c z a      (2) c koeffitsiyenti 1 1 ( ) (2 ) ( ) k n k f c d i a          Izoh. Har qanday   f O U funksiya z  U nuqtada (2) qator yig’indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Buni isbotlash uchun z nuqtani `U Р U ga tegishli deb va `U ga 2- teoremani qo’llash kifoya. Lemma. (Abel) Agar 0 ( )k k k c z a     darajali qator hadlari n   da chegaralangan bo’lsa, u holda markazi a radius vektori 1 2 ( , ,..., n)      bo’lgan   , U z a a               polikrugdagi istalgan kompakt K to’plamda absolyut va tekis yaqinlashadi. Isbot. ( )k k k k c a c M      bo’lsin, bu yerda 1 1 ... n k k k n     va 0    . Shartga ko’ra K Р U max 1 1 1,..., z K q z a n            va z  U uchun ( ) ( ) k k k k k k k k k k z a c a с c q Mq            Mqk - geometrik qator yaqinlashuvchi bundan 0 ( )k k k c z a     - qator absotyut va tekis yaqinlashuvchi. Teorema.3. Agar   f O U bo’lsa, u holda z  U nuqtada f funksiya barcha tartibli xususiy hosilalari mavjud va bu hosilalari ham golomorf bo’ladi. Vazifalar: 1. Har qanday chegaralangan to’plamning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud va chekliligini isbotlang. 2.Xossa (golomorf funksiyani istalgan tartibli hosilaga ega bo’lishi). Agar 𝑓(𝑧) funksiya 𝐷 sohada (𝐷𝜖ℂ𝑧) golomorf bo’lsa, u holda 𝑓(𝑧) funksiya 𝐷 da istalgan tartibli hosilaga ega bo’lib, 𝑓(𝑛)(𝑧) = 𝑛! 2𝜋𝑖 ∫ 𝑓(𝑡) (𝑡−𝑧)𝑛+1dt (n=1,2,…) 𝛾 bo’ladi. Xossani isbotlang. 3.Yagonalik teoremasi . 𝑓(𝑧) 𝑣𝑎 𝑔(𝑧) funksiyalar 𝐷 sohada golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar 𝐷 sohaga tegishli va hech bo’lmaganda bitta limit nuqta 𝑧0 (𝑧0𝜖𝐷) ga ega bo’lgan 𝐸 to’plamda (𝐸 ⊂ 𝐷) bir-biriga teng 𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑧) (𝑧𝜖𝐸) bo’lsa, u holda 𝑓(𝑧) va 𝑔(𝑧) funksiyalar 𝐷 sohada aynan bir-biriga teng bo’ladi: 𝑓(𝑧) ≡ 𝑔(𝑧) (𝑧𝜖𝐸) Teoremani isbotlang. Teorema 4. Agar f(ᵶ) funksiya a nuqtada golomorf bo’lib 0 ( ) ( )k k z f z c z a      ko’rinishdagi darajali qatorga yoyilgan bo’lsa, u holda bu qatorning koeffitsientlari quyidagi Teylor formulalari yordamida aniqlanadi. 1 2 1 ... 1 1 1 1 !... ! ... ! n n k k k k k k k n n z a z a k f f k k z c z k z             (5) Xuddi shu koeffitsientlar uchun   1 1 ( ) ( ) 2 k n k Г f d c a i         formulalardan foydalanib va ularga kiritilgan integrallarni baholab olishimiz mumkin. Koshi tengsizligi. Agar Г ostovida ( ) ( ) f U C U   va f  M funksiya bo’lsa, f ning a nuqtadagi Teylor qatorining koeffitsientlari k k M c r  (6) tengsizlikni qanoatlantiradi. Bunda 1 1 ... kn k k n r r r  . 1-qismda berilgan yagonalik teoremasi ko’p o’zgaruvchilikka taaluqli emas funksiya 1, 2 z z 2da golomorf va nolga teng emas, chegara nuqtalari bo’lgan to’plamda yotadi. (    1 2 0 0 z va z   murakkab chiziqlarda) haqiqatdan shunday. Teorema 5 (Yagonalik). Agar ( ) f  D funksiya n D  sohaning ixtiyoriy a nuqtasida barcha xususiy hosilalari bilan nolga aylansa, D da 0 f  bo’ladi. Isbot.  f ning a nuqtadagi Teylor qatorining barcha koeffitsientlari 0 ga teng, demak bu nuqtaning atrofida 0 f  bo’ladi.   : ( ) 0 E z D f z    va 0 E -E ning ochiq yadrosini belgilaymiz (bu to’plamning ichki nuqtalari to’plami) f ning barcha hususiy hosilalari uzliksiz bo’lganligi uchun u D da yopiq bo’ladi. Shuning uchun 0 E =D. Tasdiq. Agar ( ) f  D funksiya a nuqtaning haqiqiy atrofida ya’ni   0 0 : , n z x iy x x r y y       to’plamda nolga aylansa, D da 0 f  bo’ladi. Isbot  Markazi 0z da joylashgan ba’zi bir polikruglarda f funksiya 0 0 ( ) ( )k k z f z c z z      qatorga yoyiladi va bu yerda 0 y  y o’rnatilsa, barcha   0 x x x r    uchun 0 0 ( ) 0 k k z c x x      ekanligini topamiz. Bu o’ziga xoslikni 1 1 ... kn k k n x x x  ga nisbatan farqlab, keyin 0 x  x ni o’rnatsak, barchasi 0 kc  ekanligini topamiz. 5-teoremaga ko’ra D da 0 f  ekani kelib chiqadi. . Teorema 6 (Modulning maksimum prinsipi). Agar ( ) f  D va f funksiya a D (D ning ichidagi a nuqtada) maksimumiga erishsa, D da f=const. Isbot  a nuqtadan o’tuvchi ( ) z l a      har qanday analitik chiziqni ko’rib chiqaylik. f ning ushbu chiziqdagi kesimi ( ) ( ) f l     funksiya qaysidir    p doirada golomorf bo’lib   0   da maksimumga erishadi. Bir o’zgaruvchili funksiyalar uchun maksimumlar prinsipi bo’yicha ( ) c( )      gaga bog’liq emas shuning uchun a nuqtaning atrofida c( )=const va D da f=const. Agar f n D  sohada golomorf va D da uzluksiz bo’lsa, u holda f maksimumiga D  chegarasida erishadi. Ammo n da n>1(bo’lgan n lar uchun) mavjud bo’lib, ularda D dagi har qanday ( ) f  D uzluksiz uchun f ga aslida butun D  to’plamida emas balki uning ayrim kichik to’plamlarida erishadi. . Eng kichik shunday yopiq to’plam D sohaning Shilov chegarasi deyiladi. Aniqrog’i D sohaning Shilov chegarasi yopiq S D   to’plami bo’lib, u 1. Har qanday ( ) ( ) f D C D   uchun max ( ) max ( ) z S z D f z f z    va 2. 1-xossaga ega har qanday yopiq S to’plam S ni o’z ichiga oladi. Misol. Shar   : 1 . n B z z    Bu yerda Shilov chegarasi topologic soha bilan mos kelishini ko’rsatamiz. Buning uchun B   nuqtani olamiz va B da golomorf B da uzluksiz va barcha \ z  B  uchun ( ) ( ) f f z   ga teng f funksiyani tuzamiz. Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi bo’yicha Germit skalyar ko’paytmasi ( , ) z  uchun biz Re( , ) ( , ) z z z     ga ega bo’lamiz, chunki 1   va Re( , ) z  =|z|=1 tengligiga B da faqat z   bo’lganda erishadi. Shuning uchun ( , ) ( ) z f z e   funksiya to’g’ri xossaga ega. Vazifalar 1. Modulning maksimumlik prinsipini n=1 da isbotlang. 2. Modulning minimumlik prinsipini n=1 da isbotlang. Teorema7. (Liuvill): Agar ( ) f z funksiya n da golomorf va chegaralangan bo’lsa, u o’zgarmas bo’ladi: ( ) f z  const , z n Isbot: Funksiya golomorf bo’lganligi uchun uni darajali qatorga yoyish mumkin. 0 ( ) k k k f z c z     bo'lishi   z r   polidoirada o’rinli. Koshi tengsizlikidan foydalanamiz. Agar hamma joyda ( ) f z   bo’lsa, barcha r uchun 1 2 ( ... n ) r r r r     k k c r   o’rinli. 1 2 ( ... 0) n k k k k      . ( ) f z funksiya nda golomorf bo’lgani uchun r ni istalgancha katta qilib olishimiz mumkin: r   da lim lim k k r r c r     0 kc  ( k 1,2,...) Demak, ( ) f z funksiya uchun 0 ( ) f z  c o’rinli. Teorema: (Veyershtrass) ( ) ( ) f z H D   golomorf funksiyalar ketma-ketligi D sohaning ichidagi har bir K  D to’plamda ( ) f z funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda ( ) ( ) f z  H D bo’ladi va 1 ( , 2 ,..., n ) k k k k   lar uchun k k k k f f z z       bo’ladi. Isbot: D sohaga tegishli U D   (U to’plam yopig’i bilan D ga tegishli bo’lsin, U  D ) polidoira olamiz, u holda 1- teoremaga ko’ra     1 2 1 1 ( , ,..., ) 1 ( ) ... ... ( ) 2 k n k n n n n f f z d d z z i                , (8*) Integral ostidagi 1 ( , 2 ,..., ) k n f    funksiyalar ketma-ketligi  ostovda 1 ( , 2 ,..., n ) f    funksiyaga tekis yaqinlashadi. (8*) tenglikda fiksirlangan z U uchun, k   da limitga o’tsak,     1 ( ) ( ) 2 n f f z z d i         bo’lishi kelib chiqadi. Bundan ( ) f z funksiya U da golomorfligini bildiradi va U  D ixtiyoriy polidoira bo’lganidan ( ) f z funksiya D sohada golomorf bo’ladi. Teoremaning 2-qismini isbotlash uchun z ga nisbatan funksiyaning hosilasini 0z  nuqtaning atrofida ko’rsatish yetarli. ( 0 , ) U U z r D   polidoirani olamiz va Koshi formulasidan foydalanamiz:           ( ) 1 2 1 ( ) 2 n n f f d z z z i f f d z z z i                                          ( ) ( ) 1 2 n f f f f d z z z z i                        (9) f ( ) z f    ostrovda tekis yaqinlashgani uchun 0   son uchun,  0    larda f f     bo’ladi. Agar K U bo’lsa, (9) tenglikdan barcha z va 0    lar uchun          1 2 ( ) ( ) 2 ... 1 1 min 2 2 n n n n z f f f r r r f d z z z z z z i                                              Demak, K da f f z z         da tekis yaqinlashadi. Lemma: ( 1, m)    tekislikdagi : ( )t        - to’g’irlanuvchi egri chiziq bo’lsin, n; D  1 ( , 2 ,..., m )      va 1 ( , 2 ,..., n ) z z z z  . Agar ( , ) g  z funksiya   D sohada uzluksiz bo’lsa, har qanday    uchun D sohada z ga nisbatan golomorf bo’ladi va   D da uzluksiz xususiy g z   hosilalarga ega bo’lsa, u holda 1 1 ( ) ... ( , ) ( , ) m m G z d g z d g z d              D sohada golomorf bo’ladi va ( , ) G g z d z z            ,  1,n . Isbot: Har qanday z  D nuqta uchun 0 r  ni tanlaymiz, unda ( , ) U z r  D polidoira; h r   va (0,0,...,0, ,0,...,0) n h h   vektor bo’lsin, bunda  -koordinatadan tashqari barcha koordinatalari 0 ga teng.     1 0 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) g z h G z h G z g z h g z d d d h h z                         va    1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) g z g z h g z G z h G z d d d h z z z                                   (12) Fiksirlangan z uchun    0,1 kompakt to'plamda ( , ) g z h z      -tekis uzluksiz bo’lganligi uchun 0   uchun 0   ni shunday kichik qilib tanlash mumkinki, h   bilan barcha   ( ,0) 0,1     lar uchun ( , ) ( , ) g z h g z z z              bo’ladi. Shunday qilib, (12)ning o’ng tomonidagi integrallarni ketma-ket baholab, h   uchun bu tenglikning chap tomoni modulda 1 ... m    dan oshmasligini topamiz. Demak, har bir z  D nuqtada G z   ning barcha xususiy hosilalari mavjud va (11) formula bilan ifodalanadi ekan. Vazifalar: 1) Teorema(Liuvill): Agar ( ) ( ) f z  H bo’lib, u chegaralangan bo’lsa, ( ) f z funksiya da o’zgarmas bo’ladi. Isbotlang. 2) Agar ( ) ( ) f z H bo’lsa, ( ) f z funksiya da o’zgarmas bo’ladi. Isbotlang. 3) z   nuqtada golomorflik ta’rifi qanday kiritiladi? 4) Teorema (Veyershtrass): 1 1 ( ) ( ) ... ( ) ... n n n f z f z f z        ( ) D  funksional qatorning har bir nf ( ) z hadi D da golomorf bo’lib, bu qator D da yotuvchi F  yopiq to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator yig’indisi 1 ( ) ( ) ( ) n n f z f z H D      bo’ladi va qator hadlaridan D sohaning har bir nuqtasida ixtiyoriy marta differensial olish mumkin. Isbotlang.