GOLOMORF QAVARIQLIK
M n
to’plamning qavariq qobig’ini barcha
0
z n
nuqtalar uchun M
to’plam sifatida tasvirlash mumkin, shuning uchun ixtiyoriy chiziqli funksiya
uchun
2
0
1
( )
n
z
x
1
(
)
va bizda quyidagi tengsizlik mavjud :
( 0
)
sup
( )
z M
z
z
Qavariq qobiqni tasvirlashda
n da chiziqli funksiyalarni murakkab funksiyalar
bilan almashtirishni o’quvchiga qoldiramiz:
0
1
( )
n
l z
z
1
(
)
.
Umuman olganda, qavariq qobiq to’plami M ni to’plam ko’rinishida quyidagicha
yozish mumkin:
0
0
{
: (
)
sup ( )},
n
z M
M
z
l z
l z
(1)
bu yerda tengsizlik barcha chiziqli funksiya ( )
l z lar uchun o’rinli.
Biz qavariq qobiq tushunchasini
D n
sohada aniqlangan funksiyalarning
ixtiyoriy F (haqiqiy yoki murakkab) oilaga kengaytirish orqali
umumlashtirmoqchimiz.
Ta’rif 1. F -qavariq qobiq M
D
to’plamning nuqtalar yig’indisidir
0
0
{
:
(
)
sup
( )},
F
z M
M
z
D
f z
f z
(2)
bu yerda tengsizlik barcha f
F
funksiyalar uchun o’rinli.
Ta’rif 2. Agar kompakt D sohaga tegishli bo’lgan harqanday K to'plam
uchun uning F qavariq qobig’i ham kompakt ravishda D ga tegishli bo’lsa, D soha
F - qavariq deyiladi:
F
K
D
K
D
(3)
2-ta’rifning qabul qilingan shakli F - qavariq sohani uning chegarasidan
chiqmasdan o’rnatish imkonini beradi. Bu yerda F faqat D sohada aniqlangan
funksiyalardan iborat bo’lganda juda muhim. Agar F chiziqli funksiyalardan iborat
bo’lsa, F - qavariqlik oddiy (geometrik) qavariqlik bilan mos keladi.
Funksiyalar nazariyasida golomorf qavariqlik
(
)
F
O D
bo’lganda, F barcha
ko’phadlar yig’indisi
( )
P z bo’lganda esa polinomial qavariqlik muhim rol
o’ynaydi. M to’plamning polinomial qavariq qobig’i
P
M
orqali, golomorf
qavariqlik esa M
O orqali belgilanadi. F ning boshqa sinflari bilan bog’liq bo’lgan
qavariqlik tushunchalari ham ko’rib chiqiladi. Masalan barcha ratsional funksiyalar
to’plami yoki barcha monomiallar (ya’ni
1
1 ...
kn
k
k
n
z
z
z
).
Ko’rinib turibdiki, F sinfi qanchalik keng bo’lsa, funksiyalar to’plami (2)
tengsizlik bajarilishini shunchalik ko’p talab qiladi. Shuning uchun, F qavariq
qobiq to’plami F qavariq sohaga qaraganda torroq bo’ladi. Xususan, hardoim
P
M
M
M
M
O
va barcha qavariq sohalar polinomial qavariq, barcha
polinomial qavariqlar golomorf qavariq bo’ladi.
Misollar.
1. Keling, samolyot ishida tasvirlangan qo'shilishni ko'rsatamiz. Har qanday
D 1
soha golomorf qavariq va
1 da polinomial qavariqlik bo’ladi (buni
isbotlang!). Geometrik qavariq sohalar sinfi polinomial qavariqlar sinfiga
qaraganda torroqdir. Majoziy ma'noda, tekis maydonda polinomial qobiq undagi
"teshiklar" ni yopish, (geometrik) qavariq qobiq chegara yaqinidagi chuqurchalarni
yopish degani.
2. Harqanday analitik poliedr
{
:
( )
1,
z
D W z
1,..., N
(18-paragrafga qarang), bu yerda
( )
W
O D
funksiya
(
D)
O
O
sinfga nisbatan
qavariq. Haqiqatan ham, agar ixtiyoriy
1,..., N
uchun K bo’lsa,
1
W K
r
ekanligini bilamiz. Ta’rif bo’yicha O qavariq qobiq
sup
( )
sup
( )
,
z K
z K
W z
W z
r
O
bundan kelib chiqadiki K
O
.
Harqanday
(
)
F
O D
funksiyalar oilasi qavariqligi uchun D sohaning
golomorf ekanligi yetarlidir.
Teorema 1 (Kartan va Tullen). Agar
D n
soha qandaydir
(
)
F
O D
sinfga
nisbatan qavariq bo’lsa, u golomorf sohadir.
![Bu teoremaning isboti to’siq haqidagi teoremaga o’xshaydi. D
ning
hamma joyida zich nuqtalar to’plami va chegaraviy nuqtalarning ketma ketligi
k
ni shunday tanlaymizki, nuqta cheksiz marta uchraydi. Shuningdek, D sohada
biror
1
2
...
R
R
kompakt
p
K
R
to’plamlar ketma-ketligini , z
D
nuqta va
(
)
f
O D
funksiya tuzamiz. Ixtiyoriy
1,2,...
lar uchun 1)
1
,
\
z
K
K
1 ,
z
2)
1,
K
f
lekin
( 0
)
1
f
z
(yozishda soda bo’lishi uchun F qavariq qobiqni F
indeks shaklida yozamiz). Tuzishni induksiya orqali bajaramiz.
1
uchun
1
1
K
R
olamiz, F - qavariq qobiqdan foydalanib,
K1
D
da shunday
1z
D
nuqta
topamizki,
1
1
z
K
va
1
1
1
z
bo’lsin; qavariqlik ta’rifidan shunday
1g
F
funksiya kelib chiqadiki,
1
1
1
1
(
)
K ,
g z
g
va
1
1
1
1
( )
( )
K
g z
f z
g
tenglikni faraz qilamiz.
Keyin biz
2
2
p
K
R
ni shunday tanlaymizki
1z nuqta
2
K ga tegishli bo'lsin demakki
2
K
ga ham. Shu ishlarni
1
natural sonlargacha bajarilgan deb faraz qilamiz.
Endi
\
z
D K
nuqta olamizki,
1 ,
z
bo’lsin,
1(
)
K ,
g z
g
lar uchun
g
F
funksiya topamiz va faraz qilamizki
( )
( )
K
g
z
f
z
g
, keyin
1
1
p
K
R
ni
shunday tanlaymizki
1 \
z
K
K
bo’lsin. Tuzishni tugatamiz.
To’siq teoremasidagi kabi q natural sonlarni tanlasak, barcha
1
lar uchun
quyidagi tengsizlik bajariladi
1
2
2
1
1
1
(
)
(
)
q
q
f
z
f
z
va shundan ba’zi birlarini ko’ramiz
2
1
1
( )
{
( )} .
q
f z
f
z
Bu qator harqanday K
D
da tekis yaqinlashganligi sababli,
(
)
f
D
O
funksiya
(
)
f z va D sohada golomorf bo’ladi
Bu teoremada
( )
F
O D
ni tanlasak eng kuchli tasdiqga ega bo’lamiz.
Natija. Harqanday golomorf sohada golomorf qavariqlik bor.
Golomorflik sohasi uchun F sinfga qo’shimcha shartlar olinadi (masalan ,
agar F barcha chiziqli funksiyalar yig’indisi bo’lsa , F - qavariqlik oddiy
qavariqlikka mos keladi, lekin ko’rdikki bu bizga kerak emas). Biz F sinfni](/media/image/golomorf-qavariqlik546page_3.png "Bu teoremaning isboti to’siq haqidagi teoremaga o’xshaydi. D
ning
hamma joyida zich nuqtalar to’plami va chegaraviy nuqtalarning ketma ketligi
k
ni shunday tanlaymizki, nuqta cheksiz marta uchraydi. Shuningdek, D sohada
biror
1
2
...
R
R
kompakt
p
K
R
to’plamlar ketma-ketligini , z
D
nuqta va
(
)
f
O D
funksiya tuzamiz. Ixtiyoriy
1,2,...
lar uchun 1)
1
,
\
z
K
K
1 ,
z
2)
1,
K
f
lekin
( 0
)
1
f
z
(yozishda soda bo’lishi uchun F qavariq qobiqni F
indeks shaklida yozamiz). Tuzishni induksiya orqali bajaramiz.
1
uchun
1
1
K
R
olamiz, F - qavariq qobiqdan foydalanib,
K1
D
da shunday
1z
D
nuqta
topamizki,
1
1
z
K
va
1
1
1
z
bo’lsin; qavariqlik ta’rifidan shunday
1g
F
funksiya kelib chiqadiki,
1
1
1
1
(
)
K ,
g z
g
va
1
1
1
1
( )
( )
K
g z
f z
g
tenglikni faraz qilamiz.
Keyin biz
2
2
p
K
R
ni shunday tanlaymizki
1z nuqta
2
K ga tegishli bo'lsin demakki
2
K
ga ham. Shu ishlarni
1
natural sonlargacha bajarilgan deb faraz qilamiz.
Endi
\
z
D K
nuqta olamizki,
1 ,
z
bo’lsin,
1(
)
K ,
g z
g
lar uchun
g
F
funksiya topamiz va faraz qilamizki
( )
( )
K
g
z
f
z
g
, keyin
1
1
p
K
R
ni
shunday tanlaymizki
1 \
z
K
K
bo’lsin. Tuzishni tugatamiz.
To’siq teoremasidagi kabi q natural sonlarni tanlasak, barcha
1
lar uchun
quyidagi tengsizlik bajariladi
1
2
2
1
1
1
(
)
(
)
q
q
f
z
f
z
va shundan ba’zi birlarini ko’ramiz
2
1
1
( )
{
( )} .
q
f z
f
z
Bu qator harqanday K
D
da tekis yaqinlashganligi sababli,
(
)
f
D
O
funksiya
(
)
f z va D sohada golomorf bo’ladi
Bu teoremada
( )
F
O D
ni tanlasak eng kuchli tasdiqga ega bo’lamiz.
Natija. Harqanday golomorf sohada golomorf qavariqlik bor.
Golomorflik sohasi uchun F sinfga qo’shimcha shartlar olinadi (masalan ,
agar F barcha chiziqli funksiyalar yig’indisi bo’lsa , F - qavariqlik oddiy
qavariqlikka mos keladi, lekin ko’rdikki bu bizga kerak emas). Biz F sinfni")
Bu teoremaning isboti to’siq haqidagi teoremaga o’xshaydi. D
ning
hamma joyida zich nuqtalar to’plami va chegaraviy nuqtalarning ketma ketligi
k
ni shunday tanlaymizki, nuqta cheksiz marta uchraydi. Shuningdek, D sohada
biror
1
2
...
R
R
kompakt
p
K
R
to’plamlar ketma-ketligini , z
D
nuqta va
(
)
f
O D
funksiya tuzamiz. Ixtiyoriy
1,2,...
lar uchun 1)
1
,
\
z
K
K
1 ,
z
2)
1,
K
f
lekin
( 0
)
1
f
z
(yozishda soda bo’lishi uchun F qavariq qobiqni F
indeks shaklida yozamiz). Tuzishni induksiya orqali bajaramiz.
1
uchun
1
1
K
R
olamiz, F - qavariq qobiqdan foydalanib,
K1
D
da shunday
1z
D
nuqta
topamizki,
1
1
z
K
va
1
1
1
z
bo’lsin; qavariqlik ta’rifidan shunday
1g
F
funksiya kelib chiqadiki,
1
1
1
1
(
)
K ,
g z
g
va
1
1
1
1
( )
( )
K
g z
f z
g
tenglikni faraz qilamiz.
Keyin biz
2
2
p
K
R
ni shunday tanlaymizki
1z nuqta
2
K ga tegishli bo'lsin demakki
2
K
ga ham. Shu ishlarni
1
natural sonlargacha bajarilgan deb faraz qilamiz.
Endi
\
z
D K
nuqta olamizki,
1 ,
z
bo’lsin,
1(
)
K ,
g z
g
lar uchun
g
F
funksiya topamiz va faraz qilamizki
( )
( )
K
g
z
f
z
g
, keyin
1
1
p
K
R
ni
shunday tanlaymizki
1 \
z
K
K
bo’lsin. Tuzishni tugatamiz.
To’siq teoremasidagi kabi q natural sonlarni tanlasak, barcha
1
lar uchun
quyidagi tengsizlik bajariladi
1
2
2
1
1
1
(
)
(
)
q
q
f
z
f
z
va shundan ba’zi birlarini ko’ramiz
2
1
1
( )
{
( )} .
q
f z
f
z
Bu qator harqanday K
D
da tekis yaqinlashganligi sababli,
(
)
f
D
O
funksiya
(
)
f z va D sohada golomorf bo’ladi
Bu teoremada
( )
F
O D
ni tanlasak eng kuchli tasdiqga ega bo’lamiz.
Natija. Harqanday golomorf sohada golomorf qavariqlik bor.
Golomorflik sohasi uchun F sinfga qo’shimcha shartlar olinadi (masalan ,
agar F barcha chiziqli funksiyalar yig’indisi bo’lsa , F - qavariqlik oddiy
qavariqlikka mos keladi, lekin ko’rdikki bu bizga kerak emas). Biz F sinfni
