IV
-tip klassik sohaning hajmi
Ushbu bo‘limda biz to‘rtinchi tip klassik
RIV n
soha va uning xossalarini
o‘rganamiz. Bu soha Li shari deb ham ataladi. Yuqorida aytib o‘tganimizdek
to‘rtinchi tip klassik
RIV n
soha (Li shari)
2
:
2
1 0,
1 .
n
IV
z
zz
zz
z
n
z
R
C
(1)
shartni qanoatlantiruvchi n o‘lchamli vektorlardan tashkil topgan, bu yerda z
vektor z vektorning transponerlanganidir. To‘rtinchi tip klassik
RIV n
sohaning
ostovi ushbu ko‘rinishda aniqlanadi:
2
:
2
1 0,
1 .
n
IV
z
zz
zz
z
n
z
C
(2)
Biz Li sharini bir tengsizlik orqali ifodalashimiz ham mumkin. Birinchi (1)
munosabatni quyidagicha qayta yozib olamiz
2
2
2
2
1
1
zz
zz
zz
zz
.
(3)
(3) munosabatdan
1
zz
(4)
ekanligi kelib chiqadi.
(1) tengsizlikning birinchi qismi quyidagi ifodani ko‘rsatadi, chunki
'
zz
zz
2
2
1
zz
zz
zz
.
(5)
Barcha z vektorlar (1) tengsizlikni qanoatlantirganligi uchun (5) tengsizlikni ham
qanoatlantiradi.
Boshqa tomondan (5) tengsizlikni qanoatlantiruvchi har bir vektor (1)
tengsizlikni ham qanoatlantiradi.
Bundan so‘ng Li shari hajmini hisoblaymiz.
Teorema.1.
1
va
n
sonlar uchun ushbu
2
2
,
1
IV n
Ln
zz
zz
zz
R
2
2
1
1
1
1
,
2
n
n
Г
zz
zz
zz
z
n
N
Г
n
n
(6)
formula o‘rinli.
Xususan,
0
bo‘lgan holatda to‘rtinchi tip klassik
IV
n
R
sohaning hajmi
uchun quyidagi formula kelib chiqadi:
IV
1
1
2
!
n
n
n
V
n
R
. (7)
Isbot: Isbotni matematik induksiya usulida olib boramiz.
1
n hol uchun teorema
o‘rinli. Haqiqatdan ham z
x
iy
deb olsak (bunda x va y haqiqiy sonlar), u holda
ushbu
2
2
zz
zz
x
y
tenglik o‘rinli, bu esa to‘rtinchi tip klassik
IV
n
R
soha kompleks tekslikdagi birlik
doirani ifodalashini bildiradi. Shunday qilib,
2
2
2
2
1
1
,
1
1
x
y
L
x
y
dxdy
1
n holat uchun teorema isbotlandi.
n 2
holda ham yuqoridakidek z
x
iy
kompleks sonni olamiz (bunda x va y
haqiqiy vektorlar). U holda (5) tengsizlik quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
2
1
2
'
xx
yy
xx yy
xy
. (8)
Shuning uchun
2
2
,
1
'
' 2
'
'
'
IV n
Ln
xx yy
xx yy
xy
R
2
2
1
'
' 2
'
'
'
,
xx yy
xx yy
xy
xy
bu yerda integral (8) tengsizlik orqali tasvirlangan sohada hisoblanadi. Har bir
fiksirlangan x nuqta uchun, quyidagiga o‘xshash determinanti birga teng bo‘lgan
ortogonal R matritsa topiladi:
, 0,
,0
xR
xx
.
,
yR
deb belgilash kiritamiz, bu yerda
biror haqiqiy son va
n 1
o‘lchovli vektor.
Shunda (8) formula quyidagicha o‘zgaradi:
2
2
2
1
2
2
xx
xx
xx
xx
(9)
2
( , , )
,
1
2
n
x
L
xx
xx
2
1
2
xx
xx
d x
,
bu yerda integral (9) doira orqali tasvirlangan sohada hisoblanadi. Quyidagicha
almashtirish bajaramiz:
2
1
x
u
va
2
1
v
va ushbu
1
1
2
2
1
,
1
n
Ln
d
1
2
1
2
uu
vv
uu vv
uu
vv
uu vv
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
n
Г
n
uu
vv
uu vv
uv
P
Г
n
(10)
formulaga ega bo‘lamiz. Bu yerda
1
2
0,
0
1
2
1
2
uu
vv
uu vv
u
v
P
uu
vv
uu vv
uu
vv
uu vv
uv
Agar
2
uu , 2
vv
ko‘rinishdagi belgilashni amalga oshirsak, u holda quyidagi
munosabat hosil bo‘ladi:
2
2
1
0,
0
1
1
P
d d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
n
n
u
u
n
u
du
du
u
u
2
2
2
3
3
2
2
2
3
0
n
n
v
v
n
v
dv
dv
v
v
, (11)
ya’ni
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
n
n
u
u
n
u
du
du
u
u
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
0
2
2
n
n
n
n
n
n
u
u
n
u
du
du
n
u
u
. (12)
(12) tenglikni inobatga olsak (11) formulani ushbu
1
2
3
2
2
2
1
2
1
0,
0
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
P
d d
n
n
Г
Г
1
2
3
2
2
1
0,
0
2
1
1
2
2
n
n
n
n
Г
Г
2
2
2
1
n
n
d d
,
ko‘rinishda ifodalashimiz mumkin, yoki
,
deb belgilash kiritsak
1
2
2
2
3
2
2
2
0
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
d d
P
n
n
Г
Г
1
1
1
4
6
2
2
2
2
2
2
0
2
1
1
.
1
2
2
n
n
n
d
d
n
n
Г
Г
Integral ichida
2
2
2
(
)
1
,
2
2
1
1
1
kabi almashirish bajarib, natijada
1
4
5
1
1
2
1
2
2
2
0
0
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
P
d
d
n
n
Г
Г
1
1
4
4
2
2
1
1
2
.
1
1
2
2
2
n
n
Г
n
Г
Г n
n
n
Г
n
Г
Г
Г
n
ifodaga ega bo‘lamiz.
Bu formulani (10) integralga olib borib qo‘ysak, ushbu
1
2
2
3
1
1
1
,
1
2
1
2
2
n
n
n
Г n
Г
n
Г
L
n
n
Г
n
Г
n
Г
Г
munosabatga ega bo‘lamiz (bu yerda biz
1
1 2
2
1
Г 2x 2
2
x
Г x Г x
Lejandr
formulasidan foydalandik).
