Martinelli - Boxner formulasi
Biz avvalgi bobda Koshining integral formulasi bilan tanishgan edik:
1
( )
( )
(2
)n
f
d
f z
i
z
(1)
Bu formula
:|
|
n
n
U
z
z
r
polikrugda golomorf va uning yopig’ida uzluksiz
funksiyani aniqlaydi. Bu yerda
:|
|
n
z
z
r
polikrugning ostovi va
1
1
1
...
(
)...(
)
n
n
n
d
d
d
z
z
z
Bu integral formula juda qulay, biroq u faqat tor sohalar sinfida amal qiladi. (U yaqqol
ravishda tekis sohalar ko’paytmasiga yoyiladi)
Bu mavzuda biz ixtiyoriy silliq yoki bo’lakli silliq chegarali sohalar uchun formulani
keltirib chiqaramiz, ularda integrallash butun chegara bo’ylab amalga oshiriladi.
Ulardan birini hosil qilish uchun
n da bidarajali (n-1,n) z=0 maxsuslikka ega
differensial formani ko’ramiz.
1
2
1
( 1)
( )
|
|
n
n
z
z
dz
dz
z
(2)
Bu yerda
1
1
1
...
...
n
dz
dz
dz
dz
dz
,
1
...
n
dz
dz
dz
1
(
)
( 1)
d z dz
dz
dz
dz
(3)
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
0
|
|
|
|
|
|
n
n
n
n
n
z
nz z
d
dz
dz
dz
dz
z
z
z
z
(4)
(
2
|
|
z z
z
) Bu yerda shundan foydalanildi. Bu forma
n \ 0
da yopiqligi uchun,
keyin ixtiyoriy sfera uchun
|
|
rS
z
r
1
1
2
2
1
1
1
1
1
|
|
r
r
r
n
n
n
n
d z
dz
d z
dz
z
r
S
S
S
z
z
(5)
Integral ostidagi ifoda maxsus nuqtaga endi ega emas, shuning uchun Stoks formulasini
qo’llash mumkin. (3) ga ko’ra
2
r
r
n
n
d z
dz
r
S
B
(6)
Bu
yerda
|
|
rB
z
r
shar.
Lekin
agar
n
z
x
idx
,
2
n
dz
dz
idx
dx
,
2
n
dz
dz
i
dx
1
2
...
n
dx
dx
dx
R2n
da hajm elementi.
Shuning uchun oldingi formulani quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin.
2
(2
)
2
(
1)!
r
r
n
n
n
n
i
i
dx
r
n
S
B
(7)
Aytaylik,
bo’lakli
silliq
D
chegarali
chegaralangan
n
D
soha
va
( )
( )
f
D
C D
O
funksiya berilgan bo’lsin. 0
D
deylik. Ma’lum formulaga asosan
\ 0
z
D
nuqtada
d f
df
fd
tenglikka ega bo’lamiz. Biroq,
0
df
, chunki golomorflik ta’sirida df faqatgina
dzv
differensiallar orqali ifodalanadi,
esa bu differensiallarni ko’paytmasini o’z ichiga oladi. fd ham (4) ga ko’ra 0 ga teng.
0
fd . Shunday qilib, f forma
D \ 0
da yopiq va Stoks teoremasiga ko’ra undan
D
bo’yicha olingan integralga teng.
Funksiya uzluksizligi va (7) formuladan foydalanib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
(2
)
(0)
( )
(
1)!
r
n
D
S
i
f
f
f
r
n
Bu yerda
0
( )
0
r
da
r
Chap tomoni r ga bog’liq emas, shuning uchun
( )
0
r
va natijada
