Ilmiybaza.uz
MATRITSA RANGI. MATRITSA RANGINI HISOBLASH
USULLARI
Reja
1. Matritsa rangi ta’rifi va uning xossalari.
2. Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.
3. Ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsa rangini hisoblash.
Tayanch soʻz va iboralar. Matritsa, k-chi tartibli minor, matritsa rangi,
minorlar usuli, ekvivalent almashtirishlar.
Ilmiybaza.uz
1. Matritsa rangi ta’rifi va uning xossalari.
1-ta’rif. Ixtiyoriy oʻlchamli matritsaning k ta satr va k ta ustunlarini ajratilgan
boʻlib, bu satr va ustunlar kesishmalarida yotgan elementlaridan hosil bo‘lgan
kvadrat matritsa determinantiga matritsaning k chi tartibli minori deyiladi.
Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda boʻlsa, uning eng katta tartibli minori
oʻziga teng. Agar berilgan matritsa n
m
chi tartibli boʻlsa, u holda uning eng
katta tartibli minorining tartibi
min( ,m)
k
n
boʻladi.
Agar berilgan matritsa n
m
chi tartibli boʻlsa, u holda bu matritsadan ajratish
mumkin bolgan k tartibli minorlar sonini
k
k
n
m
C
C
formula bilan topiladi, bu erda
!
! (
)!
k
n
n
C
k
n
k
va
m!
! (m
)!
k
Cm
k
k
, n yoki m ta elementdan k tadan
gruppalashlar soni.
1-misol.
4
5
7
7
2
1
4
3
3
7
0
8
A
matritsaning minorlarini aniqlang.
Yechish.
1- tartibli minorlar. Bu matritsaning ixtiyoriy elementi 1- tartibli minor
tashkil qiladi. Demak bu matritsada 12 ta 1-tartibli minor bor.
2-tartibli minorlar.
2
4
5
2
1
M
1 va 2-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
2
4
7
2
4
M
1 va 2-satrni, hamda 1 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
2
4
5
3
7
M
1 va 3-satrni, hamda 1 va 2-ustunlarni ajratishdan hosil qilingan.
Va hokazo shu tartibda davom qilib
Ilmiybaza.uz
2
2
3
4
3!
4!
2! 3 2! 3 4
3 3 2
18
2!(3
2)! 2!(4
2)!
2!1! 2!1 2
C
C
ta
2-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.
3-tartibli minorlar.
4
5
7
7
2
1
4
3
3
7
0
8
A
3
4
5
7
2
1
4
3
7
0
M
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil
qilingan 3-tartibli minor.
3
4
5
7
2
1
3
3
7
8
M
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil
qilingan 3-tartibli minor.
3
4
7
7
2
4
3
3
0
8
M
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil
qilingan 3-tartibli minor.
3
5
7
7
1
4
3
7
0
8
M
1,2 va 3-satrni, hamda 2, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil
qilingan 3-tartibli minor.
Boshqa 3-tartibli minor yoq. Formula boʻyicha ham
3
3
3
4
3!
4!
1 3! 4
4
3!(3
3)! 3!(4
3)!
0! 3! 1!
C
C
ta
Ilmiybaza.uz
3-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.
2-ta’rif. A matritsaning noldan farqli minorlarining eng kattasining tartibiga
matritsaning rangi deyiladi va
( )
rang A
r A
koʻrinishida belgilanadi.
Matritsa rangi ta’rifidan bevosita kelib chiquvchi xossalari:
1)
Agar A matritsa m n
oʻlchovli boʻlsa, u holda
min
;
;
rangA
m n
2)
A matritsaning barcha elementlari nolga teng boʻlsa, u holda
rangA 0;
3)
Agar A matritsa ntartibli kvadrat matritsa va
A 0
boʻlsa, u holda
.
rangA
n
2-misol.
1
-2
2 4
3
-7
A
matritsa rangini aniqlang.
Yechish. Berilgan matritsa
3 2
oʻlchamli boʻlgani uchun satrlar va
ustunlar sonini taqqoslaymiz va kichigini, ya’ni 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi
tartibli minorlar ajratamiz va ularning qiymatini hisoblaymiz. Bu jarayonni noldan
farqli ikkinchi tartibli minor topilguncha davom ettiramiz:
1
2
1
2
1
2
0,
1
0.
2
4
3
7
M
M
Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi.
Demak, ta’rifga binoan, A matritsa rangi 2 ga teng, ya’ni
rang A 2
.
Bizga
n m
A matritsa berilgan bo‘lsin. Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan
foydalanib topish algoritmini;
Ilmiybaza.uz
1). Bu matritsaning eng katta
min( ,
)
k
n m
tartibli minorlarini tekshirib
chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu
jarayonni toxtatib matritsaning rangi
r An m
k
ga teng deb olamiz.
2). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u
holda bu matritsaning ixtiyoriy
ij
a elementini tanlab, shu element turgan satr va
ustunni ochiramiz. Natijada (
n 1) (m 1)
- tartibli matritsa hosil bo‘ladi. Bu
matritsadagi (k-1) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan
birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
1
r An m
k
ga teng deb olamiz.
3). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u
holda bu ( k-2 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan
birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
2
r An m
k
ga teng deb olamiz.
4). Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u
holda barcha ( k-3 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Va hakoza shu jaroyon
3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
1
1
1
2
0
2
2
6
0
4
4
3
11
1
7
A
Yechish.1). Matritsa noldan farqli 2-tartibli minorni qidiramiz:
2
1
1
2
2
4
2
2
M
.
Demak 2-tartibli noldan farqli minor mavjud.
2). Noldan farqli 3-tartibli minorni qidiramiz:
Bunday minorlar soni
3
3
3
5
3!
5!
10
3! 0! 3! 2!
C
C
ta
Ilmiybaza.uz
3
1
1
1
2
2
6
0
4
3
11
M
;
3
1
1
2
2
2
0
0
4
3
1
M
;
3
1
1
2
2
6
0
0
4
11
1
M
;
3
1
1
0
2
6
4
0
4
11
7
M
;
3
1
1
0
2
6
4
0
3
11
7
M
;
3
1
2
0
2
0
4
0
3
1
7
M
Va hakoza barcha 3-tartibli minorlar nolga teng. Demak matritsaning rangi 2
ga teng.
Matritsaning
rangini
bevosita
ta’rifdan
foydalanib
topish
yuqorida
ko‘rganimizday juda kop hisoblashlarni talab qiladi. Shu sababli matritsa kamroq
hisoblashlar bilan topish usullarini korib chiqamiz. Bu usullar 2xil- oʻrab turuvchi
minorlar usuli va ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsaning rangini
hisoblash.
2.Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.
3-ta’rif. k tartibli minorni o‘z ichiga oluvchi barcha
1
k tartibli minorlar
o‘rab turuvchi minorlar deyiladi.
Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli quyidagi
teoremaga asoslanadi.
1-Teorema. Agar n m
oʻlchobli matritsaning biror k tartibli minorini o‘rab
turuvchi barcha
1
k tartibli minorlar nolga teng boʻlsa, u holda bu matritsadagi
barcha
1
k tartibli minorlar nolga teng boladi.
3-misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
2
1
3
4
2
6
10
5
15
A
Yechish.1). Matritsa noldan farqli, shu sababli 1-tartibli minor sifatida
ixtiyoriy elementni, masalan
1
2
2
M
ni olishimiz mumkin. Bu minorni o‘rab turuvchi 2-tartibli minorni qidiramiz:
Ilmiybaza.uz
2
2
1
4
4
0
4
2
M
;
2
2
3
12
12
0
4
6
M
;
2
2
1
10
10
0
10
5
M
;
2
2
3
30
30
0
10
15
M
Demak
1
M o‘rab turuvchi barcha 2-tartibli minorlar nolga teng. Bu minorlarni
o‘rab turuvchi 3-tartibli minorni tekshiramiz:
3
2
1
3
4
2
6
0
10
5
15
M
.
Bundan ( )
1
r A .
O‘rab turuvchi minorlar usulining algoritmi quyidagicha:
1. Agar matritsa noldan farqli bo‘lsa, u holda noldan farqli ikkinchi tartibli
minorni qidiramiz. Agar barcha 2- tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, u holda
matrirsaning rangi 1 ga teng bo‘ladi.
2. Agar hech bo‘lmaganda bitta noldan farqli ikkinchi tartibli minor mavjud
bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarni qurib olamiz.
Agar bu o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u
holda matritsaning rangi 2 ga teng bo‘ladi.
3. Agar hech bolmaganda bitta noldan farqli uchinchi tartibli minor mavjud
bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarni qurib olamiz.
Agar bu o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u
holda matritsaning rangi 3 ga teng bo‘ladi.
4. Va hakoza shu jarayon dabom ettirilib noldan farqli k tartibli minori
topiladi. k tartibli minor noldan farqli bo‘lib, bu minorni o‘rab turuvchi
barcha
1
k tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lganda,
matritsaning rangi shu noldan farqli minorning tartibi k ga teng bo‘ladi.
Bu usul hisoblash ishlarini ancha kamaytirish imkoniyatini beradi.
Ilmiybaza.uz
4-misol. Quyidagi matritsaning rangini o‘rab turuvchi minorlar usuli bilan
toping.
2
1
0
1
3
4
2
1
0
1
2
1
1
1
4
0
0
2
4
14
A
Yechish.
Matritsaning
11
a elementi noldan farqli boʻlganligi sababli bu elementni
birinchi tartibli minor deb qarab, bu minorni oʻrab turuvchi, noldan farqli 2- tartibli
minorni qidiramiz:
1). 2
1
0
4
2 ; 2). 2
0
2
4
1 .
Noldan farqli, bu minorni oʻrab turuvchi barcha 3-tartibli minorlarni qarab
chiqamiz.
3
2
1
0
4
2
1
4
2
0
0
4
2
0
2
1
1
M
;
3
2
1
0
4
2
1
8
0
0
0
8
0
0
0
0
2
M
3
2
0
1
4
1
0
2
4
0
2
0
0
0
2
1
1
M
3
2
0
3
4
1
1
8
0 12
6
0
2
0
2
1
4
M
Ilmiybaza.uz
3
2
0
1
4
1
0
8
0
8
0
0
0
0
0
2
4
M
3
2
0
3
4
1
1
28
0
24
0
0
4
0
0
2
14
M
Yuqoridagi 1-teoremaga kora barcha 3 –tartibli minorlar nolga teng
(
3
3
4
5
4!
5!
4 10
40
3! 1! 3! 2!
C
C
ta ). Demak berilgan matritsaning rangi 2 ga teng.
4-ta’rif. Matritsa ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga elementar
almashtirishlar deyiladi.
1. Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa
koʻpaytirish;
2. Matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirish;
3. Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni)
mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshish;
4. Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish;
5. Matritsani transponirlash.
2-Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi.
Bu teoremani misolda tushinib olamiz.
4-misol. Elementar almashtirishlar bajaring va hosil boʻlgan matritsaning
rangini toping.
2
1
0
1
3
4
2
1
0
1
2
1
1
1
4
0
0
2
4
14
A
Ilmiybaza.uz
Yechish. Matritsada birinchi satrni -2 ga koʻpaytirib ikkinchi satriga va
birinchi satrni -1 ga koʻpaytirib uchinchi satriga ikkinchi satrni 3
ga koʻpaytirib,
birinchini ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni 5 ga, uchunchi satrni 3
ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak,
3
1
2
1
0
5
7
4
0
1
1
2
matritsa hosil boʻladi.
Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi
satrni uchunchi satrga qoʻshsak,
3
1
2
1
0
5
7
4
0
0
12
6
matritsa hosil boʻladi. Yana
2
3
3
0
4
2
4
5
2
1
1
5
B
matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,
2
3
3
0
2
3
3
0
0
4
2
5
0
4
2
5
0
4
2
5
0
0
0
0
B
hosil boʻladi.
A va B matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan
iborat: m satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin
birinchi va uchinchi satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va m satrlarni shunday sonlarga
koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa
hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi satrdan boshlab birinchi ustun elementlari
nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida keyingi hamma satrlar bilan yana
shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, ikkinchi ustun
elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab uchinchi ustun
Ilmiybaza.uz
elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom
ettiriladi.
Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli
ifodalangan boʻlsa, u holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma
elementlari nollarga (ya’ni bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.
Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi
almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng
boʻladi, chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.
Yuqorida
qoʻllaniladigan
almashtirishlar
matritsani
elementar
almashtirishlardan iborat boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.
3-Teorema. Pog‘onasimon matritsaning rangi uning nolmas satrlari soniga
teng.
Ixtiyoriy matritsaning rangini aniqlash uchun yuqorida kо‘rsatilgan qoida
bо‘yicha elementar almashtirishlar yordamida matritsa pog‘onasimon matritsaga
keltiriladi:
11
12
1
1
22
2
2
...
...
0
...
...
,
.
.
.
.
.
.
0
0
...
...
r
k
r
k
rr
rk
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
bu yerda
0,
1,..., ,
.
iia
i
r
r
k
Pog‘onasimon matritsaning rangi r ga teng.
Masalan, yuqoridagi misollarda
r A 3,
2
r B boʻladi.
5-misol.
1
2
1
3
3
1
0 7
2
3
-1
4
A
matritsaning rangini aniqlang.
Yechish. Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar
almashtirishlar bajaramiz:
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3
1
0 7
0
7
-3 2
0
7
-3 2 .
2
3
-1
4
0
7
-3
2
0
~
0
~
0
0
Ilmiybaza.uz
Matritsa pog‘onasimon matritsaga keltirildi. Uchinchi satr barcha elementlari
nollardan iborat boʻlganligi sababli, berilgan matritsa rangi ikkiga teng.
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar
1.
K chi tartibli minor deb nimaga aytiladi?
2.
n m
o‘lchamli matritsaning k chi tartibli minorlari soni qanday formula bilan
topiladi?
3.
O‘rab oluvchi minor deb nimaga aytiladi?
4.
Matritsaning rangi deb nimaga aytiladi?
5.
Matritsa rangini hisoblashning qanday usullarini bilasiz?
6.
Matritsaning rangini topishning o‘rab oluvchi minorlar usuli algoritmini
keltiring.
7.
Matritsa ustida elementar almashtirishlar deb qanday almashtirishga aytiladi?
8.
Matritsa ustida qanday amallarni bajarganda uning rangi o’zgarmaydi?
9.
Matritsaning rangini topishning elementar almashtirishlar usuli algoritmini
keltiring.
Asosiy adabiyotlar:
1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5nd
Edition, 2016.
2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers,
42nd Edition, 2012.
3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K.
Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020.
4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv
uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.
5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар,
1995.
6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.
Asosiy adabiyotlar:
Ilmiybaza.uz
7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан
бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини
таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.:
Ўзбекистон, 2017.
9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини
биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy
qo‘llanma. Toshkent. 2014.
11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент
“Ўқитувчи” 1984.
12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических
университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов
технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к
решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
18. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
19. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, -
М.: Наука. 1997.
