Ilmiybaza.uz
MAVZU:
IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH
Reja:
Kirish.
I.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam beradigan
qo’shimcha mavzular.
1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish.
1.2. Koordinata o’qlarini burchakka burish.
II.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish.
2.1. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari.
2.2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish.
Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqni soddalashtirishga doir misollar yechish.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati.
Ilmiybaza.uz
KIRISH
Galiley va boshqa olimlar tomonidan yaratilgan yangi mexanika harbiy ish,
ballistika va astronomiya sohalaridagi ehtiyojlar asosida vujudga keldi. Kopemikning
astronomiya sohasidagi kashfiyotlari Kepler tomonidan sayyoralar harakati qonunlarini
ochishga asos bo‘ldi. XVII asrning birinchi yarmida fan va texnikadagi yutuqlar, ulaning
ehtiyojlari, matematikaning rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod va savdo sohalaridagi
ehtiyojlar analitik georaetriya asoslarining yaratilishiga olib keldi.
Tekislik yoki fazoda koordinatalar sistemasini kiritganimizda, geometrik figuraga
tegishli nuqtalar koordinatalarga ega bo‘ladi. Agar figuraga tegishli nuqtalarning
koordinatalari biror algebraik tenglamani qanoatlantirsa, u algebraik tenglama bilan
aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi. Masalan, markazi A(a,b) nuqtada bo'lgan va
radiusi R ga teng aylana tenglamasi (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − 𝑅2 = 0 ko‘rinishga ega
bo‘ladi.
Analitik geometriya kursida o‘rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi
tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o‘rganamiz, ya’ni
algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shug’ullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar
asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan ish
ko‘ramiz. Analitik geometriya kursida o‘rganiladigan geometrik figuralar sinfi unchalik
katta bo‘lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanuvchi
geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol o‘ynaydi .
Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar —
to‘g‘ri chiziq va tekislikdir. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi tartibli
chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi. Yuqoridagi misoldan
ko‘rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir.
I.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam
beradigan qo’shimcha mavzular.
1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish.
Ilmiybaza.uz
Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshi (a,b) nuqtaga
parallel ko’chirish yordamida o’tkazilganda M(x,y) nuqtani koordinatasini o’zgarishini
aniqlaymiz
Bunda
x=𝒙` + 𝒂
y=y `+ b (1)
(1) Yangi koordinata sistemasidan eskiga koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi
hisoblanadi.
x`=x-a
y`=y-b (2)
(2)
Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi
hisoblanadi.
Misol uchun bu masalani ko’raylik.
M(8,6) nuqtani koordinata boshini (-5,5) nuqtaga o’zgartirganda keyingi koordinatasini
toping.
x`=x-a
y`=y-b bu formuladan foydalanib quyidani hisoblaymiz.
x`=8-(-5)=13.
y`=6-5=1.
Demak yangi koordinatalar sistemasi M(x`,y`) = M`(13,1) hosil bo’ladi.
1.2.Koordinata o’qlarini burchakka burish.
Ilmiybaza.uz
Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.Koordinata o’qlarini α burchakka
burib ,M nuqtani yangi va eski koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. cos𝛼 =
𝑂𝐵
𝑥` , 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
𝐶𝐷
𝑦`
2-rasm.
2-rasmga ko’ra
x=OA-AB=x`cosα-CD=x`cosα-MDsinα=x`cosα-y`sinα
y=ME+EB=
𝑦`
𝑐𝑜𝑠𝛼 +
𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑦`+𝑥`𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑦`𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
=x`sinα +y`cosα
x=x`cosα –y`sin α
y =x`sinα+y`cosα (3)
(3) Yangi koordinatalar sistemasidan eski koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi.
(4) Eski sistemadan yangisiga o’tish uchun (3) dagi birinchi
tenglamani cosα ga ikkinchi tenglamani sinα ga ko’paytirib qo’shamiz.
x`=xcosα+ ysinα
y`= - xsinα +ycosα (4)
(5)
Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish
formulasidir.
II.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish.
2.1.Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari.
Tekislikda biror Dekart koordinatalar sistemasida
Ilmiybaza.uz
𝑎11𝑥2+2𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2+2𝑎13x+2𝑎23𝑦 + 𝑎33=0 (1)
tenglama berilgan bo’lsin.Bu yerda 𝑎11, 𝑎12 va 𝑎22 larning kamida
bittasi noldan farqli bo’lishi lozim. Ya’ni 𝑎11
2 + 𝑎12
2 + 𝑎22
2 ≠ 0
ko’rinishida bo’lishi kerak.
(1) tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.(1) ni
qanoatlantiradigan haqiqiy x va y lar mavjud bo’lmasa , u mavhum ikkinchi tartibli
chiziq deyiladi.
2.2.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish.
Bizga
F(x,y)=𝑎11𝑥2+2 𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2 + 2𝑎13𝑥 + 2𝑎23𝑦 + 𝑎33 = 0(1)
Ikkinchi tartibli chiziq berilgan bo’lsin.Ikkinchi tartibli chiziq
tenglamalarini soddalashtirish asosan ikki bosqichga bo’linadi:
I.Parallel ko’chirish;
II.Burchakka burish;
Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lsa, u holda
I.Parallel ko’chiramiz
II.Burchakka buramiz
Ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilsin:
𝑎11𝑎22 − 𝑎12
2 ≠ 0
𝐴𝑔𝑎𝑟
𝑎11
𝑎12 =
𝑎12
𝑎22 =
𝑎13
𝑎23 munosabat o’rinli bo’lsa Sistema cheksiz ko’p yechimga,
𝑎11
𝑎12 =
𝑎12
𝑎22 ≠
𝑎13
𝑎23 munosabat bajarilsa sistema yechimga ega emas.
Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lmasa , u holda
I.Burchakka buramiz.
II.Parallel ko’chiramiz.
Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini yagona markazga ega deb olib, koordinata o’qlarini
parallel ko’chirishdan boshlaymiz.
x=x`+a
y=y`+b (2) ni (1) ga qo’ysak, u holda
