1
Kompleks sonlar tushunchasi
Ma’lumki kvadrat tenglamalarni yechishda ba’zan diskriminant manfiy sondan
iborat bo’lib qoladi:
D b2 - 4ас < 0.
Bu holda berilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. Chunki, manfiy
haqiqiy sonlardan kvadrat ildiz chiqarish ma’noga ega emas.
Diskriminanti manfiy sondan iborat bo’lgan kvadrat tenglamani yechish uchun
sonlar tushunchasini kengaytirish lozim bo’ladi. Bunday holda haqiqiy sonlar to’plamiga
kvadrati -1 ga teng bo’lgan yangi i sonini kiritish maqsadga muvoffiq bo’ladi. Bu sonni
mavhum birlik deb atash qabul qilingan. U holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
i2=-1
i soni bi ko’rinishdagi ko’paytma va a+ ib yig’indini kiritish imkoniyatini beradi.
Ta’rif:
a+bi
ko’rinishdagi ifodaga kompleks son deyiladi. Bunda a va b
ixtiyoriy haqiqiy sonlar, i- mavhum birlik.
a soni a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi, bi ko’paytma esa mavhum qismi
deb ataladi, b soni mavhum qismning koeffisiyenti deyiladi.
Masalan, 5+2i kompleks son uchun 5 soni haqiqiy qism, 2i esa mavhum qism
bo’ladi, uning koeffisiyenti 2 dan iborat; 0+7i sonning haqiqiy qismi 0, mavhum qismi
7i , mavhum qismning koeffisiyenti 7 dan iborat; 6-0i sonning haqiqiy qismi 6, mavhum
qismi 0i, mavhum qismning koeffisiyenti 0 dan iboratdir.
Kompleks sonlar kiritilgach algebra, nazariy fizikaning gidrodinamika, elementar
zarralar nazariyasi va hokazolardagi fikrlar hamda tushunchalar soddalashdi.
Ta’rif: Ikkita kompleks sonning haqiqiy qismlari teng va mavhum qismlarining
koeffisiyentlari ham teng bo’lsa, bu sonlar o’zaro teng deyiladi, ya’ni a=c va b=d bo’lsa,
quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
a+bi=c+di
Ikkita kompleks sonlar orasida tartib («katta» yoki «kichik») munosabatlarni
aniqlab bo’lmaydi.
Kompleks sonlar uchun quyidagi qoidalar o’rinli:
1. a+bi=c+di. (agar a=b, c=d bo’lsa).
2. (a bi)+(c di)= (a c)+(b d)I (kompleks sonlarni qo’shish va ayirish).
2
son).
3. (a+bi) (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i (kompleks sonlarni ko’paytirish).
4. (a+bi) (a-bi)= a2 +b2 (o’zaro qo’shma kompleks sonlar ko’paytmasi).
5. a+0i=a (haqiqiy son bilan mavhum qism koeffisiyenti 0 bo’lgan kompleks
6. 0+0i=0 (har qanday kompleks sonning 0 bilan ko’paytmasi).
3
Komplek sonlarni qo’shish va ayirish
Ta’rif: a+bi va c+di ikkita kompleks sonlar yig’indisi deb (a+c)+(b+d)i songa
aytiladi, ya’ni:
4
Ta’rif: z1=a+bi va z2=c+di kompleks sonlarning ayirmasi deb shunday z3=x+yi
kompleks songa aytiladiki, bu sonning z2 bilan yig’indisi z1 dan iborat bo’ladi, ya’ni:
z1- z2= z3 dan z2+ z3= z1
Yoki
(a+bi)-(c+di)=x+yi dan (c+di)+(x+yi)=(c+x)+(d+y)i
U holda, (c+x)+(d+y)i=a+bi bo’ladi. Bu hol faqatgina c+x=a va d+y=b bo’lgandagina
o’rinli bo’ladi.
Kompleks sonlarni ko’paytirish va bo’lish
Ikkita a+bi va c+di kompleks sonlarni ko’paytirish 1§ dagi 3-qoida asosida
bajariladi, ya’ni birinchi va ikkinchi ko’paytuvchi kompleks sonlar hadma-had
ko’paytiriladi:
a bic di ac аdi bci bdi2 аc ad bсi bdi2.
Bundan i 2=-1 bo’lganligi sababli, bdi2 bd .
Demak,
a bic di ac bd ad bci.
Ta’rif: a bi va с di kompleks sonlarning ko’paytmasi deb
ac bd ad bci
kompleks songa aytiladi.
Har qanday a bi
ko’rinishdagi kompleks sonning nol 0+0i=0 songa ko’paytmasi
noldan iborat bo’ladi, ya’ni
a bi0 0i 0 0i
H
ar
qanday
a bi kompleks
sonning n=n+0i haqiqiy songa
ko’paytmasi quyidagidan iborat:
a bin 0i na nbi.
Ta’rif: z1 kompleks sonning z2 kompleks songa bo’linmasi deb, shunday z3 ga
aytiladiki, bu sonni z2 ga ko’paytirganda z1 hosil bo’ladi.
5
Kasrlarning xossasiga asosan a bi
c di
nisbat с di 0 shart bajarilgan taqdirda
o’rinli bo’ladi.
Agar с di 0 0i bo’lsa
x yiс di a bi.
(2)
Kompleks sonlarni ko’paytirish qoidasiga asosan
x yiс di xс yd xd yсi.
U holda, (2) ni quyidagicha yozish mumkin:
xс yd xd yсi a bi.
(3)
(3) tenglik
xс yd a
xd yс b
(4)
bo’lgandagina o’rinli bo’ladi.
(4) dan x va y larni topamiz:
x aс bd ,
c2 d 2
y bc ad .
c2 d 2
(5) (5)
U holda,
a bi ac bd bc ad i
(6) (6)
6
y
A
b
r
tenglik hosil bo’ladi
Kompleks sonning trigonometrik shakli, moduli va argumenti
a+bi kompleks songa koordinatalari (a,b) bo’lgan
vektor mos kelsin.
vektor uzunligini r, uning x o’qi bilan hosil qiladigan burchagini bilan belgilaymiz. U
holda, chizmadan quyidagi tengliklar o’rinli bo’ladi:
(1) dan,
а cos ,
r
а r cos,
b sin
r
b r sin.
(1)
(2)
a
O
x
U holda, a bi kompleks sonni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi:
а bi r cos ir sin r cos i sin
(3)
Chizmadan
r2 a2 b2
(4)
Shuning uchun ixtiyoriy a+bi kompleks sonni
a bi r(cos i sin)
(5)
ko’rinishda ifodalash mumkin. Bunda
topiladi:
r
va burchak qo’yidagi shartlarda
sin
b
,
a2 b2
a
(6)
cos
.
7
a2 b2
(5) tenglamadan r soni a+bi kompleks sonning moduli, burchak esa kompleks
sonning argumenti deb ataladi.
8
Agar
bo’ladi.
а bi 0 bo’lsa, uning moduli musbat, а bi 0 bo’lsa, а b 0 va r 0
Agar а bi 0 bo’lsa, uning argumenti (6) formulalar yordamida 2 ga karrali
bo’lgan burchakgacha aniqlikda topiladi.
bo’ladi.
а bi 0 bo’lgan holda а b 0 va r 0
Har qanday kompleks sonning modulini
ham mumkin.
z , argumentini esa arg z kabi belgilash
9
Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlar ustida amallar.
Komplek sonlarni ko’paytirish va darajaga ko’tarish.
Muavr formulasi.
Ikkita trigonometrik shakldagi z1 va z2 kompleks sonlar, ya’ni
z1 r1 cos1 i sin1 va z2 r2 cos2 i sin2
berilgan bo’lsin, z1 va z2 kompleks sonlarning ko’paytmasini topamiz:
z1 z2 r2 cos1 i sin1 r2 cos2 i sin2
r1 r2 cos1 cos2 sin1 sin2 i cos1 sin2 sin1 cos2
r1 r2 cos1 2 i sin 1 2 .
r1 cos1 i sin1 r2 cos2 i sin2 r1 r2 cos1 2 i sin1 2
(1)
Demak, ikkita trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish
uchun ularning r 1 va r 2 modullari o’zaro ko’paytiriladi,
o’zaro qo’shiladi, ya’ni:
1 va 2 argumentlari esa
z1 z2 r1 r2 r1 r2 , argz1 z2 1 2.
(2)
Agar n ta trigonometrik shakldagi kompleks sonlar berilgan bo’lsa, ularning
ko’paytmasi quyidagicha bo’ladi:
10
1
2
z1 z2...zn r1 r2 ...rn cos1 2 ... n i sin 1
2 ... n .
(4)
z z ...z r cos i sin
n rn cos n i sin n .
(5)
Bu formulaga trigonometrik shakldagi kompleks sonni n -darajaga ko’tarish yoki
Muavr formulasi deyiladi.
3
n
11
z1
z2
1
z
Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni bo’lish
Ikkita z1 va z2 kompleks sonlar trigonometrik shaklda berilgan bo’lsin, ya’ni:
z1 r1 cos1 i sin1 ,
Ularning nisbati quyidagicha topiladi:
z2 r2 cos2 i sin2 .
(6)
z1
z2
r1 cos1 i sin1
r2 cos2 i sin2
r1 cos1 i sin1 cos2 i sin2
r2 cos2 i sin2 cos2 i sin2
r1 cos1 2 sin 1 2 r cos
sin .
r cos2 sin2
r
1
2
1
2
2
2
2
2
(7)
Demak, ikkita trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonning nisbatini
topishda ularning modullari bo’linadi, argumentlari esa o’zaro ayriladi, ya’ni:
r1 , arg z1 arc z
arc z .
(8)
r2
2
1
2
1
2
z1
z2
12
Trigonometrik shakldagi kompleks sondan ildiz chiqarish
r cos i sin kompleks sonning n-darajali ildizi quyidagicha bo’lsin:
cos i sin U holda, quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
r cos i sin cos i sin
n .
Muavr formulasiga asosan:
r cos i sin n cos n i sin n .
(9)
Agar ikkita kompleks son o’zaro teng bo’lsa, ularning modullari teng,
argumentlari esa bir-biridan 2 ga karrali burchakka farq qiladi. Shuning uchun n r
hamda n 2k yoki
va 2k ,
n
k Z , n N.
(10)
va larning topilgan qiymatlarini (9) ga qo’yamiz:
n r cos 2k i sin 2k .
(11)
13
n
n
n
Kompleks son uchun Eyler formulasi
Kompleks ko’rsatkichli еz funksiyani qaraylik. Bunda z x iy , “e” esa
е lim1
1
n
dan iborat.
U holda, ez ni quyidagicha yozish mumkin bo’ladi:
ez ex cos y i sin yyoki
(1)
exiy ex cos y i sin y .
(2)
Agar x=0 bo’lsa, (2) tenglik
еiy cos y i sin y
ko’rinishga ega bo’ladi. (3) tenglikka Eyler formulasi deyiladi.
(3)
Kompleks ko’rsatkichli funksiyaning davri 2i ga teng. Agar uning davri hisobga
olinsa, еz ko’rsatkichli funksiyani
еz2i
ez
(4)
ko’rinishda ifodalash mumkin. (4) da z=0 bo’lsa,
e2i 1
(5)
munosabat o’rinli bo’ladi.
z r cos i sin - trigonometrik ko’rinishdagi kompleks sonni ko’rsatkichli shaklda
quyidagicha ifodalash mumkin:
z rei .
(6)
(6) ga kompleks sonning ko’rsatkichli ko’rinishi deyiladi.
n
14
Kompleks ko’rsatkichli funksiyalar uchun ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish
va ildiz chiqarish amallarini bajarish mumkin.
Faraz qilaylik,
z rei1 va z r ei2
bo’lsin. U holda,
1
1
2
2
z z rei1 r ei2 r r ei1 2 ,
(7)
1
2
1
2
1
2
15
z rеi1 r i
1
1
1 е
1
2
.
(8)
z
r еi2
r
z rei
bo’lsin. U holda,
2
2
2
zn ni qo’yidagi ko’rinishda ifodalash mumkin:
zn rei
n rnein ,
(9)
bundan,
e
i 2k
n
, k 0,1, 2,...n 1.
Agar (3) dagi y ni va - lar bilan almashtirilsa, qo’yidagilar hosil bo’ladi:
ei cos i sin,
ei cos i sin.
(10)
(10) dagi tengliklarni qushib, ayiramiz hamda cos va sin larni topamiz:
ei ei
cos
,
2
ei ei
(11)
sin
(12)
2
(11) va (12) lar trigonometrik funksiyalarni ko’rsatkichli funksiyalar orqali
ifodalaydi, hamda ular ham Eyler formulalari deb nomlanadi.
16
Asosiy formulalar
1. Kompleks son va kompleks sonlar to’plami.
z x iy (x yi), i2 1 , x Re z , y Im z
(1)
C {x iy | x, y R ,i2 1}
2. Kompleks sonning moduli.
(2)
| z |
(3)
3. Qo’shma kompleks son.
z x iy
4. Algebraik shakldagi kоmpleks sоnlar ustida amallar.
z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2
(4)
1) Tenglik munosabati. z z Re z1 Re z2 yoki x1 x2
(5)
1
2
Im z Im z
y y
1
2
1
2
2) Qo’shish va ayirish.
3) Ko’paytirish.
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(6)
z1 z2 (x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 y1 x2 )
(7)
i1 i ,i2 1,i3 i ,i4 1 =>
4) Bo’lish.
i4k 1,i4k1 i ,i4k2 1,i4k3 i
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
(z 0)
(8)
z
x 2 y 2
x 2 y 2
2
2
2
2
2
2
5. Kompleks sonlarning xossalari
10 z z z z ,
z z z z
(kommutativlik)
1
2
2
1
1
2
2
1
20 (z z ) z z (z z ) (z z ) z z (z z )
(assotsativlik)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
