Ilmiybaza.uz
MATEMATIKA FANI VA UNING O'QITILISHIDAN MAQSADLARI VA
VAZIFALARI. DETERMINANTLAR VA UNING ASOSIY XOSSALARI
Reja:
1. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar.
2. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar.
3. Determinantlarning xossalari
4. n- tartibli determinantlarni hisoblash usullari.
Tayanch ibora va tushunchalar: Algebra, algoritm, 2, 3 va n -tartibli
determinantlar, bosh diagonal, yordamchi diagonal, minor, algebraik to‘ldiruvchi,
uchburchaklar
qoidasi,
diagonal
qoidasi,
determinantlarning
xossalari,
determinantni biror satri (ustuni) elementlari bo‘yicha yoyish.
Ilmiybaza.uz
1. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantlarni
hisoblashga keltiriladigan ushbu masalani qaraylik. Masala. A va B mahsulotlarni
ishlab chiqarish uchun 2 turdagi xom ashyodan foydalaniladi. Bitta A mahsulotni
ishlab chiqarish uchun 5 birlik 1-tur va 4 birlik 2-tur xom ashyo sarflanadi, bitta B
mahsulotni ishlab chiqarish uchun esa, 3 birlik 1-tur va 5 birlik 2-tur xom ashyo
ishlatiladi. 1-tur xom ashyo 62 birlik, 2-tur xom ashyo 73 birlikda berilgan bo‘lsa,
eng katta foyda olinadigan ishlab chiqarishni rejalashtirish uchun xom ashyo sarfi
modelini tuzing.
Bu masalaning matematik modelini tuzish maqsadida
1x bilan ishlab
chiqarilishi kerak bo‘lgan A mahsulot miqdorini,
2x bilan esa ishlab chiqarilishi
kerak bo‘lgan B mahsulot miqdorini belgilaylik. Bu holda
1
5x A mahsulotni ishlab
chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini,
2
3x esa B mahsulotni ishlab
chiqarish uchun sarflangan 1-tur xom ashyo miqdorini ifodalaydi.
2
1
3
5
x x
A va
B mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan 1-tur xom ashyo jami sarfi
miqdorini ifodalaydi, bu xom ashyo chegaralangan bo‘lib, 62 birlikda mavjud,
demak
62
3
5
2
1
x x
tenglama kelib chiqadi. Xuddi shunday qilib, 2-tur xom
ashyo sarfi uchun
73
5
4
2
1
x x
tenglamani hosil qilish mumkin. Shunday qilib,
73
5
4
62,
3
5
2
1
2
1
x
x
x
x
ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qildik. Bu
tenglamalar sistemasi berilgan A va B mahsulotlarni ishlab chiqarishda, xom ashyo
sarfining matematik modelini ifodalaydi.
Biz yuqorida eng oddiy iqtisodiy masalani qaradik, hamda uning modeli ikki
noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga keltirilishini ko‘rsatdik. Fan va
texnikaning juda ko‘p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar
sistemasi orqali ifodalanadi. Bu holatlar chiziqli tenglamalar nazariyasini umumiy
holda qarashimiz lozimligini ko‘rsatadi.
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
Ilmiybaza.uz
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
(1)
0
21
12
11 22
a a
a a
bo‘lsa,
(1)
tenglamalar
sistemasi
yagona
21
12
22
11
21
1
11
2
2
21
12
22
11
2 12
22
1
1
,
a a
a
a
b a
b a
x
a a
a
a
b a
b a
x
(2)
yechimga ega bo‘ladi. (2) formuladagi sur’at va maxrajdagi ifodalar 2-tartibli
determinant
(aniklovchi)
lar
deyiladi.
2-tartibli
determinantni
22
21
12
11
21
12
22
11
a
a
a
a
a a
a a
bilan
belgilanadi.
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
larga
determinantning elementlari deyiladi. Shunday qilib, (2) formulalarni determinantlar
yordamida
22
21
12
11
2
21
1
11
2
22
21
12
11
22
2
12
1
1
,
a
a
a
a
b
a
b
a
x
a
a
a
a
a
b
a
b
x
(3)
ko‘rinishda yozish mumkin.
23
22
13
12
31
32
33
12
13
21
33
32
23
22
11
a
a
a a
a
a
a
a a
a
a
a
a a
a
(4)
ifodaga 3- tartibli determinant deyiladi va
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a a
a
a a
a
a a
a
bilan belgilanadi.
33
22
11
,
,
a
a
a
elementlar bosh diagonalni,
31
22
13
,
,
a
a
a
yordamchi diagonalni
ifodalaydi. (4) tenglikda 2- tartibli determinantlarni kattaliklari bilan almashtirsak
11 12
13
21
22
23
11
22
33
21
32
13
31 12
23
13
22
31
31
32
33
12
21
33
11
23
32
(5)
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
а а а
Ilmiybaza.uz
bo‘ladi. (5) formulani esda saqlash uchun uchburchak qoidasidan foydalanish
mumkin. Elementlarni nuqtalar bilan belgilasak, ushbu sxema xosil bo’ladi :
+
(+) ishora bilan, (-) ishora bilan olinadi.
2. Minor va algebraik to‘ldiruvchilar
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a a
a
a a
a
a a
a
determinantda i - satrni va j - ustunni o‘chirishdan 2- tartibli
determinant hosil bo‘ladi, bunga
ij
a elementga mos minor deyiladi va
Mij
bilan
belgilanadi. Masalan,
33
31
13
11
22
33
32
13
12
21
,
a
a
a a
M
a
a
a a
M
va boshqalar.
aij
elementning algebraik to‘ldiruvchisi deb unga mos minorning musbat yoki
manfiy ishora bilan olingan kattaligiga aytiladi,bunda
i j
juft bo‘lsa, musbat
Ilmiybaza.uz
ishora bilan,
i j
toq bo‘lsa manfiy ishora olinadi.
ij
a elementning algebraik
to‘ldiruvchisini
ij
A bilan belgilanadi. Demak,
33
31
13
11
22
22
33
32
13
12
21
21
,
а
а
а а
М
А
а
а
а а
М
А
bo‘ladi va boshqalar.
3. Determinantlarning xossalari. Determinantlar quyidagi xossalarga ega:
1. Determinantning barcha satridagi elementlarini mos ustun elementlari bilan
almashtirilsa uning kattaligi o‘zgarmaydi, ya’ni
33
23
13
32
22
12
31
21
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
.
1-misol.
22
0
4
0
0
6
24
4
0
3
2
3
1
0
1
2
bo‘lib, bu determinantda
barcha satrlarini mos ustunlar bilan almashtirsak,
22
0
4
0
0
6
24
4
2
0
0
3
1
3
1
2
bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki,
ikkala holda ham bir xil kattalik hosil bo‘ldi, bu birinchi xossaning to‘g‘riligini
ko‘rsatadi.
2. Ikkita satr (ustun)ni o‘zaro almashtirilsa determinant kattaligining ishorasi
teskarisiga o‘zgaradi; haqiqatan ham 1- misoldagi determinantda 1-satrini 3-satri
bilan o‘zaro almashtirsak,
22
6
28
6
0
24
4
0
0
0
1
2
2
3
1
4
0
3
bo‘lib, bu 2-xossaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
3. Ikkita bir xil satr (ustun)li determinant kattaligi nolga teng;
Ilmiybaza.uz
ikkita satri bir xil bo‘lgan determinantni hisoblasak,
0
0
0
36
0
0
36
4
0
3
2
3
1
4
0
3
bo‘ladi, bu esa 3-xossaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi
4. Determinantning biror satr (ustun) ning hamma elementlarini m0 songa
ko‘paytirilsa, uning kattaligi shu m songa ko‘payadi.
Haqiqatan ham, 1-xossada keltirilgan determinantning 2-satri elementlarini 2 ga
ko‘paytirsak,
44
0
8
0
0
12
48
4
0
3
4
6
2
0
1
2
bo‘lib, bu xossaning ham to‘g‘riligi ko‘rinadi.
5. Determinantning ikkita satri (ustuni) elementlari o‘zaro proporsional
(mutanosib) bo‘lsa, uning kattaligi no‘lga teng, misol uchun,
1
2
0
3
3
6
1
1
2
determinant berilgan bo‘lsin. Bu determinantning 1 va 2-satri elementlari o‘zaro
proporsional, uni hisoblasak
0
12
6
0
12
0
6
1
2
0
3
3
6
1
1
2
bo‘lib, bu esa 5-xossaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi.
6. Determinantning kattaligi, biror satri (ustuni) elementlarini unga mos
algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytirib qo‘shilganiga teng. 1-xossada keltirilgan
misolni qaraymiz:
Ilmiybaza.uz
4
0
3
2
3
1
0
1
2
bu determinantni 3-satr elementlari bo‘yicha yoyib yozsak,
22
28
0
6
3
1
1
4 2
2
1
0
0 2
2
3
0
1
3
4
0
3
2
3
1
0
1
2
kelib chiqadi, bu esa 6-xossaning ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
7. Determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikkita qo‘shiluvchidan
iborat bo‘lsa, u holda bu determinant ikkita determinant yig‘indisiga teng bo‘ladi,
ya’ni
33
32
3
23
22
2
13
12
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
33
32
3
31
23
22
2
21
13
12
1
11
a a
b
a a
b
a a
b
a a
a
a a
a
a a
a
a a
b
a
a a
b
a
a a
b
a
.
Ushbu determinantni
4
2
0
0
3
1
3
1
2
quyidagicha almashtiramiz:
1
1
2
0
3
1
3
1
2
3
1
2
0
3
1
3
1
2
3 1
1 1
2
2
0
3
1
3
1
2
keyingi ikkita determinantni hisoblasak,
Ilmiybaza.uz
;0
0
3
3 18
0
18
3
1
2
0
3
1
3
1
2
22;
0
18 1
3
0
6
1
1
2
0
3
1
3
1
2
1-xossadagi misoldan ma’lumki, u 22 ga teng edi, keyingi ikki determinant
yig‘indisi ham 22 ga teng bo‘ladi, bu esa 7-xossaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
8. Determinantning biror ustini (satri) elementlariga boshqa ustini(satri)ning
mos elementlarini istalgan umumiy ko‘paytuvchiga ko‘paytirib qo‘shilsa, uning
kattaligi o‘zgarmaydi, ya’ni:
33
32
32
31
23
22
22
21
13
12
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a
a
a a
a
.
Misol uchun,
4
0
3
2
3
1
0
1
2
determinantning 2-ustun elementlarini 2 ga ko‘paytirib, 1-ustunning mos
elementlariga qo‘shib, hosil bo‘lgan determinantni hisoblasak:
22
6
28
4
3
2
7
0
3
3
7
0
4
3
2
7
1
4
0
2
3
0
4
0
3
2
3
7
0
1
0
Ilmiybaza.uz
bo‘ladi. Bu determinantning kattaligi 1- misolda hisoblaganimizdek 22 ga teng
edi, bu esa 8-xossaning ham to‘g‘riligini ko‘satadi;
Determinantlarning
xossalaridan
foydalanish
ko‘p
hollarda
qulay
hisoblashlarga olib keladi. Ushbu misolni qaraymiz.
2-misol.
126
10268
20537
689
8268
16536
513
6157
12314
determinantni hisoblang.
Yechish. Bu determinantni uchburchak qoidasi bilan hisoblash ko‘p xonali
sonlar bo‘lganligi uchun ancha noqulayliklarga olib keladi. Shuning uchun bu
determinantni hisoblash uchun, uning xossalaridan foydalanishga urinamiz. Ikkinchi
satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 1-satr mos elementlariga qo‘shamiz, bu holda
ushbu determinant hosil bo‘ladi:
;
126
10268
1
689
8268
0
513
6157
0
hosil bo‘lgan determinantni 1- satr elementlari bo‘yicha yoyib,ushbuni
8268 10268
6157 10268
6157 8268
6157 8268
0
0
1
689
126
513
126
513
689
513
689
olamiz.Oxirgi determinant 2-satr elementlarini (-12) ga ko‘paytirib 1-satr mos
elementlariga qo‘shib ushbu natijaga ega bo‘lamiz:
6157 8268
1
0
1 689
0 513
689.
12 513
689
513 689
Bu misoldan ko‘rinadiki, determinantlarni hisoblashda uning xossalaridan
foydalanish ancha qulayliklarga olib keladi.
3 –tartibli determinantni diagonallar usuli deb ataluvchi ushbu usul bilan ham
hisoblash mumkin:
Ilmiybaza.uz
11
12
13
11
12
21
22
23
21
22
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31
11
23
32
31
32
33
31
32
12
21
33 .
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а а а
а а а
а а а
а а а
а а а
а
а
а
а
а
а а а
1-misoldagi determinantni diagonal usulidan foydalanib hisoblasak,
22
4
0
0
0
6
24
0
3
1
3
1
2
4
0
3
2
3
1
0
1
2
bo‘ladi.
4. n- tartibli determinantlar haqida. Ko‘pgina masalalarni yechishda 2 va 3-
tartibli determinantlardan tashqari yanada yuqori tartibli determinantlar ham
uchraydi. Masalan, 4-tartibli determinant ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Umumiy holda n-tartibli determinant
n
n
nn
n
n
n
n
a A
a A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
12
12
11
11
2
1
2
22
21
1
12
11
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda
A n
A
A
1
12
11
,
,
,
mos ravishda
a n
a
a
1
12
11
,
,
,
elementlarning algebraik to‘ldiruvchilaridir. Ma’lumki, algebraik to‘ldiruvchilar
A n
A
A
1
12
11
,
,
,
ning tartiblari
( )1
n
bo‘ladi. Determinantlarning hamma xossalari
n-tartibli determinant uchun ham o‘rinlidir.
Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda determinantlarning 6-xossasidan
foydalanib, uning tartibini pasaytirish bilan 3 yoki 2-tartibli determinantlarga keltirib
Ilmiybaza.uz
hisoblanadi. Masalan, 4-tartibli determinantni 1-satr elemenlari bo‘yicha yoysak
ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
11
12
13
14
22
23
24
21
23
24
21
22
23
24
11
32
33
34
12
31
33
34
31
32
33
34
42
43
44
41
43
44
41
42
43
44
21
22
24
21
22
23
13
31
32
34
14
31
32
33
41
42
44
41
42
43
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Bundan yuqori tartibli determinantlarning ham kattaligi yuqoridagiga o‘xshash
hisoblanadi. Masalan, 6-tartibli determinantning kattaligini hisoblash kerak bo‘lsa,
uni biror satri yoki ustuni elementlari bo‘yicha yoyib 5-tartibli determinantlarga,
keyin o‘z navbatida 5-tartibli determinanatlarni ham biror satri yoki ustuni
elementlari bo‘yicha yoyib, 4-tartibli determinantlarga keltiriladi va hokazo.
Determinantlarning
yuqorida
ko‘rsatilgan
xossalari
hamma
tartibli
determinantlar uchun ham to‘g‘ri. Endi yuqori tartibli determinantlarni hisoblashga
misol qaraymiz. Ushbu determinantning kattaligini hisoblang.
1
1
2
0
3
0
4
2
4
2
3
1
0
3
0
2
Yechish. Berilgan determinantni 1-satr elementlari bo‘yicha yoyib
hisoblaymiz:
.2
24
22
16
6
3 2
16
4
9
2
2
0
4
2
4
1
0
3
2
3
1
2
3
4
1
3
1
2
0
4 4
1
2
3
2 4
1
1
3
3 0
2
1
2
0
0
4
2
2
3
1
0
1
2
0
3
4
2
4
3
1
3
1
1
0
3
0
2
4
2
1
0
1
1
2
3
0
4
4
2
3
2
1
1
2
0
3
0
4
2
4
2
3
1
0
3
0
2
Ilmiybaza.uz
Determinantlarni hisoblashda uning biror satri yoki ustunlarida nollar ko‘proq
bo‘lsa, o‘sha satr yoki ustun elementlari bo‘yicha yoyib hisoblash ancha qulaylik
keltiradi, masalan, yuqoridagi misolda 1-satr elementlari bo‘yicha yoyganimiz
uchun, ya’ni unda 2 ta nol element bo‘lgani uchun 2 ta 3- tartibli determinantlarni
hisoblab chiqishga hojat qolmadi. Bunday satr yoki ustunlar bo‘lmasa
determinantlarning 8-xossasidan foydalanib, uni bunday satrga yoki ustunga ega
bo‘ladigan qilib o‘zgartirish mumkin, misol uchun ushbu
1
2
1
3
4
2
2
1
3
1
3
0
4
5
2
1
determinantni hisoblaylik. Buning uchun 1-ustun elementlarini oldin 2 ga keyin
mos ravishda 5 ga, -4 ga ko‘paytirib, 2,3 va 4- ustunlarning mos elementlariga
qo‘shamiz, bu holda:
11
13
7
0
7
0
3
1
3
1
11
13
7
3
0
7
0
1
3
1
3
0
0
0
0
1
bo‘lib, keyingi 3-tartibli determinantni 2-satr elementlari bo‘yicha yoysak:
84
12
7
21
33
7
11
7
3
3
7
11
13
7
0
7
0
3
1
3
bo‘ladi.
Takrorlash uchun savollar
1. 2-tartibli determinant qanday belgilanadi va u nimaga teng?
2. 3-tartibli determinant qanday belgilanadi va u qanday hisoblanadi?
3. Uchburchak usuli deganda nimani tushunasiz?
Ilmiybaza.uz
4. Sarius usulini tushuntirib bering.
5. Determinantlarning xossalari nimalardan iborat.
6. Minor deb nimaga aytiladi?
7. Algebraik to’ldiruvchi deb nimaga aytiladi?
8. Algebraik to’ldiruvchining ishorasi qanday topiladi?
9. 4-tartibli determinantlarning kattaligi qanday hisoblanadi?
10. 5,6,…,n-tartibli determinantlar qanday belgilanadi va hisoblanadi?
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi determinantlarni birinchi ustun elementlari bo‘yicha
yoyib hisoblang:
1)
3
2
1
1
2
5
4
3
2
;
2)
a
a
a
a
a
1
1
1
1
;
3)
8
4
0
7
5
0
5
2
1
.
2. Quyidagi determinantlarni nollar eng ko’p bo’lgan satr elementlari
bo’yicha yoyib hisoblang:
1)
b
b
b
b
0
0
0
1
1
;
2)
8
4
0
7
5
0
5
2
1
3)
9
8
7
6
5
2
1
0
0
.
3. Quyidagi determinantlarni hisoblang:
1)
8
1
3
7
5
2
6
4
1
; 2)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
;
3)
x
x
x
x
x
1
1
0
1
.
Ilmiybaza.uz
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical Analysis I, (II). Springer-Verlag,
Italia, Milan, 2008 (2015).
2. B.A.Xudayarov “Matematikadan individual topshiriqlar to‘plami”. Toshkent
“O‘zbekiston” 2018 y. 164 b.
3. B.A.Xudayarov “Matematikadan misol va masalalar to‘plami” 2018 y.
Toshkent, “O‘zbekiston”. 304 b.
4. E.F.Fayziboyev, Z.I.Suleymenov, B.A.Xudayarov “Oliy matematikadan misol
va masalalar to‘plami”. 2005 y. Toshkent, “O‘qituvchi”. 254 b.
5. F.Rajabov va boshqalar. “Oliy matematika”. 2007 y. Toshkent, “O‘zbekiston”.
400 b.
6. Б.A.Худаяров Индивидуальный сборник задание по математики.
Ташкент.
7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М, Наука, 1987.
8. Yo. U.Soatov “Oliy matematika”. Toshkent, “O‘qituvchi”, 1998 y. 456 b.
