IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH (Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish, Koordinata o’qlarini burchakka burish, Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari)

Yuklangan vaqt

2024-04-28

Yuklab olishlar soni

7

Sahifalar soni

8

Faytl hajmi

265,0 KB


Ilmiybaza.uz MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH Reja: Kirish. I.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam beradigan qo’shimcha mavzular. 1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish. 1.2. Koordinata o’qlarini burchakka burish. II.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish. 2.1. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari. 2.2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish. Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqni soddalashtirishga doir misollar yechish. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati. Ilmiybaza.uz MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH Reja: Kirish. I.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam beradigan qo’shimcha mavzular. 1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish. 1.2. Koordinata o’qlarini burchakka burish. II.BOB. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish. 2.1. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari. 2.2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish. Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziqni soddalashtirishga doir misollar yechish. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati. Ilmiybaza.uz KIRISH Galiley va boshqa olimlar tomonidan yaratilgan yangi mexanika harbiy ish, ballistika va astronomiya sohalaridagi ehtiyojlar asosida vujudga keldi. Kopemikning astronomiya sohasidagi kashfiyotlari Kepler tomonidan sayyoralar harakati qonunlarini ochishga asos bo‘ldi. XVII asrning birinchi yarmida fan va texnikadagi yutuqlar, ulaning ehtiyojlari, matematikaning rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod va savdo sohalaridagi ehtiyojlar analitik georaetriya asoslarining yaratilishiga olib keldi. Tekislik yoki fazoda koordinatalar sistemasini kiritganimizda, geometrik figuraga tegishli nuqtalar koordinatalarga ega bo‘ladi. Agar figuraga tegishli nuqtalarning koordinatalari biror algebraik tenglamani qanoatlantirsa, u algebraik tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi. Masalan, markazi A(a,b) nuqtada bo'lgan va radiusi R ga teng aylana tenglamasi (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − 𝑅2 = 0 ko‘rinishga ega bo‘ladi. Analitik geometriya kursida o‘rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o‘rganamiz, ya’ni algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shug’ullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan ish ko‘ramiz. Analitik geometriya kursida o‘rganiladigan geometrik figuralar sinfi unchalik katta bo‘lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol o‘ynaydi . Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar — to‘g‘ri chiziq va tekislikdir. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi. Yuqoridagi misoldan ko‘rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir. I.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam beradigan qo’shimcha mavzular. 1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish. Ilmiybaza.uz KIRISH Galiley va boshqa olimlar tomonidan yaratilgan yangi mexanika harbiy ish, ballistika va astronomiya sohalaridagi ehtiyojlar asosida vujudga keldi. Kopemikning astronomiya sohasidagi kashfiyotlari Kepler tomonidan sayyoralar harakati qonunlarini ochishga asos bo‘ldi. XVII asrning birinchi yarmida fan va texnikadagi yutuqlar, ulaning ehtiyojlari, matematikaning rivojlanishi, ishlab chiqarish, iqtisod va savdo sohalaridagi ehtiyojlar analitik georaetriya asoslarining yaratilishiga olib keldi. Tekislik yoki fazoda koordinatalar sistemasini kiritganimizda, geometrik figuraga tegishli nuqtalar koordinatalarga ega bo‘ladi. Agar figuraga tegishli nuqtalarning koordinatalari biror algebraik tenglamani qanoatlantirsa, u algebraik tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi. Masalan, markazi A(a,b) nuqtada bo'lgan va radiusi R ga teng aylana tenglamasi (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − 𝑅2 = 0 ko‘rinishga ega bo‘ladi. Analitik geometriya kursida o‘rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o‘rganamiz, ya’ni algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shug’ullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan ish ko‘ramiz. Analitik geometriya kursida o‘rganiladigan geometrik figuralar sinfi unchalik katta bo‘lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol o‘ynaydi . Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar — to‘g‘ri chiziq va tekislikdir. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi. Yuqoridagi misoldan ko‘rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir. I.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirishga yordam beradigan qo’shimcha mavzular. 1.1. Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish. Ilmiybaza.uz Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshi (a,b) nuqtaga parallel ko’chirish yordamida o’tkazilganda M(x,y) nuqtani koordinatasini o’zgarishini aniqlaymiz Bunda x=𝒙` + 𝒂 y=y `+ b (1) (1) Yangi koordinata sistemasidan eskiga koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi hisoblanadi. x`=x-a y`=y-b (2) (2) Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi hisoblanadi. Misol uchun bu masalani ko’raylik. M(8,6) nuqtani koordinata boshini (-5,5) nuqtaga o’zgartirganda keyingi koordinatasini toping. x`=x-a y`=y-b bu formuladan foydalanib quyidani hisoblaymiz. x`=8-(-5)=13. y`=6-5=1. Demak yangi koordinatalar sistemasi M(x`,y`) = M`(13,1) hosil bo’ladi. 1.2.Koordinata o’qlarini burchakka burish. Ilmiybaza.uz Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshi (a,b) nuqtaga parallel ko’chirish yordamida o’tkazilganda M(x,y) nuqtani koordinatasini o’zgarishini aniqlaymiz Bunda x=𝒙` + 𝒂 y=y `+ b (1) (1) Yangi koordinata sistemasidan eskiga koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi hisoblanadi. x`=x-a y`=y-b (2) (2) Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi hisoblanadi. Misol uchun bu masalani ko’raylik. M(8,6) nuqtani koordinata boshini (-5,5) nuqtaga o’zgartirganda keyingi koordinatasini toping. x`=x-a y`=y-b bu formuladan foydalanib quyidani hisoblaymiz. x`=8-(-5)=13. y`=6-5=1. Demak yangi koordinatalar sistemasi M(x`,y`) = M`(13,1) hosil bo’ladi. 1.2.Koordinata o’qlarini burchakka burish. Ilmiybaza.uz Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.Koordinata o’qlarini α burchakka burib ,M nuqtani yangi va eski koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. cos𝛼 = 𝑂𝐵 𝑥` , 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐶𝐷 𝑦` 2-rasm. 2-rasmga ko’ra x=OA-AB=x`cosα-CD=x`cosα-MDsinα=x`cosα-y`sinα y=ME+EB= 𝑦` 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑦`+𝑥`𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑦`𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 =x`sinα +y`cosα x=x`cosα –y`sin α y =x`sinα+y`cosα (3) (3) Yangi koordinatalar sistemasidan eski koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi. (4) Eski sistemadan yangisiga o’tish uchun (3) dagi birinchi tenglamani cosα ga ikkinchi tenglamani sinα ga ko’paytirib qo’shamiz. x`=xcosα+ ysinα y`= - xsinα +ycosα (4) (5) Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish formulasidir. II.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish. 2.1.Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari. Tekislikda biror Dekart koordinatalar sistemasida Ilmiybaza.uz Bizga OXY koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin.Koordinata o’qlarini α burchakka burib ,M nuqtani yangi va eski koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaymiz. cos𝛼 = 𝑂𝐵 𝑥` , 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐶𝐷 𝑦` 2-rasm. 2-rasmga ko’ra x=OA-AB=x`cosα-CD=x`cosα-MDsinα=x`cosα-y`sinα y=ME+EB= 𝑦` 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑦`+𝑥`𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑦`𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 =x`sinα +y`cosα x=x`cosα –y`sin α y =x`sinα+y`cosα (3) (3) Yangi koordinatalar sistemasidan eski koordinatalar sistemasiga o’tish formulasi. (4) Eski sistemadan yangisiga o’tish uchun (3) dagi birinchi tenglamani cosα ga ikkinchi tenglamani sinα ga ko’paytirib qo’shamiz. x`=xcosα+ ysinα y`= - xsinα +ycosα (4) (5) Eski koordinatalar sistemasidan yangi koordinatalar sistemasiga o’tish formulasidir. II.BOB.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish. 2.1.Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamalari. Tekislikda biror Dekart koordinatalar sistemasida Ilmiybaza.uz 𝑎11𝑥2+2𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2+2𝑎13x+2𝑎23𝑦 + 𝑎33=0 (1) tenglama berilgan bo’lsin.Bu yerda 𝑎11, 𝑎12 va 𝑎22 larning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi lozim. Ya’ni 𝑎11 2 + 𝑎12 2 + 𝑎22 2 ≠ 0 ko’rinishida bo’lishi kerak. (1) tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.(1) ni qanoatlantiradigan haqiqiy x va y lar mavjud bo’lmasa , u mavhum ikkinchi tartibli chiziq deyiladi. 2.2.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish. Bizga F(x,y)=𝑎11𝑥2+2 𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2 + 2𝑎13𝑥 + 2𝑎23𝑦 + 𝑎33 = 0(1) Ikkinchi tartibli chiziq berilgan bo’lsin.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish asosan ikki bosqichga bo’linadi: I.Parallel ko’chirish; II.Burchakka burish; Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lsa, u holda I.Parallel ko’chiramiz II.Burchakka buramiz Ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilsin: 𝑎11𝑎22 − 𝑎12 2 ≠ 0 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑎11 𝑎12 = 𝑎12 𝑎22 = 𝑎13 𝑎23 munosabat o’rinli bo’lsa Sistema cheksiz ko’p yechimga, 𝑎11 𝑎12 = 𝑎12 𝑎22 ≠ 𝑎13 𝑎23 munosabat bajarilsa sistema yechimga ega emas. Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lmasa , u holda I.Burchakka buramiz. II.Parallel ko’chiramiz. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini yagona markazga ega deb olib, koordinata o’qlarini parallel ko’chirishdan boshlaymiz. x=x`+a y=y`+b (2) ni (1) ga qo’ysak, u holda Ilmiybaza.uz 𝑎11𝑥2+2𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2+2𝑎13x+2𝑎23𝑦 + 𝑎33=0 (1) tenglama berilgan bo’lsin.Bu yerda 𝑎11, 𝑎12 va 𝑎22 larning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi lozim. Ya’ni 𝑎11 2 + 𝑎12 2 + 𝑎22 2 ≠ 0 ko’rinishida bo’lishi kerak. (1) tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.(1) ni qanoatlantiradigan haqiqiy x va y lar mavjud bo’lmasa , u mavhum ikkinchi tartibli chiziq deyiladi. 2.2.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko’rinishga keltirish. Bizga F(x,y)=𝑎11𝑥2+2 𝑎12𝑥𝑦 + 𝑎22𝑦2 + 2𝑎13𝑥 + 2𝑎23𝑦 + 𝑎33 = 0(1) Ikkinchi tartibli chiziq berilgan bo’lsin.Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini soddalashtirish asosan ikki bosqichga bo’linadi: I.Parallel ko’chirish; II.Burchakka burish; Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lsa, u holda I.Parallel ko’chiramiz II.Burchakka buramiz Ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilsin: 𝑎11𝑎22 − 𝑎12 2 ≠ 0 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑎11 𝑎12 = 𝑎12 𝑎22 = 𝑎13 𝑎23 munosabat o’rinli bo’lsa Sistema cheksiz ko’p yechimga, 𝑎11 𝑎12 = 𝑎12 𝑎22 ≠ 𝑎13 𝑎23 munosabat bajarilsa sistema yechimga ega emas. Agar ikkinchi tartibli chiziq yagona markazga ega bo’lmasa , u holda I.Burchakka buramiz. II.Parallel ko’chiramiz. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini yagona markazga ega deb olib, koordinata o’qlarini parallel ko’chirishdan boshlaymiz. x=x`+a y=y`+b (2) ni (1) ga qo’ysak, u holda Ilmiybaza.uz 𝑎11(𝑥` + 𝑎)2+2 𝑎12(𝑥` + 𝑎)(𝑦` + 𝑏) + 𝑎22(𝑦` + 𝑏)2 + 2𝑎13(𝑥` + +𝑎) + 2𝑎23(𝑦` + 𝑏) + 𝑎33 = 0 Bundan quyidagi holatga o’tamiz 𝑎11𝑥`2 + 2𝑎12𝑥`𝑦` + 𝑎22𝑦`2+2(𝑎11𝑎 + 𝑎12𝑏 + 𝑎13)𝑥` + 2(𝑎12𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23)𝑦` + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (3) (a,b) ni shunday tanlaymizki, x` va y` lar oldidagi koeffitsientlar nolga teng bo’lsin, ya’ni {𝑎11𝑎 + 𝑎12𝑏 + 𝑎13 = 0 𝑎12𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23 = 0 (4) Markazi yagona bo’lgan ikkinchi tartibli chiziq uchun (4) o’rinli bo’lganligidan topilgan (a,b) ni (2) ga qo’yib, keyin (1) ga qo’ysak quyidagi tenglamani hosil qilamiz. 𝑎11𝑥`2 + 𝑎12𝑥`𝑦` + 𝑎22𝑦`2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (5) Endi esa koordinata o’qlarini burchakka buramiz: {𝑥` = 𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑦` = 𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼 (6) (6) ni (5) ga qo’yamiz. 𝑎11(𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼)2 + 2𝑎12(𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼)( 𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + +𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼)+ 𝑎22(𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (7) hosil bo’ladi. (𝑎11𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑠𝑖𝑛2𝛼)𝑥``2 + (𝑎11𝑠𝑖𝑛2𝛼 − −2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑐𝑜𝑠2𝛼)𝑦``2 − 2(𝑎11𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 − −𝑎12𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 𝑎22𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥``𝑦`` + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (8) Tenglamani tushunishimizga qulay bo’lishi uchun quyidagicha belgilash kiritib olamiz. A=𝑎11𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑠𝑖𝑛2𝛼 B=𝑎11𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑐𝑜𝑠2𝛼 (8)da x``y`` ko’paytma oldidagi koeffitsient nol bo’ladigan shaklda α ni tanlab olamiz. Uning uchun 𝑎11 sinα cosα -𝑎12𝑐𝑜𝑠2α+𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 𝑎22 sinα cosα 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼-𝑎12𝑐𝑜𝑠2α+𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼- 1 2 𝑎22sin2α = 0 1 2 sin2α (𝑎11 − 𝑎22) − 𝑎12 cos2α = 0 tenglamani yechishimiz zarur.Quyidagi holatga o’tishimiz uchun cos2α ga bo’lishimiz kifoya. Ilmiybaza.uz 𝑎11(𝑥` + 𝑎)2+2 𝑎12(𝑥` + 𝑎)(𝑦` + 𝑏) + 𝑎22(𝑦` + 𝑏)2 + 2𝑎13(𝑥` + +𝑎) + 2𝑎23(𝑦` + 𝑏) + 𝑎33 = 0 Bundan quyidagi holatga o’tamiz 𝑎11𝑥`2 + 2𝑎12𝑥`𝑦` + 𝑎22𝑦`2+2(𝑎11𝑎 + 𝑎12𝑏 + 𝑎13)𝑥` + 2(𝑎12𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23)𝑦` + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (3) (a,b) ni shunday tanlaymizki, x` va y` lar oldidagi koeffitsientlar nolga teng bo’lsin, ya’ni {𝑎11𝑎 + 𝑎12𝑏 + 𝑎13 = 0 𝑎12𝑎 + 𝑎22𝑏 + 𝑎23 = 0 (4) Markazi yagona bo’lgan ikkinchi tartibli chiziq uchun (4) o’rinli bo’lganligidan topilgan (a,b) ni (2) ga qo’yib, keyin (1) ga qo’ysak quyidagi tenglamani hosil qilamiz. 𝑎11𝑥`2 + 𝑎12𝑥`𝑦` + 𝑎22𝑦`2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (5) Endi esa koordinata o’qlarini burchakka buramiz: {𝑥` = 𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑦` = 𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼 (6) (6) ni (5) ga qo’yamiz. 𝑎11(𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼)2 + 2𝑎12(𝑥``𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦``𝑠𝑖𝑛𝛼)( 𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + +𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼)+ 𝑎22(𝑥``𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦``𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (7) hosil bo’ladi. (𝑎11𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑠𝑖𝑛2𝛼)𝑥``2 + (𝑎11𝑠𝑖𝑛2𝛼 − −2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑐𝑜𝑠2𝛼)𝑦``2 − 2(𝑎11𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 − −𝑎12𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 𝑎22𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥``𝑦`` + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (8) Tenglamani tushunishimizga qulay bo’lishi uchun quyidagicha belgilash kiritib olamiz. A=𝑎11𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑠𝑖𝑛2𝛼 B=𝑎11𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 2𝑎12𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎22𝑐𝑜𝑠2𝛼 (8)da x``y`` ko’paytma oldidagi koeffitsient nol bo’ladigan shaklda α ni tanlab olamiz. Uning uchun 𝑎11 sinα cosα -𝑎12𝑐𝑜𝑠2α+𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 𝑎22 sinα cosα 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼-𝑎12𝑐𝑜𝑠2α+𝑎12𝑠𝑖𝑛2𝛼- 1 2 𝑎22sin2α = 0 1 2 sin2α (𝑎11 − 𝑎22) − 𝑎12 cos2α = 0 tenglamani yechishimiz zarur.Quyidagi holatga o’tishimiz uchun cos2α ga bo’lishimiz kifoya. Ilmiybaza.uz 𝑡𝑔2𝛼 = 2𝑎12 (𝑎11−𝑎22) .Tenglamadan topilgan α ni (6) ga qo’yib, so’ngra (8) ga qo’ysak (8) tenglama quyidagi kanonik ko’rinishga o’tadi. A𝑥``2 + 𝐵𝑦``2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (9) Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini mukammalroq tushunishimiz uchun quyidagi misolni ko’raylik. 1-misol.Quyidagi ikkinchi tartibli chiziqning markazlari topilsin. 5𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 5𝑦2 − 18𝑥 − 18𝑦 + 11 = 0 Avvalo ikkinchi tartibli chiziqni markazga ega yoki ega emasligini tekshirib olamiz. 𝑎11𝑎22 − 𝑎12 2 = 0 𝑏𝑜′𝑙𝑠𝑎 𝑦𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑎𝑧𝑔𝑎 𝑒𝑔𝑎 𝑏𝑜′𝑙𝑚𝑎𝑦𝑑𝑖. Demak 5*5-64≠ 0 sistema yagona markazga ega .Shuning uchun sistemani birinchi parallel ko’chiramiz. x=x`+a y=y`+b 5(𝑥` + 𝑎)2 + 8(𝑦` + 𝑏)(𝑥` + 𝑎) + 5(𝑦` + 𝑏)2 − 18(𝑥` + 𝑎) − −18(𝑦` + 𝑏) + 11 = 0 5𝑥`2 + 10𝑥`𝑎 + 5𝑎2 + 8𝑥`𝑦` + 8𝑥`𝑏 + 8𝑦`𝑎 + 8𝑎𝑏 + 5𝑦`2 + +10𝑦`𝑏 + 5𝑏2 − 18𝑥` − 18𝑎 − 18𝑦` − 18𝑏 + 11 = 0 5𝑥`2 + 5𝑦`2 + (10𝑎 + 8𝑏 − 18)𝑥` + (8𝑎 + 10𝑏 − 18)𝑦` + 5𝑎2 + +8𝑥`𝑦` + 8𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 18𝑎 − 18𝑏 + 11 = 0 Endi a va b larni topishimiz uchun x` va y` ning oldidagi koeffitsientlarini nolga tenglaymiz. {10𝑎 + 8𝑏 − 18 = 0 8𝑎 + 10𝑏 − 18 = 0 va a va b lar quyidagi yechimga ega bo’ladi.a=1, b=1. Demak ikkinchi tartibli chiziqning markazi (1,1) nuqtada ekan Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Baxvalov . S. V., Modenov P. S., Parxomenko A. S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. Toshkent, 2006, 546 bet. 2. Pogorelov А. V. Analitik geometriya. Toshkent, 0 ‘qituvchi, 1983 Ilmiybaza.uz 𝑡𝑔2𝛼 = 2𝑎12 (𝑎11−𝑎22) .Tenglamadan topilgan α ni (6) ga qo’yib, so’ngra (8) ga qo’ysak (8) tenglama quyidagi kanonik ko’rinishga o’tadi. A𝑥``2 + 𝐵𝑦``2 + 𝐹(𝑎, 𝑏) = 0 (9) Xulosa. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini mukammalroq tushunishimiz uchun quyidagi misolni ko’raylik. 1-misol.Quyidagi ikkinchi tartibli chiziqning markazlari topilsin. 5𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 5𝑦2 − 18𝑥 − 18𝑦 + 11 = 0 Avvalo ikkinchi tartibli chiziqni markazga ega yoki ega emasligini tekshirib olamiz. 𝑎11𝑎22 − 𝑎12 2 = 0 𝑏𝑜′𝑙𝑠𝑎 𝑦𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑎𝑧𝑔𝑎 𝑒𝑔𝑎 𝑏𝑜′𝑙𝑚𝑎𝑦𝑑𝑖. Demak 5*5-64≠ 0 sistema yagona markazga ega .Shuning uchun sistemani birinchi parallel ko’chiramiz. x=x`+a y=y`+b 5(𝑥` + 𝑎)2 + 8(𝑦` + 𝑏)(𝑥` + 𝑎) + 5(𝑦` + 𝑏)2 − 18(𝑥` + 𝑎) − −18(𝑦` + 𝑏) + 11 = 0 5𝑥`2 + 10𝑥`𝑎 + 5𝑎2 + 8𝑥`𝑦` + 8𝑥`𝑏 + 8𝑦`𝑎 + 8𝑎𝑏 + 5𝑦`2 + +10𝑦`𝑏 + 5𝑏2 − 18𝑥` − 18𝑎 − 18𝑦` − 18𝑏 + 11 = 0 5𝑥`2 + 5𝑦`2 + (10𝑎 + 8𝑏 − 18)𝑥` + (8𝑎 + 10𝑏 − 18)𝑦` + 5𝑎2 + +8𝑥`𝑦` + 8𝑎𝑏 + 5𝑏2 − 18𝑎 − 18𝑏 + 11 = 0 Endi a va b larni topishimiz uchun x` va y` ning oldidagi koeffitsientlarini nolga tenglaymiz. {10𝑎 + 8𝑏 − 18 = 0 8𝑎 + 10𝑏 − 18 = 0 va a va b lar quyidagi yechimga ega bo’ladi.a=1, b=1. Demak ikkinchi tartibli chiziqning markazi (1,1) nuqtada ekan Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Baxvalov . S. V., Modenov P. S., Parxomenko A. S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. Toshkent, 2006, 546 bet. 2. Pogorelov А. V. Analitik geometriya. Toshkent, 0 ‘qituvchi, 1983 Ilmiybaza.uz 3. A.YA. NARMANOV Analitik geometriya. Toshkent, 0 ‘qituvchi, 1983. 4.Yunesmetov.Geometriya ma’ruza matni. 1-qism . 5.Qori Niyoziy .Analitik geometriya.pdf. Ilmiybaza.uz 3. A.YA. NARMANOV Analitik geometriya. Toshkent, 0 ‘qituvchi, 1983. 4.Yunesmetov.Geometriya ma’ruza matni. 1-qism . 5.Qori Niyoziy .Analitik geometriya.pdf.