HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH USULLARI.
Yuklangan vaqt
2024-04-20
Yuklab olishlar soni
4
Sahifalar soni
8
Faytl hajmi
83,2ย KB
Ilmiybaza.uz
HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA ULARNI INTEGRALLASH
USULLARI.
Taสผrif 1. Quyidagi koสปrinishdagi differensial tenglamaga
๐น(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฒ) = 0
Bunda F โ uzluksiz funksiya, hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli
differensial tenglama deyiladi.
Agar ushbu tenglamani ๐ฆโฒ ga nisbatan yechishni iloji boสปlsa, u holda bitta yoki bir
nechta
๐ฆโฒ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Koสปrinishdagi differensial tenglamalarga ega boสปlami. Bunday tenglamalarni
yechish usullarini esa boshqa mavzularda koสปrib chiqildi.
Differensial tenglamamiz ๐ฆโฒ ga nisbatan yechishning iloji boสปlmasa, bunday
tenglamalarning asosiy yechish usuli bu โ parametr kiritish usuli hisoblanadi. Shuni
taสผkidlash kerakki umumiy yechim differensial tenglamaning barcha yechimlarini
qoplamasligi mumkin. Umumiy yechimdan tashqari differensial tenglama maxsus
yechimlarga ham ega boสปlishi mumkin.
Bunday differensial tenglamalarni parametr kiritish usuli bilan yechishni ayrim
xususiy hollar uchun koสปrib chiqamiz:
Holat โ1. Differensial tenglama ๐ฅ = ๐(๐ฆ, ๐ฆโฒ) koสปrinishda boสปlsin.
๐ = ๐ฆโฒ =
๐๐ฆ
๐๐ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz. ๐ฅ = ๐(๐ฆ, ๐ฆโฒ) differensial tenglamani y
boสปyicha differensiallaymiz.
๐๐ฅ
๐๐ฆ = ๐
๐๐ฆ [๐(๐ฆ, ๐)] = ๐๐
๐๐ฆ + ๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐๐ฆ =
1
๐ boสปlgani uchun, oxirgi ifodani quyidagicha koสปrinishda yozish mumkin:
1
๐ = ๐๐
๐๐ฆ + ๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฆ
Ilmiybaza.uz
Oshkor koสปrinishdagi differensial tenglamaga ega boสปlamiz, uning umumiy yechimi
๐(๐ฆ, ๐, ๐ถ) = 0
Funksiya bilan tasvirlanadi, bunda C-ixtiyoriy konstanta.
Shunday qilib, boshlangสปich differensial tenglamaning umumiy yechimi parametrik
koสปrinishda ikkita algebraik tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi.
{๐(๐ฆ, ๐, ๐ถ) = 0
๐ฅ = ๐(๐ฆ, ๐)
Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotsak, u holda umumiy yechimni oshkor
koสปrinishda ifodalash mumkin ๐ฅ = ๐(๐ฆ, ๐).
Holat โ2. Differensial tenglama ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆโฒ) koสปrinishda boสปlsin.
Bu yerda ham yuqoridagi holatga oสปxshash holat, faqat y oสปzgaruvchi x va ๐ฆโฒ
oสปzgaruvchilarga oshkor bogสปliq. ๐ = ๐ฆโฒ =
๐๐ฆ
๐๐ฅ koสปrinishda parametr kiritamiz.
Differensial tenglama ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ฆโฒ) ni x boสปyicha differensiallaymiz. Natijada:
๐๐ฆ
๐๐ฅ =
๐
๐๐ฅ [๐(๐ฅ, ๐)] =
๐๐
๐๐ฅ +
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฅ yoki ๐ =
๐๐
๐๐ฅ +
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฅ
Oxirgi differensial tenglamani yechib, ๐(๐ฅ, ๐, ๐ถ) = 0 algebraik tenglamaga ega
boสปlamiz. Boshlangสปich berilgan differensial tenglama bilan quyidagicha sistemani
hosil qiladi:
{๐(๐ฅ, ๐, ๐ถ) = 0
๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐)
Ushbu Sistema berilgan differensial tenglamani umumiy yechimini parametrik
koสปrinishda ifodalaydi. Ayrim hollarda sistemadan p parametrni yoสปqotishni iloji
boสปlganda umumiy yechimni ๐ฆ = ๐(๐ฅ, ๐ถ) koสปrinishda yozish mumkin boสปladi.
Holat โ3. Differensial tenglama ๐ฅ = ๐(๐ฆโฒ) koสปrinishda boสปlsin.
Ushbu holatda differensial tenglamada y oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐ = ๐ฆโฒ =
๐๐ฆ
๐๐ฅ
koสปrinishda parametr kiritamiz. Tenglamaning umumiy yechimini qurish qiyin
emas, chunki ๐๐ฆ = ๐๐๐ฅ va
๐๐ฅ = ๐[๐(๐)] = ๐๐
๐๐ ๐๐
Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy yechimni parametrik koสปrinishda olamiz;
Ilmiybaza.uz
{๐ฆ = โซ ๐
๐๐
๐๐ ๐๐ + ๐ถ
๐ฅ = ๐(๐)
Holat โ4. Differensial tenglama ๐ฆ = ๐(๐ฆโฒ) koสปrinishda boสปlsin.
Ushbu holatda differensial tenglamada x oสปzgaruvchi qatnashmaydi. ๐ = ๐ฆโฒ =
๐๐ฆ
๐๐ฅ
koสปrinishda parametr kiritamiz. ๐๐ฅ =
๐๐ฆ
๐ , bundan
๐๐ฅ = ๐๐ฆ
๐ = 1
๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐
kelib chiqadi, oxirgi ifodani integrallab, boshlangสปich diferensial tenglamani
umumiy yechimining parametrik koสปrinishiga ega boสปlamiz.
{๐ฅ = โซ 1
๐
๐๐
๐๐ ๐๐ + ๐ถ
๐ฅ = ๐(๐)
Misol 1. 9(๐ฆโฒ)2 โ 4๐ฅ = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Ushbu tenglama ๐ฅ = ๐(๐ฆโฒ) 3-holatga mos keladi. ๐ = ๐ฆโฒ parameter kiritamiz va
tenglamani quyidagicha koสปrinishda yozamiz:
๐ฅ = 9
4 ๐2
Tenglamaning ikkala tomonidan ham integral olamiz:
๐๐ฅ = 9
4 2๐๐๐ = 9
2 ๐๐๐
๐๐ฆ = ๐๐๐ฅ ekanligini eสผtiborga olsak, oxirgi ifodani quyidagicha yozish mumkin:
๐๐ฆ
๐ = 9
2 ๐๐๐, โน ๐๐ฆ = 9
2 ๐2๐๐.
Oxirgi ifodani intetgrallab y oสปzgaruvchini p parameter orqali ifodsini topamiz:
๐ฆ = โซ 9
2 ๐2๐๐ = 9
2 โซ ๐2๐๐ = 9
2 โ ๐3
3 + ๐ถ = 3
2 ๐3 + ๐ถ
Bunda C-ixtiyoriy oสปzgarmas. Shunday qilib tenglamaning umumiy yechimini
parametrik koสปrinishda topdik:
{
๐ฆ =
3
2 ๐3 + ๐ถ
๐ฅ =
9
4 ๐2
Ilmiybaza.uz
Ushbu sistemadan p parametrni yoสปqotish mumkin. Ikkinchi tenglamadan topamiz:
๐2 = 4
9 ๐ฅ โน ๐ = ยฑ 2
3 ๐ฅ
1
2
Birinchi tenglamaga qoสปygandan keyin oshkor ๐ฆ = ๐(๐ฅ) koสปrinishdagi umumiy
yechimga ega boสปlamiz:
๐ฆ =
3
2 ๐3 + ๐ถ = ๐ฆ =
3
2 (ยฑ
2
3 ๐ฅ
1
2)
3
+ ๐ถ = ยฑ
3
2 โ
8
27 โ ๐ฅ
3
2 + ๐ถ = ยฑ
4
9 โ ๐ฅ
3
2 + ๐ถ
LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI
Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa ๐ฆโฒ ning funksiyalari
boสปlgan differensial tenglamaga
๐น(๐ฆโฒ) โ ๐ฅ + ๐(๐ฆโฒ) โ ๐ฆ + ๐ (๐ฆโฒ) = 0
LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.
Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:
1) Umumiy yechimni topish uchun ๐ = ๐ฆโฒ oสปzgaruvchi almashtiriladi.
Differensial tenglama quyidagicha koสปrinishga keltiriladi:
๐ฆ = ๐ฅ โ ๐(๐) + ๐(๐)
bunda ๐(๐) = โ
๐น(๐ฆโฒ)
๐(๐ฆโฒ) , ๐(๐) = โ
๐ (๐ฆโฒ)
๐(๐ฆโฒ)
2) Ushbu tenglamani ๐ฆโฒ = ๐ โน ๐๐ฆ = ๐๐๐ฅ ekanligini eสผtiborga olib
differensiallaymiz.
๐๐ฆ = ๐(๐ฅ โ ๐(๐) + ๐(๐)) โน ๐๐๐ฅ = ๐(๐)๐๐ฅ + ๐ฅ โ ๐โฒ(๐)๐๐ + ๐โฒ(๐)๐๐
3) x ga nisbatan chiziqli boสปlgan ushbu differensial tenglamaning yechimi
x=F(p,c) boสปlsa, u holda Lagranj differensial tenglamasining umumiy yechimi
quyidagicha boสปladi:
{
๐ฅ = ๐น(๐, ๐)
๐ฆ = ๐ฅ โ ๐(๐) + ๐(๐) = ๐น(๐, ๐) โ ๐(๐) + ๐(๐)
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI
Taสผrif. x va y ga nisbatan chiziqli boสปlgan koeffitsiyentlari esa ๐ฆโฒ ning funksiyalari
boสปlgan quyidagicha differensial tenglamaga
Ilmiybaza.uz
๐ฆ = ๐ฅ โ ๐ฆโฒ + ๐(๐ฆโฒ)
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.
Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi
hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:
1) ๐ฆโฒ = ๐ โน ๐ฆ = ๐ฅ โ ๐ + ๐(๐)
2) ๐ฆโฒ = ๐ โน ๐๐ฆ = ๐๐๐ฅ โน ๐๐ฆ = ๐(๐ฅ โ ๐ + ๐(๐)) โน
๐ฆโฒ๐๐ฅ = ๐๐๐ฅ + ๐ฅ๐๐ + ๐โฒ(๐)๐๐ โน ๐๐๐ฅ = ๐๐๐ฅ + ๐ฅ๐๐ + ๐โฒ(๐)๐๐
Oxirgi ifodani dx ga boสปlamiz
๐ = ๐ + ๐ฅ ๐๐
๐๐ฅ + ๐โฒ(๐) ๐๐
๐๐ฅ โน (๐ฅ + ๐โฒ(๐)) ๐๐
๐๐ฅ = 0
3) {๐ฅ + ๐โฒ(๐) = 0
๐๐ = 0
โน
Birinchi yechim: ๐๐ = 0 โน ๐ = ๐ถ โน ๐ฆ = ๐ถ โ ๐ฅ + ๐(๐ถ)
Ikkinchi yechim esa: {๐ฆ = ๐ฅ โ ๐ + ๐(๐)
๐ฅ + ๐โฒ(๐) = 0 parametrik tenglamalar sistemasini yechish
orqali hosil qilinadi. Hosil boสปlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oสปzgarmas
sonni oสปz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali
hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim
(integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi
umumiy yechim (integral) bilan berilgan toสปgสปri chiziqlar oilasining egilish chizigini
aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga
oสปtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boสปladi.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.gif
Klero differensial tenglamasi koสปp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri
chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoสปyilgan
xossalari boสปyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi.
Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boสปlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas.
Haqiqatdan ham urinma tenglamasi:
๐ โ ๐ฆ = ๐ฆโฒ(๐ โ ๐ฅ) yoki ๐ = ๐ฆโฒ๐ + (๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆโฒ)
Urinmaning har qanday xossasi (๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆโฒ) va ๐ฆโฒ oสปrtasidagi munosabat bilan
aniqlanadi: