GOLOMORF QAVARIQLIK M  n to’plamning qavariq qobig’ini barcha 0 z  n nuqtalar uchun M  to’plam sifatida tasvirlash mumkin, shuning uchun ixtiyoriy chiziqli funksiya uchun 2 0 1 ( ) n z  x         1 ( )    va bizda quyidagi tengsizlik mavjud : ( 0 ) sup ( ) z M z z     Qavariq qobiqni tasvirlashda n da chiziqli funksiyalarni murakkab funksiyalar bilan almashtirishni o’quvchiga qoldiramiz: 0 1 ( ) n l z  z        1 ( )    . Umuman olganda, qavariq qobiq to’plami M ni to’plam ko’rinishida quyidagicha yozish mumkin: 0 0 { : ( ) sup ( )}, n z M M z l z l z      (1) bu yerda tengsizlik barcha chiziqli funksiya ( ) l z lar uchun o’rinli. Biz qavariq qobiq tushunchasini D  n sohada aniqlangan funksiyalarning ixtiyoriy F (haqiqiy yoki murakkab) oilaga kengaytirish orqali umumlashtirmoqchimiz. Ta’rif 1. F -qavariq qobiq M  D to’plamning nuqtalar yig’indisidir 0 0 { : ( ) sup ( )}, F z M M z D f z f z      (2) bu yerda tengsizlik barcha f  F funksiyalar uchun o’rinli. Ta’rif 2. Agar kompakt D sohaga tegishli bo’lgan harqanday K to'plam uchun uning F qavariq qobig’i ham kompakt ravishda D ga tegishli bo’lsa, D soha F - qavariq deyiladi: F K D K D     (3) 2-ta’rifning qabul qilingan shakli F - qavariq sohani uning chegarasidan chiqmasdan o’rnatish imkonini beradi. Bu yerda F faqat D sohada aniqlangan funksiyalardan iborat bo’lganda juda muhim. Agar F chiziqli funksiyalardan iborat bo’lsa, F - qavariqlik oddiy (geometrik) qavariqlik bilan mos keladi. Funksiyalar nazariyasida golomorf qavariqlik ( ) F  O D bo’lganda, F barcha ko’phadlar yig’indisi ( ) P z bo’lganda esa polinomial qavariqlik muhim rol o’ynaydi. M to’plamning polinomial qavariq qobig’i P M  orqali, golomorf qavariqlik esa M  O orqali belgilanadi. F ning boshqa sinflari bilan bog’liq bo’lgan qavariqlik tushunchalari ham ko’rib chiqiladi. Masalan barcha ratsional funksiyalar to’plami yoki barcha monomiallar (ya’ni 1 1 ... kn k k n z z z  ). Ko’rinib turibdiki, F sinfi qanchalik keng bo’lsa, funksiyalar to’plami (2) tengsizlik bajarilishini shunchalik ko’p talab qiladi. Shuning uchun, F qavariq qobiq to’plami F qavariq sohaga qaraganda torroq bo’ladi. Xususan, hardoim P M M M M       O va barcha qavariq sohalar polinomial qavariq, barcha polinomial qavariqlar golomorf qavariq bo’ladi. Misollar. 1. Keling, samolyot ishida tasvirlangan qo'shilishni ko'rsatamiz. Har qanday D  1 soha golomorf qavariq va 1 da polinomial qavariqlik bo’ladi (buni isbotlang!). Geometrik qavariq sohalar sinfi polinomial qavariqlar sinfiga qaraganda torroqdir. Majoziy ma'noda, tekis maydonda polinomial qobiq undagi "teshiklar" ni yopish, (geometrik) qavariq qobiq chegara yaqinidagi chuqurchalarni yopish degani. 2. Harqanday analitik poliedr { : ( ) 1, z D W z       1,..., N (18-paragrafga qarang), bu yerda ( ) W  O D funksiya ( D) O  O sinfga nisbatan qavariq. Haqiqatan ham, agar ixtiyoriy  1,..., N uchun K   bo’lsa, 1 W K r    ekanligini bilamiz. Ta’rif bo’yicha O qavariq qobiq sup ( ) sup ( ) , z K z K W z W z r        O bundan kelib chiqadiki K  O   . Harqanday ( ) F  O D funksiyalar oilasi qavariqligi uchun D sohaning golomorf ekanligi yetarlidir. Teorema 1 (Kartan va Tullen). Agar D  n soha qandaydir ( ) F  O D sinfga nisbatan qavariq bo’lsa, u golomorf sohadir. Bu teoremaning isboti to’siq haqidagi teoremaga o’xshaydi. D  ning hamma joyida zich  nuqtalar to’plami va chegaraviy nuqtalarning ketma ketligi k  ni shunday tanlaymizki,  nuqta cheksiz marta uchraydi. Shuningdek, D sohada biror 1 2 ... R  R  kompakt p K R    to’plamlar ketma-ketligini , z   D nuqta va ( ) f  O D funksiya tuzamiz. Ixtiyoriy  1,2,... lar uchun 1) 1 , \ z K K        1 , z      2) 1, K f    lekin ( 0 ) 1 f  z  (yozishda soda bo’lishi uchun F qavariq qobiqni F indeks shaklida yozamiz). Tuzishni induksiya orqali bajaramiz. 1   uchun 1 1 K R  olamiz, F - qavariq qobiqdan foydalanib, K1 D   da shunday 1z D nuqta topamizki, 1 1 z K   va 1 1 1 z   bo’lsin; qavariqlik ta’rifidan shunday 1g F  funksiya kelib chiqadiki, 1 1 1 1 ( ) K , g z  g va 1 1 1 1 ( ) ( ) K g z f z  g tenglikni faraz qilamiz. Keyin biz 2 2 p K  R ni shunday tanlaymizki 1z nuqta 2 K ga tegishli bo'lsin demakki 2 K  ga ham. Shu ishlarni 1   natural sonlargacha bajarilgan deb faraz qilamiz. Endi \ z D K     nuqta olamizki, 1 , z      bo’lsin, 1( ) K , g z g     lar uchun g  F funksiya topamiz va faraz qilamizki ( ) ( ) K g z f z g      , keyin 1 1 p K R      ni shunday tanlaymizki 1 \ z K K       bo’lsin. Tuzishni tugatamiz. To’siq teoremasidagi kabi q natural sonlarni tanlasak, barcha 1   lar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) q q f z f z                 va shundan ba’zi birlarini ko’ramiz 2 1 1 ( ) { ( )} . q f z f z         Bu qator harqanday K  D da tekis yaqinlashganligi sababli, ( ) f D O funksiya ( ) f z   va D sohada golomorf bo’ladi Bu teoremada ( ) F  O D ni tanlasak eng kuchli tasdiqga ega bo’lamiz. Natija. Harqanday golomorf sohada golomorf qavariqlik bor. Golomorflik sohasi uchun F sinfga qo’shimcha shartlar olinadi (masalan , agar F barcha chiziqli funksiyalar yig’indisi bo’lsa , F - qavariqlik oddiy qavariqlikka mos keladi, lekin ko’rdikki bu bizga kerak emas). Biz F sinfni differensialga nisbatan barqaror , umuman olganda d -o’zgarmas deb olsak, harqanday f funksiyaning k k f z   hosilalarini ham o’z ichiga oladi. Bunday sinflarga nisbatan qobiq uchun quyidagi muhim teorema davom ettiriladi: Teorema 2 (Kartan va Tullen). K  D va K dan D ning chegarasigacha  metrikada masofa ( , ) r K D    bo’lsin. 0z nuqta qanday bo’lishidan qat’iy nazar d barqaror F sinfga nisbatan K to’plamning qavariq qobig’iga tegishli ixtiyoriy f  F funksiya ( 0 U z , ) r polikrugga golomorf kengayadi. ( 0 U z , ) r D sohadan tashqariga chiqishi mumkin. Bu polikrugning radiusi f  F ga bog’liq emas va u K to’plam bilan D  gacha aniqlanadi. 0z D bo’lgani uchun harqanday f  F funksiyaning 0z nuqtaga yaqin joylarini Teylor qatoriga yoyish mumkin. 0 0 ( ) ( ) , k k k f z c z z      (4) 0 1 ! k k k z f c k z    . Lekin d - o’zgarmas va 0 F z K   bo’lgani uchun 0 , k k k k z K f f z z      (5) ya’ni 0z bo’yicha baholash K bo’yicha baholashga mos keladi. 1r r  son tanlaymiz va K to'plamdagi 1r to’qnashishlarni 1 ( ) K r orqali belgilanadi. ( 1 ( , ), U z r z K da barcha polikruglarning birlashishi). f funksiya 1 ( ) K r  D bilan chegaralanganligidan biz quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: ( 1) 1 ( ) r f K M r  f . (6) Agar , z  K 1 ( ) 1 ( , ) r U z r  K bo’lsa, (5) ifodaning o’ng tomonini baholash uchun Koshi tengsizligidan foydalanamiz. 1 1 ( ) 1 . ! k f k k k K M r f c k z r     Endi ixtiyoriy 0 2 ( , ) z U z r nuqta uchun 2 1 r r  son tanlaymiz. 0 2 1 1 ( ) ( )( ) , k k k f r c z z M r r   (7) ko’rinib turibdiki bu (4) qatorning 0 2 ( , ) U z r polikrugga yaqinlashishini ko’rsatadi. 1r va 2r sonlarini r ga yaqin tanlash mumkinligi ( 0 U z , ) r ning hamma joyida (4) qator yaqinlashuvchi. Bu qator f funksiyaning kerakli golomorf kengaytmasini beradi Teoremaning isboti golomorf sohalar uchun quyidagi F - qavariqlik zarur ekanligiga olib keladi: Teorema 3 (Benke-Shteyn). Agar d barqaror F sinfda ba’zi f funksiya uchun D  n golomorf soha bo’lsa, u holda F - qavariq bo’ladi. Ixtiyoriy K  D to’plam olamiz va ( , ) r K D    kabi belgilaymiz. 2- teoremaga ko’ra f funksiyani F K  to’plamning r ga qadar kengaytirish mumkin, farazlarga ko’ra f funksiya D sohadan tashqariga cho’zilishi mumkin emasligi sababli, bu kengayish D ga tegishli va shuning uchun KF D   bo’ladi Xususan, ( ) F  O D tanlasak ( bu sinfda aniqki d barqaror), ixtiyoriy golomorf sohada golomorf qavariqlik borligini bilamiz. Ushbu faktni 1- teoremaning xulosasi bilan birlashtirib, yakuniy natijaga erishamiz.