HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH USULLARI.

Yuklangan vaqt

2024-04-20

Yuklab olishlar soni

4

Sahifalar soni

8

Faytl hajmi

83,2ย KB


Ilmiybaza.uz 
 
HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI 
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH 
USULLARI. 
 
 
Taสผrif 1. Quyidagi koสปrinishdagi differensial tenglamaga  
๐น(๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ) = 0 
Bunda F โ€“ uzluksiz funksiya, hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli 
differensial tenglama deyiladi.  
  Agar ushbu tenglamani ๐‘ฆโ€ฒ  ga nisbatan yechishni iloji boสปlsa, u holda bitta yoki bir 
nechta  
๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) 
Koสปrinishdagi differensial tenglamalarga ega boสปlami. Bunday tenglamalarni 
yechish usullarini esa boshqa mavzularda koสปrib chiqildi.  
  Differensial tenglamamiz ๐‘ฆโ€ฒ ga nisbatan yechishning iloji boสปlmasa, bunday 
tenglamalarning asosiy yechish usuli bu โ€“ parametr kiritish usuli hisoblanadi. Shuni 
taสผkidlash kerakki umumiy yechim differensial tenglamaning barcha yechimlarini 
qoplamasligi mumkin. Umumiy yechimdan tashqari differensial tenglama maxsus 
yechimlarga ham ega boสปlishi mumkin.  
Bunday differensial tenglamalarni parametr kiritish usuli bilan yechishni ayrim 
xususiy hollar uchun koสปrib chiqamiz: 
Holat โ„–1. Differensial tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ)  koสปrinishda boสปlsin. 
๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ =
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz.  ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ) differensial tenglamani y 
boสปyicha differensiallaymiz. 
๐‘‘๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘
๐‘‘๐‘ฆ [๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘)] = ๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘ฆ + ๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘
๐œ•๐‘
๐‘‘๐‘ฆ 
๐‘‘๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฆ =
1
๐‘ boสปlgani uchun, oxirgi ifodani quyidagicha koสปrinishda yozish mumkin: 
1
๐‘ = ๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘ฆ + ๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘
๐œ•๐‘
๐‘‘๐‘ฆ 
Ilmiybaza.uz HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH USULLARI. Taสผrif 1. Quyidagi koสปrinishdagi differensial tenglamaga ๐น(๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ) = 0 Bunda F โ€“ uzluksiz funksiya, hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Agar ushbu tenglamani ๐‘ฆโ€ฒ ga nisbatan yechishni iloji boสปlsa, u holda bitta yoki bir nechta ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) Koสปrinishdagi differensial tenglamalarga ega boสปlami. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa boshqa mavzularda koสปrib chiqildi. Differensial tenglamamiz ๐‘ฆโ€ฒ ga nisbatan yechishning iloji boสปlmasa, bunday tenglamalarning asosiy yechish usuli bu โ€“ parametr kiritish usuli hisoblanadi. Shuni taสผkidlash kerakki umumiy yechim differensial tenglamaning barcha yechimlarini qoplamasligi mumkin. Umumiy yechimdan tashqari differensial tenglama maxsus yechimlarga ham ega boสปlishi mumkin. Bunday differensial tenglamalarni parametr kiritish usuli bilan yechishni ayrim xususiy hollar uchun koสปrib chiqamiz: Holat โ„–1. Differensial tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ) koสปrinishda boสปlsin. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘ฆโ€ฒ) differensial tenglamani y boสปyicha differensiallaymiz. ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฆ [๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘)] = ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ฆ + ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ ๐œ•๐‘ ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ = 1 ๐‘ boสปlgani uchun, oxirgi ifodani quyidagicha koสปrinishda yozish mumkin: 1 ๐‘ = ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ฆ + ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ ๐œ•๐‘ ๐‘‘๐‘ฆ
Ilmiybaza.uz 
Oshkor koสปrinishdagi differensial tenglamaga ega boสปlamiz, uning umumiy yechimi  
๐‘”(๐‘ฆ, ๐‘, ๐ถ) = 0 
Funksiya bilan tasvirlanadi, bunda C-ixtiyoriy konstanta. 
 Shunday qilib, boshlangสปich differensial tenglamaning umumiy yechimi parametrik 
koสปrinishda ikkita algebraik tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi.  
{๐‘”(๐‘ฆ, ๐‘, ๐ถ) = 0
๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘)     
Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotsak, u holda umumiy yechimni oshkor 
koสปrinishda ifodalash mumkin ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘). 
Holat โ„–2. Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆโ€ฒ)  koสปrinishda boสปlsin. 
Bu yerda ham yuqoridagi holatga oสปxshash holat, faqat y oสปzgaruvchi x va ๐‘ฆโ€ฒ 
oสปzgaruvchilarga oshkor bogสปliq.  ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ =
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. 
Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆโ€ฒ) ni x boสปyicha differensiallaymiz. Natijada: 
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘‘
๐‘‘๐‘ฅ [๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘)] =
๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘ฅ +
๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘
๐œ•๐‘
๐‘‘๐‘ฅ  yoki ๐‘ =
๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘ฅ +
๐œ•๐‘“
๐œ•๐‘
๐œ•๐‘
๐‘‘๐‘ฅ 
Oxirgi differensial tenglamani yechib, ๐‘”(๐‘ฅ, ๐‘, ๐ถ) = 0 algebraik tenglamaga ega 
boสปlamiz. Boshlangสปich berilgan differensial tenglama bilan quyidagicha sistemani 
hosil qiladi: 
{๐‘”(๐‘ฅ, ๐‘, ๐ถ) = 0
๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘)  
Ushbu Sistema berilgan differensial tenglamani umumiy yechimini parametrik 
koสปrinishda ifodalaydi. Ayrim hollarda sistemadan p parametrni yoสปqotishni iloji 
boสปlganda umumiy yechimni ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐ถ) koสปrinishda yozish mumkin boสปladi.    
Holat โ„–3. Differensial tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ)  koสปrinishda boสปlsin. 
Ushbu holatda differensial tenglamada y oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ =
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘‘๐‘ฅ 
koสปrinishda parametr kiritamiz. Tenglamaning umumiy yechimini qurish qiyin 
emas, chunki ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ  va 
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘[๐‘“(๐‘)] = ๐‘‘๐‘“
๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ 
Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy yechimni parametrik koสปrinishda olamiz; 
Ilmiybaza.uz Oshkor koสปrinishdagi differensial tenglamaga ega boสปlamiz, uning umumiy yechimi ๐‘”(๐‘ฆ, ๐‘, ๐ถ) = 0 Funksiya bilan tasvirlanadi, bunda C-ixtiyoriy konstanta. Shunday qilib, boshlangสปich differensial tenglamaning umumiy yechimi parametrik koสปrinishda ikkita algebraik tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. {๐‘”(๐‘ฆ, ๐‘, ๐ถ) = 0 ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘) Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotsak, u holda umumiy yechimni oshkor koสปrinishda ifodalash mumkin ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆ, ๐‘). Holat โ„–2. Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆโ€ฒ) koสปrinishda boสปlsin. Bu yerda ham yuqoridagi holatga oสปxshash holat, faqat y oสปzgaruvchi x va ๐‘ฆโ€ฒ oสปzgaruvchilarga oshkor bogสปliq. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘ฆโ€ฒ) ni x boสปyicha differensiallaymiz. Natijada: ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘ ๐‘‘๐‘ฅ [๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘)] = ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ฅ + ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ ๐œ•๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ yoki ๐‘ = ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ฅ + ๐œ•๐‘“ ๐œ•๐‘ ๐œ•๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ Oxirgi differensial tenglamani yechib, ๐‘”(๐‘ฅ, ๐‘, ๐ถ) = 0 algebraik tenglamaga ega boสปlamiz. Boshlangสปich berilgan differensial tenglama bilan quyidagicha sistemani hosil qiladi: {๐‘”(๐‘ฅ, ๐‘, ๐ถ) = 0 ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐‘) Ushbu Sistema berilgan differensial tenglamani umumiy yechimini parametrik koสปrinishda ifodalaydi. Ayrim hollarda sistemadan p parametrni yoสปqotishni iloji boสปlganda umumiy yechimni ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ, ๐ถ) koสปrinishda yozish mumkin boสปladi. Holat โ„–3. Differensial tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ) koสปrinishda boสปlsin. Ushbu holatda differensial tenglamada y oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. Tenglamaning umumiy yechimini qurish qiyin emas, chunki ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ va ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘[๐‘“(๐‘)] = ๐‘‘๐‘“ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy yechimni parametrik koสปrinishda olamiz;
Ilmiybaza.uz 
 {๐‘ฆ = โˆซ ๐‘
๐‘‘๐‘“
๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ + ๐ถ
๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘)
 
Holat โ„–4. Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ)  koสปrinishda boสปlsin. 
Ushbu holatda differensial tenglamada x oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ =
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘‘๐‘ฅ 
koสปrinishda parametr kiritamiz. ๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘ , bundan  
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฆ
๐‘ = 1
๐‘ โˆ™ ๐‘‘๐‘“
๐‘‘๐‘ โˆ™ ๐‘‘๐‘ 
kelib chiqadi, oxirgi ifodani integrallab, boshlangสปich diferensial tenglamani 
umumiy yechimining parametrik koสปrinishiga ega boสปlamiz.   
{๐‘ฅ = โˆซ 1
๐‘
๐‘‘๐‘“
๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ + ๐ถ
๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘)
 
Misol 1. 9(๐‘ฆโ€ฒ)2 โˆ’ 4๐‘ฅ = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. 
Ushbu tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ) 3-holatga mos keladi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ parameter kiritamiz va 
tenglamani quyidagicha koสปrinishda yozamiz:  
๐‘ฅ = 9
4 ๐‘2 
Tenglamaning ikkala tomonidan ham integral olamiz: 
๐‘‘๐‘ฅ = 9
4 2๐‘๐‘‘๐‘ = 9
2 ๐‘๐‘‘๐‘ 
๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ ekanligini eสผtiborga olsak, oxirgi ifodani quyidagicha yozish mumkin: 
๐‘‘๐‘ฆ
๐‘ = 9
2 ๐‘๐‘‘๐‘,   โŸน ๐‘‘๐‘ฆ = 9
2 ๐‘2๐‘‘๐‘. 
Oxirgi ifodani intetgrallab y oสปzgaruvchini p parameter orqali ifodsini topamiz: 
๐‘ฆ = โˆซ 9
2 ๐‘2๐‘‘๐‘ = 9
2 โˆซ ๐‘2๐‘‘๐‘ = 9
2 โˆ™ ๐‘3
3 + ๐ถ = 3
2 ๐‘3 + ๐ถ 
Bunda C-ixtiyoriy oสปzgarmas. Shunday qilib tenglamaning umumiy yechimini 
parametrik koสปrinishda topdik: 
{
๐‘ฆ =
3
2 ๐‘3 + ๐ถ
๐‘ฅ =
9
4 ๐‘2
  
Ilmiybaza.uz {๐‘ฆ = โˆซ ๐‘ ๐‘‘๐‘“ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ + ๐ถ ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘) Holat โ„–4. Differensial tenglama ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ) koสปrinishda boสปlsin. Ushbu holatda differensial tenglamada x oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ , bundan ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ = 1 ๐‘ โˆ™ ๐‘‘๐‘“ ๐‘‘๐‘ โˆ™ ๐‘‘๐‘ kelib chiqadi, oxirgi ifodani integrallab, boshlangสปich diferensial tenglamani umumiy yechimining parametrik koสปrinishiga ega boสปlamiz. {๐‘ฅ = โˆซ 1 ๐‘ ๐‘‘๐‘“ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ + ๐ถ ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘) Misol 1. 9(๐‘ฆโ€ฒ)2 โˆ’ 4๐‘ฅ = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Ushbu tenglama ๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘ฆโ€ฒ) 3-holatga mos keladi. ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ parameter kiritamiz va tenglamani quyidagicha koสปrinishda yozamiz: ๐‘ฅ = 9 4 ๐‘2 Tenglamaning ikkala tomonidan ham integral olamiz: ๐‘‘๐‘ฅ = 9 4 2๐‘๐‘‘๐‘ = 9 2 ๐‘๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ ekanligini eสผtiborga olsak, oxirgi ifodani quyidagicha yozish mumkin: ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘ = 9 2 ๐‘๐‘‘๐‘, โŸน ๐‘‘๐‘ฆ = 9 2 ๐‘2๐‘‘๐‘. Oxirgi ifodani intetgrallab y oสปzgaruvchini p parameter orqali ifodsini topamiz: ๐‘ฆ = โˆซ 9 2 ๐‘2๐‘‘๐‘ = 9 2 โˆซ ๐‘2๐‘‘๐‘ = 9 2 โˆ™ ๐‘3 3 + ๐ถ = 3 2 ๐‘3 + ๐ถ Bunda C-ixtiyoriy oสปzgarmas. Shunday qilib tenglamaning umumiy yechimini parametrik koสปrinishda topdik: { ๐‘ฆ = 3 2 ๐‘3 + ๐ถ ๐‘ฅ = 9 4 ๐‘2
Ilmiybaza.uz 
Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotish mumkin. Ikkinchi tenglamadan topamiz: 
๐‘2 = 4
9 ๐‘ฅ      โŸน   ๐‘ = ยฑ 2
3 ๐‘ฅ
1
2 
Birinchi tenglamaga qoสปygandan keyin oshkor  ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) koสปrinishdagi umumiy 
yechimga ega boสปlamiz: 
 ๐‘ฆ =
3
2 ๐‘3 + ๐ถ = ๐‘ฆ =
3
2 (ยฑ
2
3 ๐‘ฅ
1
2)
3
+ ๐ถ = ยฑ
3
2 โˆ™
8
27 โˆ™ ๐‘ฅ
3
2 + ๐ถ = ยฑ
4
9 โˆ™ ๐‘ฅ
3
2 + ๐ถ 
LAGRANJ  DIFFERENSIAL TENGLAMASI 
Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa  ๐‘ฆโ€ฒ ning funksiyalari 
boสปlgan  differensial tenglamaga  
๐น(๐‘ฆโ€ฒ) โˆ™ ๐‘ฅ + ๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ) โˆ™ ๐‘ฆ + ๐‘…(๐‘ฆโ€ฒ) = 0 
LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. 
Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 
1) Umumiy yechimni topish uchun ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ oสปzgaruvchi almashtiriladi.  
Differensial tenglama quyidagicha koสปrinishga keltiriladi: 
๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) 
bunda ๐‘“(๐‘) = โˆ’
๐น(๐‘ฆโ€ฒ)
๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ)  ,           ๐œ‘(๐‘) = โˆ’
๐‘…(๐‘ฆโ€ฒ)
๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ)  
2) Ushbu tenglamani ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘  โŸน   ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ  ekanligini eสผtiborga olib 
differensiallaymiz. 
  
๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘(๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘))  โŸน ๐‘๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘)๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ 
3) x ga nisbatan chiziqli boสปlgan ushbu differensial tenglamaning  yechimi 
x=F(p,c) boสปlsa, u holda Lagranj differensial tenglamasining umumiy yechimi 
quyidagicha boสปladi: 
{
๐‘ฅ = ๐น(๐‘, ๐‘)
๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) = ๐น(๐‘, ๐‘) โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) 
 
KLERO  DIFFERENSIAL TENGLAMASI 
Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa  ๐‘ฆโ€ฒ ning funksiyalari 
boสปlgan  quyidagicha differensial tenglamaga  
Ilmiybaza.uz Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotish mumkin. Ikkinchi tenglamadan topamiz: ๐‘2 = 4 9 ๐‘ฅ โŸน ๐‘ = ยฑ 2 3 ๐‘ฅ 1 2 Birinchi tenglamaga qoสปygandan keyin oshkor ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) koสปrinishdagi umumiy yechimga ega boสปlamiz: ๐‘ฆ = 3 2 ๐‘3 + ๐ถ = ๐‘ฆ = 3 2 (ยฑ 2 3 ๐‘ฅ 1 2) 3 + ๐ถ = ยฑ 3 2 โˆ™ 8 27 โˆ™ ๐‘ฅ 3 2 + ๐ถ = ยฑ 4 9 โˆ™ ๐‘ฅ 3 2 + ๐ถ LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa ๐‘ฆโ€ฒ ning funksiyalari boสปlgan differensial tenglamaga ๐น(๐‘ฆโ€ฒ) โˆ™ ๐‘ฅ + ๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ) โˆ™ ๐‘ฆ + ๐‘…(๐‘ฆโ€ฒ) = 0 LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 1) Umumiy yechimni topish uchun ๐‘ = ๐‘ฆโ€ฒ oสปzgaruvchi almashtiriladi. Differensial tenglama quyidagicha koสปrinishga keltiriladi: ๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) bunda ๐‘“(๐‘) = โˆ’ ๐น(๐‘ฆโ€ฒ) ๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ) , ๐œ‘(๐‘) = โˆ’ ๐‘…(๐‘ฆโ€ฒ) ๐‘„(๐‘ฆโ€ฒ) 2) Ushbu tenglamani ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘ โŸน ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ ekanligini eสผtiborga olib differensiallaymiz. ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘(๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘)) โŸน ๐‘๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘“(๐‘)๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ 3) x ga nisbatan chiziqli boสปlgan ushbu differensial tenglamaning yechimi x=F(p,c) boสปlsa, u holda Lagranj differensial tenglamasining umumiy yechimi quyidagicha boสปladi: { ๐‘ฅ = ๐น(๐‘, ๐‘) ๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) = ๐น(๐‘, ๐‘) โˆ™ ๐‘“(๐‘) + ๐œ‘(๐‘) KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa ๐‘ฆโ€ฒ ning funksiyalari boสปlgan quyidagicha differensial tenglamaga
Ilmiybaza.uz 
๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ฆโ€ฒ + ๐œ‘(๐‘ฆโ€ฒ) 
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. 
Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi 
hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 
1) ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘  โŸน   ๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘) 
2) ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘  โŸน   ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ   โŸน    ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘(๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘)) โŸน 
๐‘ฆโ€ฒ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘  โŸน   ๐‘๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘   
Oxirgi ifodani dx ga boสปlamiz 
๐‘ = ๐‘ + ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘
๐‘‘๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) ๐‘‘๐‘
๐‘‘๐‘ฅ    โŸน   (๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)) ๐‘‘๐‘
๐‘‘๐‘ฅ = 0 
3) {๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) = 0
๐‘‘๐‘ = 0
     โŸน    
Birinchi yechim:  ๐‘‘๐‘ = 0   โŸน ๐‘ = ๐ถ   โŸน   ๐‘ฆ = ๐ถ โˆ™ ๐‘ฅ + ๐œ‘(๐ถ) 
Ikkinchi yechim esa: {๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘)
๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) = 0   parametrik tenglamalar sistemasini yechish 
orqali hosil qilinadi. Hosil boสปlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oสปzgarmas 
sonni oสปz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali 
hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim 
(integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi 
umumiy yechim (integral) bilan berilgan toสปgสปri chiziqlar oilasining egilish chizigini 
aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga 
oสปtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boสปladi. 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.gif 
  Klero differensial tenglamasi koสปp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri 
chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoสปyilgan 
xossalari boสปyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi. 
Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boสปlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas. 
Haqiqatdan ham urinma tenglamasi: 
๐‘Œ โˆ’ ๐‘ฆ = ๐‘ฆโ€ฒ(๐‘‹ โˆ’ ๐‘ฅ)   yoki   ๐‘Œ = ๐‘ฆโ€ฒ๐‘‹ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฆโ€ฒ)  
Urinmaning har qanday xossasi (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฆโ€ฒ) va ๐‘ฆโ€ฒ oสปrtasidagi munosabat bilan 
aniqlanadi: 
Ilmiybaza.uz ๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ฆโ€ฒ + ๐œ‘(๐‘ฆโ€ฒ) KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi. Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha: 1) ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘ โŸน ๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘) 2) ๐‘ฆโ€ฒ = ๐‘ โŸน ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ โŸน ๐‘‘๐‘ฆ = ๐‘‘(๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘)) โŸน ๐‘ฆโ€ฒ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ โŸน ๐‘๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ฅ๐‘‘๐‘ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)๐‘‘๐‘ Oxirgi ifodani dx ga boสปlamiz ๐‘ = ๐‘ + ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ โŸน (๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘)) ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ = 0 3) {๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) = 0 ๐‘‘๐‘ = 0 โŸน Birinchi yechim: ๐‘‘๐‘ = 0 โŸน ๐‘ = ๐ถ โŸน ๐‘ฆ = ๐ถ โˆ™ ๐‘ฅ + ๐œ‘(๐ถ) Ikkinchi yechim esa: {๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ + ๐œ‘(๐‘) ๐‘ฅ + ๐œ‘โ€ฒ(๐‘) = 0 parametrik tenglamalar sistemasini yechish orqali hosil qilinadi. Hosil boสปlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oสปzgarmas sonni oสปz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi umumiy yechim (integral) bilan berilgan toสปgสปri chiziqlar oilasining egilish chizigini aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga oสปtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boสปladi. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.gif Klero differensial tenglamasi koสปp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoสปyilgan xossalari boสปyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi. Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boสปlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas. Haqiqatdan ham urinma tenglamasi: ๐‘Œ โˆ’ ๐‘ฆ = ๐‘ฆโ€ฒ(๐‘‹ โˆ’ ๐‘ฅ) yoki ๐‘Œ = ๐‘ฆโ€ฒ๐‘‹ + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฆโ€ฒ) Urinmaning har qanday xossasi (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘ฆโ€ฒ) va ๐‘ฆโ€ฒ oสปrtasidagi munosabat bilan aniqlanadi: