Ilmiybaza.uz MATRITSALAR. MATRITSALAR USTIDA AMALLAR. MATRITSA ASOSIY HOSSALARI VA MATRITSA RANGI. TESKARI MATRITSA TUSHUNCHASI.  Matritsalar va ularning turlari.  Matritsalar ustida amallar.  Matritsalarning iqtisodiy tatbiqlari.  Teskari matritsa tushunchasi. Ilmiybaza.uz Matritsalar va ularning turlari Matritsa bir qator matematik va iqtisodiy masalalarni yechishda juda ko‘p qo‘llaniladigan tushuncha bo‘lib, uning yordamida bu masalalar va ularning yechimlarini sodda hamda ixcham ko‘rinishda ifodalanadi. 1-TA’RIF: m ta satr va n ta ustundan iborat to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi mn ta sondan tashkil topgan jadval m×n tartibli matritsa, uni tashkil etgan sonlar esa matritsaning elementlari dеb ataladi. Matritsalar A,B,C,… kabi bosh harflar bilan, ularning i-satr va j-ustunida joylashgan elementlari esa odatda аіј , bіј , сіј kabi mos kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, А= 1 3 12 0 75 1       . . matritsa 2×3 tartibli, ya’ni 2 ta satr va 3 ta ustun ko‘rinishidagi 2·3=6 ta sondan tashkil topgan. Uning 1-satr elementlari а11 =1, а12 = –3, а13 =1.2 va 2-satr elementlari а21 =0, а22 =7.5, а23 = –1 sonlardan iborat. Bu matritsaning 1-ustuni а11 =1 va а21 =0, 2-ustuni а12 = –3 va а22 = 7,5, 3-ustuni esa а13 =1.2 va а23 = –1 elementlardan tuzilgan. Agar biror A matritsaning tartibini ko‘rsatishga ehtiyoj bo‘lsa, u Аm×n ko‘rinishda yoziladi va umumiy holda               mn m m n n n m a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 yoki qisqacha Аm×n =( аіј ) ko‘rinishda ifodalanadi. 2-TA’RIF: Аmхn matritsada m = n  1 bo‘lsa, u kvadrat matritsa, m  n (m1, n1) bo‘lsa to‘g‘ri burchakli matritsa , m=1, n1 holda satr matritsa va m1, n=1 bo‘lganda ustun matritsa deb ataladi. Аnхn kvadrat matritsa qisqacha Аn kabi belgilanadi va n-tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Ilmiybaza.uz Masalan, xalq xo‘jaligining n ta tarmoqlari orasidagi o‘zaro mahsulot ayirboshlash Аn =( аіј ) kvadrat matritsa yordamida ifodalanadi. Bunda аіј (i,j=1,2, … , n va i≠j) i-tarmoqda ishlab chiqarilgan mahsulotning j-tarmoq uchun mo‘ljallangan miqdorini, аіi (i=1,2, … , n) esa i-tarmoqning o‘zi ishlab chiqargan mahsulotga ehtiyojini bildiradi. Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, m=1 va n=1 bo‘lganda А1×1 matritsa bitta sonni ifodalaydi va shu sababli ma’lum bir ma’noda matritsa son tushunchasini umumlashtiradi. 3-TA’RIF: A va B matritsalar bir xil tartibli va ularning mos elеmеntlari o‘zaro tеng bo‘lsa, ya’ni аij = bij shart bajarilsa, ular tеng matritsalar deyiladi. A va B matritsalarning tengligi A=B yoki ( аіј)= (bіј) ko‘rinishda belgilanadi. Masalan, ixtiyoriy a≠0 soni uchun                  2 1 0 2 , : a a B а а а а а а а а A matritsalar o‘zaro teng, ya’ni A = B bo‘ladi. 4-TA’RIF: А={аіј} matritsada i=j bo‘lgan аіі elеmеntlar diagonal elеmеntlar dеb ataladi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan А2×3 matritsaning diagonal elementlari а11 =1 va а22 =7.5 bo‘ladi. 5-TA’RIF: Diagonal elеmеntlaridan boshqa barcha elеmеntlari nolga tеng bo‘lgan ( аіј =0, і j ) kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi. Diagonal matritsaning diagonal elementlari nolga ham teng bo‘lishi mumkin. Masalan,                         3 0 0 0 0 0 0 0 15 , 1 , 0 0 2 3 3 3 2 2 2 B B A A diagonal matritsalar bo‘ladi. 6-TA’RIF: Barcha diagonal elеmеntlari аіi =1 bo‘lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa yoki qisqacha birlik matritsa deyiladi. Odatda n-tartibli birlik matritsa En yoki qisqacha E kabi belgilanadi. Masalan, Ilmiybaza.uz        1 0 0 1 E2 ,            1 0 0 0 1 0 0 0 1 E3 mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir. 7-TA’RIF: Barcha elеmеntlari nolga tеng (аі ј =0) bo‘lgan ixtiyoriy m×n tartibli matritsa nol matritsa deyiladi. m×n tartibli nol matritsa О m×n yoki qisqacha О kabi belgilanadi. Masalan, O2×3 =       0 0 0 0 0 0 , O3×2 =           0 0 0 0 0 0 , O3×3 = O3 =           0 0 0 0 0 0 0 0 0 ko‘rsatilgan tartibli nol matritsalar bo‘ladi. Matritsalar ustida amallar Endi matritsalar ustida algebraik amallar kiritib, matritsalar algebrasini hosil etamiz. 8-TA’RIF: Ixtiyoriy tartibli Аm×n =(аij) matritsaning istalgan  songa ko‘paytmasi dеb Cm×n ={ аij} kabi aniqlanadigan matritsaga aytiladi. Bunda A matritsaning  songa ko‘paytmasi A deb belgilanadi. Masalan,                             12 42 0 24 - 6 30 0 6 2 6 7 6 6 5 6 4 6 (-1) 6 2 7 0 5 4 -1 A А . 9-TA’RIF: Bir xil tartibli Аm×n =(аij) va Bm×n =(bij) matritsalar yig‘indisi dеb elеmеntlari сij = аij + bij kabi aniqlanadigan Cm×n =(cij) matritsaga aytiladi. Bunda A va B matritsalarning yig‘indisi A+B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini qo‘shish orqali hisoblanadi. Masalan, 4 , 3 2 1 0 1 2 , 7 0 1 3 5 2 3 2 3                     B B A A matritsalar uchun                        6 4 2 0 3 6 4 2 ( 3) 7 2 0 1 1 0 3 1 5 B A . Ilmiybaza.uz Matritsalarni songa ko‘paytirish va o‘zaro qo‘shish amallari quyidagi qonunlarga bo‘ysunishi bevosita ularning ta’riflaridan kelib chiqadi: I. A+B=B+A (qo‘shish uchun kommutativlik qonuni); II. А+(В+С) = (А+В)+С (qo‘shish uchun assotsiativlik qonuni); III.  (А+В) = А + В , (  +  )А = А + А (distrubutivlik qonuni) Bundan tashqari yuqoridagi ta’riflar orqali bu amallar ushbu xossalarga ham ega bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas: А + О = А , А+А =2А, 0  А = О ,   О = О. 10-TA’RIF: Bir xil tartibli Аm×n =(аij) va Bm×n =(bij) matritsalar ayirmasi dеb Аm×n va (–1) Bm×n matritsalarning yig‘indisiga, ya’ni Аm×n+(–1)Bm×n matritsaga aytiladi. Bunda A va B matritsalarning ayirmasi A–B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini o‘zaro ayirish orqali hisoblanadi. Masalan, 4 , 3 2 1 0 1 2 , 7 0 1 3 5 2 3 2 3                     B B A A matritsalar uchun                           2 10 2 2 3 4 4 2 )3 ( 7 2 0 1 1 0 3 1 5 B A . 11-TA’RIF: Аm×р=(aij) vа Вp×n=(bij) matritsalarning ko‘paytmasi dеb shunday Сm×n=(cij) matritsaga aytiladiki, uning cij elеmеntlari ushbu      р 1 , ,2 ,1 ; , ,2 ,1 , k ik kj ij n j m i a b c   yig‘indilar kabi aniqlanadi. Shunday qilib, Аm×р=(aij) vа Вq×n=(bij) matritsalar uchun p=q, ya’ni A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgandagina ularning ko‘paytmasi mavjud bo‘ladi va AB kabi belgilanadi. Bunda AB=Сm×n=(cij) matritsaning satrlar soni m birinchi A ko‘paytuvchi matritsa, ustunlar soni n esa ikkinchi B ko‘paytuvchi matritsa orqali aniqlanadi. Bundan tashqari AB=Сm×n=(cij) ko‘paytma matritsaning cij elеmеnti A matritsaning i – satr elеmеntlarini B matritsaning j-ustunidagi mos elеmеntlariga ko‘paytirib, hosil Ilmiybaza.uz bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish orqali hisoblanadi. Bu “satrni ustunga ko‘paytirish” qoidasi deb aytiladi. Masalan,                       2 1 4 6 , 5 4 2 0 1 3 2 2 3 2 B A matritsalar uchun m=3, p=q=2, n = 2 bo‘lgani uchun ularning ko‘paytirish mumkin va ko‘paytma matritsa АВ=С3х2 quyidagicha bo‘ladi:                                                   6 29 4 2 10 19 5 2 4 ( 4) 5 1 6 4 ( 2) 2 0 ( 4) ( 2) 1 6 0 1 2 3 ( 4) 1 1 6 3 C3 2 . Matritsalar ko‘paytmasi uchun АВВА, ya’ni kommutativlik qonuni o‘rinli bo‘lmaydi. Masalan, Аm×qВq×n=Cm×n ko‘paytma mavjud, ammo Вq×n Аm×q ko‘paytma har doim ham mavjud emas va mavjud bo‘lgan taqdirda, ya’ni n=m holda ham ular teng bo‘lishi shart emas. Masalan,                 1 0 7 2 , 5 4 1 3 B A matritsalar uchun АВВА, chunki                                               5 4 33 34 5 4 1 3 1 0 7 2 23 , 8 22 6 1 0 7 2 5 4 1 3 BA AB . Matritsalar ko‘paytmasi va yig‘indisi quyidagi qonunlarga bo‘ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo‘ladi: I. А(ВС)=(АВ)С , (А)В=А(В) (ko‘paytirish uchun assotsiativlik qonuni); II. А(В+С) = АВ + АС (ko‘paytirish va qo‘shish amallari (А+В)С = АС + ВС uchun distributivlik qonunlari); III. АЕ = ЕА = А , О·А = О, A·O = О , O·A= О . Bunda E va О mos ravishda tegishli tartibli birlik va nol matritsalarni ifodalaydi. Matritsa ko‘paytmasi ta’rifidan ko‘rinadiki, har qanday n-tartibli A kvadrat matritsani o‘ziga–o‘zini ko‘paytirish mumkin va natijada yana n-tartibli kvadrat matritsa hosil bo‘ladi. Ilmiybaza.uz 12-TA’RIF: A kvadrat matritsani o‘zaro m marta (m – birdan katta ixtiyoriy natural son) ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan kvadrat matritsa A matritsaning m- darajasi deyiladi. A matritsaning m- darajasi Am kabi belgilanadi. Bunda A0=E va A1=A deb olinib, Am daraja ixtiyoriy nomanfiy butun m soni uchun aniqlanadi. Bu holda Am daraja ta’rifdan uning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi (m,k-natural sonlar, λ- haqiqiy son): . .5 ; .4 ; ) (.3 ; ) (.2 ; .1          m m m m m mk m k m k k m E E A A A A A A A   Shunday qilib, har qanday kvadrat matritsa uchun natural darajaga ko‘tarish amalini kiritish mumkin ekan. Masalan, 47 . 12 60 13 3 1 5 2 14 1 5 9 14 , 1 5 9 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5 2 2 3 2                                                           A A A A A Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, 5-xossaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni Am=О tenglikdan har doim ham A=О ekanligi kelib chiqmaydi. Masalan, . 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2                                       A A Kelgusida matritsani darajaga ko‘tarish amalini ixtiyoriy m butun son uchun umumlashtiramiz. 13-TA’RIF: B=(bij) matritsa A=(aij) matritsaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarida aij=bji shart bajarilsa. A matritsaning transponirlangani AT kabi belgilanadi. Agar A matritsa m×n tartibli bo‘lsa, uning transponirlangani AT n×m tartibli bo‘ladi.Masalan, . 5 1 0 4 3 2 5 0 3 1 4 2 3 2 3 2                          AT A Ilmiybaza.uz Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi va u quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatish mumkin: 1. (AT)T=A ; 2. (λA)T=λAT (λ– ixtiyoriy haqiqiy son); 3. (A±B)T= AT±BT ; 4. (A·B)T= BT·AT . 14-TA’RIF: Agar A kvadrat matritsa uchun AT=A bo‘lsa, u simmetrik matritsa, AT= –A bo‘lganda esa kososimmetrik matritsa deb ataladi. Ta’rifdan har qanday simmetrik matritsaning elementlari aij= aji , kososimmetrik matritsaning elementlari esa aij=– aji shartni qanoatlantirishi bevosita kelib chiqadi. Bundan kososimmetrik matritsaning barcha diagonal elementlari nolga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Masalan,                             0 4 2 4 0 3 2 3 0 , 2 4 1 4 0 6 1 6 3 B A matritsalardan A simmetrik, B kososimmetrik bo‘ladi. Takrorlash uchun savollar 1. Matritsa dеb nimaga aytiladi? 2. Matritsaning tartibi qanday aniqlanadi? 3. Matritsaning elementi deb nimaga aytiladi? 4. Matritsalar qanday turlarga ajratiladi? 5. Qachon ikkita matritsa teng deyiladi? 6. Matritsaning qanday elementi diagonal deyiladi? 7. Birlik matritsa qanday ta’riflanadi? 8. Qachon matritsa nol matritsa deyiladi? 9. Matritsani songa ko‘paytirish qanday aniqlanadi? 10. Qaysi shartda matritsalarni qo‘shish yoki ayirish mumkin? 11. Matritsalar yig‘indisi yoki ayirmasi qanday topiladi? 12. Matritsalarni qo‘shish amali qanday qonunlarga bo‘ysunadi? 13. Matritsalarni qo‘shish amali qanday xossalarga ega? Ilmiybaza.uz