GOLOMORFLIK SOHALARI Ta’rif: Agar ( ) f O D funksiyani G dagi golomorf funksiyagacha davom ettirish mumkin bo’lsa, G soha D sohaning golomorf kengaytmasi deyiladi, bunda D G . Teorema: Agar G soha D sohaning golomorf kengaytmasi bo’lsa , u holda ixtiyoriy ( ) f O D funksiyaning davomi \ G D da faqat f ning D da qabul qiladigan qiymatlarini qabul qiladi. Isbot: Teskarisini faraz qilaylik, ( ) f O D funksiya \ G D da biror 0  qiymatni qabul qilsin , lekin uni D da qabul qilmasin. Ravshanki, 0 1 ( ) ( ) g z f z    funksiya D da golomorf, G da analitik kengaymaydi, chunki u \ G D ning biror nuqtasida cheksiz qiymat qabul qiladi. Bu tarifga zid. Natija: Chegaralangan n D  sohaning golomorf kengaytmasi G ham chegaralangan soha bo’ladi. Isbot: Teoremaga ko’ra funksiyalar G da D dagi qiymatlarni qabul qiladi, ya’ni | | | |, 1,2,..., sup sup z G z D z z n        Ammo, D chegaralanganligi sababali yuqoridagi tenglikning o’ng tomoni chegaralangan, demak chap tomon ham chegaralangan, ya’ni G chegaralangan. Misol: 2 D  soha bir bog’lamli va rasmda ko’rsatilgan Hartogs diagrammasi shaklidagi soha bo’lsin. bu { 2 2 2 1 1 1,| | 2 x y z    } silindr, 1 1 2 {0 1, 0,| | 1} I x y z      , 1 1 2 {0 1, 0,1 | | 2} H y x z       kvadratlar va 1 1 1 2 {| | 1, 0, 0,| | 1} S z y x z      sektor. Hartogs teoremasiga ko’ra har bir ( ) f O D funksiyani S sektori orqali ham yuqoridan pastga , ham pastdan yuqoriga analitik davom ettirish mumkin. Haqiqatan ham, dastlab yuqoridan pastga davom ettirishni ko’rib chiqaylik. f funksiya 1 1 2 {| | 1 , ,| | 2 } z x z           polikuruglar atrofida va 0 1 2 { ,| | 2 } z z z     segmentda golomorf bo’lib, bu yerda 0 0 0 1 1 1 | | 1, 0, 0 z x y    va , natijada {| 2 | 2 } z      ga davom ettiriladi. Bunday davom ettirishda biz yana D sohaga tushamiz, lekin funksiya avval olgan qiymatlarini qabul qilishi shart emas. Haqiqat ham , masalan , 0 1 2 1 ( , z z ) z f  funksiyani ko’rib chiqaylik. 1 x  0 yarim o’qda musbat qiymatlarini qabul qiluvchi D sohada ildizning uzliksiz qismini qaraylik. Bu funksiya D da va 1z tekislikdagi bitta P nuqtaga proyeksiyalanadigan A va B diagrammadagi nuqtalarda golomorf , lekin S ning har xil tomonlarida joylashgan , turli ishorali qiymatlar qabul qiladi (D bo’yicha A dan B ga o’tganda 1 arg z ni 2 ga o’zgartirishimiz kerak). Xartogs teoremasi bo’yicha S orqali 0f ni davom ettirib , 0f ning qiymati B nuqtada va uning davomi A nuqtada bir xil bo’lishi kerak. Shunday qilib 0f ning davomi bizni bir qiymatli bo’lmagan funksiyaga olib keldi. Tarif 2: Agar ( ) f O D va har qanday 0 z D nuqta uchun ( 0, r) B z sharda f funksiya toraysa, n D  soha f funksiyaning golomorflik sohasi deyiladi , bu yerda r - 0z dan D  gacha bo’lgan masofa, 0 1 ( B z , ) r sharga golomorf davom etmaydi, bu yerda 1r r  . Agar soha ixtiyoriy funksiyalarning golomorflik sohasi bo’lsa, bunday sohaga golomorflik sohasi deyiladi. Golomorf fizika sohalarini tavsiflovchi sharoitlarni o'rganishni boshlab, biz oddiy etarli shartlardan boshlaymiz. Aytishimiz kerakki, u yerda sobiq Agar har qanday K CC D to'plami va har qanday 𝜀 > 0 uchun g ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud bo'lsa, D ⊂Cn domenining chegara nuqtasida barer bo'ladi, shundayki ||g||K= maxzcK |g (z)| ≤ 1, lekin |g(z)| > 1 z ∈ B(𝜁, 𝜀) nuqtasida. Shubhasiz, agar 𝜁 ∈ 𝜕(D) nuqtada CHEKSIZ bo'lgan f ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud bo'lsa (ya'ni, f(z 𝝊)→∞ ga nisbatan qandaydir ketma-ketlikka z 𝝊 ∈ D, z→ 𝜁), keyin bu nuqtada barer mavjud. Aslida, har qanday K CC D va 𝜀 > 0 uchun g(z) = f(z)/|| f || K olishimiz mumkin. Aksincha, hatto ichida ham o’rinli quyidagi kuchliroq shakl: TEOREMA 2. Barer mavjud boʻlgan har qanday E⊂ 𝜕(D) nuqtalarning toʻplami uchun E ning barcha nuqtalarida chegaralanmagan f ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud. Isbot. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, E ning hamma joyida zich joylashgan 𝜕 D nuqtalarining eng ko'p hisoblanishi mumkin bo'lgan to'plami mavjud va bu to'plamda chegaralanmagan funksiya E da ham cheksiz bo'ladi. Shuning uchun E ni eng ko'pi sanaladigan to'plam deb hisoblash mumkin. Ushbu farazdan biz 𝜁 𝝊 ∈ 𝐸 ketma-ketligini shunday tuzamizki, unda har bir E nuqta cheksiz tez-tez paydo bo’ladi. Endi isbotlash uchun f ∈ 𝜃(D) funktsiyasi va z 𝝊 ∈ D nuqtalar ketma-ketligini topish kifoya. Shunda | z 𝝊 - 𝜁 𝝊 |→0 va f(z 𝝊) →∞ bo’ladi. Induksiya orqali tuzamiz: 1) Kompakt to‘plamlarining ortib borayotgan ketma-ketligini, K 𝝊 CC D ya’ni D ni, ya’ni ∪ 𝝊 = 𝟏 ∞K= D, 2) z 𝝊 ∈D nuqtalarini shunday qilib | z 𝝊 - 𝜁 𝝊 | < 1/ 𝝊 va 3 ) f 𝝊 ∈ 𝜃(D) funktsiyalari shunday ||f 𝝊||K 𝝊 ≤1, lekin |f 𝝊 (𝒛 𝝊) | > 1. (2) Buning uchun D dan ixtiyoriy kompakt kichik to'plamni K deb olamiz va 𝜁 1 nuqtadagi barer ta'rifidan foydalanib f 1 ∈ 𝜃(D) funksiya va z¹ ∈D nuqtani topamiz, shunda |z¹ - 𝜁 ¹ < 1 va |f₁(z¹) | > 1≥||f1||K1 to'ldirish. Endi deylik barcha 𝜇 ≤ 𝝊-1 uchun konstruksiya bajarildi, biz va 𝜁 𝝊 nuqtadagi barerning ta’rifidan foydalanib f 𝝊 ∈ 𝜃(D) funksiya va z 𝝊 ∈D nuqtani topamiz, shunda | z 𝝊 - 𝜁 𝝊 |< 1/ 𝝊 va (2) dagi shartlar bajariladi. Bu bizning qurilishimiz mumkinligini isbotlaydi. Nihoyat, | f 𝝊 (𝑧) 𝝊 | > 1 ekanligini hisobga olib, Tengsizlik bajariladigan P 𝝊 (p₁=1 dan boshlab) natural ketma-ketlikni tanlaymiz va qatorni ko’rib chiqamiz. Har qanday z∈ K 𝜇 uchun bizda 𝝊 ≥ 𝜇 da| f 𝝊 (z)| ≤1 bor, shuning uchun (4) qator K ga bir xilda yaqinlashadi. K 𝜇 kompakt ravishda D ni chiqarganligi sababli ,bu yerda (4) qator D ning hamma joyida yaqinlashadi va uning yig'indisi f ∈ 𝜃(D) (qarang. 5-kichik bo'limda Veyershtrass teoremasi). Nihoyat, har qanday 𝜇 =1,2,... uchun bizda shundan f(z 𝜇) ) →∞ ekanligini ko'ramiz. ► Bu teoremadan biz darhol do magistral golomorfiyasi uchun yetarli shartni olamiz: Xulosa. Agar hamma joyda zich joylashgan nuqtalar to'plamida barer mavjud bo'lsa D chegarasi bo'lsa, u holda D golomorfiya sohasidir. Masalan, B = {|z|< R} C Cn to'p chegarasining har bir nuqtasida mavjud, chunki funktsiya 𝜁 nuqtada cheklanmagan. Shunday qilib, to'p golomorf sohasi hisoblanadi. Bu misol tomonidan umumlashtirilgan. TEOREMA 3. Har bir qavariq sohasi DC Cn golomorfiya sohasidir. ► D qavariq bo'lgani uchun har qanday 𝜁 ∈ 𝜕(D) nuqtasi uchun biz Re(z - 𝜁 , a) = 0 tayanch giperplanini qurishimiz mumkin, u 𝜁 orqali o'tadi va D uning bir tomonida yotadi va unda biz kompleks tekislikni olamiz (z- 𝜁 5) , a) = 0, u ham 𝜁 nuqtalaridan o'tadi va D nuqtalarini o'z ichiga olmaydi. U holda f(z)=1/(z- 𝜁 5, a) funksiya D da golomorf bo'lib, chegaralanmagan, ya'ni 𝜁 barer mavjud. Natijada D golomorfiya sohasidir. ► Biroq, golomorfiya sohasi uchun qavariqlik sharti shart emas. Buni, masalan, quyidagi teoremadan ko'rish mumkin. TEOREMA 4. Agar Dz fazodagi golomorfiya sohasi Cn(z) va D 𝜔 Cm (𝜔) fazodagi analogiy soha bo'lsa, u holda Dz x D 𝜔 ko'paytma Cn+m (z, 𝜔) fazodagi golomorfiya sohasidir. ◄ Biz f funktsiyani olamiz, buning uchun Dz golomorfiya sohasi va D 𝜔 uchun o'xshash funktsiya g. Keyin f (z) g (𝜔) ∈ 𝜃(Dzx D 𝜔) va Dz x D 𝜔 uning golomorlik sohasi. Xulosa. Cn dagi har qanday polikirkulyar soha golomorfiya sohasidir. Xususan, tekislikning D ikki domen D1 va D₂ sohasi, hech bo'lmaganda bittasi, aytaylik, D, qavariq emas, golomorfiya sohasi hisoblanadi, garchi D qavariq emas. Quyidagi kichik bo'limda biz odatdagidan kamroq intuitiv bo'lgan, ammo buning evaziga golomorfiya sohalari uchun zarur va etarli shartni beradigan konveksitning umumlashtirilgan tushunchasini kiritamiz.