Ilmiybaza.uz
MATRITSALAR VA ULAR USTIDA AMALLAR
Reja
1.1. Matritsaga doir asosiy ta’rif va tushunchalar.
1.2. Matritsalar ustida amallar va ularning xossalari.
Tayanch soʻz va iboralar: matritsa, satr matritsa, ustun matritsa, satr-
vektor, ustun-vektor, vektor komponenti, nol matritsa, teng matritsa, zanjirlangan
matritsalar, kvadrat matritsaning bosh diagonali, diagonal matritsa, skalyar
matritsa, birlik matritsa, transponirlangan matritsa, simmetrik matritsa, qiya
simmetrik matritsa.
![Ilmiybaza.uz
Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning “Matritsalar
algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, komgyuter texnologiyalari va dasturlash
sohasida muhim ahamiyatga ega.
Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805-
1865-y.y.) va A.Kel (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa
tushunchasi tabiiy va amaliy jarayonlarning matematik modellarini tuzishda
muhim vosita sifatida qoʻllaniladi.
1-ta’rif. m ta satr va n ta ustundan iborat boʻlgan qavslar ichiga olingan
toʻrtburchakli sonlar jadvaliga matritsa deyiladi.
Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan,
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
.
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami
m n
kabi yoziladi. Matritsaning i satr, j ustun kesishmasidagi element
ija
kabi belgilangan. Demak,
34
a element 3 - satr va 4 - ustun kesishmasida
joylashgan elementdir.
Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi
belgilardan foydalaniladi.
Aytaylik quyidagi jadvalda iqtisodiyotning tarmoqlari boʻyicha resurslarning
taqsimlanishi berilgan boʻlsin:
Resurslar
Iqtisodiyot tarmoqlari
Sanoat
Qishloq xoʻjaligi
Elektr energiyasi resurslari
7,3
5,2
Mehnat resurslari
4,6
3,1](/media/image/matritsalar-va-ular-ustida-amallar-matritsaga-doir-asosiy-tarif-va-tushunchalar-matritsalar-ustida-amallar-va-ularning-xossalari692page_2.png "Ilmiybaza.uz
Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning “Matritsalar
algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, komgyuter texnologiyalari va dasturlash
sohasida muhim ahamiyatga ega.
Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805-
1865-y.y.) va A.Kel (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa
tushunchasi tabiiy va amaliy jarayonlarning matematik modellarini tuzishda
muhim vosita sifatida qoʻllaniladi.
1-ta’rif. m ta satr va n ta ustundan iborat boʻlgan qavslar ichiga olingan
toʻrtburchakli sonlar jadvaliga matritsa deyiladi.
Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan,
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
.
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami
m n
kabi yoziladi. Matritsaning i satr, j ustun kesishmasidagi element
ija
kabi belgilangan. Demak,
34
a element 3 - satr va 4 - ustun kesishmasida
joylashgan elementdir.
Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi
belgilardan foydalaniladi.
Aytaylik quyidagi jadvalda iqtisodiyotning tarmoqlari boʻyicha resurslarning
taqsimlanishi berilgan boʻlsin:
Resurslar
Iqtisodiyot tarmoqlari
Sanoat
Qishloq xoʻjaligi
Elektr energiyasi resurslari
7,3
5,2
Mehnat resurslari
4,6
3,1")
Ilmiybaza.uz
Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning “Matritsalar
algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, komgyuter texnologiyalari va dasturlash
sohasida muhim ahamiyatga ega.
Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805-
1865-y.y.) va A.Kel (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa
tushunchasi tabiiy va amaliy jarayonlarning matematik modellarini tuzishda
muhim vosita sifatida qoʻllaniladi.
1-ta’rif. m ta satr va n ta ustundan iborat boʻlgan qavslar ichiga olingan
toʻrtburchakli sonlar jadvaliga matritsa deyiladi.
Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan,
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
.
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami
m n
kabi yoziladi. Matritsaning i satr, j ustun kesishmasidagi element
ija
kabi belgilangan. Demak,
34
a element 3 - satr va 4 - ustun kesishmasida
joylashgan elementdir.
Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi
belgilardan foydalaniladi.
Aytaylik quyidagi jadvalda iqtisodiyotning tarmoqlari boʻyicha resurslarning
taqsimlanishi berilgan boʻlsin:
Resurslar
Iqtisodiyot tarmoqlari
Sanoat
Qishloq xoʻjaligi
Elektr energiyasi resurslari
7,3
5,2
Mehnat resurslari
4,6
3,1
Ilmiybaza.uz
Suv resurslari
4,8
6,1
Bu resurslar taqsimotini matritsa koʻrinishida quyidagicha yozish mumkin:
7,3
5,2
4,6
3,1
.
4,8
6,1
A
Bu matritsaning oʻlchami 3
2
boʻlib, satrlari resurs turlariga
ustunlari esa tarmoqlarga mos keladi.
(1 n
) oʻlchamli matritsaga satr matritsa, (
1
m ) oʻlchamli matritsaga esa
ustun matritsa deyiladi, ya’ni
11
12
1n
K
a
a
a
,
11
21
1
.
m
a
a
L
a
Bundan tashqari ba’zida bu matritsalar mos ravishda satr-vektor va ustun-
vektor deb ham ataladi. Matritsaning elementlari esa vektorlarning komponentlari,
deyiladi.
Har bir elementi nolga teng boʻlgan, ixtiyoriy oʻlchamli matritsaga nol
matritsa deyiladi va quyidagi koʻrinishda belgilanadi:
0
0
...
0
0
0
...
0 .
...
...
...
...
0
0
...
0
2-ta’rif. Agar Ava B matritsalarning oʻlchamlari bir xil boʻlib, ularning barcha
mos elementlari oʻzaro teng boʻlsa, bunday matritsalar teng matritsalar deyiladi va
A
B
koʻrinishda yoziladi.
1-misol. Quyidagi matritsaviy tenglikdan x va y noma’lumlarning
qiymatlarini toping:
Ilmiybaza.uz
3
2
3
.
1
2
1
y
x
y
Yechish. Matritsalarning mos elementlarini taqqoslab quyidagi tengliklarni
hosil qilamiz:
2,
2
0
y
x
y
x
.
3-ta’rif. Agar A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng
boʻlsa, u holda A matritsa B matritsa bilan zanjirlangan matritsa deyiladi.
Masalan,
2 3 4
4 5 2
9 8 2
A
va
5
8
1 4
4
3
B
matritsalar zanjirlangan matritsalar
boʻladi. Chunki, A matritsaning oʻlchami 3
3
ga, B matritsaning oʻlchami 3
2
ga teng.
Shuni ta’kidlash lozimki B va A matritsalar zanjirlangan emas. Chunki, B
matritsaning ustunlari soni 2 ga, A matritsaning satrlari soni 3 ga teng boʻlib,
oʻzaro bir xil emas.
4-ta’rif. Satrlari va ustunlari soni oʻzaro teng boʻlgan matritsaga kvadrat matritsa
deyiladi.
Masalan,
1
8
6
1
2
5
7
3
1
0
11
15
0
5
3
9
A
matritsa 4-tartibli kvadrat matritsadir.
11
, 22
,...,
nn
a
a
a elementlarning tartiblangan tо‘plami kvadrat matritsaning asosiy
diagonali deyiladi.
5-ta’rif. Agar
(
ij )
A
a
kvadrat matritsada barcha
(
)
i
j i
j
lar uchun
0
ija boʻlsa, u holda A matritsa yuqori (quyi) uchburchakli matritsa deyiladi.
Ilmiybaza.uz
11
12
1
22
2
...
0
...
yuqori uchburchakli matritsa
...
...
...
...
0
0
...
n
n
nn
a
a
a
a
a
A
a
11
21
22
1
2
0
...
0
...
0
quyi uchburchakli matritsa
...
...
...
...
...
n
n
nn
a
a
a
A
a
a
a
6-ta’rif.
(
ij )
A
a
kvadrat matritsaning dioganal elementlari noldan farqli (ya’ni
0
iia ) va qolgan barcha elementlari nolga teng (ya’ni
iia 0
, i
j
) boʻlsa, u
holda A matritsaga diagonal matritsa deyiladi.
11
22
0
...
0
0
...
0
.
...
...
...
...
0
0
...
nn
a
a
A
a
7-ta’rif. Agar diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari oʻzaro teng
boʻlsa, u holda bunday matritsaga skalyar matritsa deyiladi ya’ni
Ilmiybaza.uz
0
...
0
0
...
0 .
...
...
...
...
0
0
...
a
a
A
a
8-ta’rif. Agar skalyar matritsada
1
a boʻlsa, u holda bunday matritsaga birlik
matritsa deyiladi va odatda E harfi bilan belgilanadi, ya’ni
1
0
...
0
0
1
...
0 .
...
...
...
...
0
0
...
1
E
Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan matritsalar ustidagina algebraik qoʻshish
amali bajariladi.
Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
ij
in
m
m
mj
mn
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
va
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
ij
in
m
m
mj
mn
b
b
b
b
b
b
b
b
B
b
b
b
b
b
b
b
b
matritsalarni qoʻshish uchun, ularning mos elementlari qoʻshiladi, y’ani
11
11
12
12
1
1
1
1
21
21
22
22
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
j
n
n
j
j
n
n
i
i
i
i
ij
ij
in
in
m
m
m
m
mj
mj
mn
mn
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
A
B
C
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Matritsani biror haqiqiy songa koʻpaytirish uchun bu son matritsaning
har bir elementiga koʻpaytiriladi, y’ani
Ilmiybaza.uz
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
ij
in
m
m
mj
mn
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
Ikkita matritsa ayirmasi quyidagicha topiladi:
11
11
12
12
1
1
1
1
21
21
22
22
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
j
n
n
j
j
n
n
i
i
i
i
ij
ij
in
in
m
m
m
m
mj
mj
mn
mn
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
A
B
D
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2-misol. Quyidagi matritsalarning yigʻindisi va ayirmasini toping:
3
1
0
2
4
1
2
2
,
.
1
4
3
1
3
0
4
0
A
B
Yechish. A va B matritsalarning oʻlchamlari 2 4
ga teng. Shu sababli bu
matritsalarni qoʻshish va ayirish mumkin. Ta’rifga asosan
3
4
1 1
0
2
2
2
7
0
2
0 ;
1 3
4
0
3
4
1
0
2
4
7
1
A
B
3
4
1 1
0
2
2
2
1
2
2
4 .
1
3
4
0
3
4
1
0
4
4
1
1
A
B
3-misol. Quyidagi A matritsani
2
soniga koʻpaytiring:
2
3
8
2 .
7
6
A
Yechish.
2
3
2 2
2 3
4
6
2
2
8
2
2 8
2 2
16
4 .
7
6
2 7
2 6
14
12
A
A
Ilmiybaza.uz
4-misol. Firma 5 turdagi mahsulotni ikkita korxonada ishlab chiqaradi.
Firmaning ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan:
Mahsulot turlari
1
2
3
4
5
1-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar
miqdori
139
160
205
340
430
2-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar
miqdori
122
130
145
162
152
Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilash natijasida ishlab chiqarishni
17% ga oshirdi. Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin,
firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti qanday boʻladi?
Yechish. Firmaning ishlab chiqarish uskunalarini yangilamasdan oldingi
ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini quyidagi matritsa koʻrinishda yozish
mumkin:
139
160
205
340
430 .
122
130
145
162
152
P
Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda
ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini topish uchun, bu ishlab chiqarish
matritsasini 1,17 ga koʻpaytirish zarur boʻladi:
139
160
205
340
430
1,17
1,17
122
130
145
162
152
P
162,63
187,2
239,85
397,8
503,1 .
142,74
152,1
169,65
189,54
177,84
Matritsalarni qoʻshish, ayirish va matritsani songa koʻpaytirish amallariga
matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi.
Matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidagi xossalarga
boʻysinadi:
Ilmiybaza.uz
1)
;
2)
(
)
(
)
;
3) (
)
;
4) (
)
(
) ;
A
B
B
A
A
B
C
A
B
C
k A
B
kA
kB
k nA
kn A
5)(
)
;
6)
;
7)
;
8)1
.
k
n A
kA
nA
A
A
A
A
A
A
Bu yеrda
, ,
A B С bir xil o‘lchamli matritsalar, matritsa esa , ,
A B С matritsalar
bilan bir xil o‘lchamli nol matritsa, ,k n ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Matritsalarni koʻpaytirish amali faqatgina zanjirlangan matritsalar ustida
bajariladi.
9-ta’rif. m
p
oʻlchamli
(
ij )
A
a
matritsaning
p
n
oʻlchamli
(
jk )
B
b
matritsaga koʻpaytmasi deb elementlari
1 1
2 2
...
ik
i
k
i
k
ip
pk
c
a b
a b
a b
qoida bilan
aniqlanadigan m n
oʻlchamli
(
ik )
С
c
matritsaga aytiladi.
Bu formuladan koʻrish mumkinki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi C
matritsadagi
ikc element A matritsaning i satrida joylashgan har bir elementni B
matritsaning k ustunida joylashgan mos oʻrindagi elementga koʻpaytirish va
hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish natijasida aniqlanadi.
Masalan, bizga umumiy holda
11
12
21
22
31
32
a
a
A
a
a
a
a
va
11
12
21
22
b
b
B
b
b
koʻrinishdagi
matritsalar
berilgan
boʻlsin.
Bu
matritsalarni
koʻpaytirish
quyidagicha amalga oshiriladi:
11
12
11 11
12 21
11 12
12 22
11
12
21
22
21 11
22 21
21 12
22 22
21
22
31
32
31 11
32 21
31 12
32 22
a
a
a b
a b
a b
a b
b
b
AB
a
a
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
a b
a b
a b
a b
.
Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.
5-misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring:
Ilmiybaza.uz
3
1
1
1
1
-1
2
1
2 ,
2
-1
1 .
1
2
3
1
0
1
A
B
Yechish. 1. Izlanayotgan C
AB
matritsaning
11
c elementi A matritsaning
birinchi satr elementlarini B matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan
koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni
11
1
3 1 1
2
3 1 1 2
1 1
6
1
c
.
2. Izlanayotgan C
AB
matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining
elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning ikkinchi ustun
elementlari bilan mos ravishda koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng:
12
1
(3 1 1)
1
3 1 1 ( 1)
1 0
2
0
c
.
3. Birinchi satr va uchinchi ustun elementi
13
1
(3 1 1)
1
3 ( 1)
1 1 1 1
1
1
c
kabi aniqlanadi.
4. Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning
ikkinchi satr elementlarining B matritsaning mos ravishda 1, 2, 3-ustun
elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi:
21
22
23
2 1 1 2
2 1
6;
2 1 1 ( 1)
2 0
1;
2 ( 1)
1 1
2 1 1.
c
c
c
5. C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi:
31
32
33
1 1
2 2
3 1
8;
1 1
2 ( 1)
3 0
1;
1 ( 1)
2 1
3 1
4.
c
c
c
Ilmiybaza.uz
Shunday qilib,
6
2
1
6
1
1
8
1
4
C
AB
.
6-misol.
Quyidagi
A
va
B
matritsalar
uchun
A B va B A
koʻpaytmalarni toping:
1
2
3
4 ,
A
1
2 .
3
4
B
Yechish. Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida
koʻpaytirish amali bajariladi.
1
2
1
2
3
4
1
4
9
16
30 .
3
4
AB
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
1
2
3
4
.
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
BA
Keltirilgan misoldan koʻrinib turibdiki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi
kommutativlik (oʻrin almashtirish) xossasiga ega emas, ya’ni AB
BA
. Agar A va
B bir xil tartibli kvadrat matritsalar boʻlsa, AB va BA koʻpaytmalarini topish
mumkin. Agar A va B matritsalar uchun
AB BA
AB
BA
munosabat o‘rinli
bo‘lsa, u holda A va B matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar
deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan
kommutativdir. Haqiqatan ham
AE
EA
A
.
Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega:
Ilmiybaza.uz
1)(
)
(
)
;
2)(
)
;
3) (
)
;
4) (
)
(
) .
kA B
k AB
A kB
A
B C
AC
BC
A B
C
AB
AC
A BC
AB C
Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz.
7-misol.
1
2
A
,
3
4
2
1
B
va
3
0
2
5
1
0
C
matritsalar berilgan
boʻlsin:
3
4
1.
1
2
7
6 ,
2
1
3
0
2
(
)
7
6
51
6
14 ,
5
1
0
3
4
3
0
2
29
4
6
2.
,
2
1
5
1
0
11
1
4
29
4
6
(
)
1
2
51
6
14 .
11
1
4
AB
AB C
BC
A BC
Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil.
10-ta’rif. A kvadrat matritsani
m m 1
butun musbat darajaga ko‘tarish
quyidagicha amalga oshiriladi:
...
.
m
m marta
A
A A
A
11-ta’rif. Agar A matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan
almashtirilsa, u holda hosil boʻlgan
T
A matritsa A matritsaga transponirlangan
matritsa deyiladi.
Transponirlangan matritsalar quyidagi xossalarga ega:
