KO'PXILLIK VA STOKS FORMULASI M-Xausdorf fazosi sanoqli bazadagi ochiq to’plam .U   M ochiq to’plam va uni n Yevklid fazosidagi biror ochiq B sharga akslantiruvchi   -akslantirish berilgan bo’lsin.(U , )   - M dagi gomeomorfizm karta deyiladi. :U B          , A A U      -atlas deyiladi,ya’ni kartalari birlashmasi. n G    A U U   -ochiq to’plamlar birlashmasi –qoplama.U -atrof koordinataviy atrof deyiladi.     1 ,....., , n x x x p p U          -lokal koordinata .   1 : U B              (1) U U U        gomeomorfizm Bu gomeomorfizm A atlasning qo’shnichilik munosabatlari deyiladi .Bu akslantirish n dagi ochiq to’plam shunung uchun uning silliqligi haqida gapiramiz .Agar M-Xausdorf topologik fazosi p   M nuqta uchun shu nuqtani o’z ichiga olgan U -ochiq to’plam va : , n U B B        gomeomorfizm mavjud bo’lsa , u holda M fazo   U ,  kartalar bilan birgalikda topologik ko’pxillik deyiladi. U - M dagi ochiq to’plam . , : ( ) p U U U B           -gomeomorfizm va B   M dagi ochiq to’plam f : X Y akslantirish teskarilanuvchi (biyektiv) hamda (X;Y) f C va 1 (Y,X) f  C bo’lsa ,u holda gomeomorf akslantirish (gomeomorfizm) X va Y larga esa gomeomorf to’plamlar deyiladi . Agar X topologik fazoning ixtiyoriy x va y nuqtalari o’zlarining biror ( ) vaU(y) U x atroflari bilan ajralsa ,ya’ni ( ) ( ) U x U y   bo’lsa ,u holda X fazo Xausdorf fazosi deyiladi.Masalan, n umuman ixtiyoriy metrik fazo ,xausfdorf fazosidir. M-X topologik fazosining har bir p  M nuqtasi uchun shu nuqtani o’z ichiga olgan U -ochiq to’plam va : x U G n G  gomeomorfizm mavjud bo’lsa ,u holda M –fazo shu  ,  U x kartalar bilan birgalikda topologik ko’pxillik deyiladi. U M -ochiq to’plam , , : (U) p U x U x   gomeomorfizmlar va (U) n x  ochiq to’plam .     , U x kartalar oilasi M ning atlasi     , A  U x -atlas n M ko’pxillikning o’lchami deyiladi.dimM n  shaklida yoziladi Agar   -akslantirish A -atlasning akslantirilishi k C sinfga tegishli bo’lsa k A C - A- k-silliq atlas deyiladi. 1 k  da barcha   -diffeomorfizm bo’ladi.va ' det 0.det || || 0           Ikkita     , A A U va           1 1 1 , B A U      -k-tartibli silliq atlaslar ,ularga mos qoplamalar   A U  va   B U   M fazoda ekvivalent deyiladi,agar ularning birlashmasi       1 , , , , A B A A U U             atlas ham k- tartibli silliq atlas bo’lsa. k-tartibli silliq atlaslar ekvivalentlik sinfi ta’rifi bilan birgalikda M-fazo k-tartibli silliq ko’pxillik deyiladi.k=0 da ko’pxillik topologik ko’pxillik deyiladi. k-tartibli M-ko’pxillik va f-funksiya l C sinfga tegishli bo’lsa l k  f : M  ,ixtiyoriy lokal koordinatasi (p) x  1 l f C    ( ) n  U    Kompleks ko’pxillik ham xuddi shu sxema bo’yicha bo’ladi.Faraz qilamiz ,M- fazodagi U qoplamalar sohasini   -2n o’lchovli sharga akslantiruvchi gomeomorfizm . : n U C     ( ) z p    lokal koordinata     , A A U      -kompleks atlas deyiladi,agar barcha 1( , A)            akslantirish bigolomorf bo’lsa va ℂ𝑛dagi ochiq to’plamga mos kelsa.Agar ular birlashmasi ham kompleks atlas bo’lsa .M fazo ekvivalent munosabatlari bilan birgalikda kompleks ko’pxillik deyiladi . dimc n M  soni kompleks ko’pxillikning o’lchami deyiladi.Endi kompleks ko’pxillikka misollar keltiramiz. 1)n-o’lchovli ko’pxillikka trivial misol ℂ𝑛fazoda va undagi sohalar . ℂ𝑛uchun atlas sifatida 1 ta xaritali atlasni olishimiz mumkin. n D  C sohani ixtiyoriy     | | , B z a a D a D        (bu yerda   ,a D   yevklid a nuqta va D  orasidagi masofa )sharlar oilasi bilan qoplash mumkin. 2) n C fazo ham n o’lchovli kompleks ko’pxillikdir .Buni ko’rsatish uchun C sferani z o’zgaruvchi bo’yicha 2 ta ( ) U0   C va   1( ) \ 0 U   C atrof qoplama bilan qoplaymiz. n C ni 2n ta atrof bilan qoplaymiz . 1 (1) ( ) ... n n j j j U U U    bu yerda 1 (j ,... j ) n j  ixtiyoriy to’plam 0 yoki 1 ga teng .Har bir j U uchun 1 (z ,...z ) j j j n z  bu yerda 0, j j z z       agar 1 1, j j z z       local koordinatalarga ega.   2 1 ( , ) n j j j U z  atlas kompleks atlasdir. Stoks formulasi. n-o’lchovli M ko’rib chiqamiz .U qaralayotgan sohada silliq . r n  darajali M dagi differensial formani qaraymiz. 1) 0 1 (x ,x ,...,x ) n x  lokal koordinatalar U  M da aniqlangan va bu yerda quyidagi shaklda kvadratik forma kiritamiz ' I I I   f dx (1) Bu yerda 1 (i ,...,i ) r I  multiindeks Sf -funksiya U da aniqlangan va 1 2 ... n I i i i dx dx dx dx     2) x  y koordinatalar bilan almashtirganda j j J  g dy I J I J x g f y     (2) Bu yerda     1 1 ,...,x ,..., r r i i I j j j x x y y y      funksional aniqlanishi. M ko’pxillikda r darajali forma ℱ𝑟(𝑀)belgilanadi. Kompleks ko’pxillikda daraja tushunchasi ixtiyoriy belgilshimiz mumkin .lokal formani quyidagicha ifodalashimiz mumkin. ' , , I J I J I J f dz d z     (3) Bu yerda 1 1 (i ,...,i ),J (j ,..., j ) r r I   tartiblangan multiindeks. 1 2 ... n I i i i dz dz dz dz     1 2 ... s J J j j dz dz dz dz     I I J J x dx y dy    va f ,I J -lokal aniqlangan silliq kompleks funksiya z  w almashganda kompleks ko’pxillik golomorf akslantirish bo’ladi.,bunday almashtirish I I K K k z dz w dw    J J L L L z d z dw w    Va keying koordinatada ' K,L K,L K L g dw dw     bu yerda ,L , J I K I J L K L z z g f w w       (4) (3) formadagi sonlar j dz va k d z differensial sonlar local koordinatalarni tanlashda bog’liq emas. -forma 2-darajali r,s-forma yoki (r,s) forma deymiz ,local ifoda r ning differensiali j dz va s ning differensiali k d z .Umumiy (r,s) silliq koeffitsentli forma M-ko’pllikda ℱ𝑟,𝑠(𝑀) bilan belgilanadi. ℱ𝑟+𝑠(𝑀) umumiy shu ko’rinishda ham yozish mumkin . ' I I I  f dz 2-darajali (r,0) forma golomorf ,ularning koeffitsenti If golomorf deyiladi. Differensial forma operatori (differensiali) –silliq bo’ladi. 1 : r r d F  F  -ko’pxillik local ravishda shu ko’rinishda ham aniqlanadi . ' I I I   f dx forma bilan qiyoslasak ' I I I d df dx     bu yerda 1 n I I f df dx x        (5) Quyidagi xossalarg ega. a)   1 2 1 2( ) d d d chiziqlilik        b)     1 deg 1 2 1 2 1 2 1 d d d              v)   2 0 d d d     deg   forma darajasi Funksiya hosilasidan sirt bo’yicha olingan integral bilan bog’laydi ,funksiyaning o’zidan sirtning chegarasi bo’yicha olingan integralga teng Teorema.(Stoks formulasi).yo’naltirilgan m o’lchovli M ko’pxillik p-o’lchovli zanjir berilgan bo’lsin.va unga p-1 o’lchovli differensial shakl berilgan bo’lsin agar 1 , , , M C     ga bo’lsa d         Misollar.m-M ning o’lchovi p- ning o’lchovi 1. 1, , p m    -bir o’lchovli zanjir ,bir o’lchovli chiziq bo’lib uning chegarasi   -2 ta nuqtadan iborat bo’lib boshi (a) manfiy yo’naltirilgan oxiri (b) musbat yo’nalgan.  forma 0-darajali funksiyadir .Stoks formulasi Nyuton –Leybnis formulasiga tushadi.     df f f b f a        2. 2, p m    zanjir tekislikdagi soha D 1-tartibli shakl 1 1 2 2 f dt | f dt    ,uning differensiali 2 1 1 2 1 2 f f d dt dt t t               Stoks formulasi Grin-Riman formulasiga keladi. 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 D D f f dt dt f dt f dt t t                 3. 2, 3, p m    zanjir 𝑅3 fazodagi S sirtni ifodalasin.(1) formula klassik Stoks formulasiga keladi 3 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 3 2 D D f f f f f f dt dt dt dt dt dt f dt f dt f dt t t t t t t                                             4. 3, 3, p m    𝑅3 fazodagi D sohani ifodalasin.(1) formula Ostragradskiy formulasiga keladi 23 13 12 1 2 3 23 2 3 13 1 3 12 1 2 1 2 3 D D f f f dt dt dt f dt dt f dt dt f dt dt t t t                          Stoks formulasidan kelib chiqadigan natijalar 1.Yopiq formaning ' ( 0)  d       chegaradagi integrali nolga teng ' ' 0 d              2. ' d    formaning ( 0)    sirtdagi integrali o ga teng . ' ' 0 d             