Ilmiybaza.uz MATRITSALAR VA ULAR USTIDA AMALLAR Reja 1.1. Matritsaga doir asosiy ta’rif va tushunchalar. 1.2. Matritsalar ustida amallar va ularning xossalari. Tayanch soʻz va iboralar: matritsa, satr matritsa, ustun matritsa, satr- vektor, ustun-vektor, vektor komponenti, nol matritsa, teng matritsa, zanjirlangan matritsalar, kvadrat matritsaning bosh diagonali, diagonal matritsa, skalyar matritsa, birlik matritsa, transponirlangan matritsa, simmetrik matritsa, qiya simmetrik matritsa. Ilmiybaza.uz Matritsa tushunchasi va unga asoslangan matematikaning “Matritsalar algebrasi” boʻlimi amaliyotda, jumladan, komgyuter texnologiyalari va dasturlash sohasida muhim ahamiyatga ega. Matritsa tushunchasi birinchi marta ingliz matematiklari U.Gamilton (1805- 1865-y.y.) va A.Kel (1821-1895 y.y.) ishlarida uchraydi. Hozirgi kunda matritsa tushunchasi tabiiy va amaliy jarayonlarning matematik modellarini tuzishda muhim vosita sifatida qoʻllaniladi. 1-ta’rif. m ta satr va n ta ustundan iborat boʻlgan qavslar ichiga olingan toʻrtburchakli sonlar jadvaliga matritsa deyiladi. Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi. Masalan, 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... . ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a              Matritsani tashkil qilgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsa oʻlchami m n  kabi yoziladi. Matritsaning i satr, j  ustun kesishmasidagi element ija kabi belgilangan. Demak, 34 a element 3 - satr va 4 - ustun kesishmasida joylashgan elementdir. Ba’zida matritsalarni yozishda (...) qavslar oʻrniga [...] qavslar yoki ||...|| kabi belgilardan foydalaniladi. Aytaylik quyidagi jadvalda iqtisodiyotning tarmoqlari boʻyicha resurslarning taqsimlanishi berilgan boʻlsin: Resurslar Iqtisodiyot tarmoqlari Sanoat Qishloq xoʻjaligi Elektr energiyasi resurslari 7,3 5,2 Mehnat resurslari 4,6 3,1 Ilmiybaza.uz Suv resurslari 4,8 6,1 Bu resurslar taqsimotini matritsa koʻrinishida quyidagicha yozish mumkin: 7,3 5,2 4,6 3,1 . 4,8 6,1 A            Bu matritsaning oʻlchami 3 2  boʻlib, satrlari resurs turlariga ustunlari esa tarmoqlarga mos keladi. (1 n  ) oʻlchamli matritsaga satr matritsa, ( 1 m ) oʻlchamli matritsaga esa ustun matritsa deyiladi, ya’ni   11 12 1n K a a a  , 11 21 1 . m a a L a              Bundan tashqari ba’zida bu matritsalar mos ravishda satr-vektor va ustun- vektor deb ham ataladi. Matritsaning elementlari esa vektorlarning komponentlari, deyiladi. Har bir elementi nolga teng boʻlgan, ixtiyoriy oʻlchamli matritsaga nol matritsa deyiladi va quyidagi koʻrinishda belgilanadi: 0 0 ... 0 0 0 ... 0 . ... ... ... ... 0 0 ... 0               2-ta’rif. Agar Ava B matritsalarning oʻlchamlari bir xil boʻlib, ularning barcha mos elementlari oʻzaro teng boʻlsa, bunday matritsalar teng matritsalar deyiladi va A  B koʻrinishda yoziladi. 1-misol. Quyidagi matritsaviy tenglikdan x va y noma’lumlarning qiymatlarini toping: Ilmiybaza.uz 3 2 3 . 1 2 1 y x y               Yechish. Matritsalarning mos elementlarini taqqoslab quyidagi tengliklarni hosil qilamiz: 2, 2 0 y x y x      . 3-ta’rif. Agar A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng boʻlsa, u holda A matritsa B matritsa bilan zanjirlangan matritsa deyiladi. Masalan, 2 3 4 4 5 2 9 8 2 A            va 5 8 1 4 4 3 B            matritsalar zanjirlangan matritsalar boʻladi. Chunki, A matritsaning oʻlchami 3 3  ga, B matritsaning oʻlchami 3 2  ga teng. Shuni ta’kidlash lozimki B va A matritsalar zanjirlangan emas. Chunki, B matritsaning ustunlari soni 2 ga, A matritsaning satrlari soni 3 ga teng boʻlib, oʻzaro bir xil emas. 4-ta’rif. Satrlari va ustunlari soni oʻzaro teng boʻlgan matritsaga kvadrat matritsa deyiladi. Masalan, 1 8 6 1 2 5 7 3 1 0 11 15 0 5 3 9 A               matritsa 4-tartibli kvadrat matritsadir. 11 , 22 ,..., nn a a a elementlarning tartiblangan tо‘plami kvadrat matritsaning asosiy diagonali deyiladi. 5-ta’rif. Agar ( ij ) A  a kvadrat matritsada barcha ( ) i j i j   lar uchun 0 ija  boʻlsa, u holda A matritsa yuqori (quyi) uchburchakli matritsa deyiladi. Ilmiybaza.uz   11 12 1 22 2 ... 0 ... yuqori uchburchakli matritsa ... ... ... ... 0 0 ... n n nn a a a a a A a                11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 quyi uchburchakli matritsa ... ... ... ... ... n n nn a a a A a a a              6-ta’rif. ( ij ) A  a kvadrat matritsaning dioganal elementlari noldan farqli (ya’ni 0 iia  ) va qolgan barcha elementlari nolga teng (ya’ni iia  0 , i  j ) boʻlsa, u holda A matritsaga diagonal matritsa deyiladi. 11 22 0 ... 0 0 ... 0 . ... ... ... ... 0 0 ... nn a a A a              7-ta’rif. Agar diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari oʻzaro teng boʻlsa, u holda bunday matritsaga skalyar matritsa deyiladi ya’ni Ilmiybaza.uz 0 ... 0 0 ... 0 . ... ... ... ... 0 0 ... a a A a              8-ta’rif. Agar skalyar matritsada 1 a  boʻlsa, u holda bunday matritsaga birlik matritsa deyiladi va odatda E harfi bilan belgilanadi, ya’ni 1 0 ... 0 0 1 ... 0 . ... ... ... ... 0 0 ... 1 E              Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan matritsalar ustidagina algebraik qoʻshish amali bajariladi. Oʻlchamlari aynan teng boʻlgan 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a A a a a a a a a a                      va 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n i i ij in m m mj mn b b b b b b b b B b b b b b b b b                      matritsalarni qoʻshish uchun, ularning mos elementlari qoʻshiladi, y’ani 11 11 12 12 1 1 1 1 21 21 22 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j j n n j j n n i i i i ij ij in in m m m m mj mj mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b A B C a b a b a b a b a b a b a b a b                                        Matritsani biror haqiqiy  songa koʻpaytirish uchun bu son matritsaning har bir elementiga koʻpaytiriladi, y’ani Ilmiybaza.uz 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a A a a a a a a a a                                       Ikkita matritsa ayirmasi quyidagicha topiladi: 11 11 12 12 1 1 1 1 21 21 22 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j j n n j j n n i i i i ij ij in in m m m m mj mj mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b A B D a b a b a b a b a b a b a b a b                                        2-misol. Quyidagi matritsalarning yigʻindisi va ayirmasini toping: 3 1 0 2 4 1 2 2 , . 1 4 3 1 3 0 4 0 A B                  Yechish. A va B matritsalarning oʻlchamlari 2 4  ga teng. Shu sababli bu matritsalarni qoʻshish va ayirish mumkin. Ta’rifga asosan 3 4 1 1 0 2 2 2 7 0 2 0 ; 1 3 4 0 3 4 1 0 2 4 7 1 A B                         3 4 1 1 0 2 2 2 1 2 2 4 . 1 3 4 0 3 4 1 0 4 4 1 1 A B                           3-misol. Quyidagi A matritsani   2 soniga koʻpaytiring: 2 3 8 2 . 7 6 A            Yechish. 2 3 2 2 2 3 4 6 2 2 8 2 2 8 2 2 16 4 . 7 6 2 7 2 6 14 12 A A                                            Ilmiybaza.uz 4-misol. Firma 5 turdagi mahsulotni ikkita korxonada ishlab chiqaradi. Firmaning ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan: Mahsulot turlari 1 2 3 4 5 1-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar miqdori 139 160 205 340 430 2-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar miqdori 122 130 145 162 152 Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilash natijasida ishlab chiqarishni 17% ga oshirdi. Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti qanday boʻladi? Yechish. Firmaning ishlab chiqarish uskunalarini yangilamasdan oldingi ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini quyidagi matritsa koʻrinishda yozish mumkin: 139 160 205 340 430 . 122 130 145 162 152 P        Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini topish uchun, bu ishlab chiqarish matritsasini 1,17 ga koʻpaytirish zarur boʻladi: 139 160 205 340 430 1,17 1,17 122 130 145 162 152 P           162,63 187,2 239,85 397,8 503,1 . 142,74 152,1 169,65 189,54 177,84        Matritsalarni qoʻshish, ayirish va matritsani songa koʻpaytirish amallariga matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi. Matritsalarni qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidagi xossalarga boʻysinadi: Ilmiybaza.uz 1) ; 2) ( ) ( ) ; 3) ( ) ; 4) ( ) ( ) ; A B B A A B C A B C k A B kA kB k nA kn A               5)( ) ; 6) ; 7) ; 8)1 . k n A kA nA A A A A A A             Bu yеrda , , A B С bir xil o‘lchamli matritsalar,  matritsa esa , , A B С matritsalar bilan bir xil o‘lchamli nol matritsa, ,k n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Matritsalarni koʻpaytirish amali faqatgina zanjirlangan matritsalar ustida bajariladi. 9-ta’rif. m  p oʻlchamli ( ij ) A  a matritsaning p n  oʻlchamli ( jk ) B  b matritsaga koʻpaytmasi deb elementlari 1 1 2 2 ... ik i k i k ip pk c a b a b a b     qoida bilan aniqlanadigan m n  oʻlchamli ( ik ) С  c matritsaga aytiladi. Bu formuladan koʻrish mumkinki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi C matritsadagi ikc element A matritsaning i  satrida joylashgan har bir elementni B matritsaning k  ustunida joylashgan mos oʻrindagi elementga koʻpaytirish va hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish natijasida aniqlanadi. Masalan, bizga umumiy holda 11 12 21 22 31 32 a a A a a a a            va 11 12 21 22 b b B b b        koʻrinishdagi matritsalar berilgan boʻlsin. Bu matritsalarni koʻpaytirish quyidagicha amalga oshiriladi: 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 11 12 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22 21 22 31 32 31 11 32 21 31 12 32 22 a a a b a b a b a b b b AB a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b                                   . Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz. 5-misol. Quyidagi A matritsani B matritsaga koʻpaytiring: Ilmiybaza.uz 3 1 1 1 1 -1 2 1 2 , 2 -1 1 . 1 2 3 1 0 1 A B                       Yechish. 1. Izlanayotgan C  AB matritsaning 11 c elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni   11 1 3 1 1 2 3 1 1 2 1 1 6 1 c                   . 2. Izlanayotgan C  AB matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining elementi A matritsaning birinchi satr elementlarini B matritsaning ikkinchi ustun elementlari bilan mos ravishda koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng: 12 1 (3 1 1) 1 3 1 1 ( 1) 1 0 2 0 c                     . 3. Birinchi satr va uchinchi ustun elementi 13 1 (3 1 1) 1 3 ( 1) 1 1 1 1 1 1 c                     kabi aniqlanadi. 4. Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari A matritsaning ikkinchi satr elementlarining B matritsaning mos ravishda 1, 2, 3-ustun elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi: 21 22 23 2 1 1 2 2 1 6; 2 1 1 ( 1) 2 0 1; 2 ( 1) 1 1 2 1 1. c c c                        5. C matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi: 31 32 33 1 1 2 2 3 1 8; 1 1 2 ( 1) 3 0 1; 1 ( 1) 2 1 3 1 4. c c c                         Ilmiybaza.uz Shunday qilib, 6 2 1 6 1 1 8 1 4 C AB               . 6-misol. Quyidagi A va B matritsalar uchun A B va B A   koʻpaytmalarni toping:   1 2 3 4 , A  1 2 . 3 4 B              Yechish. Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida koʻpaytirish amali bajariladi.       1 2 1 2 3 4 1 4 9 16 30 . 3 4 AB                     1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 1 2 3 4 . 3 3 6 9 12 4 4 8 12 16 BA                           Keltirilgan misoldan koʻrinib turibdiki, A va B matritsalarning koʻpaytmasi kommutativlik (oʻrin almashtirish) xossasiga ega emas, ya’ni AB  BA . Agar A va B bir xil tartibli kvadrat matritsalar boʻlsa, AB va BA koʻpaytmalarini topish mumkin. Agar A va B matritsalar uchun AB  BA   AB  BA munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda A va B matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar deyiladi. Masalan, E birlik matritsa ixtiyoriy A kvadrat matritsa bilan kommutativdir. Haqiqatan ham AE EA A   . Matritsalarni koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega: Ilmiybaza.uz   1)( ) ( ) ; 2)( ) ; 3) ( ) ; 4) ( ) ( ) . kA B k AB A kB A B C AC BC A B C AB AC A BC AB C          Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz. 7-misol.   1 2 A  , 3 4 2 1 B        va 3 0 2 5 1 0 C        matritsalar berilgan boʻlsin:             3 4 1. 1 2 7 6 , 2 1 3 0 2 ( ) 7 6 51 6 14 , 5 1 0 3 4 3 0 2 29 4 6 2. , 2 1 5 1 0 11 1 4 29 4 6 ( ) 1 2 51 6 14 . 11 1 4 AB AB C BC A BC                                          Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil. 10-ta’rif. A kvadrat matritsani  m m 1 butun musbat darajaga ko‘tarish quyidagicha amalga oshiriladi: ... . m m marta A A A A     11-ta’rif. Agar A matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan almashtirilsa, u holda hosil boʻlgan T A matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi. Transponirlangan matritsalar quyidagi xossalarga ega: Ilmiybaza.uz   1) , 2)( ) , 3( ) , 4( ) . T T T T T T T T T T A A kA kA A B A B AB B A       Masalan, 2 1 3 4 5 0 A             boʻlsa, 2 3 5 1 4 0 AT        boʻladi. 12-ta’rif. Agar A kvadrat matritsa uchun T A  A munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu matritsaga simmetrik matritsa deyiladi. Masalan, 4 5 2 5 8 3 2 3 7 A            simmetrik matritsaning elementlari bosh diagonalga nisbatan simmetrik joylashgan. n tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan ( 1) 2 n n  ga teng, bunda n natural son. 13-ta’rif. Agar A kvadrat matritsada T A  A munosabat oʻrinli boʻlsa, bunday matritsaga qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan, 0 5 2 5 0 3 . 2 3 0 A               n tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan 2 1 n  n  formula yordamida topiladi, bunda n natural son. Ilmiybaza.uz 14-ta’rif. Nolmas satrlarga ega A matritsada har qanday k  nolmas satrning birinchi noldan farqli elementi  k 1  nolmas satrning birinchi noldan farqli elementidan oʻngda tursa, u holda A pog‘onasimon matritsa deyiladi. Masalan, 1 0 2 3 5 0 0 4 0 1 0 0 0 7 0 A             matritsa pog‘onasimon matritsadir. 7-misol. Korxona ikki turdagi transformatorlar ishlab chiqaradi. 1-turdagi transformator ishlab chiqarish uchun 5 kg temir va 3 kg sim, 2-turdagi transformator ishlab chiqarish uchun 3 kg temir va 2 kg sim sarflanadi. Bir birlik transformatorlarni sotishdan mos ravishda 6 va 5 sh.p.b. miqdorida daromad olinadi. Korxonaning omborida 4,5 tonna temir va 3 tonna sim mavjud. Texnologik matritsa, narxlar vektori va resurs zahirasini ifodalovchi vektorni tuzing. 500 600 600 , 600             rejalar joiz reja boʻla oladimi? Yechish. Korxona ikki turdagi resursdan foydalanib 2 turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Narxlar vektori  С  6,5 . Resurs zahiralari vektori 4500 3000 B        . Texnologik (resurs sarfi normasi) matritsa 5 3 3 2 A        . 1 2 x X x        rejani qaraymiz. Bu rejani bajarishdagi resurs sarfi 1 1 2 2 1 2 5 3 5 3 3 2 3 2 x x x AX x x x                      ga teng. Bu sarf zahiradan oshib ketmasligi kerak, ya’ni AX  B yoki 1 2 1 2 5 3 4500, 3 2 3000. x x x x     Joiz reja yuqoridagi tengsizliklarni qanoatlantirishi zarur. Ilmiybaza.uz 1) 500 600 X        rejani qaraymiz. U holda 5 3 500 4300 4500 3 2 600 2700 3000 AX                         , ya’ni bu reja joiz reja. Bu reja asosida olinadigan daromad miqdori   500 (6 5) 6000 600 CX         sh.p.b. ga teng. 2) 600 600 X        rejani qaraymiz. U holda 5 3 600 4800 3 2 600 3000 AX                  . Bundan koʻrish mimkinki, 1-turdagi resurs sarfi 4800 ga teng boʻlib, resurs zahirasi 4500 dan katta. Shu sababli, qaralayotgan reja joiz reja emas. 8-misol. Korxona mturdagi resurslarni qo‘llab, n turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. j turdagi mahsulot birligini ishlab chiqarishga ketgan i xom ashyo resurslari harajatlarining normalari m n A  matritsa bilan berilgan. Vaqtning ma’lum oralig‘ida korxona har bir turdagi mahsulotdan ijx miqdorini ishlab chiqargan bo‘lsin. Uni n 1 X  matritsa bilan ifodalaymiz. Vaqtning berilgan davrida barcha mahsulotning har bir turini ishlab chiqarishga ketgan resurslarning to‘la harajatlar matritsasi S ni aniqlang. Berilgan 4 3 2 5 3 0 1 8 , 1 3 1 2 2 3 A               3 1 100 80 . 110 X             Yechish. Resurslarning to‘la harajatlar matritsasi S A va X matritsalarning kо‘paytmasi sifatida aniqlanadi, ya’ni . S  AX Berilgan masalaning sharti bо‘yicha Ilmiybaza.uz 2 5 3 930 100 0 1 8 960 80 . 1 3 1 450 110 2 2 3 690 S                                     Berilgan vaqt orlig‘ida 930birlik I turdagi resurs, 960birlik II turdagi resurs, 450birlik III turdagi resurs, 690 birlik IV turdagi resurs sarf qilingan. 9-misol. Korxona mahsulotning n turini ishlab chiqaradi, ishlab chiqariladigan mahsulot hajmlari 1 n A matritsa bilan berilgan. j mintaqada mahsulotning i turi birligining sotilish narxi n k B  matritsa bilan berilgan, bu yerda k mahsulot sotilayotgan mintaqalar soni. Mintaqalar bo‘yicha daromad matritsasi С ni toping.   1 3 A  100,200,100 ; 2 3 1 5 1 3 2 2 2 4 2 4 n k B             bo‘lsin. Yechish. Daromad 1 1 k n n k С A B      matritsa bilan aniqlanadi, 1 1 n ij i ij i c a b      bu j mintaqada korxonaning daromadi quyidagicha:     2 3 1 5 100,200,100 1 3 2 2 600,1300,700,1300 . 2 4 2 4 C             O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar 1. Matritsa deb nimaga aytiladi? 2. Satr matritsa, ustun matritsa deb qanday matritsaga aytiladi? 3. Nol matritsa deb qanday matritsaga aytiladi? 4. Matritsalarni qo’shish va matritsani songa ko’paytirish amallari bo’ysunadigan xossalarni sanab o’ting? 5. Matritsa satrlarini mos ustunlari bilan almashtirish amali qanday nomlanadi? 6. O’zaro zanjirlangan matritsalar qanday ko’paytiriladi? 7. Matritsalarni ko’paytirish amali qanday xossalarga bo’ysunadi? Ilmiybaza.uz 8. Matritsalarni ko’paytirish amali o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadimi? 9. n-tartibli kvadratik matritsa deb qanday matritsaga aytiladi? 10. Kvadrat matritsaning qanday xususiy ko’rinishlarini bilasiz? Asosiy adabiyotlar: 1. Gilbert Strang “Introduction to Linear Algebra”, USA, Cambridge press, 5nd Edition, 2016. 2. Grewal B.S. “Higher Engineering Mathematics”, Delhi, Khanna publishers, 42nd Edition, 2012. 3. Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra va analitik geometriya. O‘quv qollanma. Toshkent 2020. 4. Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. “Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar” O‘quv uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019. 5. Соатов Ё.У. “Олий математика”, Т., Ўқитувчи нашриёти, 1- 5 қисмлар, 1995. 6. Рябушко А.П. и др. “Сборник индивидуальных заданий по высшей математике”, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991. Asosiy adabiyotlar: 7. Мирзиёев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет. 8. Мирзиёев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиёти ва халқ фаровонлигининг гарови. –Т.: Ўзбекистон, 2017. 9. Мирзиёев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017. 10. Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‘. Amaliy matematika. O‘quv uslubiy qo‘llanma. Toshkent. 2014. 11. Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент “Ўқитувчи” 1984. Ilmiybaza.uz 12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 13. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. 14. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015. 15. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008. 16. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013. 17. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987. 18. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987. 19. Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, - М.: Наука. 1997.