IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ INVARIANTLARI VA ULAR YORDAMIDA KLASSIFIKATSIYA QILISH

Yuklangan vaqt

2024-04-28

Yuklab olishlar soni

2

Sahifalar soni

7

Faytl hajmi

56,5Β KB


Ilmiybaza.uz IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ INVARIANTLARI VA ULAR YORDAMIDA KLASSIFIKATSIYA QILISH Ikkinchi tartibli chiziqlarni koeffitsientlarga bog`liq bo`lgan shunday ifodalar borki, koordinata o`qlarini almashtirganda bu ifodalarni qiymati o`zgarmaydi. Bunday ifodalar ikkinchi tartibli chiziqni invariantlari deyiladi. Bu invariantlar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlar kanonik ko`rinishga keltiriladi. Ba’zi hollarda qo`shimcha invariant kerak bo`ladi va bu semi invariant deyiladi. a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a13y+a33=0 (1) I1=a11+a22 I2=|π‘Ž11 π‘Ž13 π‘Ž12 π‘Ž22| K3=| π‘Ž11π‘Ž12π‘Ž13 π‘Ž12π‘Ž22π‘Ž23 π‘Ž13π‘Ž23π‘Ž33 | (1) ni almashtirsak π‘Ž11 β€² π‘₯β€²2 + 2π‘Ž12 β€² π‘₯′𝑦′ + π‘Ž22 β€² 𝑦′2 + 2π‘Ž13 β€² π‘₯β€² + 2π‘Ž23 β€² 𝑦′ + π‘Ž33 β€² = 0(𝑖)β€² 1) I2β‰  0 chiziqlar yagona markazga ega bo`lgan chiziqlar. Bu birinchi tur chiziqlarga ellips, parabola, mavhum ellips, to`gri chiziqlar va mavhum kesishuvchi to`gri chiziqlar. 2) Markazga ega bo`lmagan to`g`ri chiziqlar I2=0 Kβ‰  0 3) I2=0 K3=0 cheksiz ko`p markaz yoki markazi to`g`ri chiziqdan iborat bo`ladi. Ular parallel mavhum va parallel ustma-ust tushuvchi to`g`ri chiziqlar. 3- tur holat uchun qo`shimcha h2 semi invariant kiritiladi. Bizga xarastiristik tenglama K-2-I1K+I3=0 1-tur chiziqlarni aniqlashga yordam beradi. Bu xarastiristik tenlama doim haqiqiy yechimga ega. Isbot Dβ‰₯0 D=I12-4I22=(a11+a22)2-4(a11a22-a12)2=a112+2a11a22+a222-4a112a222+8a11a12a22-4a122 = (a11-a22)+4a122 β‰₯ 0 1) I2=0 da 1-tur chiziqlar ko`rinishi ellips β†’0 k1 va k2 bir xil ishora k1x2+k2y2+ π‘˜1 𝐼2=0 2) I2=0 k3β‰  0 2-tur chiziqlar kanonik ko`rinishi. I1x2+ñ π‘˜3 𝐼1 y=0 Ilmiybaza.uz IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ INVARIANTLARI VA ULAR YORDAMIDA KLASSIFIKATSIYA QILISH Ikkinchi tartibli chiziqlarni koeffitsientlarga bog`liq bo`lgan shunday ifodalar borki, koordinata o`qlarini almashtirganda bu ifodalarni qiymati o`zgarmaydi. Bunday ifodalar ikkinchi tartibli chiziqni invariantlari deyiladi. Bu invariantlar yordamida ikkinchi tartibli chiziqlar kanonik ko`rinishga keltiriladi. Ba’zi hollarda qo`shimcha invariant kerak bo`ladi va bu semi invariant deyiladi. a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a13y+a33=0 (1) I1=a11+a22 I2=|π‘Ž11 π‘Ž13 π‘Ž12 π‘Ž22| K3=| π‘Ž11π‘Ž12π‘Ž13 π‘Ž12π‘Ž22π‘Ž23 π‘Ž13π‘Ž23π‘Ž33 | (1) ni almashtirsak π‘Ž11 β€² π‘₯β€²2 + 2π‘Ž12 β€² π‘₯′𝑦′ + π‘Ž22 β€² 𝑦′2 + 2π‘Ž13 β€² π‘₯β€² + 2π‘Ž23 β€² 𝑦′ + π‘Ž33 β€² = 0(𝑖)β€² 1) I2β‰  0 chiziqlar yagona markazga ega bo`lgan chiziqlar. Bu birinchi tur chiziqlarga ellips, parabola, mavhum ellips, to`gri chiziqlar va mavhum kesishuvchi to`gri chiziqlar. 2) Markazga ega bo`lmagan to`g`ri chiziqlar I2=0 Kβ‰  0 3) I2=0 K3=0 cheksiz ko`p markaz yoki markazi to`g`ri chiziqdan iborat bo`ladi. Ular parallel mavhum va parallel ustma-ust tushuvchi to`g`ri chiziqlar. 3- tur holat uchun qo`shimcha h2 semi invariant kiritiladi. Bizga xarastiristik tenglama K-2-I1K+I3=0 1-tur chiziqlarni aniqlashga yordam beradi. Bu xarastiristik tenlama doim haqiqiy yechimga ega. Isbot Dβ‰₯0 D=I12-4I22=(a11+a22)2-4(a11a22-a12)2=a112+2a11a22+a222-4a112a222+8a11a12a22-4a122 = (a11-a22)+4a122 β‰₯ 0 1) I2=0 da 1-tur chiziqlar ko`rinishi ellips β†’0 k1 va k2 bir xil ishora k1x2+k2y2+ π‘˜1 𝐼2=0 2) I2=0 k3β‰  0 2-tur chiziqlar kanonik ko`rinishi. I1x2+ñ π‘˜3 𝐼1 y=0 Ilmiybaza.uz 3) I2=0 k3= 0 3-tur chiziqlar kanonik ko`rinishi. I1x2+ π‘˜2 𝐼1 = 0 1) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ellips 2) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = βˆ’1 mavhum ellips 3) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = 0 mavhum kesishuvchi to`g`ri chiziqlar 4) π‘₯2 π‘Ž2 βˆ’ 𝑦2 𝑏2 = 1 giperbola 5) π‘₯2 π‘Ž2 βˆ’ 𝑦2 𝑏2 = 0 kesishuvchi to`g`ri chiziqlar 6) π‘₯2 = 2𝑝𝑦 parabola 7) π‘₯2 βˆ’ π‘Ž2 = 0 parallel to`g`ri chiziqlar 8) π‘₯2 + π‘Ž2 = 0 mavhum parallel to`g`ri chiziqlar 9)π‘₯2 = 0 ustma-ust tushuvchi to`g`ri chiziqlar. 5π‘₯2 βˆ’ 6π‘₯𝑦 + 5𝑦2 + 4π‘₯ βˆ’ 2𝑦 + 1 = 0 a11=5 a12=-3 a22=5 a13=2 a23=-1 a33=1 I1=5+5=10 I2=| 5 βˆ’3 βˆ’3 5 |=16 k3=| 5 βˆ’3 2 βˆ’3 5 βˆ’1 2 βˆ’1 1 |=3 k2-10k+16=0 k1=2 k2=8 2x2+8y2+ 3 16=0 π‘₯2 3 32 + 𝑦2 3 128=-1 Quyidagi xossalarga ega ikkita Oxy va Ox1y1 koordinatalar sistemasi berilgan: Ox va Ox1 o`qlar hamda Oy va Oy1 o`qlar parallel va bir xil yo`nalgan, Ox1y1 koordinatalar sistemasi boshi O1 esa Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan ma’lum koordinatalarga ega O1=O1(a,b). U holda ixtiyoriy M nuqtaning (x,y) va (x1,y1) koordinatalari quyidagicha bog`langan: Ilmiybaza.uz 3) I2=0 k3= 0 3-tur chiziqlar kanonik ko`rinishi. I1x2+ π‘˜2 𝐼1 = 0 1) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ellips 2) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = βˆ’1 mavhum ellips 3) π‘₯2 π‘Ž2 + 𝑦2 𝑏2 = 0 mavhum kesishuvchi to`g`ri chiziqlar 4) π‘₯2 π‘Ž2 βˆ’ 𝑦2 𝑏2 = 1 giperbola 5) π‘₯2 π‘Ž2 βˆ’ 𝑦2 𝑏2 = 0 kesishuvchi to`g`ri chiziqlar 6) π‘₯2 = 2𝑝𝑦 parabola 7) π‘₯2 βˆ’ π‘Ž2 = 0 parallel to`g`ri chiziqlar 8) π‘₯2 + π‘Ž2 = 0 mavhum parallel to`g`ri chiziqlar 9)π‘₯2 = 0 ustma-ust tushuvchi to`g`ri chiziqlar. 5π‘₯2 βˆ’ 6π‘₯𝑦 + 5𝑦2 + 4π‘₯ βˆ’ 2𝑦 + 1 = 0 a11=5 a12=-3 a22=5 a13=2 a23=-1 a33=1 I1=5+5=10 I2=| 5 βˆ’3 βˆ’3 5 |=16 k3=| 5 βˆ’3 2 βˆ’3 5 βˆ’1 2 βˆ’1 1 |=3 k2-10k+16=0 k1=2 k2=8 2x2+8y2+ 3 16=0 π‘₯2 3 32 + 𝑦2 3 128=-1 Quyidagi xossalarga ega ikkita Oxy va Ox1y1 koordinatalar sistemasi berilgan: Ox va Ox1 o`qlar hamda Oy va Oy1 o`qlar parallel va bir xil yo`nalgan, Ox1y1 koordinatalar sistemasi boshi O1 esa Oxy koordinatalar sistemasiga nisbatan ma’lum koordinatalarga ega O1=O1(a,b). U holda ixtiyoriy M nuqtaning (x,y) va (x1,y1) koordinatalari quyidagicha bog`langan: Ilmiybaza.uz {π‘₯ = π‘₯1 + π‘Ž 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 {π‘₯1 = π‘₯ βˆ’ π‘Ž 𝑦1 = 𝑦 βˆ’ 𝑏 (1) (1) formula koordinatalar o`qini parallel ko`chirishda hosil bo`lgan koordinatalarni topish formulasi bo`ladi. Aytaylik ikkita Oxy va Ox1y1 koordinatalar sistemasi umumiy koordinatalar boshiga ega, Ox1 o`qi esa Ox o`qi bilan a burchak hosil qiladi. U holda ixtiyoriy M nuqtaning (x,y) va (x1,y1) koordinatalari quyidagicha bog`langan: {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝑑 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 { π‘₯1 = π‘₯ π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦1 = βˆ’π‘₯ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦 π‘π‘œπ‘  𝛼 (2) formula koordinatalar o`qlarini burishda hosil bo`lgan koordinatalarni topish formulasi bo`ladi. x va y o`zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamaning umumiy ko`rinishi quyidagicha: Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Shunday a burchak mavjudki, (3) tenglamani o`q atrofida a burchakka burish formulasini quyidagi ko`rinishga keltirish mumkin: A1x12+C1y12+D1x1+E1y1+F1=0 (4) Bunda 𝐴1 = 𝐴 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 + 𝐢 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 2𝐡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐢1 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝐢 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 2𝐡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐷1 = 𝐷 π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝐸 𝑠𝑖𝑛 𝛼 (5) 𝐸1 = βˆ’π· 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝐸 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐹1 = 𝐹 Mos a burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin: (𝑐 βˆ’ 𝐴) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝐡(π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼) = 0 (6) (4) tenglama parallel ko`chirish yordamida kanonik ko`rinishga olib kelinadi. Shuni ham ta’kidlab o`tish joizki, kanonik ko`rinishga olib kelingan tenglamanig oxirgi ko`rinishi geometrik tasvirga ega bo`lmasligi ham mumkin, masalan: π‘₯2 + 𝑦2 + 1 = 0 tenglamasi. f:E3β†’E3 affin almashtirish Ρ„ ikkinchi tartibli sirtni ф’ ikkinchi tartibli sirtga, πœ‹ tekislikni πœ‹β€™ tekislikga o`tkazsin. Unda πœ‹ ∩ Ρ„ va πœ‹β€² ∩ ф’ chiziqlar bir xil nomlarga ega. Isbot. Oxyz affin koordinatalar sistemasini shuday olamizki uning uchun πœ‹ tekislik Oxy koordinatalar tekisligi bo`lsin. Shunnday yagona O’x’y’z’ affin koordinatalar sistemasi mavjudki bunda f almashtirish Oxyz va O’x’y’z’ koordinatalar sistemasi bilan assotsirlanadi. f(πœ‹)= πœ‹β€™ bo`lgani uchun πœ‹β€™ tekislik O’x’y’ koordinatalar tekisligi bo`ladi. Oxyz koordinatalar sistemasida Ρ„ sirt Ilmiybaza.uz {π‘₯ = π‘₯1 + π‘Ž 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 {π‘₯1 = π‘₯ βˆ’ π‘Ž 𝑦1 = 𝑦 βˆ’ 𝑏 (1) (1) formula koordinatalar o`qini parallel ko`chirishda hosil bo`lgan koordinatalarni topish formulasi bo`ladi. Aytaylik ikkita Oxy va Ox1y1 koordinatalar sistemasi umumiy koordinatalar boshiga ega, Ox1 o`qi esa Ox o`qi bilan a burchak hosil qiladi. U holda ixtiyoriy M nuqtaning (x,y) va (x1,y1) koordinatalari quyidagicha bog`langan: {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝑑 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 { π‘₯1 = π‘₯ π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦1 = βˆ’π‘₯ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦 π‘π‘œπ‘  𝛼 (2) formula koordinatalar o`qlarini burishda hosil bo`lgan koordinatalarni topish formulasi bo`ladi. x va y o`zgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamaning umumiy ko`rinishi quyidagicha: Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Shunday a burchak mavjudki, (3) tenglamani o`q atrofida a burchakka burish formulasini quyidagi ko`rinishga keltirish mumkin: A1x12+C1y12+D1x1+E1y1+F1=0 (4) Bunda 𝐴1 = 𝐴 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 + 𝐢 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 2𝐡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐢1 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝐢 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 2𝐡 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐷1 = 𝐷 π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝐸 𝑠𝑖𝑛 𝛼 (5) 𝐸1 = βˆ’π· 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝐸 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝐹1 = 𝐹 Mos a burchakni quyidagi tenglikdan topish mumkin: (𝑐 βˆ’ 𝐴) 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛼 + 𝐡(π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼) = 0 (6) (4) tenglama parallel ko`chirish yordamida kanonik ko`rinishga olib kelinadi. Shuni ham ta’kidlab o`tish joizki, kanonik ko`rinishga olib kelingan tenglamanig oxirgi ko`rinishi geometrik tasvirga ega bo`lmasligi ham mumkin, masalan: π‘₯2 + 𝑦2 + 1 = 0 tenglamasi. f:E3β†’E3 affin almashtirish Ρ„ ikkinchi tartibli sirtni ф’ ikkinchi tartibli sirtga, πœ‹ tekislikni πœ‹β€™ tekislikga o`tkazsin. Unda πœ‹ ∩ Ρ„ va πœ‹β€² ∩ ф’ chiziqlar bir xil nomlarga ega. Isbot. Oxyz affin koordinatalar sistemasini shuday olamizki uning uchun πœ‹ tekislik Oxy koordinatalar tekisligi bo`lsin. Shunnday yagona O’x’y’z’ affin koordinatalar sistemasi mavjudki bunda f almashtirish Oxyz va O’x’y’z’ koordinatalar sistemasi bilan assotsirlanadi. f(πœ‹)= πœ‹β€™ bo`lgani uchun πœ‹β€™ tekislik O’x’y’ koordinatalar tekisligi bo`ladi. Oxyz koordinatalar sistemasida Ρ„ sirt Ilmiybaza.uz ikkinchi tartibli tenglama F(x,y,z)=0 bilan berilgan bo`lsin. Unda ф’ sirt O’x’y’z’ koordinatalar sistemasida xuddi shu F(x’y’z’)=0 tenglama bilan berilishi mumkin. Shuning uchun πœ‹ ∩ Ρ„ va πœ‹β€² ∩ ф’ yassi kesimlar Oxy va O’x’y’ koordinatalar sistemasida mos ravishda bir xil F(x,y,z)=0 va F(x’y’z’)=0 tenglamalarga ega bo`ladi. Ammo biz bilamizki (har xil affin koordinatalar sistemasida) bir xil tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar affin ekvivalentdir va demak bir xil nomlarga ega. Isbotlandi. {π‘₯ = π‘₯1 + π‘₯0 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦0 koordinatalar boshini O0(x0,y0,) nuqtaga ko`chirish, bunda π›₯ = | 𝐴 𝐡 𝐷 𝐡 𝐢 𝐸 𝐷 𝐸 𝐹 | tenglama Ax12+2Bx1y1+Cy12+F1=0 ko`rinishga keltiriladi. {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 = π΄βˆ’πΆ 2𝐡 koordinatalar sistemasini burish, bunda π›₯ = | 𝐴 𝐡 𝐷 𝐡 𝐢 𝐸 𝐷 𝐸 𝐹 | tenglama quyidagi ko`rinishga keltiriladi. A1x12+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 burish burchagining cotangensi. Masala: 32x2+52xy-7y2+180=0 tenglamani kanonik ko`rinishga keltiring. Yechish: koordinatalar sistemasini 𝛼 burchakka buramiz: {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 = π΄βˆ’πΆ 2𝐡 = 32+7 52 = 3 4 π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 √1+𝑐𝑑𝑔2 2𝛼 = 3 5 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = √ 1βˆ’π‘π‘œπ‘  2𝛼 2 = 1 √5 bularga asosan, π‘₯ = 2 √5 π‘₯1 βˆ’ 1 √5 𝑦1 , 𝑦 = 1 √5 π‘₯1 + 2 √5 𝑦1 Ilmiybaza.uz ikkinchi tartibli tenglama F(x,y,z)=0 bilan berilgan bo`lsin. Unda ф’ sirt O’x’y’z’ koordinatalar sistemasida xuddi shu F(x’y’z’)=0 tenglama bilan berilishi mumkin. Shuning uchun πœ‹ ∩ Ρ„ va πœ‹β€² ∩ ф’ yassi kesimlar Oxy va O’x’y’ koordinatalar sistemasida mos ravishda bir xil F(x,y,z)=0 va F(x’y’z’)=0 tenglamalarga ega bo`ladi. Ammo biz bilamizki (har xil affin koordinatalar sistemasida) bir xil tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar affin ekvivalentdir va demak bir xil nomlarga ega. Isbotlandi. {π‘₯ = π‘₯1 + π‘₯0 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦0 koordinatalar boshini O0(x0,y0,) nuqtaga ko`chirish, bunda π›₯ = | 𝐴 𝐡 𝐷 𝐡 𝐢 𝐸 𝐷 𝐸 𝐹 | tenglama Ax12+2Bx1y1+Cy12+F1=0 ko`rinishga keltiriladi. {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 = π΄βˆ’πΆ 2𝐡 koordinatalar sistemasini burish, bunda π›₯ = | 𝐴 𝐡 𝐷 𝐡 𝐢 𝐸 𝐷 𝐸 𝐹 | tenglama quyidagi ko`rinishga keltiriladi. A1x12+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 burish burchagining cotangensi. Masala: 32x2+52xy-7y2+180=0 tenglamani kanonik ko`rinishga keltiring. Yechish: koordinatalar sistemasini 𝛼 burchakka buramiz: {π‘₯ = π‘₯1 π‘π‘œπ‘  𝛼 βˆ’ 𝑦1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 = π‘₯1 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑦1 π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 = π΄βˆ’πΆ 2𝐡 = 32+7 52 = 3 4 π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 𝑐𝑑𝑔 2𝛼 √1+𝑐𝑑𝑔2 2𝛼 = 3 5 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = √ 1βˆ’π‘π‘œπ‘  2𝛼 2 = 1 √5 bularga asosan, π‘₯ = 2 √5 π‘₯1 βˆ’ 1 √5 𝑦1 , 𝑦 = 1 √5 π‘₯1 + 2 √5 𝑦1 Ilmiybaza.uz x va y ning qiymatlarini berilgan tenglamaga qo`yamiz va qavslarni ochib, soddalashtirsak 225x12-100y12+900=0 yoki 9x12-4y12=-36 Bundan 𝑦12 9 βˆ’ π‘₯12 4 = 1 demak, berilgan tenglama giperbola tenglamasi ekan. Masala: Koordinata o`qlarini parallel ko`chirganda A(3,1) nuqta yangi (2,-1) koordinatalarga ega bo`ladi. O0(x0,y0) koordinatalarini aniqlang. Yechish: parallel ko`chirish formulasiga ko`ra { 3 = 2 + π‘₯0 1 = βˆ’1 + 𝑦0 β‡’ {π‘₯0 = 1 𝑦0 = 2 demak, koordinatalar boshi O1(1,2) nuqtaga ko`chirilgan. Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3} bazis va O nuqta berilgan bo`lsa, 𝑂𝑀 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— vektorning {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3} bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi. 1-ta’rif. Berilgan {𝑒⃗1𝑒⃗2 … 𝑒⃗𝑛} bazis uchun (𝑒⃗𝑖𝑒⃗𝑗) = {1, 𝑖 = 𝑗 0, 𝑖 β‰  𝑗 tengliklar bajarilsa, {𝑒⃗1𝑒⃗2 … 𝑒⃗𝑛} – ortonormal bazis deyiladi. 2-ta’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to`g`ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi. Ilmiybaza.uz x va y ning qiymatlarini berilgan tenglamaga qo`yamiz va qavslarni ochib, soddalashtirsak 225x12-100y12+900=0 yoki 9x12-4y12=-36 Bundan 𝑦12 9 βˆ’ π‘₯12 4 = 1 demak, berilgan tenglama giperbola tenglamasi ekan. Masala: Koordinata o`qlarini parallel ko`chirganda A(3,1) nuqta yangi (2,-1) koordinatalarga ega bo`ladi. O0(x0,y0) koordinatalarini aniqlang. Yechish: parallel ko`chirish formulasiga ko`ra { 3 = 2 + π‘₯0 1 = βˆ’1 + 𝑦0 β‡’ {π‘₯0 = 1 𝑦0 = 2 demak, koordinatalar boshi O1(1,2) nuqtaga ko`chirilgan. Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3} bazis va O nuqta berilgan bo`lsa, 𝑂𝑀 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— vektorning {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3} bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi. 1-ta’rif. Berilgan {𝑒⃗1𝑒⃗2 … 𝑒⃗𝑛} bazis uchun (𝑒⃗𝑖𝑒⃗𝑗) = {1, 𝑖 = 𝑗 0, 𝑖 β‰  𝑗 tengliklar bajarilsa, {𝑒⃗1𝑒⃗2 … 𝑒⃗𝑛} – ortonormal bazis deyiladi. 2-ta’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to`g`ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi. Ilmiybaza.uz Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar o`qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma- ust tushadi. Isbot. Bizga 𝑖⃗, 𝑗⃗, π‘˜βƒ—βƒ— ortonormal bazis berilgan bo`lsa, ularning boshlarini O nuqtaga joylashtirib OXYZ koordinatalar sistemasini kiritaylik. Agar π‘Žβƒ— = π‘₯𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + π‘§π‘˜βƒ—βƒ— bo`lsa, π‘Žβƒ— vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o`qlariga ortogonal proeksiyalarini A,B,C harflari bilan belgilasak 𝑂𝐴 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = π‘₯𝑖⃗ , 𝑂𝐡 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = 𝑦𝑗⃗ , 𝑂𝐢 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = π‘§π‘˜βƒ—βƒ— tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan 𝑂𝐴 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—, 𝑂𝐡 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—, 𝑂𝐢 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— kesmalarning kattaliklari mos ravishda x,y,z sonlariga teng bo`lgani uchun x=prOxπ‘Žβƒ— , y=prOyπ‘Žβƒ— , z=prOzπ‘Žβƒ— munosabatlarni hosil qilamiz. 1-natija.π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘π‘Ÿπ‘™π‘Žβƒ— + π‘π‘Ÿπ‘™π‘βƒ—βƒ— Isbot. Bizga l o`q berilgan bo`lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o`qi l bilan ustma-ust tushsin. Agar π‘Žβƒ— = π‘₯π‘Žπ‘–βƒ— + π‘¦π‘Žπ‘—βƒ— + π‘§π‘Žπ‘˜βƒ—βƒ— , 𝑏⃗⃗ = π‘₯𝑏𝑖⃗ + 𝑦𝑏𝑗⃗ + π‘§π‘π‘˜βƒ—βƒ— , π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗ = (π‘₯π‘Ž+𝑏)𝑖⃗ + (π‘¦π‘Ž+𝑏)𝑗⃗ + (π‘§π‘Ž+𝑏)π‘˜βƒ—βƒ— bo`lsa, teoremaga ko`ra π‘π‘Ÿπ‘™π‘Žβƒ— = xa va π‘π‘Ÿπ‘™ = xb , π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘₯π‘Ž+𝑏 tengliklarni hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo`shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo`shilgani uchun π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘₯π‘Ž + π‘₯𝑏 munosabatni olamiz. Agar 𝛿 = βˆ†= 0 bo`lsa, u holda π‘˜ = |π‘Ž22 π‘Ž23 π‘Ž23 π‘Ž33| + |π‘Ž11 π‘Ž13 π‘Ž13 π‘Ž33| invariant bo`ladi. Isbot. To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi Oxy va O’x’y’ larni bog`lovchi o`zgaruvchilarni almashtirishda bunda K ning o`zgarmasligini ko`rsatish kerak. Ilmiybaza.uz Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar o`qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma- ust tushadi. Isbot. Bizga 𝑖⃗, 𝑗⃗, π‘˜βƒ—βƒ— ortonormal bazis berilgan bo`lsa, ularning boshlarini O nuqtaga joylashtirib OXYZ koordinatalar sistemasini kiritaylik. Agar π‘Žβƒ— = π‘₯𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + π‘§π‘˜βƒ—βƒ— bo`lsa, π‘Žβƒ— vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o`qlariga ortogonal proeksiyalarini A,B,C harflari bilan belgilasak 𝑂𝐴 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = π‘₯𝑖⃗ , 𝑂𝐡 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = 𝑦𝑗⃗ , 𝑂𝐢 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = π‘§π‘˜βƒ—βƒ— tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan 𝑂𝐴 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—, 𝑂𝐡 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—, 𝑂𝐢 βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— kesmalarning kattaliklari mos ravishda x,y,z sonlariga teng bo`lgani uchun x=prOxπ‘Žβƒ— , y=prOyπ‘Žβƒ— , z=prOzπ‘Žβƒ— munosabatlarni hosil qilamiz. 1-natija.π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘π‘Ÿπ‘™π‘Žβƒ— + π‘π‘Ÿπ‘™π‘βƒ—βƒ— Isbot. Bizga l o`q berilgan bo`lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o`qi l bilan ustma-ust tushsin. Agar π‘Žβƒ— = π‘₯π‘Žπ‘–βƒ— + π‘¦π‘Žπ‘—βƒ— + π‘§π‘Žπ‘˜βƒ—βƒ— , 𝑏⃗⃗ = π‘₯𝑏𝑖⃗ + 𝑦𝑏𝑗⃗ + π‘§π‘π‘˜βƒ—βƒ— , π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗ = (π‘₯π‘Ž+𝑏)𝑖⃗ + (π‘¦π‘Ž+𝑏)𝑗⃗ + (π‘§π‘Ž+𝑏)π‘˜βƒ—βƒ— bo`lsa, teoremaga ko`ra π‘π‘Ÿπ‘™π‘Žβƒ— = xa va π‘π‘Ÿπ‘™ = xb , π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘₯π‘Ž+𝑏 tengliklarni hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo`shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo`shilgani uchun π‘π‘Ÿπ‘™(π‘Žβƒ— + 𝑏⃗⃗) = π‘₯π‘Ž + π‘₯𝑏 munosabatni olamiz. Agar 𝛿 = βˆ†= 0 bo`lsa, u holda π‘˜ = |π‘Ž22 π‘Ž23 π‘Ž23 π‘Ž33| + |π‘Ž11 π‘Ž13 π‘Ž13 π‘Ž33| invariant bo`ladi. Isbot. To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi Oxy va O’x’y’ larni bog`lovchi o`zgaruvchilarni almashtirishda bunda K ning o`zgarmasligini ko`rsatish kerak. Ilmiybaza.uz Buning uchun ikkita yordamchi to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi Ox”y” va O’x”y” larni kiritamiz. Ox”y” sistema Oxy sistemadan koordinata o`qlarini biror burchakga burishdan hosil qilinadi. O’x”y” sistema esa Ox”y” sistemadan parallel ko`chirish bilan hosil qilinadi. Ilmiybaza.uz Buning uchun ikkita yordamchi to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi Ox”y” va O’x”y” larni kiritamiz. Ox”y” sistema Oxy sistemadan koordinata o`qlarini biror burchakga burishdan hosil qilinadi. O’x”y” sistema esa Ox”y” sistemadan parallel ko`chirish bilan hosil qilinadi.