Martinelli - Boxner formulasi

Yuklangan vaqt

2024-04-05

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

4

Faytl hajmi

167,6 KB


Martinelli - Boxner formulasi Biz avvalgi bobda Koshining integral formulasi bilan tanishgan edik: 1 ( ) ( ) (2 )n f d f z i z         (1) Bu formula   :| | n n U z z r      polikrugda golomorf va uning yopig’ida uzluksiz funksiyani aniqlaydi. Bu yerda   :| | n z z r       polikrugning ostovi va 1 1 1 ... ( )...( ) n n n d d d z z z             Bu integral formula juda qulay, biroq u faqat tor sohalar sinfida amal qiladi. (U yaqqol ravishda tekis sohalar ko’paytmasiga yoyiladi) Bu mavzuda biz ixtiyoriy silliq yoki bo’lakli silliq chegarali sohalar uchun formulani keltirib chiqaramiz, ularda integrallash butun chegara bo’ylab amalga oshiriladi. Ulardan birini hosil qilish uchun n da bidarajali (n-1,n) z=0 maxsuslikka ega differensial formani ko’ramiz.   1 2 1 ( 1) ( ) | | n n z z dz dz z            (2) Bu yerda   1 1 1 ... ... n dz dz dz dz dz           , 1 ... n dz dz dz        1 ( ) ( 1) d z dz dz dz dz           (3) 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 | | | | | | n n n n n z nz z d dz dz dz dz z z z z                    (4) ( 2 | | z z z     ) Bu yerda shundan foydalanildi. Bu forma   n \ 0 da yopiqligi uchun, keyin ixtiyoriy sfera uchun   | | rS z r   Martinelli - Boxner formulasi Biz avvalgi bobda Koshining integral formulasi bilan tanishgan edik: 1 ( ) ( ) (2 )n f d f z i z         (1) Bu formula   :| | n n U z z r      polikrugda golomorf va uning yopig’ida uzluksiz funksiyani aniqlaydi. Bu yerda   :| | n z z r       polikrugning ostovi va 1 1 1 ... ( )...( ) n n n d d d z z z             Bu integral formula juda qulay, biroq u faqat tor sohalar sinfida amal qiladi. (U yaqqol ravishda tekis sohalar ko’paytmasiga yoyiladi) Bu mavzuda biz ixtiyoriy silliq yoki bo’lakli silliq chegarali sohalar uchun formulani keltirib chiqaramiz, ularda integrallash butun chegara bo’ylab amalga oshiriladi. Ulardan birini hosil qilish uchun n da bidarajali (n-1,n) z=0 maxsuslikka ega differensial formani ko’ramiz.   1 2 1 ( 1) ( ) | | n n z z dz dz z            (2) Bu yerda   1 1 1 ... ... n dz dz dz dz dz           , 1 ... n dz dz dz        1 ( ) ( 1) d z dz dz dz dz           (3) 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 | | | | | | n n n n n z nz z d dz dz dz dz z z z z                    (4) ( 2 | | z z z     ) Bu yerda shundan foydalanildi. Bu forma   n \ 0 da yopiqligi uchun, keyin ixtiyoriy sfera uchun   | | rS z r           1 1 2 2 1 1 1 1 1 | | r r r n n n n d z dz d z dz z r S S S z z                         (5) Integral ostidagi ifoda maxsus nuqtaga endi ega emas, shuning uchun Stoks formulasini qo’llash mumkin. (3) ga ko’ra 2 r r n n d z dz r S B      (6) Bu yerda   | | rB z r   shar. Lekin agar n z x idx      , 2 n dz dz idx dx        ,   2 n dz dz i dx   1 2 ... n dx dx dx    R2n da hajm elementi. Shuning uchun oldingi formulani quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin.   2 (2 ) 2 ( 1)! r r n n n n i i dx r n S B        (7) Aytaylik, bo’lakli silliq D chegarali chegaralangan n D  soha va ( ) ( ) f D C D   O funksiya berilgan bo’lsin. 0 D deylik. Ma’lum formulaga asosan   \ 0 z D nuqtada   d f df fd       tenglikka ega bo’lamiz. Biroq, 0 df   , chunki golomorflik ta’sirida df faqatgina dzv differensiallar orqali ifodalanadi,  esa bu differensiallarni ko’paytmasini o’z ichiga oladi. fd ham (4) ga ko’ra 0 ga teng. 0 fd  . Shunday qilib, f  forma   D \ 0 da yopiq va Stoks teoremasiga ko’ra undan D bo’yicha olingan integralga teng. Funksiya uzluksizligi va (7) formuladan foydalanib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: (2 ) (0) ( ) ( 1)! r n D S i f f f r n            Bu yerda 0 ( ) 0 r da  r   Chap tomoni r ga bog’liq emas, shuning uchun ( ) 0  r  va natijada         1 1 2 2 1 1 1 1 1 | | r r r n n n n d z dz d z dz z r S S S z z                         (5) Integral ostidagi ifoda maxsus nuqtaga endi ega emas, shuning uchun Stoks formulasini qo’llash mumkin. (3) ga ko’ra 2 r r n n d z dz r S B      (6) Bu yerda   | | rB z r   shar. Lekin agar n z x idx      , 2 n dz dz idx dx        ,   2 n dz dz i dx   1 2 ... n dx dx dx    R2n da hajm elementi. Shuning uchun oldingi formulani quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin.   2 (2 ) 2 ( 1)! r r n n n n i i dx r n S B        (7) Aytaylik, bo’lakli silliq D chegarali chegaralangan n D  soha va ( ) ( ) f D C D   O funksiya berilgan bo’lsin. 0 D deylik. Ma’lum formulaga asosan   \ 0 z D nuqtada   d f df fd       tenglikka ega bo’lamiz. Biroq, 0 df   , chunki golomorflik ta’sirida df faqatgina dzv differensiallar orqali ifodalanadi,  esa bu differensiallarni ko’paytmasini o’z ichiga oladi. fd ham (4) ga ko’ra 0 ga teng. 0 fd  . Shunday qilib, f  forma   D \ 0 da yopiq va Stoks teoremasiga ko’ra undan D bo’yicha olingan integralga teng. Funksiya uzluksizligi va (7) formuladan foydalanib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: (2 ) (0) ( ) ( 1)! r n D S i f f f r n            Bu yerda 0 ( ) 0 r da  r   Chap tomoni r ga bog’liq emas, shuning uchun ( ) 0  r  va natijada ( 1)! (0) (2 )n D n f f i       (8) Endi 0 o’rniga ixtiyoriy z  D nuqtani olish, integrallash nuqtasini  orqali belgilash va     z formadan faqatgina ko’paytuvchisi bilan farqlanuvchi 𝜔(𝓏) shaklni Martinelli – Boxner shakl bilan almashtirish qoldi.             1 1 2 1 1 1 2 MB n n z n z d d i z                      (9) U holda (8) quyidagi ko’rinishni oladi. Teorema. D  bo’lakli silliq chegarali n D  C chegaralangan ixtiyoriy soha uchun va ixtiyoriy     f D C D   O funksiya uchun barcha z  D nuqtalarda       MB D f z f z        (10) Aytish kerakki 1 n  da   MB z d z z d z              Shuning uchun Martinelli –Boxner formulasi Koshi integral formulasiga o’tadi.     f D C D   funksiya uchun (10) formula D dan tashqarida 0 ga teng ekanligi ularni birlashtiradi. Bu Stoks formulasidan kelib chiqadi, chunki Cn z D  forma   MB z    yopiq va D da maxsus emas. Xususan   1 f z  deb     MB D z z        (11) Bu yerda z D   da 1 ga teng va D tashqarisida 0 ga teng bo’lgan D sohaning xarakteristik funksiyasi. ( 1)! (0) (2 )n D n f f i       (8) Endi 0 o’rniga ixtiyoriy z  D nuqtani olish, integrallash nuqtasini  orqali belgilash va     z formadan faqatgina ko’paytuvchisi bilan farqlanuvchi 𝜔(𝓏) shaklni Martinelli – Boxner shakl bilan almashtirish qoldi.             1 1 2 1 1 1 2 MB n n z n z d d i z                      (9) U holda (8) quyidagi ko’rinishni oladi. Teorema. D  bo’lakli silliq chegarali n D  C chegaralangan ixtiyoriy soha uchun va ixtiyoriy     f D C D   O funksiya uchun barcha z  D nuqtalarda       MB D f z f z        (10) Aytish kerakki 1 n  da   MB z d z z d z              Shuning uchun Martinelli –Boxner formulasi Koshi integral formulasiga o’tadi.     f D C D   funksiya uchun (10) formula D dan tashqarida 0 ga teng ekanligi ularni birlashtiradi. Bu Stoks formulasidan kelib chiqadi, chunki Cn z D  forma   MB z    yopiq va D da maxsus emas. Xususan   1 f z  deb     MB D z z        (11) Bu yerda z D   da 1 ga teng va D tashqarisida 0 ga teng bo’lgan D sohaning xarakteristik funksiyasi. Biroq Koshi yadrosidan farqli bo’lgan Martinelli – Boxner yadrosi 1 n  da z parametrlar golomorf emas. Buni ko’rsatamiz 1) 1 n  uchun           1 1 1 1 2 n MB n n g z d d i                     Bu yerda       2 1 1 , 1 n g z n z        z   da garmonik z ga bog’liq. 2) D  da uzluksiz ixtiyoriy f funksiya Martinelli –Boxner integrali, z barcha D  ning garmonik funksiyasi. 3)   1 f C D  funksiyalar uchun P.19.P.1dan olingan Koshi - Grin formulasining quyidagi umumlashtirilishi to’g’ri keladi.             2 1 2 n MB n D D n f d d f z f z z z i                          Nihoyat Martinelli –Boxner shaklining (9) diffirensialligi   funksiyaning xossalariga ega ekanligini ta’kidlaymiz. Darhaqiqat, 0 z  uchun   0 d  z  va Stoks teoremasini (11) va har qanday 0 D domeniga rasmiy ravishda qo’llasak, 1 D D d        ni olamiz. Bu yerda D ni n ga almashtirish mumkin, lekin 0   da 0 z  . 0 z  Martinelli – Boxner formulani qayta yozish mumkin.   (0) n D C f d f fd       (Biz f golomorf fazoda   d f fd    usulidan foydalandik ).Shunday qilib, Martinelli - Boxner   funksiyaning qayta ishlab chiqarish xususiyatini ifodalaydi, 1 n  uchun Koshi integral formulasini beradi. Biroq Koshi yadrosidan farqli bo’lgan Martinelli – Boxner yadrosi 1 n  da z parametrlar golomorf emas. Buni ko’rsatamiz 1) 1 n  uchun           1 1 1 1 2 n MB n n g z d d i                     Bu yerda       2 1 1 , 1 n g z n z        z   da garmonik z ga bog’liq. 2) D  da uzluksiz ixtiyoriy f funksiya Martinelli –Boxner integrali, z barcha D  ning garmonik funksiyasi. 3)   1 f C D  funksiyalar uchun P.19.P.1dan olingan Koshi - Grin formulasining quyidagi umumlashtirilishi to’g’ri keladi.             2 1 2 n MB n D D n f d d f z f z z z i                          Nihoyat Martinelli –Boxner shaklining (9) diffirensialligi   funksiyaning xossalariga ega ekanligini ta’kidlaymiz. Darhaqiqat, 0 z  uchun   0 d  z  va Stoks teoremasini (11) va har qanday 0 D domeniga rasmiy ravishda qo’llasak, 1 D D d        ni olamiz. Bu yerda D ni n ga almashtirish mumkin, lekin 0   da 0 z  . 0 z  Martinelli – Boxner formulani qayta yozish mumkin.   (0) n D C f d f fd       (Biz f golomorf fazoda   d f fd    usulidan foydalandik ).Shunday qilib, Martinelli - Boxner   funksiyaning qayta ishlab chiqarish xususiyatini ifodalaydi, 1 n  uchun Koshi integral formulasini beradi.