Koshi yadrosi
Quyidagi
0
1
( )
( )
( , )
f
N
f
f
f
z
H z
(1)
Koshi yadrosini o’rganamiz. Bu yerda
,
z
G
.
0
- ning nolni nolga o’tkazadigan akslantirishlar gruppasi bo’lsin. G ni
0
ga nisbatan tranzitiv deb hisoblaymiz, ya’ni G dan istalgan ikkita nuqta
0
ga
tegishli akslantirish orqali bir-biriga o’tkazilishi mumkin.
Teorema 1.
2
0
1
( )
f
N
f
f
f
r
(2)
qator
G
va
0
0
1
r
r
bo’lganda tekis yaqinlashadi. Qator yig’indisi
1 1
n
V G
r
ga teng,
V G -G ning hajmi.
Isbot. Umumiylikni yo’qotmasdan,
0
ni
U
unitar akslantirishlardan
iborat deb hisoblash mumkin. (2) ifodani quyidagicha o’zgartirish mumkin:
1
'
'
'
'
1
2
0
0
0
1
'
'
'
0
0
.
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
G
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
G
r
H
r
r
r
r
Bu ifoda G da ga bog’liq emas. Shuning uchun, G bo’yicha integrallab
quyidagini hosil qilamiz:
'
0
0
1
1
1
1
1
,
( )
( )
( )
n
f
f
f
f
f
f
G
n
f
r
r
r
V G
V G
f
V G
(3)
Oldingi teoremadan Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligidan foydalanib
quyidagi teoremani hosil qilamiz:
Teorema 2. va G ga tegishli bo’lganda va
0
0
1
r
r
da
0
1
( )
( )
f
N
f
f
f
f
r
(4)
qator tekis yaqinlashadi.
Teorema 3. - yulduzsimon doiraviy soha. O’xshashlik koeffitsienti
,0
1
r
r
bo’lgan dagi o’xshash akslantirishdan hosil bo’ladigan sohani
( )r
deb belgilaymiz.
( )
z
r
va
G
da (1) qator tekis yaqinlashadi.
Koshi formulasi
Teorema 4. G - sohaning 3-teorema shartlarini qanoatlantiruvchi
xarakteristik ko’pxilligi bo’lsin.
( )
f - G da uzluksiz funksiya. U holda
( )
( , ) ( )
G
z
H z
f
(5)
integral da regulyar bo’lgan golomorf funksiyani aniqlaydi.
Agar
( )
f z - va ning chegarasida golomorf funksiya bo’lsa, u holda
( )
( , ) ( )
G
f z
H z
f
.
Teorema 5.
( )z
G
da ortonormal bo’lgan funksiyalar sistemasi va
quyidagi xossalarga ega:
1)
( )z
va uning chegarasida regulyar bo’lgan golomorf funksiyalar.
2)
1
0
( , )
( )
( )
H z
z
qator
G
bo’lganda va ning ixtiyoriy
yopiq qism sohasida yotuvchi z larda tekis yaqinlashadi.
3) va uning chegarasida golomorf bo’lgan ixtiyoriy
( )
f z funksiyani
ning ixtiyoriy qism sohasida
0
( )
( )
f z
a
z
qatorga yoyish mumkin.
Yuqoridagi shartlar bajarilganida quyidagi tenglik o’rinli:
1( , )
( , )
H z
H z
.
Teorema 6. Faraz qilaylik, soha oldingi shartlarga qo’shimcha ravishda
tranzitiv bo’lsin va G soha n haqiqiy o’lchamga ega. U holda
1
1
2
2
1
( , )
( , ,
)
( , ,
).
( )
H z
B
z z U B
z U
V G
Bunda ( , ,
)
B z a U - anuqtani koordinata boshiga o’tkazuvchi guruhdagi
akslantirishning Yakobian qiymati.
Isbot.
( , ,
f z a U)
(6)
anuqtani koordinata boshiga o’tkazuvchi guruhdagi akslantirish. Bu
akslantirish G ni o’ziga o’tkazadi.
( , ,
)
f
a U
(7)
deymiz, u holda
( , ,
)
B
a U
. (8)
G da
f ( )
ortonormal Sistema mavjudligini bilamiz, buni oddiylik
uchun
( )
deb belgilaymiz. U holda
.
( )
( )
( ( ))
( ( ))
( , ,
)
G
G
f
f
B
a U
Demak
1
2
( )
( ( , ,
))
( , ,
)
f
a U
B
a U
sistema ham ortonormal
bo’ladi.
( )
sistema (5) teorema shartlarini qanoatlantirishini isbotlaymiz.
Ravshanki,
( )z
va uning chegarasida golomorf va
1
1
2
2
0
0
( )
( )
( )
( )
( , ,
)
( , ,
)
z
B
z a U B
a U
.
(9)
(6) ga teskari akslantirishni
1( , ,
)
z
f
a U
deb belgilaymiz.
va uning chegarasida golomorf bo’lgan ixtiyoriy
( )z
funksiyani
1
1
2
( )
(
( , ,
))
( , ,
)
f
a U
B
z a U
funksiya bilan bog’laymiz, bu funksiya
ham va uning chegarasida golomorf. ( )
ni
0
( )
( )
a
qatorga
yoyish mumkinligidan
0
( )
( )
z
a
z
ni hosil qilamiz.
Bu (5) teoremaning 3)-sharti bajarilganini ko’rsatadi.
Shunday qilib, (9) dan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
1
1
2
2
( , )
( , )
( , ,
)
( , ,
).
H z
H
B
z a U B
a U
1
(0, )
( )
H
V G
tenglikdan, a ni z ga o’zgartirib, teoremaning isbotini hosil
qilamiz.
