LERE FORMULASI
Teorema: Har qanday chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan chegaralangan
D n
soha
va
( )
( )
f
D
C D
funksiyalar uchun Lere formulasi amal qiladi:
(
1)!
( ( ))
( )
( ) (
, ( ))
( )
(2
)
(
, ( ))
n
n
D
D
n
d
f z
f
z
f
i
z
Bu yerda
D
va z
D
nuqtalar uchun
, ( )
0
z
shartni
bajaradigan D
dagi ixtiyoriy silliq vektor funksiya .
Misol:
1.
:
1
n
n
B
z
z
shar uchun ( )
olishimiz mumkin, chunki
2
,
,
1
,
0
z
z
z
bo’ladi.
Bu yerda
n
z
B
va
Bn
(Shvarts tengsizligidan
,
1
z
z
z
) u holda Lere formulasi quyidagi shaklni oladi:
(
1)!
(
)
( )
( )
2
1
( ,
)
n
n
n
B
n
d
f z
f
i
z
2.
: ( )
0
n
D
z
z
sohani ko’raylik. Bu yerda
1(
)
C
D
va
0
D
chegarasidagi
D
har bir nuqtada kompleks urinma
tengsizligi
(
)
Tc
D
mavjud. Bu shart silliq chegaralangan qavariq sohalar
uchun bajariladi. Bu yerda ( )
kabi olishimiz mumkin. Chunki
,
,
z
z
z
D
va
D
da no’ldan farqli. Agar
j
jz
1,...,
n
1
( )
( 1)
n
n
j
j
d
j
o’rinli bo’ladi.
d hamma d
larni ko’paytmalarini o’z ichiga oladi olgani uchun d
larni qaytadan ko’rsak bo’ladi, ya’ni ( )
d
ni
orqali ko’rsak
bo’ladi. Ammo tashqi ko’paytirishning xususiyatiga ko’ra
1
1
1
1
1
1
1
(
,...,
,
,...,
)
(
,...,
,
,...,
)
n
j
j
n
n
j
d
( )
d
ko’paytmadagi
d
d
koeffisientlari
1
1
1
1
1
1
1
(
,...,
,
,...,
)
( 1)
( ,...,
,
,...,
)
n
j
j
n
j
j
j
n
ga teng. Bu ifodani quyidagicha yozish mumkin:
1
1
1
1
1
...
...
n
n
n
n
n
Shunday qilib, ko’rib chiqilayotgan sohalar uchun(xususan qavariq sohalar
uchun) Lere formulasi
1
(
1)!
( )
( )
(2
)
,
n
n
D
n
f
f z
d
d
i
z
ko’rinishida yozish mumkin.
