ISH, QUVVAT, MEXANIK ENERGIYA,IMPULS VA TO‘QNASHUVLAR Ma’ruza rejasi: Ish va quvvat. Kinetik energiya. Potensial energiya. Mexanik energiyaning saqlanish qonuni. Impuls va to‘qnashuvlar. Ish va quvvat. Ma’lumki, istalgan harakat qandaydir kuchning yoki bir necha kuchlarning teng ta’sir etuvchisining ta’siri tufayli yuzaga keladi. Bu ta’sir tufayli harakatlanayotgan jism vaqt O‘tishi bilan biror masofaga kO‘chadi. Kuchlarning, jismlarning kO‘chishi bilan bog‘liq bo‘lgan xarakteristikasi sifatida mexanik ish tushunchasi kiritiladi. Tabiiy holda, kuchning qiymati qancha katta bo‘lsa va kuch qO‘yilgan jism qancha uzoqqa kO‘chsa shuncha kO‘p ish bajariladi. Shunday qilib ish harakatni kuch vositasida biror jismdan boshqa jismga uzatish O‘lchovi xizmatini bajaradi. Eng sodda holda doimiy kuch ta’sirida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kO‘chayotgan jismniig bajargan mexanik ishi (A), kuchning (F) kO‘chish masofasiga (S) kO‘paytmasiga teng. A=F S (6.1) Agar jismga qO‘yilgan kuch yo‘nalishi kO‘chish masofasi bilan biror  burchak tashkil etsa, F kuchni kO‘chish masofasi bo‘yicha yO‘nalgan F1 va unga tik bo‘lgan F2 tashkil etuvchilargaajratamiz. Bunday holda kuchning faqat F1 tashkil etuvchisigina ish bajaradi. F1=Fcos (6.2) bo‘lganligi uchun A=FScos (6.3) 6.1-rаsm Demak, kuchning ta’sir yo‘nalishi,kO‘chish yo‘nalishi bilan mos kelmagan holda ish F kuch va u qO‘yilgan nuqtaning kO‘chish masofasi va kuch bilan kO‘chish yo‘nalishi orasidagi  burchak kosinusining kO‘paytmasiga teng. Ish faqat son qiymati bilanginaxarakterlanadi ya’ni u skalyar kattalikdir. <90° ish musbat, >90° bo‘lsa manfiy bo‘ladi. Masalan: jism erkin tushayotganda (=0) og‘irlik kuchining bajargan ishi musbat, jism tik yuqoriga kO‘tarilayotganda (=180° ) og‘irlik kuchining bajargan ishi manfiy bo‘ladi. Agar kuch butun yo‘l (kO‘chish) davomida ham kattaligi, ham yo‘nalishi jihatidan O‘zgara borsa u holda yo‘lning har bir kichik ds qismida bajarilgan ish dA=FdS (6.4) ni hisoblab, sO‘ngra butun yo‘lni bosib O‘tish davomida bajarilgan ishlarni jamlash lozim. Boshqachaaytganda F ni ds bo‘yicha yo‘lning boshi (1) dan oxiri (2) gacha integrallash lozim:     2 1 2 1 Fds dA A (6.5) (6.1)-dan ko‘rinadiki, ish son jihatdan F=F(s) grafigidagi yuza bilan aniqlanar ekan. X.B sistemasida F kuchni 1 Nyutonlarda, masofani m-larda ifodalansa, ishning birligi 1 Joullarda O‘lchanadi, ya’ni 1J=1N1m. Bundan tashqari amalda ishning 1kGm kabi birligi ham ishlatiladi. 1kG=9,8 N bo‘lganligi uchun 1kGm=9,81 J ga teng. Amalda kO‘pincha kuchning bajargan ishinigina bilish etarli bo‘lmasdan, qancha vaqtda bajarilganligini bilish uchun quvvat tushunchasi kiritiladi. Quvvat deb, bajarilgan ishning shu ishni bajarish uchun ketgan vaqtga nisbatigaaytiladi. dt N  dA (6.6) Agar kuch vaqt O‘tishi bilan O‘zgara borsa, quvvat ham O‘zgara boradi. Bu 6.2-rаsm vaqtda har bir ondagi oniy quvvat to‘g‘risida gapirish mumkin. (6) ni inobatgaolsak: F dt Fds N   (6.7) ya’ni quvvat kuchning harakat yo‘nalishidagi proeksiyasi bilan, harakat tezligining kO‘paytmasiga proporsionaldir. Quvvat birligi qilib, vatt (W) qabul qilingan. s J W 1 1 1  Amalda, kO‘pincha quvvatning ot kuchi birligi ishlatiladi. 1 ot kuchi=75 s kGkuch=736 W ga teng. Kinetik energiya. Mexanikada ikki xil energiya to‘g‘risida gapirish mumkin. Kinetik va potensial energiya. Mexanik sistemaning harakatiga bog‘liq bo‘lgan energiyasiga kinetik energiya deyiladi. Tashqi kuch ta’sirida jismning kinetik energiyasi O‘zgaradi. dwk=Fdr=F dt. (6.8) F dt d m )  (  ekanligidan: dwk= dP= m dP P (6.9) PdP= 2 ) ( d p2 dwk= ) ( 2 1 m d P2 m PdP  (6.10) Nyuton mexanikasida m tezlikka va impulsga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun 2 2 2 2  m m P wk   (6.11) Agar sistema mi ta moddiy nuqtalardan iborat bo‘lsa:    n i i i k m W 1 2 2  (6.12) Shunday qilib, kinetik energiya jismning massasiga va uning tezligiga bog‘liq. Uning avvalgi tezliklariga bog‘liq emas, ya’ni jismning oniy tezligining O‘zgarishi bilan uning kinetik energiyasi ham O‘zgaradi. Kinetik energiya ham boshqa energiyalar kabi: [W]=kgm/s2=km/s2m=J. larda O‘lchanadi. Agar jism aylanma harakat qilayotgan bo‘lsa u holda, uning kinetik energiyasi massa markazining ilgarilanma va aylanma bo‘ylab harakat kinetik energiyalarining yig‘indisidan iborat. Aylanma harakat kinetik energiyasi 2 Wk  I2 bo‘lganligi uchun (I-jismning inersiya momenti,  -burchakli tezligi) natijaviy energiya 2 2 2 2   I m Wk   ga teng bo‘ladi. Potensial energiya. Potensial kuchlarning bajargan ishi sistemaning bir holatdan ikkinchi holatga O‘tish yo‘liga bog‘liq bo‘lmasdan boshlang‘ich va oxirgi holatdagi potensial energiyasiga bog‘liq A12=W1W2 (6.13) yoki  A=-dW (6.14) Agar tashqi kuchlar vaqtga bog‘liq ravishda O‘zgarsa, u holda sistemaning potensial energiyasi ham vaqtga bog‘liq bo‘ladi. t dt d d W A      (6.15) Shunday qilib, potensial energiya jismning potensial maydonida bir holatdan ikkinchi holatga O‘tishidagi vaziyatiga bog‘liq bo‘lgan energiyaga aytiladi. F dz F dy F dx z dz d d W y dy d d W x dx d d W Fdr A d z y x                    (6.16) x d d W Fx     y d d W Fy     (6.17) z d d W Fz     gradW z k d d W y j d d W x i d d W F                    (6.18) F=gradWn yoki d z k W d y j d d x i d d W F n                   (6.19) Og‘irlik kuchining potensial energiyasi dWn=-Fzdz: Wn=mg(h2-h1), agar h1=0 bo‘lsa va h2h1=h deb olsak, Wp=mgh (6.20) kelib chiqadi. Bu formuladan ko‘rinadiki, jism ixtiyoriy egri chiziq bo‘yicha siljiganda og‘irlik kuchining bajargan ishi jism bosib O‘tgan yo‘lning boshlang‘ich va oxirgi nuqtalari balandliklarning farqiga teng bo‘lgan h kesma bo‘yicha aniqlanadi. Vertikal siljiganda bajarilgan ish bosib O‘tilgan yo‘lning shakliga va uzunligiga bog‘liq emas, faqat yo‘lning oxirgi nuqtasi boshlang‘ich nuqtasiga nisbatan qancha balandlikda joylashganligiga bog‘liq. Bunday kuchlarga potensial kuchlar deyiladi. Moddiy nuqta potensial kuchlar maydonida harakatlanganda potensial energiya tushunchasini kiritish mumkin. Shu kattaliklarning ayirmasi orqali kuchlarning bajargan ishi aniqlanadi. A12=Wp1Wp2 (6.21) Faqat potensial kuchlarning bajargan ishi sistemaning boshlang‘ich va oxirgi vaziyatigagina bog‘liq. Lekin, tabiatdagi barcha kuchlar ham potensial bo‘lavermaydi. Masalan, ishqalanish kuchlari potensial kuch emas. Shu sababli ishqalanish kuchlari mavjud bo‘lgan hollarda ishni potensial energiyalar ayirmasi sifatida ifodalash mumkin emas. ) ( ) ( r2 G Mm Fr r   gravitasion maydon potensial energiyasi r Wn  G Mm (6.22) ga teng. Kulon 2 2 1 0 4 1 ( ) r q q F r      ta’sir maydoning potensial energiyasi r q q Wn 2 1 0 4 1       (6.23) Guk qonuniga binoan, elastiklik kuchi F=kx ta’siridagi potensial energiya dW=Fdx yoki 2 Wn  kx2 (6.24) ga teng ekanligi ko‘rinadi. Mexanik energiyaning saqlanish qonuni. Berilgan sistema n ta moddiy nuqtadan iborat bo‘lsin va unga faqat potensial kuchlar ta’sir qilayapti, deb faraz qilaylik. U holda sistemaning holati uning ma’lum bir O‘rinda turishi (konfiguratsiyasi) va uni tashkil qilgan moddiy nuqtalarga qO‘yilgan kuchlar ish bajaradi. Moddiy nuqtalarning tezliklari va ularning joylashishi bilan bir-biridan farq qiladigan bu ikki holatning har birida sistema Ek1 va Ek2 kinetik, Ep1 va Ep2 potensial energiyaga ega bo‘lsin. U holda mexanik ishni shu ikki holat kinetik energiyalar farqi A12=Ek2Ek1 (6.25) yoki potensial energiyalar farqi A12=Ep1Ep2 (6.26) sifatida aniqlanadi. Bu ikki tenglikdan Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 (6.27) Sistemaning kinetik va potensial energiyalarning yig‘indisi uning to‘la mexanik energiyasini tashkil qiladi. Ek+Ep=E (6.28) Ek1+Ep1=E1 Ek2+Ep2=E2 U holda (6.27) ifoda E2=E1 (6.29) ko‘rinishni oladi, ya’ni faqat potensial kuchlar ta’sir qiladigan yakkalangan sistemaning to‘la energiyasi O‘zgarmas saqlanadi. Bu xulosa mexanik energiyaning saqlanish qonuni deb ataladi. Demak, sistema bir holatdan ikkinchi holatga O‘tganda uning kinetik energiyasi ham, potensial energiyasi ham O‘zgarishi mumkin. Lekin ularning yig‘indisi O‘zgarmay saqlanadi. Masalan: kinetik energiya Еk miqdorga ortsa, potensial energiya Еn = Еk miqdorga kamayadi va aksincha. Ammo shu narsani unutmaslik kerakki, yakkalangan berk sistemada energiyaning saqlanish qonuni sistemaga ta’sir qilayotgan kuchlar potensial bo‘lgandagina O‘rinli bo‘ladi. Potensial bo‘lmagan kuchlar mavjud bo‘lsa energiyaning saqlanish qonuni bajarilmaydi. Energiyaning saqlanish va bir turdan ikkinchi turga O‘zgarish qonuni tebranuvchan m massali matematik mayatnik yoki h balandlikka kO‘tarilgan m massali jism misolida ko‘rish mumkin. Endi yakkalanmagan sistemani ko‘raylik va ichki kuchlar orasida potensial bo‘lmagan (ishqalanish kuchlari) bor deb faraz qilaylik. Moddiy nuqtaga ta’sir qiluvchi kuchlarni uch guruhga ajratamiz: 1) ichki potensial kuchlar, 2) potensial bo‘lmagan ishqalanish kuchlari, 3) sistemaga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlar. U holda kinetik energiyaning O‘zgarishi Ek2Ek1=Aichki pot. +Aishk.+Atashqi (6.30) ga teng bo‘ladi. Potensial energiyaning O‘zgarishi esa faqat potensial kuchlarning ishiga bog‘liq. Ep1Ep2=Aichki pot. (6.31) (6.30) va (6.31) tengliklardan Ek2+Ep2( Ek1+Ep1)=Atashqi+Aishq. (6.32) E2E1=Atashqi+Aishq. (6.33) deb yozish mumkin. (6.33) formuladan ko‘rinadiki, sistemaning to‘la mexanik energiyasining O‘zgarishi tashqi kuchlar va ishqlanish kuchlari bajargan ishlarning yig‘indisiga teng. Bundan ko‘rinadiki, sistemaning to‘la mexanik energiyasining O‘zgarishi tashqi va ishqalanish kuchlarining bajarilgan ishiga teng bo‘lar ekan. Agar tashqi va ishqalanish kuchlarining bajargan ishining yig‘indisi musbat bo‘lsa yakkalanmagan mexanik sistemasining energiyasi ortadi, agar u ishlar yig‘indisi manfiy bo‘lsa kamayadi. Ma’lumki, ishqalanish kuchlarining ishi har doim manfiy bo‘ladi, ya’ni ishqalanish kuchi hamma vaqt sistemaning to‘la mexanik energiyasining kamayishiga sabab bo‘ladi. Impuls. Jism va kuch impulslari. «Impuls»-lotincha impulsus sO‘zidan kelib chiqqan bo‘lib, lug‘aviy ma'nosi «turtki» demakdir. Mexanikada ikki narsaga impuls atamasi qO‘llaniladi: jismga va kuchga. Jism impulsi deb, jism massasininig uning harakat tezligiga kO‘paytmasiga son jihatdan teng bo‘lgan vektor kattalikka aytiladi:   p  m (5.1) Jism impul'sining yo‘nalishii jism tezligi yo‘nalishii bilan mos tushadi. XBS da jism impuls birligi qilib 1kg massali jiemni 1m/s tezlik bilan harakatlanadigan jism impul'si qabul qilingan, ya'ni [р] =1[m] = 1kg •1m/c = 1kg m/c Kuch impul'si deb, jismga ta'sir etayotgan kuchninig shu kuch ta'sir etgan vaqt oralig‘i qiymatiga kO‘paytmasiga son jihatdan teng bo‘lgan vektor kattalikga aytiladi, ya'ni F•Δt. Kuch impul'sining yo‘nalishii kuch yo‘nalishii bilan mos tushadi. XBS da kuch impul'sining birligi sifatida 1 sekund davomida ta'sir kiluvchi 1 Nyuton kuch impulsi qabul qilingan, ya'ni: I=[F•Δt]=1 N•1c = 1 N•c Tinch turgan m massali jismga yagona F O‘zgarmas kuch ta'sir qilayotgan bo‘lsin. Δt ta'sir vaqt ichida jism tezligi v1 va v2 O‘zgarsin. U holda jismga ta'sir qilgan kuch impul'si jism impul'sining O‘zgarishiga teng: FΔt = mv2 -mv1 (5.2) (2) ifodaning O‘ng tomoni jism impul'sining O‘zgarishini ifodalaydi, ya'ni Δp = mv2-mv1=p2-p1 (5.3) (2) va (3) ifodalar asosida t p F    (5.4) ga ega bo‘lamiz. Demak, vaqt birligi ichida jism impul'sining O‘zgarishi shu jismga ta'sir etayotgan kuchga son jihatdan teng. Impulsning saqlanish qonuni. Impul'sning juda qiziqarli va muhim xossasi borki, bunday hossaga ega bo‘lgan fizik kattaliklar uncha kO‘p emas. Bu xossa uning saqlanish yoki O‘zgarmay qolish xossasidir. Saqlanish hossasining mohiyati shundan iboratki, impul's bir jismdan boshqa jismga O‘tishi mumkin, bu uning yO‘qolmasligini va uning O‘zgarmay qolishini bildiradi. Impul'sning saqlanish xossasi qanday sharoitda bajariladi? Ikki yoki undan kO‘p jismlar O‘zaro ta'sirlashayotgan bo‘lsin. Fizikada ta'sirlashayotgan jismlar guruhiga jismlar sistemasi deyiladi. Sistemaga kiruvchi jismlar orasidagi O‘zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar, sistemadagi jismlarning sistemadan tashqaridagi jismlar bilan O‘zaro ta'sirlashishi natijasida yuzaga keluvchi kuchlarga tashqi kuchlar deyiladi. Sistemadagi jismlar faqat bir-biri bilan O‘zaro ta'sirlashsa yoki sistemaga ta'sir qilayotgan tashqi kuchlarning ta'siri O‘zaro muvozanatda bo‘lsa, bunday jismlar sistemasi yopik, sistema deb ataladi. Yopiq sistemada impul'sning saqlanish xossasini tekshirish uchun quyidagi misolni qarab chiqaylik. Bizning yopiq sistemamiz gorizontal rel'slar ustida ayni paytda tinch turgan, engil siljiy oladigan ikkita har xil aravachalardan iborat bo‘lsin (5.1-rasm). 5.1-rаsm Aravachalarga turli xil tezliklar berib, bir-biriga tomon harakatga keltiraylik. To‘qnashishdan oldin chap va O‘ng tomonida harakatlanayotgan aravachalarning impul'slari mos ravishda va ga teng bo‘lsin. U holda aravachalar to‘qnashguncha ularning yig‘indi impul'si ga teng bo‘ladi. Aravachalar nihoyat to‘qnashadi. N'yutonning uchinchi qonuniga binoan to‘qdiashish paytda chap tomondagi aravachaga kuch ta'sir qiladi va ayni paytda O‘ng tomondagi aravachaga esa kattalik jihatidan teng bo‘lgan, lekin qarama-qarshi yO‘nalgan kuch ta'sir qiladi, ya'ni 1F  =- F2  . Kuchlarning ta'sirlashish vaqti Δt ga teng bo‘lsa, bu ta'sirlashuv natijasida aravachalarning tezliklari O‘zgaradi. Chap va O‘ng tomondagi aravachalarning to‘qnashuvidan keyingi tezliklari mos ravishda 1u va 2 u bo‘lsin. Har bir aravachaning impul'sining O‘zgarishi quyidagicha yozamiz:          2 2 2 2 2 1 1 1 1 1       m m u t F m m u t F (5.5) Binobarin 1F  =- F2  ekanligini inobatga olsak. ) ( 2 2 2 2 1 1 1 1       m m u m m u     (5.6) ga ega bo‘lamiz. (6) ifodani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: ) ( 2 2 2 2 1 1 1 1       m m u m m u     (5.7) (5.7) ifodaning O‘ng tomoni to‘qnashuvgacha bo‘lgan aravachalarning impul'slarining yig‘indisidan, chap tomoni esa to‘qnashuvdan keyingi aravachalarnkig impul'slarining vektor yig‘indisidan iborat. (5.7) ifodada ko‘rinib turibdiki, jismlar sistemasining to‘la impul'si to‘qnashuvgacha qanday bo‘lsa, to‘qnashuvdan keyin ham shunday qolyapti. Demak, const m m   2 2 1     (5.8) Bu ifoda impul'sning saqlanish qonunini ifodalaydi va u quyidagicha ta'riflanadi: yopiq sistemadagi barcha jismlar impul'slarining vektor yig‘indisi O‘zgarmasdir. Impul's saqlanish qonuni tabiatda va texnikada keng aks etuvchi qonundir. Oʻzgaruvchan massali jismlar harakati. Tabiatda shunday jismlar borki, ularning harakati davomida massalari O‘zgara boradi. Masalan: kO‘chada suv sepuvchi avtomobil yoki platformadan ketayotgan qum tushuruvchi poezd sostavi, raketalarning erdan kO‘tarilishdagi harakati. Bu hollarda harakatlanuvchi jismning massasi O‘zgaruvchanligi tufayli ularning, harakat tezliklari ham O‘zgaradi. Ana shunday massasi harakat davomida O‘zgaruvchan jismlarning harakat qonuniyatlari I.V.Meshcherskiy va K.E.Siolkovskiy tomonidan O‘rganilgan edi. Misol sifatida kO‘chaga suv sepuvchi avtomobil harakatini olib qaraylik. Avtomobilning suv bilan birgalikdagi masasi M vaqt O‘tishi bilan kamaya boradi.    dt dM (5.9) yoki massaning saqlanish qonunini quyidagicha yozish mumkin.  0  dt dM  (5.10) bunday dM avtomobilning suv bilan birgalikdagi M massaning dt vaqtda kamayishi, dt avtomobildan sepilayotgan suvning dt vaqtdagi massasi. (5.9) formuladagi minus ishoraavtomobildagi suvning massasi vaqt O‘tishi bilan kamayayotganligini bildiradi. Ana shunday massasi O‘zgaruvchan sistemaga harakat miqdorining saqlanish qonunini tadbiq qilaylik. Biror boshlang‘ich t vaqtdaavtomobilning massasi M, tezligi  bo‘lsin. Uning shu vaqtdagi harakat miqdori M bo‘ladi. t+dt vaqtda uning massasi M dt  ga kamayadi va tezligi  +d gaortadi. Sepilayotgan suvning massasi dt  , uning erga nisbatan tezligi  + ` bo‘ladi. U holda t+dt vaqtdagi harakat miqdori (M dt  )( +d )+ dt  ( + `) ga, uning O‘zgarishi esa (M dt  )( +d )+ dt  ( + `)M son jihatdan kuch impulsi Fdt ga teng, ya’ni (M dt  )( +d )+ dt  ( + `)M =Fdt (5.11) (5.10) formulada dt  d hadning juda kichik miqdor ekanligini hisobgaolib, uni inobatgaolmasak Md + 'dt =Fdt yoki M dt d =F '  (5.12) ni hosil qilamiz. Ana shu tenglama massasi O‘zgaruvchan jismlar uchun Meshcherskiy tenglamasi deyiladi. '   ga reaktiv kuch deyiladi. Shunday qilib, massasi O‘zgaruvchan jism harakatida jism massasining jism tezlanishiga kO‘paytmasi tashqi ta’sir kuchdan reaktiv kuchning ayrilganiga teng. Bunda chiqarib tashlanuvchi massaning reaktiv kuchi massa sarfi  ni chiqarib tashlanuvchi zarralarning nisbiy harakat tezligi ' ga kO‘paytmasiga teng. Suvning chiqarib tashlanishida erishilgan ' tezlik tufayli avtomobilga qo‘shimcha reaktiv kuch ta’sir qiladi. Reaktiv kuch chiqarib tashlanayotgan zarralarning jismdan chiqib ketish tezligiga qarama-qarshi yO‘nalgan. Turboreaktiv va havo reaktiv dvigatelli samolyot motorlarning tortish kuchi reaktiv kuch hisobiga hosil qilinadi. (4) formuladan foydalanib uchish vaqtida O‘z yo‘lida havoolib, uni siqib, yoqilg‘ini yoqib va uni qizigan gazlar ko‘rinishida katta tezlik bilan orqaga tashlovchi turboreaktiv dvigatelli samolyotlarning tortish kuchini aniqlash mumkin. Turboreaktiv dvigatelda havoni siquvchi kompressor mavjud bo‘lib, u chiqarib tashlayotgan gazlar oqimi yo‘lida joylashgan turbina vositasida harakatga keltiriladi. Havo-reaktiv dvigateli O‘zgaruvchan kesimli trubadan iborat bo‘lib, unda yoqilg‘i samolyotning harakati natijasida sO‘ruvchi va siquvchi havoda yoqiladi. Ma’lumki, reaktiv dvigatel birlik vaqtida qancha havoolsa, O‘shancha chiqarib tashlaydi. Misol uchun samolyot  tezlikda uchayotgan bo‘lsin. U holda har sekundda h  havo miqdori olsa shuncha havo miqdorini chiqaradi. Bu vaqtdaorqaga qarab h   reaktiv kuch samolyotga ta’sir qiladi. Gazlar oqimini chiqarishda (havo bilan birga yoqilg‘i mahsuloti ham) oldinga qarab unga   '    h  yo ga teng bo‘lgan reaktiv kuch ham ta’sir qiladi. Demak, samolyot dvigatelining oldinga yO‘nalgan natijaviy reaktiv kuchi   '    h  yo  h   = h    ' '     h   (5.13) ga teng. Amalda h yo    bo‘lganligi uchun oldinga ta’sir etuvchi reaktiv kuchni fp= h    '  (5.14) deb hisoblash mumkin. Shunday qilib, samolyot dvigateli soplosidan chiqayotgan gazlar tezligi ' samolyot tezligi  dan qancha katta bo‘lsa, samolyot dvigatelining reaktiv tortish kuchi shuncha katta bo‘ladi. Reaktiv kuch hisobiga harakatlanadigan raketalarda harakat tezligining O‘zgarishi harakat davomida massaning O‘zgarishi (kamayishi) tufayli harakat miqdorining O‘zgarishigaasoslangan. Faraz qilaylik, boshlang‘ich paytda raketaning massa M0 bo‘lsin. U holda t vaqtda M=M0 t  bo‘ladi. F=0 bo‘lganligi uchun (5.12) formulani '  dt   M d (5.15) deb yozish mumkin. Bundan dt t d M ' ) ( 0       yoki t M dt d        0 ' (5.16) (5.16) ning chap tomonini  0 dan  gacha, O‘ng tomonini 0 dan t gacha integrallasak     M M t M M 0 0 0 0 ln ln ln ' 1          yoki ' 0 0     Me M (5.17) (5.17) formula K.E.Siolkovskiy tomonidan chiqarilgan bo‘lib, Siolkovskiy formulasi deb yuritiladi. Bu formuladan ko‘rinadiki, agar M massa tezlik berish kerak bo‘lsa, u holda raketaning boshlang‘ich massasi (boshlang‘ich tezlik  0 bo‘lganda u nolga teng bo‘lishi ham mumkin) M0 ga teng bo‘lishi kerak. MO‘ljallangan tezlik  ning ortishi bilan M0 boshlang‘ich massa eksponensial ravishdaorta boradi.   0>> ’ bo‘lsa М М 0 nisbat juda katta bo‘ladi. 5.2-rаsm Bu esa tezligi 10km/s tartibdagi tezliklarga erishadigan kosmik raketalarni yasashdaasosiy texnikaviy qiyinchiliklarni yuzaga keltiradi. Otilib chiquvchi gazlarning tezligini oshirish boshlang‘ich massani ancha kamaytirish imkonini beradi.