Ilmiybaza.uz HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH USULLARI. Taʼrif 1. Quyidagi koʻrinishdagi differensial tenglamaga 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 Bunda F – uzluksiz funksiya, hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Agar ushbu tenglamani 𝑦′ ga nisbatan yechishni iloji boʻlsa, u holda bitta yoki bir nechta 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) Koʻrinishdagi differensial tenglamalarga ega boʻlami. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa boshqa mavzularda koʻrib chiqildi. Differensial tenglamamiz 𝑦′ ga nisbatan yechishning iloji boʻlmasa, bunday tenglamalarning asosiy yechish usuli bu – parametr kiritish usuli hisoblanadi. Shuni taʼkidlash kerakki umumiy yechim differensial tenglamaning barcha yechimlarini qoplamasligi mumkin. Umumiy yechimdan tashqari differensial tenglama maxsus yechimlarga ham ega boʻlishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarni parametr kiritish usuli bilan yechishni ayrim xususiy hollar uchun koʻrib chiqamiz: Holat №1. Differensial tenglama 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑦′) koʻrinishda boʻlsin. 𝑝 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 koʻrinishda parametr kiritamiz. 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑦′) differensial tenglamani y boʻyicha differensiallaymiz. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑 𝑑𝑦 [𝑓(𝑦, 𝑝)] = 𝜕𝑓 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1 𝑝 boʻlgani uchun, oxirgi ifodani quyidagicha koʻrinishda yozish mumkin: 1 𝑝 = 𝜕𝑓 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑦 Ilmiybaza.uz Oshkor koʻrinishdagi differensial tenglamaga ega boʻlamiz, uning umumiy yechimi 𝑔(𝑦, 𝑝, 𝐶) = 0 Funksiya bilan tasvirlanadi, bunda C-ixtiyoriy konstanta. Shunday qilib, boshlangʻich differensial tenglamaning umumiy yechimi parametrik koʻrinishda ikkita algebraik tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. {𝑔(𝑦, 𝑝, 𝐶) = 0 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑝) Ushbu sistemadan p parametrni yoʻqotsak, u holda umumiy yechimni oshkor koʻrinishda ifodalash mumkin 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑐). Holat №2. Differensial tenglama 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦′) koʻrinishda boʻlsin. Bu yerda ham yuqoridagi holatga oʻxshash holat, faqat y oʻzgaruvchi x va 𝑦′ oʻzgaruvchilarga oshkor bogʻliq. 𝑝 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 koʻrinishda parametr kiritamiz. Differensial tenglama 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦′) ni x boʻyicha differensiallaymiz. Natijada: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓(𝑥, 𝑝)] = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑥 yoki 𝑝 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑥 Oxirgi differensial tenglamani yechib, 𝑔(𝑥, 𝑝, 𝐶) = 0 algebraik tenglamaga ega boʻlamiz. Boshlangʻich berilgan differensial tenglama bilan quyidagicha sistemani hosil qiladi: {𝑔(𝑥, 𝑝, 𝐶) = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑝) Ushbu Sistema berilgan differensial tenglamani umumiy yechimini parametrik koʻrinishda ifodalaydi. Ayrim hollarda sistemadan p parametrni yoʻqotishni iloji boʻlganda umumiy yechimni 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝐶) koʻrinishda yozish mumkin boʻladi. Holat №3. Differensial tenglama 𝑥 = 𝑓(𝑦′) koʻrinishda boʻlsin. Ushbu holatda differensial tenglamada y oʻzgaruvchi qatnashmaydi. 𝑝 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 koʻrinishda parametr kiritamiz. Tenglamaning umumiy yechimini qurish qiyin emas, chunki 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 va 𝑑𝑥 = 𝑑[𝑓(𝑝)] = 𝑑𝑓 𝑑𝑝 𝑑𝑝 Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy yechimni parametrik koʻrinishda olamiz; Ilmiybaza.uz {𝑦 = ∫ 𝑝 𝑑𝑓 𝑑𝑝 𝑑𝑝 + 𝐶 𝑥 = 𝑓(𝑝) Holat №4. Differensial tenglama 𝑦 = 𝑓(𝑦′) koʻrinishda boʻlsin. Ushbu holatda differensial tenglamada x oʻzgaruvchi qatnashmaydi. 𝑝 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 koʻrinishda parametr kiritamiz. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑝 , bundan 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑝 = 1 𝑝 ∙ 𝑑𝑓 𝑑𝑝 ∙ 𝑑𝑝 kelib chiqadi, oxirgi ifodani integrallab, boshlangʻich diferensial tenglamani umumiy yechimining parametrik koʻrinishiga ega boʻlamiz. {𝑥 = ∫ 1 𝑝 𝑑𝑓 𝑑𝑝 𝑑𝑝 + 𝐶 𝑥 = 𝑓(𝑝) Misol 1. 9(𝑦′)2 − 4𝑥 = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Ushbu tenglama 𝑥 = 𝑓(𝑦′) 3-holatga mos keladi. 𝑝 = 𝑦′ parameter kiritamiz va tenglamani quyidagicha koʻrinishda yozamiz: 𝑥 = 9 4 𝑝2 Tenglamaning ikkala tomonidan ham integral olamiz: 𝑑𝑥 = 9 4 2𝑝𝑑𝑝 = 9 2 𝑝𝑑𝑝 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ekanligini eʼtiborga olsak, oxirgi ifodani quyidagicha yozish mumkin: 𝑑𝑦 𝑝 = 9 2 𝑝𝑑𝑝, ⟹ 𝑑𝑦 = 9 2 𝑝2𝑑𝑝. Oxirgi ifodani intetgrallab y oʻzgaruvchini p parameter orqali ifodsini topamiz: 𝑦 = ∫ 9 2 𝑝2𝑑𝑝 = 9 2 ∫ 𝑝2𝑑𝑝 = 9 2 ∙ 𝑝3 3 + 𝐶 = 3 2 𝑝3 + 𝐶 Bunda C-ixtiyoriy oʻzgarmas. Shunday qilib tenglamaning umumiy yechimini parametrik koʻrinishda topdik: { 𝑦 = 3 2 𝑝3 + 𝐶 𝑥 = 9 4 𝑝2 Ilmiybaza.uz Ushbu sistemadan p parametrni yoʻqotish mumkin. Ikkinchi tenglamadan topamiz: 𝑝2 = 4 9 𝑥 ⟹ 𝑝 = ± 2 3 𝑥 1 2 Birinchi tenglamaga qoʻygandan keyin oshkor 𝑦 = 𝑓(𝑥) koʻrinishdagi umumiy yechimga ega boʻlamiz: 𝑦 = 3 2 𝑝3 + 𝐶 = 𝑦 = 3 2 (± 2 3 𝑥 1 2) 3 + 𝐶 = ± 3 2 ∙ 8 27 ∙ 𝑥 3 2 + 𝐶 = ± 4 9 ∙ 𝑥 3 2 + 𝐶 LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa 𝑦′ ning funksiyalari boʻlgan differensial tenglamaga 𝐹(𝑦′) ∙ 𝑥 + 𝑄(𝑦′) ∙ 𝑦 + 𝑅(𝑦′) = 0 LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 1) Umumiy yechimni topish uchun 𝑝 = 𝑦′ oʻzgaruvchi almashtiriladi. Differensial tenglama quyidagicha koʻrinishga keltiriladi: 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝) bunda 𝑓(𝑝) = − 𝐹(𝑦′) 𝑄(𝑦′) , 𝜑(𝑝) = − 𝑅(𝑦′) 𝑄(𝑦′) 2) Ushbu tenglamani 𝑦′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ekanligini eʼtiborga olib differensiallaymiz. 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝)) ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑓(𝑝)𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑓′(𝑝)𝑑𝑝 + 𝜑′(𝑝)𝑑𝑝 3) x ga nisbatan chiziqli boʻlgan ushbu differensial tenglamaning yechimi x=F(p,c) boʻlsa, u holda Lagranj differensial tenglamasining umumiy yechimi quyidagicha boʻladi: { 𝑥 = 𝐹(𝑝, 𝑐) 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝) = 𝐹(𝑝, 𝑐) ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝) KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa 𝑦′ ning funksiyalari boʻlgan quyidagicha differensial tenglamaga Ilmiybaza.uz 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦′ + 𝜑(𝑦′) KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 1) 𝑦′ = 𝑝 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝) 2) 𝑦′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝)) ⟹ 𝑦′𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 𝜑′(𝑝)𝑑𝑝 ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 𝜑′(𝑝)𝑑𝑝 Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz 𝑝 = 𝑝 + 𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝜑′(𝑝) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 ⟹ (𝑥 + 𝜑′(𝑝)) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 0 3) {𝑥 + 𝜑′(𝑝) = 0 𝑑𝑝 = 0 ⟹ Birinchi yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶) Ikkinchi yechim esa: {𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝) 𝑥 + 𝜑′(𝑝) = 0 parametrik tenglamalar sistemasini yechish orqali hosil qilinadi. Hosil boʻlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi umumiy yechim (integral) bilan berilgan toʻgʻri chiziqlar oilasining egilish chizigini aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga oʻtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boʻladi. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.gif Klero differensial tenglamasi koʻp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoʻyilgan xossalari boʻyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi. Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boʻlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas. Haqiqatdan ham urinma tenglamasi: 𝑌 − 𝑦 = 𝑦′(𝑋 − 𝑥) yoki 𝑌 = 𝑦′𝑋 + (𝑦 − 𝑥𝑦′) Urinmaning har qanday xossasi (𝑦 − 𝑥𝑦′) va 𝑦′ oʻrtasidagi munosabat bilan aniqlanadi: Ilmiybaza.uz Ф(𝑦 − 𝑥𝑦′, 𝑦′ )=0 Ushbu tenglamani 𝑦 − 𝑥𝑦′ ga nisbatan yechilsa, aynan 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦′ + 𝜑(𝑦′) Klero tenglamasiga kelamiz. Misol. 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦′ + (𝑦′)2 1) 𝑦′ = 𝑝 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2 2) 𝑦′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2) 𝑦′𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz 𝑝 = 𝑝 + 𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 2𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 ⟹ (𝑥 + 2𝑝) 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 0 – ushbu tenglama mumkin boʻlgan ikki xil yechimga ega. 3) {𝑥 + 2𝑝 = 0 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 1-yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶) Klero tenglamasining umumiy integrali (yechimi) toʻgʻri chiziqlar oilasini tashkil qiladi. 2-yechim: yechim parametrik koʻrinishda tenglamalar sistemasidan topiladi: {𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2 𝑥 + 2𝑝 = 0 ⇒ ushbu sistemadan 𝑝 ni yoʻqotib ikkinchi yechimni topamiz 𝑝 = − 𝑥 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 ∙ (− 𝑥 2) + (− 𝑥 2) 2 = − 𝑥2 4 ⇒ 𝑦 = − 𝑥2 4 Ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi. https://www.desmos.com/calculator/c1gcgdzeec BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISHNING EYLER USULI. Ilmiybaza.uz Differensial tenglamalar kursini oʻrganish jarayonida maxsus koʻrinishlarga ega boʻlgan differensial tenglamalarni yechish usullarini koʻrib chiqdik. Bu usullar juda koʻp boshqa holatlarni qamrab ololmaydi. Shuning uchun ham tenglama koʻrinishiga bogʻliq boʻlmagan universal usullarni qidirishga sabab boʻldi. Hisoblash mashinalarining rivojlanishi taqribiy sonli usullarni muvoffaqiyatli qoʻllanilish imkoniyatini yaratdi. Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasidan boshlaylik. Aytaylik 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (1) koʻrinishdagi differensial tenglamani 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 (2) boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi yaʼni Koshi masalasi berilgan boʻlsin. Umumiy holda Koshi masalasining yechimini topish mumkin emas. 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiyaning maʼlum koʻrinishlaridagina (1) ni umumiy yechimini topish usullari mavjud. Amaliy masalalarda koʻp hollarda differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan foydalaniladi. Yechimni mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema shartlari bajarilgan deb faraz qilamiz. 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) nuqta atrofida 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya x boʻyicha uzluksiz, y boʻyicha esa Lifshits shartini qanoatlantirsin. (1)-(2) Koshi masalasi yechimi y(x) ni 𝑥0 nuqtaning atrofida Teylor qatoriga yoyamiz: 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑦′(𝑥0) + (𝑥−𝑥0)2 2! 𝑦′′(𝑥0) + + (𝑥−𝑥0)3 3! 𝑦′′′(𝑥0) + (𝑥−𝑥0)4 4! 𝑦𝐼𝑉(𝑥0) + ⋯ + (3) 𝑥0 nuqtaning kichik atrofida Teylor qatorining birinchi ikkita hadina olib, qolgan hadlarini tashlab yuboramiz, natijada quyidagicha taqribiy formulaga kelamiz 𝑦(𝑥) ≈ 𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑦′ (4) Agar 𝑦′ ni (1) formuladagi koʻrinishidan foydalansak, u holda (4) formulani quyidagicha koʻrinishda yozish mumkin: 𝑦(𝑥) ≈ 𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑓(𝑥0, 𝑦0) (5) Ilmiybaza.uz (5) formulani 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 oraliqqa umumlashtirish uchun, ushbu oraliqni n ta boʻlakka boʻlamiz. Boʻlaklash qadami: ℎ = 𝑏 − 𝑥0 𝑛 ; 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛 Masala yechimini 𝑥𝑖 nuqtalarda jadval koʻrinishida topishni maqsad qilib qoʻyamiz. Taqribiy 𝑦(𝑥𝑖) qiymatlarni (5) formula boʻyicha topamiz: 𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + ℎ ∗ 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 (6) bunda 𝑦𝑖+1 = 𝑦(𝑥𝑖+1), 𝑦𝑖 = 𝑦(𝑥𝑖). Ushbu formulaga Eyler usuli deyiladi. Eyler usuli universal usul boʻlib, f(x,y) ning koʻrinishiga bogʻliq emas, lekin xatolik nisbatan kata. Har qadamdagi xatolik 𝑂(ℎ2) tartibida boʻlib, bu xatolik qadamba- qadam ortib borib, b nuqtaga yetib borguncha xatolik 𝑂(ℎ) gacha ortishi mumkin. Misol 1. 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦2 = 𝑓(𝑥, 𝑦); 𝑦(0) = 0.3, [0;0.3] da h=0.1 qadam bilan yechimning taqribiy qiymatlari Eyler usulida topilsin. 𝑥0 = 0; 𝑥1 = 0.1 ; 𝑥2 = 0.2; 𝑥3 = 0.3; 𝑦0 = 0.3 Hisoblashlarni (6) formula boʻyicha amalga oshiramiz 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∗ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 0.3 + 0.1 ∗ (0 + 0.32) = 0.309 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∗ 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 0.309 + 0.1 ∗ (0.1 + 0.3092) = 0.3285 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ ∗ 𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 0.3285 + 0.1 ∗ (0.2 + 0.32852) = 0.3393 Eyler usuli dasturlash uchun qulay. (6) formula asosida ixtiyoriy (1)-(2) Koshi masalasini, har qanday oldindan berilgan aniqlik bilan yechish mumkin. Aniqlikni oshirish uchun qadamlar soni n ni koʻpaytirish yetarli. Buning uchun quyidagicha munosabatlardan foydalanamiz: ℎ = 𝑏−𝑥0 𝑛 ; 𝑅 = 𝑂(ℎ2) = 𝜀; ( 𝑏−𝑥0 𝑛 ) 2 = 𝜀 𝑛 ≈ 𝑏−𝑥0 √𝜀 (7)