KOMBINATORIKA ELЕMЕNTLARI. KOMBINATORIKA MASALALARI. YIG‘INDI VA KO‘PAYTMA QOIDASI Reja: 1. Kombinatorika masalalari. 2. Yig’indi qoidasi. 3. Ko’paytma qoidasi. Tayanch iboralar: Kombinatorika elеmеntlari. Yig’indi, Ko’paytma qoidasi. Ma’ruza matni 1.Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar. Kombinatorikada, asosan, chekli to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni to’plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin. 2.Yig’indi qoidasi. Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasi deb ataladi. 1) Agar A∩B =∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) (1) bo’ladi. Ya’ni kesishmaydigan A va B to’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng. 2) Agar A∩B≠∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (2) bo’ladi. Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada n(A∩B)=∅, ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q. 3) Yigindi qoidasi umumiy elementga ega bo’lgan uchta A, B, C to’plam uchun quyidagicha yoziladi: agar A∩B∩C = ∅bo’lsa, n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) (3) bo’ladi. (1) formula bilan yechiladigan kombinatorika masalasi umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: agar x elementni k usul, y elementni m usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, «x yoki y» elementni k + m usul bilan tanlash mumkin. Masalan, savatda 8 ta olma va 10 ta nok bor bo’lsa, 1 ta mevani 8 + 10 = 18 usul bilan tanlash mumkin. (2) formula bilan yechiladigan masala: 40 talabadan 35 tasi matematika imtihonini, 37 tasi rus tili imtihonini topshira oldi. 2-talaba ikkala fandan «2» oldi. Nechta qarzdor talaba bor? Yechish. A — matematika fanidan «2» olgan, B - rus tili fanidan «2» olgan talabalar to’plami bo’lsin. n(A) = 40 - 35 = 5 n(A∩B) = 2. n(B)= 40 - 37 = 3 n(A∪B) = 5 + 3- 2 = 6. Javob: 6 ta qarzdor talaba bor. (3) formula - yig’indi qoidasi bilan yechiladigan masalani ko`raylik. 1-masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi? Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: А — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, В — suzish bilan shug`ullanuvchilar, С — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi. Bu 3 to`plam kesishmasidagi elementlar sonini х bilan belgilasak, quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz: 26 + 25 — (3З — х) + (18 — х) + 27 — (34 - x) + 1 = 40. Bu yerda х = 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi. 2-masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin? Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: А —barcha talabalar to`plami, В — nemis tilini o`rganadigan, С — inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami. Masala sharti bo`yicha n(А) = 50, n(В) =20, n(С) = 15. А, В va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni В va С to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. n ( B ∩ C) = 0 n ( B ∩ C) = 15 n (B ∪ C) = 35 n (B ∪ C) = 20 х—Ikki tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 0 ≤ x ≤ 15 (x ∈ N0). у — 1 ta tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 20 ≤ у ≤ 35 (у ∈ N0). 3.Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi. A = {a1, a2, …, an} va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz: (a 1; b 1), (a 1; b 2), … , (a 1; b m), (a 2; b 1), (a 2; b 2), … , (a 2; b m), (a n; b 1), (an; b 2), … , (a n; b m). Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B). Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A) · n(B) ko’rinishda yoziladi. Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Ikkitadan ortiq to’plamlar uchun bu formula quyidagicha yoziladi: n(A 1×A 2× … ×A n) = n(A 1) ·n(A 2) ·… · n(A n),(n>2). Masalan, A shahardan B shaharga 3 yo’l bilan, B shahardan C shaharga ikki yo’l bilan borish mumkin bo’lsa, A shahardan C shaharga necha xil usul bilan borish mumkin? Yo’lning 1-qismini 3 xil, 2-qismini 2 xil yo’l bilan o’tish mumkin bo’lsa, umumiy yo’lni 3·2 = 6 usul bilan o’tish mumkin. Umumlashgan ko’paytma qoidasi: «Agar x elementni m usul bilan, y elementni, x ni tanlab bo’lgandan so ‘ng, n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Masala. Nechta turli raqamlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bor? Yechish. 1-raqamni 9 usul bilan (1, 2, …, 9), 2-raqamni ham 9 usul bilan (noldan boshlab o’nliklar raqamidan boshqa raqamlar) tanlash mumkin. Hammasi bo’lib 9·9 = 81 ta shunday son bor ekan. Nazorat uchun savollar. 1. Kombinatorika masalasi ta’rifini bering. 2. Kombinatorika fani rivojiga xissa qo’shgan olimlarni ayting. 3. Yig’indi qoidasining turli xollarini ko’rsating. 4. Ko’paytma qoidasini ayting va misollar keltiring. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(26-28 betlar) 2. Н.А.Хамедова, А.В.Садыкова, И.Ш.Лактаева. Maтемaтикa. Учебное пособие. Т.: Жахон-принт, 2007.(90-92 betlar) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (65-70). Matnni to`ldiring Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar ……………….. deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — ………………….. o’rganiladi. Kombinatorika asosan, ………………… asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma,……………Y.Bernulli, ………….. kabi olimlar katta hissa qo’shganlar. Kombinatorikada, asosan, …………… to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan ……………. va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni …………… nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin. Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi …………….. deb ataladi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ……………. deyiladi. A = {a1, a2, …, an} va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz: (a 1; b 1), (a 1; b 2), … , (a 1; b m), (a 2; b 1), (a 2; b 2), … , (a 2; b m), (a n; b 1), (an; b 2), … , (a n; b m). Ko’paytma qoidasi n(A×B) = …………….ko’rinishda yoziladi. Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, …………….tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Test savollari "Kombinatorika elementlari" mavzusiga doir topshiriqlar I-variant 1. Ingliz va nemis tillarini o’rganayotgan 90 o’quvchidan 78tasi ingliz tilini, 37tasi nemis tilini o’rganadi. Qancha o’quvchi ikkala tilni ham o’rganadi? 2. 100ta maktab o’quvchisidan 65tasi futbol, 45tasi volleybol o’ynaydi. Ikkala o’yinni o’ynovchi o’quvchilar qancha bo’lishi mumkin? Hech bo’lmaganda bitta o’yinni o’ynovchi o’quvchilar sonichi? 3. A={a,b,c,d,e} va B={1,2,3,4} to’plamlar berilgan. Bu to’plamlarning dekart ko’paytmasida nechta element bor? Javobingizni asoslab bering. 4. Sinfdagi 28 o’quvchidan necha usul bilan sinf faollarini: sinfkomni, tozalik rahbarini va devoriy gazeta muharririni saylash mumkin? 5. 10 kishidan 4 ta nomzodni necha usulda ko’rsatish mumkin? 6. Tekislikdagi har 3tasi bir to’g’ri chiziqda yotmagan 8ta nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar soni nechta? II-variant 1. 3, 4, 5, 6 raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali son tuzish mumkin? (Bunda raqam sonda bir marta qatnashadi) 2. 3, 4, 5, 6 raqamlaridan foydalanib nechta 3xonali son tuzish mumkin? (Bunda raqamlar takrorlanib kelishi mumkin) 3. 7, 0, 5, 3 raqamlaridan foydalanib nechta 3 xonali son tuzish mumkin? (Sonda raqam bir marta qatnashadi) 4. 7, 0, 5, 3 raqamlaridan foydalanib nechta 3 xonali son tuzish mumkin? (Sonda raqam takrorlanib kelishi mumkin) 5. Stol atrofida 9 kishini necha usulda joylashtirish mumkin? III-variant 1. Musobaqada har bir shaxmatchi raqibi bilan bir martadan o’ynashgan. Ular 28 ta uyin o’tkazgan bo’lishsa, musobaqada nechta shaxmatchi o’ynagan? 2. 15 ta o’quvchi bir-birlari bilan qo’l berib ko’rishishdi. Ular hammasi bo’lib necha marta qo’l berib salomlashishgan? 3. Bitiruvchi o’quvchilar esdalik uchun bir-birlariga rasmlarini berishdi. Barcha rasm almashtirishlar soni 780 marta bo’lsa, nechta o’quvchi maktabni bitirgan. 4. 13ta musobaqadosh o’rtasidan birinchi, ikkinchi va uchinchi o’rinlar necha xil usulda taqsimlanishi mumkin. 5. 7254 son raqamlaridan bir marta foydalangan holda nechta toq son yozish mumkin? 6. 2310 sonning tub bo’luvchilaridan ikkitadan tub bo’luvchilariga ega bo’lgan nechta murakkab son tuzish mumkin? Klaster Kombinatorika