KOMBINATORIKA ELЕMЕNTLARI

Yuklangan vaqt

2024-06-04

Yuklab olishlar soni

7

Sahifalar soni

10

Faytl hajmi

65,2 KB


Ilmiybaza.uz KOMBINATORIKA ELЕMЕNTLARI Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Kombinatorika masalalari. 2. Yig’indi qoidasi. 3. Ko’paytma qoidasi. Ilmiybaza.uz KOMBINATORIKA ELЕMЕNTLARI Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Kombinatorika masalalari. 2. Yig’indi qoidasi. 3. Ko’paytma qoidasi. Ilmiybaza.uz Ma’ruza matni 1.Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar. Kombinatorikada, asosan, chekli to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni to’plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin. 2.Yig’indi qoidasi. Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasi deb ataladi. 1) Agar A∩B =∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) (1) bo’ladi. Ya’ni kesishmaydigan A va B to’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng. 2) Agar A∩B≠∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (2) bo’ladi. Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada n(A∩B)=∅, ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q. 3) Yigindi qoidasi umumiy elementga ega bo’lgan uchta A, B, C to’plam uchun quyidagicha yoziladi: agar A∩B∩C = ∅bo’lsa, n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) (3) bo’ladi. Ilmiybaza.uz Ma’ruza matni 1.Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog’liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmogi — kombinatorikada o’rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII—XIX asrlarda mustaqil fan sifatida yuzaga kelgan bo’lib, uning rivojiga B.Paskal, P.Ferma, G.Leybnis, Y.Bernulli, L.Eyler kabi olimlar katta hissa qo’shganlar. Kombinatorikada, asosan, chekli to’plamlar, ularning qism to’plamlari, chekli to’plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o’rganilgani uchun uni to’plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin. 2.Yig’indi qoidasi. Kombinatorikada to’plamlar birlashmasi elementlari sonini hisoblash masalasi yig’indi qoidasi deb ataladi. 1) Agar A∩B =∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) (1) bo’ladi. Ya’ni kesishmaydigan A va B to’plamlar birlashmasi elementlari soni shu to’plamlar elementlari sonlarining yig’indisiga teng. 2) Agar A∩B≠∅ bo’lsa, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) (2) bo’ladi. Ya’ni umumiy elementga ega ikki to’plam birlashmasi ele- mentlari soni to’plamlarning har biri elementlari sonlari yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonining ayrilganiga teng. (2) formula (1) formulaning umumiy holi bo’lib, (1) formulada n(A∩B)=∅, ya’ni to’plamlarning umumiy elementi yo’q. 3) Yigindi qoidasi umumiy elementga ega bo’lgan uchta A, B, C to’plam uchun quyidagicha yoziladi: agar A∩B∩C = ∅bo’lsa, n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) (3) bo’ladi. Ilmiybaza.uz (1) formula bilan yechiladigan kombinatorika masalasi umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: agar x elementni k usul, y elementni m usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, «x yoki y» elementni k + m usul bilan tanlash mumkin. Masalan, savatda 8 ta olma va 10 ta nok bor bo’lsa, 1 ta mevani 8 + 10 = 18 usul bilan tanlash mumkin. (2) formula bilan yechiladigan masala: 40 talabadan 35 tasi matematika imtihonini, 37 tasi rus tili imtihonini topshira oldi. 2-talaba ikkala fandan «2» oldi. Nechta qarzdor talaba bor? Yechish. A — matematika fanidan «2» olgan, B - rus tili fanidan «2» olgan talabalar to’plami bo’lsin. n(A) = 40 - 35 = 5 n(A∩B) = 2. n(B)= 40 - 37 = 3 n(A∪B) = 5 + 3- 2 = 6. Javob: 6 ta qarzdor talaba bor. (3) formula - yig’indi qoidasi bilan yechiladigan masalani ko`raylik. 1-masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi? Ilmiybaza.uz (1) formula bilan yechiladigan kombinatorika masalasi umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: agar x elementni k usul, y elementni m usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, «x yoki y» elementni k + m usul bilan tanlash mumkin. Masalan, savatda 8 ta olma va 10 ta nok bor bo’lsa, 1 ta mevani 8 + 10 = 18 usul bilan tanlash mumkin. (2) formula bilan yechiladigan masala: 40 talabadan 35 tasi matematika imtihonini, 37 tasi rus tili imtihonini topshira oldi. 2-talaba ikkala fandan «2» oldi. Nechta qarzdor talaba bor? Yechish. A — matematika fanidan «2» olgan, B - rus tili fanidan «2» olgan talabalar to’plami bo’lsin. n(A) = 40 - 35 = 5 n(A∩B) = 2. n(B)= 40 - 37 = 3 n(A∪B) = 5 + 3- 2 = 6. Javob: 6 ta qarzdor talaba bor. (3) formula - yig’indi qoidasi bilan yechiladigan masalani ko`raylik. 1-masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi? Ilmiybaza.uz Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: А — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, В — suzish bilan shug`ullanuvchilar, С — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi. Bu 3 to`plam kesishmasidagi elementlar sonini х bilan belgilasak, quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz: 26 + 25 — (3З — х) + (18 — х) + 27 — (34 - x) + 1 = 40. Bu yerda х = 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi. 2-masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin? Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: А —barcha talabalar to`plami, В — nemis tilini o`rganadigan, С — inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami. Masala sharti bo`yicha n(А) = 50, n(В) =20, n(С) = 15. А, В va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni В va С to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. n ( B ∩ C) = 0 n ( B ∩ C) = 15 Ilmiybaza.uz Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: А — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, В — suzish bilan shug`ullanuvchilar, С — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi. Bu 3 to`plam kesishmasidagi elementlar sonini х bilan belgilasak, quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz: 26 + 25 — (3З — х) + (18 — х) + 27 — (34 - x) + 1 = 40. Bu yerda х = 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi. 2-masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin? Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: А —barcha talabalar to`plami, В — nemis tilini o`rganadigan, С — inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami. Masala sharti bo`yicha n(А) = 50, n(В) =20, n(С) = 15. А, В va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni В va С to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. n ( B ∩ C) = 0 n ( B ∩ C) = 15 Ilmiybaza.uz n (B ∪ C) = 35 n (B ∪ C) = 20 х—Ikki tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 0 ≤ x ≤ 15 (x ∈ N0). у — 1 ta tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 20 ≤ у ≤ 35 (у ∈ N0). 3.Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi. A = {a1, a2, …, an} va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz: (a 1; b 1), (a 1; b 2), … , (a 1; b m), (a 2; b 1), (a 2; b 2), … , (a 2; b m), (a n; b 1), (an; b 2), … , (a n; b m). Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B). Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A) · n(B) ko’rinishda yoziladi. Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Ikkitadan ortiq to’plamlar uchun bu formula quyidagicha yoziladi: n(A 1×A 2× … ×A n) = n(A 1) ·n(A 2) ·… · n(A n),(n>2). Masalan, A shahardan B shaharga 3 yo’l bilan, B shahardan C shaharga ikki yo’l bilan borish mumkin bo’lsa, A shahardan C shaharga necha xil usul bilan borish mumkin? Yo’lning 1-qismini 3 xil, 2-qismini 2 xil yo’l bilan o’tish mumkin bo’lsa, umumiy yo’lni 3·2 = 6 usul bilan o’tish mumkin. Ilmiybaza.uz n (B ∪ C) = 35 n (B ∪ C) = 20 х—Ikki tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 0 ≤ x ≤ 15 (x ∈ N0). у — 1 ta tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 20 ≤ у ≤ 35 (у ∈ N0). 3.Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi. A = {a1, a2, …, an} va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz: (a 1; b 1), (a 1; b 2), … , (a 1; b m), (a 2; b 1), (a 2; b 2), … , (a 2; b m), (a n; b 1), (an; b 2), … , (a n; b m). Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B). Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A) · n(B) ko’rinishda yoziladi. Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Ikkitadan ortiq to’plamlar uchun bu formula quyidagicha yoziladi: n(A 1×A 2× … ×A n) = n(A 1) ·n(A 2) ·… · n(A n),(n>2). Masalan, A shahardan B shaharga 3 yo’l bilan, B shahardan C shaharga ikki yo’l bilan borish mumkin bo’lsa, A shahardan C shaharga necha xil usul bilan borish mumkin? Yo’lning 1-qismini 3 xil, 2-qismini 2 xil yo’l bilan o’tish mumkin bo’lsa, umumiy yo’lni 3·2 = 6 usul bilan o’tish mumkin. Ilmiybaza.uz Umumlashgan ko’paytma qoidasi: «Agar x elementni m usul bilan, y elementni, x ni tanlab bo’lgandan so ‘ng, n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Masala. Nechta turli raqamlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bor? Yechish. 1-raqamni 9 usul bilan (1, 2, …, 9), 2-raqamni ham 9 usul bilan (noldan boshlab o’nliklar raqamidan boshqa raqamlar) tanlash mumkin. Hammasi bo’lib 9·9 = 81 ta shunday son bor ekan. Savollar 1. Kombinatorika masalasi ta’rifini bering. 2. Kombinatorika fani rivojiga xissa qo’shgan olimlarni ayting. 3. Yig’indi qoidasining turli xollarini ko’rsating. 4. Ko’paytma qoidasini ayting va misollar keltiring. 12-mavzu. Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o`rinlashtirishlar va o`rin almashtirishlar. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar 2. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar 3. Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. Ma’ruza matni 1.Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar. Masala. m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k uzunlikdagi kortejlar sonini toping. Yechish. k o’rinli kortej 𝑋 × 𝑋 × … × 𝑋 ⏟ 𝑘 𝑚𝑎𝑟𝑡𝑎 dekart ko’paytmaning elementi bo’lib, tartiblangan k-likni (ka-lik deb o’qiladi) bildiradi. Masalani Ilmiybaza.uz Umumlashgan ko’paytma qoidasi: «Agar x elementni m usul bilan, y elementni, x ni tanlab bo’lgandan so ‘ng, n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin». Masala. Nechta turli raqamlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bor? Yechish. 1-raqamni 9 usul bilan (1, 2, …, 9), 2-raqamni ham 9 usul bilan (noldan boshlab o’nliklar raqamidan boshqa raqamlar) tanlash mumkin. Hammasi bo’lib 9·9 = 81 ta shunday son bor ekan. Savollar 1. Kombinatorika masalasi ta’rifini bering. 2. Kombinatorika fani rivojiga xissa qo’shgan olimlarni ayting. 3. Yig’indi qoidasining turli xollarini ko’rsating. 4. Ko’paytma qoidasini ayting va misollar keltiring. 12-mavzu. Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o`rinlashtirishlar va o`rin almashtirishlar. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar 2. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar 3. Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. Ma’ruza matni 1.Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar. Masala. m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k uzunlikdagi kortejlar sonini toping. Yechish. k o’rinli kortej 𝑋 × 𝑋 × … × 𝑋 ⏟ 𝑘 𝑚𝑎𝑟𝑡𝑎 dekart ko’paytmaning elementi bo’lib, tartiblangan k-likni (ka-lik deb o’qiladi) bildiradi. Masalani Ilmiybaza.uz yechish uchun X×X× ... ×X dekart ko’paytma elementlari sonini topish kerak. Bu son n(X) = m bo’lgani uchun n(X×X×...×X)=n(X)·n(X)·…·n(X)=m·m·...·m=mk ga teng. Demak, m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k o’rinli kortejlar soni mk ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar deyiladi. Ularning soni 𝐴𝑚 𝑘 ̅̅̅̅ bilan belgilanadi. (A — fransuzcha arrangement so’zining bosh harfidan olingan bo’lib, «o’rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.) 𝐴𝑚 𝑘 ̅̅̅̅ = mk. Masala. 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping. Yechish. Telefon nomerlari 0 dan 9 gacha bo’lgan 10 ta raqamdan tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan 6 o’rinli kortejlar sonini topamiz: Javob: 𝐴10 6 ̅̅̅̅̅= 106 = 1000000. 6 raqamli telefon nomerlari soni 106 ga teng. 2.Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar. Umumiyroq masalani ko’rib chiqaylik: m elementli X to’plamdan nechta tartiblangan k elementli to’plamlar tuzish mumkin? Faraz qilaylik, m elementli X ={a1,a2,a3,…,am}to’plamdan ketma-ket elementlar tanlanmoqda, tanlangan element to’plamga qaytarilmaslik sharti bilan. Bu holda k o’rinli (b1, b2,…,bk) kortej hosil bo’ladi va bu yerda har bir bi biror aj ga teng bo’ladi1. Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k -elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni m(m -1)(m - 2) ·... · (m - k +1) ko’paytmaga teng. U 𝐴𝑚 𝑘 bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar soni deb ataladi: 1 Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 61-b. Ilmiybaza.uz yechish uchun X×X× ... ×X dekart ko’paytma elementlari sonini topish kerak. Bu son n(X) = m bo’lgani uchun n(X×X×...×X)=n(X)·n(X)·…·n(X)=m·m·...·m=mk ga teng. Demak, m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k o’rinli kortejlar soni mk ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar deyiladi. Ularning soni 𝐴𝑚 𝑘 ̅̅̅̅ bilan belgilanadi. (A — fransuzcha arrangement so’zining bosh harfidan olingan bo’lib, «o’rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.) 𝐴𝑚 𝑘 ̅̅̅̅ = mk. Masala. 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping. Yechish. Telefon nomerlari 0 dan 9 gacha bo’lgan 10 ta raqamdan tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan 6 o’rinli kortejlar sonini topamiz: Javob: 𝐴10 6 ̅̅̅̅̅= 106 = 1000000. 6 raqamli telefon nomerlari soni 106 ga teng. 2.Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar. Umumiyroq masalani ko’rib chiqaylik: m elementli X to’plamdan nechta tartiblangan k elementli to’plamlar tuzish mumkin? Faraz qilaylik, m elementli X ={a1,a2,a3,…,am}to’plamdan ketma-ket elementlar tanlanmoqda, tanlangan element to’plamga qaytarilmaslik sharti bilan. Bu holda k o’rinli (b1, b2,…,bk) kortej hosil bo’ladi va bu yerda har bir bi biror aj ga teng bo’ladi1. Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k -elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni m(m -1)(m - 2) ·... · (m - k +1) ko’paytmaga teng. U 𝐴𝑚 𝑘 bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar soni deb ataladi: 1 Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 61-b. Ilmiybaza.uz 𝐴𝑚 𝑘 = 𝑚(𝑚 − 1) · … · (𝑚 − 𝑘 + 1) = 𝑚! (𝑚−𝑘)!. Bu yerda m! = m × (m- 1) × … × 2 × 1. Masalan, sinfdagi 20 o’quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o’quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin? 𝐴20 2 = 20! 18!= 20·19 = 380 (usul bilan). 3.Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. 1. Agar chekli X to’plam elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo’lsa, X to’plam tartiblangan deyiladi. Masalan, X= {x1, x2,…,xm}. Bitta to’plamni turli usullar bilan tartiblash mumkin. Masalan, sinf o’quvchilarini yoshiga, bo’yiga, ogirligiga qarab yoki o’quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo’yicha tartiblash mumkin. m elementli X to’plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan savolga javob beraylik. Tartiblash — bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni m ta elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun 1-elementni m usul bilan, 2-elementni 1-element tanlanib bo’lgandan so’ng m -1 usul bilan tanlash mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblashlarning umumiy soni m(m -1)(m -2)·... ·2·1= m! ga teng. m! — dastlabki m ta natural son ko’paytmasi (m faktorial deb o’qiladi). Masalan, 5!= 1·2·3·4·5 = 120, m! = Pm bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar soni deb ataladi. O`rin almashtirishlarni o`rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash mumkin bo`lgan holi. P belgisi fransuz tilidagi “permutation”, ya’ni “o`rin almashtirish” so`zining 1- harfidan olingan Ilmiybaza.uz 𝐴𝑚 𝑘 = 𝑚(𝑚 − 1) · … · (𝑚 − 𝑘 + 1) = 𝑚! (𝑚−𝑘)!. Bu yerda m! = m × (m- 1) × … × 2 × 1. Masalan, sinfdagi 20 o’quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o’quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin? 𝐴20 2 = 20! 18!= 20·19 = 380 (usul bilan). 3.Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. 1. Agar chekli X to’plam elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo’lsa, X to’plam tartiblangan deyiladi. Masalan, X= {x1, x2,…,xm}. Bitta to’plamni turli usullar bilan tartiblash mumkin. Masalan, sinf o’quvchilarini yoshiga, bo’yiga, ogirligiga qarab yoki o’quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo’yicha tartiblash mumkin. m elementli X to’plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan savolga javob beraylik. Tartiblash — bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni m ta elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun 1-elementni m usul bilan, 2-elementni 1-element tanlanib bo’lgandan so’ng m -1 usul bilan tanlash mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblashlarning umumiy soni m(m -1)(m -2)·... ·2·1= m! ga teng. m! — dastlabki m ta natural son ko’paytmasi (m faktorial deb o’qiladi). Masalan, 5!= 1·2·3·4·5 = 120, m! = Pm bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar soni deb ataladi. O`rin almashtirishlarni o`rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash mumkin bo`lgan holi. P belgisi fransuz tilidagi “permutation”, ya’ni “o`rin almashtirish” so`zining 1- harfidan olingan Ilmiybaza.uz Masala. 8 ta ladyani shaxmat doskasida bir-birini urmaydigan qilib necha usul bilan joylashtirish mumkin? Yechish. Ladyalar soni 8 ta. O`rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari: ta’rif bo`yicha! 1. Ko‘paytma qоidasi bilan yеchiladigan kоmbinatоrik masalalardan namuna kеltiring. 2. 1 dan 9 gacha bo‘lgan raqamlardan nеchta 5 хоnali sоn tuzish mumkin? Masala yеchimi kоmbinatоrikaning qaysi fоrmulasi bilan ifоdalanadi? 3. ekanini isbоtlang. Nazorat uchun savollar: 1. Takrorlanadigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring. 2. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring. 3. Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlarga misol keltiring.. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(26-28 betlar) ) ( ) ( A n B n A B    Ilmiybaza.uz Masala. 8 ta ladyani shaxmat doskasida bir-birini urmaydigan qilib necha usul bilan joylashtirish mumkin? Yechish. Ladyalar soni 8 ta. O`rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari: ta’rif bo`yicha! 1. Ko‘paytma qоidasi bilan yеchiladigan kоmbinatоrik masalalardan namuna kеltiring. 2. 1 dan 9 gacha bo‘lgan raqamlardan nеchta 5 хоnali sоn tuzish mumkin? Masala yеchimi kоmbinatоrikaning qaysi fоrmulasi bilan ifоdalanadi? 3. ekanini isbоtlang. Nazorat uchun savollar: 1. Takrorlanadigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring. 2. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring. 3. Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlarga misol keltiring.. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(26-28 betlar) ) ( ) ( A n B n A B    Ilmiybaza.uz 2. Н.А.Хамедова, А.В.Садыкова, И.Ш.Лактаева. Maтемaтикa. Учебное пособие. Т.: Жахон-принт, 2007.(90-92 betlar) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (65-70). Ilmiybaza.uz 2. Н.А.Хамедова, А.В.Садыкова, И.Ш.Лактаева. Maтемaтикa. Учебное пособие. Т.: Жахон-принт, 2007.(90-92 betlar) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (65-70).