![GOLOMORFLIK SOHALARI
Ta’rif: Agar
(
)
f
O D
funksiyani G dagi golomorf funksiyagacha davom
ettirish mumkin bo’lsa, G soha D sohaning golomorf kengaytmasi deyiladi, bunda
D
G
.
Teorema: Agar G soha D sohaning golomorf kengaytmasi bo’lsa , u holda
ixtiyoriy
(
)
f
O D
funksiyaning davomi
\
G D da faqat f ning D da qabul qiladigan
qiymatlarini qabul qiladi.
Isbot: Teskarisini faraz qilaylik,
(
)
f
O D
funksiya
\
G D da biror
0
qiymatni
qabul qilsin , lekin uni D da qabul qilmasin. Ravshanki,
0
1
( )
( )
g z
f z
funksiya D da golomorf, G da analitik kengaymaydi, chunki u
\
G D ning biror
nuqtasida cheksiz qiymat qabul qiladi. Bu tarifga zid.
Natija: Chegaralangan
n
D
sohaning golomorf kengaytmasi G ham
chegaralangan soha bo’ladi.
Isbot: Teoremaga ko’ra funksiyalar G da D dagi qiymatlarni qabul qiladi,
ya’ni
|
|
|
|,
1,2,...,
sup
sup
z G
z D
z
z
n
Ammo, D chegaralanganligi sababali yuqoridagi tenglikning o’ng tomoni
chegaralangan, demak chap tomon ham chegaralangan, ya’ni G chegaralangan.
Misol:
2
D
soha bir bog’lamli va rasmda ko’rsatilgan Hartogs diagrammasi
shaklidagi soha bo’lsin.
bu {
2
2
2
1
1
1,|
| 2
x
y
z
} silindr,
1
1
2
{0
1,
0,|
| 1}
I
x
y
z
,
1
1
2
{0
1,
0,1 |
| 2}
H
y
x
z
kvadratlar va
1
1
1
2
{|
| 1,
0,
0,|
| 1}
S
z
y
x
z
sektor. Hartogs teoremasiga ko’ra har](/media/image/golomorflik-sohalari548page_1.png "GOLOMORFLIK SOHALARI
Ta’rif: Agar
(
)
f
O D
funksiyani G dagi golomorf funksiyagacha davom
ettirish mumkin bo’lsa, G soha D sohaning golomorf kengaytmasi deyiladi, bunda
D
G
.
Teorema: Agar G soha D sohaning golomorf kengaytmasi bo’lsa , u holda
ixtiyoriy
(
)
f
O D
funksiyaning davomi
\
G D da faqat f ning D da qabul qiladigan
qiymatlarini qabul qiladi.
Isbot: Teskarisini faraz qilaylik,
(
)
f
O D
funksiya
\
G D da biror
0
qiymatni
qabul qilsin , lekin uni D da qabul qilmasin. Ravshanki,
0
1
( )
( )
g z
f z
funksiya D da golomorf, G da analitik kengaymaydi, chunki u
\
G D ning biror
nuqtasida cheksiz qiymat qabul qiladi. Bu tarifga zid.
Natija: Chegaralangan
n
D
sohaning golomorf kengaytmasi G ham
chegaralangan soha bo’ladi.
Isbot: Teoremaga ko’ra funksiyalar G da D dagi qiymatlarni qabul qiladi,
ya’ni
|
|
|
|,
1,2,...,
sup
sup
z G
z D
z
z
n
Ammo, D chegaralanganligi sababali yuqoridagi tenglikning o’ng tomoni
chegaralangan, demak chap tomon ham chegaralangan, ya’ni G chegaralangan.
Misol:
2
D
soha bir bog’lamli va rasmda ko’rsatilgan Hartogs diagrammasi
shaklidagi soha bo’lsin.
bu {
2
2
2
1
1
1,|
| 2
x
y
z
} silindr,
1
1
2
{0
1,
0,|
| 1}
I
x
y
z
,
1
1
2
{0
1,
0,1 |
| 2}
H
y
x
z
kvadratlar va
1
1
1
2
{|
| 1,
0,
0,|
| 1}
S
z
y
x
z
sektor. Hartogs teoremasiga ko’ra har")
GOLOMORFLIK SOHALARI
Ta’rif: Agar
(
)
f
O D
funksiyani G dagi golomorf funksiyagacha davom
ettirish mumkin bo’lsa, G soha D sohaning golomorf kengaytmasi deyiladi, bunda
D
G
.
Teorema: Agar G soha D sohaning golomorf kengaytmasi bo’lsa , u holda
ixtiyoriy
(
)
f
O D
funksiyaning davomi
\
G D da faqat f ning D da qabul qiladigan
qiymatlarini qabul qiladi.
Isbot: Teskarisini faraz qilaylik,
(
)
f
O D
funksiya
\
G D da biror
0
qiymatni
qabul qilsin , lekin uni D da qabul qilmasin. Ravshanki,
0
1
( )
( )
g z
f z
funksiya D da golomorf, G da analitik kengaymaydi, chunki u
\
G D ning biror
nuqtasida cheksiz qiymat qabul qiladi. Bu tarifga zid.
Natija: Chegaralangan
n
D
sohaning golomorf kengaytmasi G ham
chegaralangan soha bo’ladi.
Isbot: Teoremaga ko’ra funksiyalar G da D dagi qiymatlarni qabul qiladi,
ya’ni
|
|
|
|,
1,2,...,
sup
sup
z G
z D
z
z
n
Ammo, D chegaralanganligi sababali yuqoridagi tenglikning o’ng tomoni
chegaralangan, demak chap tomon ham chegaralangan, ya’ni G chegaralangan.
Misol:
2
D
soha bir bog’lamli va rasmda ko’rsatilgan Hartogs diagrammasi
shaklidagi soha bo’lsin.
bu {
2
2
2
1
1
1,|
| 2
x
y
z
} silindr,
1
1
2
{0
1,
0,|
| 1}
I
x
y
z
,
1
1
2
{0
1,
0,1 |
| 2}
H
y
x
z
kvadratlar va
1
1
1
2
{|
| 1,
0,
0,|
| 1}
S
z
y
x
z
sektor. Hartogs teoremasiga ko’ra har
bir
(
)
f
O D
funksiyani S sektori orqali ham yuqoridan pastga , ham pastdan yuqoriga
analitik davom ettirish mumkin. Haqiqatan ham, dastlab yuqoridan pastga davom
ettirishni ko’rib chiqaylik. f funksiya
1
1
2
{|
| 1
,
,|
| 2
}
z
x
z
polikuruglar
atrofida va
0
1
2
{
,|
| 2
}
z
z
z
segmentda golomorf bo’lib, bu yerda
0
0
0
1
1
1
|
| 1,
0,
0
z
x
y
va , natijada
{| 2
| 2
}
z
ga davom ettiriladi. Bunday davom ettirishda biz yana D
sohaga tushamiz, lekin funksiya avval olgan qiymatlarini qabul qilishi shart emas.
Haqiqat ham , masalan ,
0
1
2
1
( ,
z z )
z
f
funksiyani ko’rib chiqaylik.
1
x 0
yarim o’qda
musbat qiymatlarini qabul qiluvchi D sohada ildizning uzliksiz qismini qaraylik. Bu
funksiya D da va
1z tekislikdagi bitta P nuqtaga proyeksiyalanadigan A va B
diagrammadagi nuqtalarda golomorf , lekin S ning har xil tomonlarida joylashgan ,
turli ishorali qiymatlar qabul qiladi (D bo’yicha A dan B ga o’tganda
1
arg z ni 2 ga
o’zgartirishimiz kerak). Xartogs teoremasi bo’yicha S orqali
0f ni davom ettirib ,
0f ning qiymati B nuqtada va uning davomi A nuqtada bir xil bo’lishi kerak. Shunday
qilib
0f ning davomi bizni bir qiymatli bo’lmagan funksiyaga olib keldi.
Tarif 2: Agar
( )
f
O D
va har qanday
0
z D
nuqta uchun
( 0,
r)
B z
sharda f
funksiya toraysa,
n
D
soha f funksiyaning golomorflik sohasi deyiladi , bu yerda
r -
0z dan D
gacha bo’lgan masofa,
0
1
(
B z , )
r sharga golomorf davom etmaydi, bu yerda
1r
r
. Agar soha ixtiyoriy funksiyalarning golomorflik sohasi bo’lsa, bunday sohaga
golomorflik sohasi deyiladi.
Golomorf fizika sohalarini tavsiflovchi sharoitlarni o'rganishni boshlab, biz oddiy
etarli shartlardan boshlaymiz. Aytishimiz kerakki, u yerda sobiq Agar har qanday K CC
D to'plami va har qanday 𝜀 > 0 uchun g ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud bo'lsa, D ⊂Cn
domenining chegara nuqtasida barer bo'ladi, shundayki ||g||K= maxzcK |g (z)| ≤ 1, lekin
|g(z)| > 1 z ∈ B(𝜁, 𝜀) nuqtasida.
Shubhasiz, agar 𝜁 ∈ 𝜕(D) nuqtada CHEKSIZ bo'lgan f ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud
bo'lsa (ya'ni, f(z 𝝊)→∞ ga nisbatan qandaydir ketma-ketlikka z 𝝊 ∈ D, z→ 𝜁), keyin bu
nuqtada barer mavjud. Aslida, har qanday K CC D va 𝜀 > 0 uchun g(z) = f(z)/|| f || K
olishimiz mumkin. Aksincha, hatto ichida ham o’rinli quyidagi kuchliroq shakl:
TEOREMA 2. Barer mavjud boʻlgan har qanday E⊂ 𝜕(D) nuqtalarning toʻplami
uchun E ning barcha nuqtalarida chegaralanmagan f ∈ 𝜃(D) funksiya mavjud.
Isbot. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, E ning hamma joyida zich joylashgan 𝜕 D
nuqtalarining eng ko'p hisoblanishi mumkin bo'lgan to'plami mavjud va bu to'plamda
chegaralanmagan funksiya E da ham cheksiz bo'ladi. Shuning uchun E ni eng ko'pi
sanaladigan to'plam deb hisoblash mumkin. Ushbu farazdan biz 𝜁 𝝊 ∈ 𝐸 ketma-ketligini
shunday tuzamizki, unda har bir E nuqta cheksiz tez-tez paydo bo’ladi. Endi isbotlash
uchun f ∈ 𝜃(D) funktsiyasi va z 𝝊 ∈ D nuqtalar ketma-ketligini topish kifoya. Shunda
| z 𝝊 - 𝜁 𝝊 |→0 va f(z 𝝊) →∞ bo’ladi.
Induksiya orqali tuzamiz: 1) Kompakt to‘plamlarining ortib borayotgan ketma-ketligini,
