KINEMATIKA ASOSLARI Ma’ruza rejasi: Kinematikaning elementlari. Moddiy nuqta, sanoq sistemasi, radius-vektor va traektoriya tushunchalari. Tezlik, Tezlanish. Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli harakati. Moddiy nuqtaning aylana bo‘ylab harakati. Burchakli tezlik va burchakli tezlanish. Egri chiziqli harakatda tezlik va tezlanish. Mexanikaning jismlar harakati qonunlarini bu harakatni vujudga keltiruvchi sabablarsiz o‘rganadigan bo‘limiga kinematika deb ataladi. Biz kundalik hayotimizda jismlarning harakati bilan bog‘liq bo‘lgan ko‘plab hodisalarni uchratamiz. Agar ushbu hodisalarni kuzatsak jismning mexanik harakati fazoning yoki tekislikning biror qismida va vaqt oralig‘ida sodir bo‘lganini aniqlaymiz. Vaqt o‘tishi bilan jismning boshqa jismlarga nisbatan vaziyatini o‘zgartirishiga mexanik harakat deb ataladi. Jismning harakati o‘z-o‘zidan yuzaga kelmaydi. U biror ta’sir tufayli fazodagi vaziyatini o‘zgartirishi mumkin. Ammo jism harakatining kinematikasini o‘rganishda harakatni yuzaga keltiruvchi sabablarni inobatga olish shart emas. Mexanikaning jism harakatini mazkur harakatga ta’sir ko‘rsatuvchi sabablar bilan bog‘lamagan holda o‘rganuvchi qismi kinematika deb ataladi. Kinematika moddiy nuqta harakatini ko‘pincha geometrik nuqtai nazardan tekshiradi. Ko‘pincha, jismlarning harakatini bayon qilganda ularning o‘lchamlarini hisobga olmaslik mumkin. Bunday hollarda moddiy nuqta tushunchasi kiritiladi. Moddiy nuqta deb, kuzatilayotgan berilgan sharoitda o‘lchamlarini inobatga olmasa ham bo‘ladigan jismlarga aytiladi. Masalan, Yerning Quyosh atrofidagi harakatini tekshirishda uni moddiy nuqta deb olsa bo‘ladi. Chunki, Yerning radiusi (R=6400 km) Yer va Quyosh orasidagi masofaga (l=1,5·108 km) ga nisbatan juda kichik bo‘lgan bu sharoitda Yerning kattaligini va o‘lchamlarini mutlaqo e’tiborga olmaslik mumkin. Lekin, Yerdagi jismlar harakatini o‘rganishda Yerning moddiy nuqta deb qarash mumkin emas. Har qanday jismning fazodagi o‘rni va harakati to‘g‘risida ma’lumot olish maqsadida sanoq sistema degan tushuncha kiritiladi. Sanoq jism, unga bog‘langan koordinatalar sistemasi va vaqtni o‘lchaydigan asbob birgalikda sanoq sistema deyiladi. Sanoq sistema hosil qilishda sanoq boshi tanlab olinadi va unga nisbatan nisbiy tinch yoki to‘g‘ri chiziqli tekis harakat qilayotgan jism olinadi. Bu jism sanoq jism deb ataladi. Odatda, sanoq jism bilan bog‘langan koordinatalar sistemasi sifatida Dekart koordinatalar sistemasi olinadi. 1-rasmda ko‘rsatilgandek sanoq boshini kuzatilayotgan jism bilan bog‘lovchi yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq radius-vektor deb ataladi. 1 – Rasm. Bu holda, jism turgan M nuqtaning vaqtning istalgan paytidagi o‘rni biror shart asosida olingan masshtabda OX o‘q bo‘yicha o‘lchangan x, OY o‘q bo‘yicha o‘lchangan y va OZ o‘q bo‘yicha o‘lchangan z masofalar bilan to‘liq aniqlanadi. x, y, z kesmalar M nuqtaning koordinatalari bo‘ladi1. Moddiy nuqtaning fazodagi o‘rnini M(x, y, z) ko‘rinishda belgilanadi. Agar jism fazoda harakatlansa, radius-vektor koordinatalari vaqtga bog‘liq ravishda usluksiz o‘zgaradi. U o‘z harakati davomida fazoning cheksiz ko‘p nuqtalaridan o‘tadi. Shu nuqtalarning geometrik o‘rniga yoki harakatlanayotgan jismning berilgan sanoq sistemasida chizib qoldirgan iziga harakat trayektoriyasi deyiladi. Masalan, reaktiv samolyot dvigatelidan chiqqan zararli gazlar yoki tutun iz qoldiradi. Bu samolyotning harakat trayektoriyasidir. Agar trayektoriya to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqli harakat, yoki aksincha, traektoriya egri chiziqdan iborat bo‘lsa, egri chiziqli harakat deb ataladi. Fizik jismlar, maydonlar va fizik hodisalarning muayyan xossalarini ifodalovchi kattaliklar fizik kattaliklar deb ataladi. Fizik kattaliklarning barcha asosiy va hosilaviy birliklarining to‘plami birliklar sistemasi deyiladi. Xalqaro birliklar sistemasi–SI ga asosiy fizik kattaliklar sifatida: uzunlik, massa, vaqt, temperatura, modda miqdori, tok kuchi va yorug‘lik kuchi qabul qilingan. Bundan tashqari, bu sistemaga qo‘shimcha kattaliklar – yassi burchak va fazoviy burchak kiritilgan. Asosiy birliklar: Uzunlik, metr (m). Kripton-86 atomining 2R10 va 5D5 sathlari orasidagi o‘tishga mos bo‘lgan nurlanishining vakuumdagi to‘lqin uzunligidan 1650763,73 marta katta bo‘lgan uzunlik 1 metr deb qabul qilingan. Massa, kilogramm (kg). Kilogrammning xalqaro prototipining massasini 1 kilogram deb qabul qilingan. Vaqt, sekund (s). Seziy - 133 atomi asosiy holatining ikki o‘ta nozik sathlari orasidagi o‘tishiga mos bo‘lgan nurlanish davridan 9192631770 marta katta vaqt 1 sekund deb qabul qilingan. 1 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [7-8] Temperatura, Kelvin (K). Suvning uchlanma nuqtasini ifodalashlovchi termodinamik temperaturaning 1/273,16 ulishi 1 Kelvin deb qabul qilingan. Modda miqdori, Mol (mol). Uglerod – 12 ning 0,012 kg massasidagi moddaning miqdori 1 mol deb qabul qilingan. Elektr tokining kuchi, Amper (A). Bir amper tok vakuumdagi bir-biridan bir metr masofada joylashgan ikki parallel cheksiz uzun, lekin kesimi juda kichik to‘g‘ri o‘tkazgichlardan o‘tganda o‘tkazgichlarning har bir metr uzunligiga 2·10 –7 N Amper kuchi ta’sir qiladi. Yorug‘lik kuchi, kandela (Kd). 54·1013 Hz chastotali monoxromatik nurlanish chiqarayotgan manba yorug‘ligining energetik kuchi 1/683 W/sr ga teng bo‘lgan yo‘nalishdagi yorug‘lik kuchi 1 kandela deb qabul qilingan. Qo‘shimcha birliklar: Yassi burchak, radian (rad). Aylanada uzunligi radiusga teng bo‘lgan yoyni ajratadigan ikki radius orasidagi burchak 1 radian deb qabul qilinadi. Fazoviy burchak, steradian (sr). Uchi sfera markazida joylashgan va shu sfera sirtidan radius kvadratiga teng yuzli sirtni ajratuvchi fazoviy burchak 1 steradian deb qabul qilingan. Fizik kattaliklar – skalyar va vektor kattaliklarga bo‘linadi. Faqat son qiymatga ega bo‘lgan kattaliklar skalyar kataliklar deb ataladi. Masalan, vaqt, massa, ish, energiya va boshq. Son qiymati va yo‘nalishi bilan bilan aniqlanadigan kattaliklar esa vektor kattaliklar deyiladi. Misol qilib, tezlik, kuch, elektr maydon kuchlanganligi va boshqalarni keltirish mumkin. Son qiymati va yo‘nalishi bir xil bo‘lgan vektorlar o‘zaro teng bo‘ladi. Son qiymati teng, ammo qarama – qarshi yo‘nalgan vektorlar qarama – qarshi vektorlar deyiladi. Vektorlar ustida bajariladigan amallarga quyidagilar kiradi: a) Vektorlarning qo‘shish: a va b  vektorlarni qo‘shishda parallelogram qoidasidan foydalanamiz (2-rasm). 2-Rasm. Parallelogramning katta diagonali bo‘lgan c vektor yig‘indi vektor deyiladi: b a c      (1) b) Vektorlarni ayirish: Ikki a va b  vektorlarning ayirmasi c quyidagicha (2-rasm): b a c      (2) 3 – Rasm. s) Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi: a va b  vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb, bu vektorlar modullarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko‘paytmasiga aytiladi, ya’ni, a b cos a b      (3) d) Vektorlarning vektor ko‘paytmasi: a va b  vektorlarlaning vektor ko‘paytmasi c vektoriga teng: b a c      yoki  a b c      . (4) c vektorning yo‘nalishi parma qoidasi asosida aniqlanishi mumkin. Buning uchun parma dastasini a vektordan (ko‘paytiralayotgan vektorlarning birinchisidan) b  vektorga qisqa yo‘l orqali o‘tishdagi yo‘nalish bo‘yicha burilsa parmaning ilgarilanma harakati c vektorning yo‘nalishini ifodalaydi. Vektor ko‘paytma vektorlarning moduli son jihatdan yasalgan parallelogramning yuziga teng. c vektorning son qiymati a va b  vektorlar orqali chizilgan parallelogram yuziga tengdir, ya’ni  sin  a b c (5) Harakatlanayotgan moddiy nuqtaning fazodagi o‘rnini ifodalovchi x, y, koordinatalar va r radius-vektor vaqt o‘tishi bilan uzluksiz o‘zgarib turadi. Koordinatalarning va unga mos ravishda r radius-vektorning birlik vaqt oralig‘ida o‘zgarish miqdorini aniqlash uchun harakat tezligi degan tushuncha kiritilgan. Birliklik vaqt oralig‘ida ko‘chish vektorining o‘zgarishini ko‘rsatuvchi kattalik tezlik vektori deb ataladi. Ta’rifga binoan 4– rasmda berilgan ko‘chishning o‘zgarish tezligi quyidagicha. t r      (6) 4-Rasm. Amalda bosib o‘tilgan yo‘l S  ni shu yo‘lni o‘tish uchun ketgan vaqtga t  ga nisbati o‘rtacha tezlik deb ataladi. Tezlikning miqdorini va yo‘nalishini aniq ko‘rsatish uchun t  vaqt oralig‘i kamaytirib limit olinadi. dt r d t r t          0 lim  (7) Ushbu kattalik oniy tezlik vektori deb ataladi. Oniy tezlik vektori – radius vektordan olingan birinchi tartibli hosilaga teng. To‘g‘ri chiziqli harakatda ko‘chishning yo‘nalishi o‘zgarmas va uning moduli bosib o‘tilgan yo‘lga tengdir, ya’ni, dS dr   . To‘g‘ri chiziqli harakatda oniy tezlik bosib o‘tilgan yo‘l – ko‘chishdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng. t S     (8) Harakat davomida tezlikning miqdori va yo‘nalishi o‘zgarmas bo‘lsa, bunday harakat to‘g‘ri chiziqli tekis harakat deb ataladi. Vaqt birligi ichida tezlik vektoriningo‘zgarishiga tezlanish deb ataladi. Tezlanish vektori t a       (9) ifoda orqali aniqlanadi. Bunda, 1 2          tezlik vektorining o‘zgarishi. Tezlanish vektorini topish uchun (9) – ifodadan kichik vaqt oralig‘i uchun limit olinadi: 2 2 0 lim dt r d dt r d dt d dt d t t a                      (10) (3.5) – ifoda oniy tezlanish vektori bo‘lib, tezlik vektoridan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga yoki radius – vektordan vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilasiga teng. O‘zgaruvchan harakatda tezlik orttirmasi   0 bo‘lsa, harakat tezlanuvchan, aksincha   0 shart bajarilganda esa harakat sekinlanuvchan bo‘ladi. Jism tezligining harakat davomida faqat miqdori o‘zgarib, yo‘nalishi o‘zgarmas qolsa, bunday harakat to‘g‘ri chiziqli o‘zgaruvchan harakat deb ataladi. U holda, adt d   tenglamani berilgan vaqt chegarasida integrallaymiz:    t a t dt d 0 ) (    yoki    t t dt a 0 ) ( 0  (11) Agar harakat davomida a  const bo‘lsa, tezlik va tezlanish yo‘nalishi bir xil bo‘ladi va quyidagi,  at  0  (3.7) ifoda orqali aniqlanadi. Bunda 0  moddiy nuqtaning boshlang‘ich tezligi; tenglama a  0 da tekis tezlanuvchan, a  0 da esa tekis sekunlanuvchan harakatni ifodalaydi. Olingan ifodani dt ds   ifodaga qo‘yamiz va integrallaymiz:    t at dt s 0 0 ) ( va ushbu ifodaga ega bo‘lamiz: 2 2 0 at t s   (12) (12)-ifoda to‘g‘ri chiziqli o‘zgaruvchan harakatning yo‘l tenglamasini ifodalaydi. Egri chiziqli turli-tuman harakatlar orasida eng oddiysi jism (moddiy nuqta) ning aylana bo‘ylab harakatidir. Moddiy nuqtaning harakat trayektoriyasi aylana shaklida bo‘lsa, bunday harakat aylanma harakat deb ataladi.(5-rasm) Agar jism aylana bo‘yicha teng vaqtlar ichida teng yoylarni bosib o‘tsa, bunday harakat aylana bo‘ylab tekis harakat deyiladi, ya’ni: t s     ;     R s (13) bu yerda, s  - jismning t  vaqt davomida bosib o‘tgan yoyning uzunligi. Egri chiziqli harakatda jismning chiziqli tezligi hamma vaqt harakat trayektoriyasiga urinma bo‘lib yo‘nalgan bo‘ladi (5 – rasm). 5-Rasm. Agar jism aylana bo‘yicha teng vaqtlar ichida teng yoylarni bosib o‘tsa, bunday harakat aylana bo‘ylab tekis harakat deyiladi, ya’ni: t s     ;     R s (13) bu yerda, s  - jismning t  vaqt davomida bosib o‘tgan yoyning uzunligi. Egri chiziqli harakatda jismning chiziqli tezligi hamma vaqt harakat trayektoriyasiga urinma bo‘lib yo‘nalgan bo‘ladi (5 – rasm). Jism aylana bo‘ylab tekis harakat qilganda chiziqli tezlik vektori miqdor jihatdan o‘zgarmasdan, butun harakat davomida o‘z yo‘nalishini o‘zgartirib turadi. Shuning uchun, aylana bo‘ylab harakatlanayotgan jismning harakati chiziqli tezlikdan tashqari burchak tezlik deb ataladigan kattalik bilan ham ifodalanadi. Burchak tezlik haqida tushuncha hosil qilish uchun biror jismning aylana bo‘ylab tekis harakatini ko‘rib chiqaylik (6–rasm). Aylananing O markazidan jismning biror A nuqtasiga R radius o‘tkazaylik va jism bilan birga unga o‘tkazilgan radiusning harakatini kuzataylik. Jism aylana bo‘ylab harakatlanganda radius ham buriladi. Masalan, jism biror t  vaqt davomida A nuqtadan B nuqtaga ko‘chgan bo‘lsa, shu vaqt ichida radius   burchakka buriladi. Bu burchak jismning burilish burchagi deyiladi. 6– Rasm. Jismning vaqt birligi ichida burilish burchagi aylana bo‘ylab tekis harakatning burchak tezligi deyiladi2 , ya’ni: t     (13) Burchak tezlik vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lsa, bunday harakat aylana bo‘ylab tekis harakat deb ataladi. (13) - formulani ikkala tomonini R ga ko‘paytirib va    R s ekanini nazarga olib, chiziqli tezlikni burchak tezlik bilan bog‘lovchi munosabatga ega bo‘lamiz:     R (14) 2 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [5] 7– Rasm. Burchak tezligi o‘zgarishining shu o‘zgarish bo‘lgan vaqt oralig‘iga nisbati burchak tezlanishi deb aytiladi, ya’ni: t     (15) Burchak tezlanishning berilgan dt vaqtdagi qiymati: dt   d ga teng. Demak, burchak tezlanish burchak tezlikdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng ekan (7-rasm). Tekis aylanma harakatining burchak tezligini ham davr va chastota orqali ifodalash mumkin. Agar (13) formulada t  vaqt T davrga teng, ya’ni t Т bo‘lsa,    2  ekanligini hisobga olsak (13) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi: Т    2 (16) (16) formulada T davr chastotaning teskari ifodasi ( 1 ) bilan almashtirilsa:    2 (17) ko'rinishga keladi. Jism aylana bo‘ylab notekis harakatlanganda chiziqli tezlik bilan birga burchak tezlik ham o‘zgaradi. Shuning uchun, chiziqli tezlikni vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishini ifodalaydigan tezlanish chiziqli tezlanish yoki markazga intilma tezlanish deb ataladi: R a   2 (18) R  const bo‘lganda  burchak tezlikning o‘zgarishi faqat   chiziqli tezlikning o‘zgarishi tufayli bo‘ladi. Shuning uchun (13) formulaga asosan:      R va R      (19) (18) ifodani (19) formulaga qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz: R a t R t R            1 (20) Jismning aylana bo‘ylab tekis o‘zgaruvchan harakatining tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:        2 2 0 0 t t       (21) bu yerda, 0  - jism harakatining boshlang‘ich burchak tezligi.