MATRITSAVIY SHAR AVTOMORFIZMI Aytaylik   1 , 2 ,... n Z Z Z Z  kompleks sonlar maydonida qaralayotgan m- tartibli j Z kvadrat matritsalardan tashkil topgan vektor bo’lsin. 2 m n Z ni fazoning elementi sifatida qarash mumkin. Bu vektorlar to’plamida matritsaviy skalyar ko’paytma kiritamiz. 1 1 2 2 , ... n n Z W Z W Z W Z W       Bu yerda j W - j W matritsa uchun qo’shma va transponirlangan matritsa bo’ladi. Tasdiq 7.1: Skalyar ko’payrtma quyidagi xossalarni qanoatlantiradi: 1.   , 0 , 0 0,0,..,0 Z Z va Z Z Z     2. , , Z W W Z   3. 1 2 1 2 , , , Z Z W Z W Z W    4. , , Z W Z W    bu yerda  -m-tartibli kvadrat matritsa. 5. Ixtiyoriy Z va , W W  0 shartni qanoatlantiruvchi W vector uchun 1 , , , , Z Z Z W W W W Z   tengsizlik o’rinli. Isboti: Bu xossalarning oxirgisidan boshqa hammasi ko’rinib turgan xossalardir. Oxirgi xossani isbotlaymiz. U holda 0 , , , , , Z W Z W Z Z W Z Z W W W                1 , , Z W W W     matritsani oxirgi tengsizlikka qo’yamiz. Jumladan, agar   , W W   m bo’lsa, u holda       , : , 0 m n Bm n m m Z Z       matritsaviy sharni va uning ostovni qaraymiz. Ko’rish qiyin emaski ushbu matritsaviy shar E.Kartan klassifikarsiyasi bo’yicha 1-turdagi klassik soha bo’ladi, lekin u to’g’ri burchakli bo’lmagan kvadrat matritsalardan iborat. Bu soha matritsaviy holdagi oddiy sharning umumlashmasi bo’ladi, shuningdek umumlashgan matritsaviy doira ham. Lemma 7.1. , Bm n matritsaviy shar quyidagi xossalarni qanoatlantiradi: 1. , Bm n -chegaralangan soha. 2. , Bm n -to’la doiraviy soha. 3. , Bm n soha va uning , Mm n ostovi unitar almashtirishga nisbatan invariantdir. 4. , Bm n -qavariq soha Isbot: 1. , Bm n sohaning aniqlanishidan , Z Z matritsaning ixtiyoriy diagonal elementi 1 dan kichikligi kelib chiqadi. Hamda barcha k Z ning barcha elementlari modulining kvadratlari yig’indisi m dan oshmaydi. Bu yerdan matritsaviy sharning chegaralanganligi kelib chiqadi. 2. Agar , m n Z B va , 1 a a   bo’lsa, u holda            2 2 2 , , 1 , 0 m m m m aZ aZ a Z Z a a Z Z             bo’ldi. 3. Unitar almashtirishlarga nisbatan invariantlik, agar U-m-tartibli unitar matritsa bo’lsa, u holda ixtiyoriy , , m n Z W B uchun , m n UZ B va , m n ZU B ekanligini anglatadi. Haqiqatan ham         , , , 0 m m m UZ UZ U Z Z U U Z Z U            va , , ZU UZ  Z Z , Xm n ostovning invariantligi ham xuddi shunday isbotlanadi. 4. Aytaylik 1     tenglikni qanoatlantiruvchi  va  musbat sonlari bo’lsin. Z W    nuqtani qaraymiz.U ham , Bm n sharga tegishliligini ko’rsatamiz. Agar   0 bo’lsa, u holda Shvarts tengsizligidan va (7.4) shartdan foydalansak.                          1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , , 2 Re , 2 , , , , , , n j j j j j n j j j j j j j Z W z w Z W z w Z W Z W Z Z Z W W W Z Z Z Z W W W W Z Z W W                                                                                     ga ega bo’lamiz. Bizni ixtiyoriy , m n B B nuqtani koordinatalar boshiga o’tkazuvchi , Bm n matritsaviy shar avtomorfizmlari qiziqtiradi. Aytaylik       0 ... 0 0 ... 0 0 0 m m m H                  va 00 01 0 10 11 1 0 1 ... ... n n n n nn A A A A A A A A A A              (n+1)- tartibli blok kvadrat matritsa bo’lsin. ij A esa m-tartibli kvadrat matritsa bo’lsin. A matritsa uchun chiziqli almashtirish qaraymiz: 0 0 1 1 1. (7.5) n j j j n k j jk j w A w A k n          bu almashtirish AHA   H (7.6) munosabatni qanoatlantiradi. Bu yerda j , j w  -m-tartibli kvadrat matritsa. Ko’rinib turibdiki, (7.6) munosabat faqat va faqat       00 00 0 0 1 0 0 1 0 0 1 , , 1 7.7 n m s s j n j k js ks j n m j j js js j A A A A A A A A j k A A A A j                      Bo’lgandagina bajariladi. Aytaylik   1 , 2 ... n      matritsaviy qator barcha matritsalari m ta satrdan va (n+1) m ta ustundan tashkil topgan bo’ladi. Va 0 H    ni qanoatlantiradi. (7.5) ni   1 , 2 ... (7.8) n w w w w  A   Ko’rinishida yozamiz va (7.8) ni 00 01 0 10 11 1 0 1 ... ... n n n n nn A A A A A A A A A A                            blok matritsaga o’ngdan ko’paytiramiz. (7.7) ning    m m 1  AA    sharga ekvivalentligidan  7.9 wA  ga Ateskari akslantirishni beradi. Natijada   * * * * 7.10 wHw AHA H       hosil bo’ladi.                          1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , , 2 Re , 2 , , , , , , n j j j j j n j j j j j j j Z W z w Z W z w Z W Z W Z Z Z W W W Z Z Z Z W W W W Z Z W W                                                                                                              1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , , 2 Re , 2 , , , , , , n j j j j j n j j j j j j j Z W z w Z W z w Z W Z W Z Z Z W W W Z Z Z Z W W W W Z Z W W                                                                                                              1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , , 2 Re , 2 , , , , , , n j j j j j n j j j j j j j Z W z w Z W z w Z W Z W Z Z Z W W W Z Z Z Z W W W W Z Z W W                                                                                    