Икки ўлчовли соҳада иссиқлик ўтказувчанлик ва конвекция ҳисобига температура тарқалиш жараёнини сонли моделлаштириш Икки ўлчовли температура тарқалиш тенгламаси қуйидаги кўринишга эга: 2 2 2 2 0 xx yy T T K K Q x y        (1.2) бу ерда T – температура, xx yy K , K – Ox ва Oy йўналишлари бўйича температура тарқалиш коэффициентлари, бирлиги kVt/m*K; Q – жисм ичидаги иссиқлик манбаси, агарда иссиқликни жисмга олиб кирса мусбат ҳисобланади, бирлиги kVt/m3. (1.2) тенглама билан икки турли типдаги чегаравий шартлар боғлиқ. Агар бир неча чегара қисмларида температура маълум бўлса, қуйидагича тасвирланади: B   T T s  (1.3) бу ерда B T – чегарадаги температура, S - юзадаги координата нуқталари функцияси бўлиши мумкин. Агарда чегарада конвектив иссиқлик алмашиши юз берса,   h T T катталик билан ҳарактерланадиган, ёки q иссиқлик оқими берилганда чегаравий шарт қуйидаги кўринишни олади: ( ) 0 xx x yy y T T K l K l q h T T x y           (1.4) бу ерда h - иссиқлик алмашиш коэффициенти, kVt/m2*K; T- чегардаги температура (номаълум), K; T - ташқи муҳит температураси (маълум), K; xl , y l –йўналишлар косинуслари, q – иссиқлик оқими kVt/m2, агарда иссиқлик жисмдан тарқалса мусбат ҳисобланади. Иссиқлик оқими q ва конвектив иссиқлик йўқотилиши  h T    T юза чегараcининг бир хил жойида бир вақтда учрамайди. Агар конвектив узатиш ҳисобига иссиқлик йўқотиш мавжуд бўлса у ҳолда иссиқлик оқими ҳисобига иссиқлик узатилиши ёки ютилиши содир бўлмайди ва аксинча [9]. Агар конвектив иссиқлик алмашиш мавжуд бўлмаса, бундан ташқари, иссиқлик нолга тенг бўлса, иссиқлик изоляцияси чегаравий шарти қуйидагича бўлади: dT  0. dn Масалани ечиш учун унинг вариацион кўриниши кўриб чиқилади, бу эса тақрибий ечиш усулларидан фойдаланишга имкон беради, улардан бири чекли элементлар усулидир (ЧЭУ). Масаланинг вариацион қўйилиши [9] қуйидаги шаклда тасвирланади: 1 2 2 2 2 2 xx yy V S S 1 h K K 2 Q dV q dS [ 2 ]dS 0 2 x y t 2                                                   (1.5) Геометрик жиҳатдан мумкин бўлган температураларни ва чегаравий шартларни тенгламага қўйиб, турли ҳал қилувчи тенгламалар системаларни ҳосил қилиш мумкин. Бундай системаларнинг ечими мураккаб жисмларда температура тарқалиши жараёнини тадқиқ қилиш имкониятини беради. ЧЭУ - бу вариацион принцип асосида номаълум функцияларни тўғридан- тўғри тақрибий ечимини топиш усулидир. Қурилиш механикасида вужудга келган ЧЭУ математик физиканинг турли масалаларини ечишда кенг тарқалди. ЧЭУ жуда кенг математик талқинга эга ва температура тарқалиш масалаларини ечишда жадал ривожланди. ЧЭУда кўриб чиқилаётган жисм эгаллаган майдон кичик чекли элементларга бўлинади. Ҳар бир чекли элемент ичида температуранинг аппроксимация функциялари алоҳида тузилади. Асосий номаълумлар сифатида, тугун нуқталаридаги температура компонентлари танланади. Кичик майдондаги температураларнинг аппроксимацияси энг оддий функциялардан фойдаланишга имкон беради. Температура функцияси қуйидаги формула билан берилади:                i i j k j k T T N N N T T (1.6) бу ерда i , j T T va k T – тугун нуқтадаги температура қийматлари. Чекли элемент тугун нуқталарни номерлаш i - тугундан соат стрелкасига қарама – қарши йўналиш бўйича бўлади. Икки ўлчовли температура тарқалиш масаласини ечиш учун 3 та тугунли учбурчак элементдан кенг фойдаланилади (чизиқли аппроксимация). Чизиқли учбурчакли элемент учун функция формани ёзамиз:   1  2   i i i i N a b x c y A бунда,            i j k k j i j k i k j a X Y X Y b Y Y c X X , (1.7.a)   1  2   j j j j N a b x c y A бунда,            j k i i k j k i j i k a X Y X Y b Y Y c X X , (1.7.б)   1  2   k k k k N a b x c y A бунда,            k i j j i k i j k j i a X Y X Y b Y Y c X X (1.7.в) Учбурчакнинг юзаси A билан матрица орасидаги боғланиш қуйидагича бўлади [9]: 1 1 2A 1  i i j j k k X Y X Y X Y , [B] - градиент матрицани ҳам ёзиб олиш мумкин:   1 2          i j k i j k b b b B c c c A , (1.8) ва [D]- жисм хоссаси матрицаси:   0 0        xx yy K D K . (1.9) Энди чекли элементнинг иссиқлик ўтказувчанлик матрицасини ҳисоблаш мумкин. Биринчи қўшилувчи қуйидаги кўринишга эга: dV c c c b b b K K c c c b b b A D B dV B k j i k j i V V yy xx k j i k j i T                          0 0 4 1 ][ ] ] [ [ 2 . (1.10) Элемент қалинлиги бирлик деб фараз қилган ҳолда dV ни dA га алмаштирамиз. (1.10) ифоданинг интеграл қисми ўзгармас бўлгани учун, интеграл белгисидан чиқариш мумкин:                D B A B dA D B B D B dV B T V A T T     . (1.11) (е) чекли элемент учун матрицалар кўпайтмаси қуйидагича бўлади:   2 e T T V S [k ] [B] [D][B]dV h[N] [N]dS                             k k j k i k k j j j i j k i j i i i yy k k j k i k k j j j i j k i j i i i xx e c c c c c c c c c c c c c c c c c c A K b b b b b b b b b b b b b b b b b b A K k 4 4 ( ) (1.12) Иккинчи интеграл T S h[N] [N]dS жисм сирти бўйича ҳисобланган бўлиши шарт. [N] функция формани матрицага қўйиб ва матрицали кўпайтмани бажариш натижаси қуйидагича бўлади:                  i i i j i k T j i j j j k S S k i k j k k N N N N N N h N N dS h N N N N N N dS N N N N N N . (1.13) Функция форма x ва y га боғлиқлиги учун Ni Nj туридаги кўпайтмаларни интеграл белгисидан ташқарига чиқариш мумкин эмас. Бундан ташқари интеграл учбурчакнинг қайси томонида иссиқлик алмашиш бўлаётганлигига боғлиқ [9]. Расм.1.1 Учбурчак элементнинг бир томони бўйича иссиқлик тарқалиши Масалан, учбурчакнинг i ва k учлари орасида конвекция ҳисобига иссиқлик алмашиниши бўлса, учбурчакнинг i ва k томонида Nk=0 бўлади ва интеграл қуйидаги кўринишга келади:     0 0 0 0 0              i i i j T j i j j S S N N N N h N N dS h N N N N dS . (1.14) Агар икки томондан ихтиёрий бири конвекцияга таъсирланган бўлса у ҳолда (1.14) даги нолдан фарқли бўлган элементлар жойлашиши (1.13) га қараганда бошқача бўлади. L-координаталарнинг афзаллиги - элементнинг томонлари ва унинг майдони бўйлаб интегралларни ҳисоблашни соддалаштиради [16]:   1 2 3 ! ! ! 2 !2      a b c A a b c L L L dA A a b c . (1.15) Агар L – кординаталар ва (1.15) интеграл формула қўлланса, (1.13) муносабатдаги кўпайтмаларни ҳисоблаш содда бўлади. Агар 1L қарама-қарши i – тугун тарафдан ўлчанади деб фараз қилинса, унда қуйидагича ёзиш мумкин: 1  i L N , 2  j L N va 3  k L N . Агар конвектив иссиқлик алмашиниш i ва j тугуни орасида бўлса, у ҳолда Nk=L3=0 бўлади ва (1.14) муносабат қуйидаги кўриниш қабул қилади:     1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0              L L ij T S L L L L h N N dS h L L L L d , (1.16) бу ерда dS  tdL ва элементнинг қалинлиги t бирлик бўлади. (1.16) формулага икки турдаги кўпайтма киради: 2 1L ёки 2 2 L - квадрат катталиклар ва 1 2 L L - кесувчи кўпайтмалар. Квадрат катталиклар:   2 2 0 1 1 2 2!0! 2 0 1 ! 3        L L L L L L ij ij ij ij L d L L d , бу ерда Lij – i ва j тугунлар орасидаги томонлар узунлиги. Кесувчи кўпайтмани интеграллаш қуйидагини беради:   1 2 1!1! 1 1 1 ! 6      L L L L ij ij ij L L d . 2 1  L L ij L d ва 2 2  L L ij L d интеграллар ўзаро тенг. Олинган натижаларни (1.16) формулага қўйиб (1.17.a) ҳосил қилинади:     2 1 0 1 2 0 6 0 0 0             L L L ij T h ij h N N d . ( 1.17.a) j ва k тугунлар орасидаги томонлар учун ўхшаш муносабат олинади:     0 0 0 0 2 1 6 0 1 2             L L L jk T h jk h N N d , (1.17.б) k ва j тугунлар орасидаги томонлар учун:     2 0 1 0 0 0 6 1 0 2             L L L ki T h ki h N N d . (1.17.в) Агар L – кординатлардан фойдаланилса, (1.17.а-в) чекли элементнинг юклама вектори интегралларини ҳисоблаш соддалашади. Ҳисоблаш      T V N N QdV интегралдан бошланади. Фараз қилайлик, Q жисм ичидаги иссиқлик манбаси катталиги чекли элемент ичкарисида ўзгармас. Унда қуйидагича ёзиш мумкин:   1 2 3 1 1 3 1                         T V V L QV Q N dV Q L dV L . (1.18) Шу ҳолатда, иссиқлик чекли элементнинг учта тугуни бўйича тенг тақсимланади.   1 T S N qdS  va   2 T S N hT dS   интеграллар бир хил кўринишда ёзилади:            i j S k N N dS N (1.19) ва улардан фақат бирини ҳисоблаш етарли. Мадомики (1.19) интеграл юза бўйича экан, у (1.13) даги интеграл каби бўлади. Натижа элементнинг қайси томонида конвектив иссиқлик алмашиш жараёни ўтишига боғлиқ. Бу жараён конвектив иссиқлик алмашиши h катталиги ёки иссиқлик оқими q га боғлиқ. Элемент сирти бўйича q доимий деб фараз қилинса, (1.19) интеграл учун қуйидаги учта муносабат ўринли:         1 1 2 0 0 1 2 1 1 0 2 1                                               L L L ij T jk S ki q a q q N d в S b q (1.20.а, б, в)    S T hT N dS ифоданинг қиймати, q ни  hT га алмашиши ҳисобига (1.20.a) – (1.20.в) га мос келади. Агар иссиқлик оқими ёки конвектив иссиқлик алмашиши чекли элементнинг икки томонида кузатилса, сирт интеграли ҳар бир томондаги интеграллар йиғиндиси билан алмашилади. Шу мулохаза (1.13) интегралга ҳам тегишли. Тугундаги қийматлар аниқлангандан сўнг, температура градиенти қуйидаги муносабат орқали аниқланади: 1 2                                     i i j k j i j k k T T b b b x T T c c c A T y (1.21) Иссиқлик ўтказувчанлик масаласини ечиш учун тўғри чизиқли учбурчакли чекли элемент ишлатилади (2.8-расм). Тугунлар соат йўналишига тескари рақамланади, бази бир тугундан бошлаб, ва у бир рақам билан белгиланади. Чекли элемент томонларини рақамланиши 2.8- расмда кўрсатилган. 2.8-расм. Учбурчак чекли элемент Тугунлардаги температура қийматлари T1, T2, T3 билан белгиланади. x, y координаталарга эга чекли элемент нуқтасидаги температура қуйидаги формулалар билан аниқланади: 1 1 2 2 3 3 T N T N T N T       Бу чекли элементга қўлланиладиган шакл функциялари қуйидагилардир:       1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 , 2 1 , 2 1 2 N a b X c Y A N a b X c Y A N a b X c Y A                   Чекли элементнинг юзаси қуйидаги формула билан ҳисобланади: 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 1 X Y A X Y X Y   Шакл функцияларига киритилган коэффициентлар тугунларнинг координатасига боғлиқ бўлиб, улар қуйида келтирилган: 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 , , , , , , a X Y X Y a X Y X Y a X Y X Y b Y Y b Y Y b Y Y c X X c X X c X X                         Учбурчак чекли элемент учун иссиқлик ўтказувчанлик матрицаси қуйидагича бўлади: 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 ( ) 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 4 4 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 6 6 0 0 0 0 1 2 y e x e e e b b b b b b c c c c c c k k k b b b b b b c c c c c c A A b b b b b b c c c c c c h L h h L                                                                               3 1 2 0 1 0 0 0 6 1 0 2 L             бу ерда 1 2 2 3 3 1 , , L L L    - чекли элементнинг тегишли томонларининг узунлиги. Охирги учта ифода чекли элементнинг ҳар бир томони бўйлаб конвектив иссиқлик алмашишни ҳисобга олади. Чекли элемент кўриб чиқилаётган соханинг таркибий қисми бўлгани учун, конвектив иссиқлик алмашиш одатда чекли элементнинг бир ёки икки томони бўйлаб содир бўлади. Чекли элементга ташқи таъсирлар вектори қуйидаги шаклга эга: 0 0 1 ( ) ( ) ( ) * 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , ) 1 1 0 1 ( ) 1 1 1 0 3 2 1 0 1 1 e e e X X Y Y N q h T Q F L L L Q N N                                                                                Температура градентлари ва чекли элементдаги ўртача температура қуйидаги формулалар ёрдамида ҳисобланади: 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 T T b b b Gradx x T T c c c Grady A T y                                            3 1 1 3 cp k k T T    .