Ilmiybaza.uz MAVZU: METRIKA VA METRIK FAZO REJA: ASOSIY QISM. I. METRIKA VA METRIKA AKSIOMALARI. II. BOG`LANISHLI VA BOG`LANISHSIZ TO`PLAMLAR. III. TO`PLAMNING CHEGARAVIY, URINISH NUQTALARI. XULOSA: METRIKA VA METRIK FAZOGA OID MISOLLAR. Metrik fazo – bu biror bo`sh bo`lmagan to`plamdagi ikki element orasidagi masofani aniqlash ma`lum demakdir. Bu ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash amali ma`lum bir shartlarni yoki akslantirishlarni qanoatlantirishi shart bo`ladi. Bu shartlar masofa yoki metrika aksiomalari deb yuritiladi. Metrik fazo matematikaning deyarli barcha sohalariga tadbiq etiladi. Fazoda ikki nuqta orasidagi masofa ma`lum bo`lsa, nuqtalarning o`zaro yaqinligini, nuqta va to`plamning, ikki to`plamning yaqinligini aniqlasa bo`ladi. Bu esa, fazoning, figuralarning turli geometrik xossalarini o`rganishda muhim ahamiyatga egadir. Ilmiybaza.uz Bizga 𝑋 fazo va 𝑋 ∗ 𝑋 to`g`ri ko`paytma berilgan bo`lsin. 𝜌: 𝑥 ∗ 𝑥 → 𝑥 funksiya uchun 1. 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 0 , 𝜌(𝑥, 𝑦) = 0 faqat x=y da. 2. 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥) 3. 𝜌(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) shartlar bajarilsa, bu funksiya metrika deyiladi. 1,2,3 shartlar bajarilsa metrika aksiomalari deyiladi. (𝑥, 𝜌) juftlik metrik metrik fazo deyiladi. Misol-1: 𝑥 = 𝑅′ |−𝑎| = |𝑎| 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| 1. 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| ≥ 0 2. 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| = |−(𝑦 − 𝑥)| = |𝑦 − 𝑥| = 𝜌(𝑦, 𝑥) 3. 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| = |𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦| ≤ |𝑥 − 𝑧| + |𝑧 − 𝑦| = 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑥, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) Misol-2: 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥2 − 𝑦2| metrika emas. 1. 𝜌(𝑥, 𝑦) = |𝑥2 − 𝑦2| ≥ 0 |𝑥2 − 𝑦2| = 0 𝑥2 − 𝑦2 = 0 𝑥2 = 𝑦2 𝑥 = ±𝑦 Misol-3: 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑒|𝑥−𝑦| − 1 1. 𝜌(𝑥, 𝑦) ≥ 0 𝑒|𝑥−𝑦| = 1 |𝑥 − 𝑦| = 0 𝑥 = 𝑦 2. 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌(𝑦, 𝑥) 3. 𝑒|𝑥−𝑦| − 1 ≤ 𝑒|𝑥−𝑧| − 1 + 𝑒|𝑧−𝑦| − 1 𝑒|𝑥−𝑦| ≤ 𝑒|𝑥−𝑧| + 𝑒𝑧−𝑦 − 1 𝑥 = 1 𝑦 = 1 z=1 𝑒2 ≤ 𝑒 + 𝑒 − 1 Bizga 𝑋 fazo va unda 𝐴 to`plam berilgan bo`lsin. Shunday 𝐺1 , 𝐺2 ochiq to`plamlar mavjud bo`lib, 1. (𝐴 ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 2. (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = ∅ 3. 𝐴 ∩ 𝐺1 ≠ ∅ 𝐴 ∩ 𝐺2 ≠ ∅ bo`lsa 𝐴 to`plam bog`lanishsiz to`plam deyiladi. Ilmiybaza.uz Agar bunday 𝐺1 , 𝐺2 lar mavjud bo`lmasa 𝐴 to`plam bog`lanishli to`plam deyiladi. Agar 𝐴 = 𝑋 deb olsak bog`lanishli fazo kelib chiqadi. Misol-4: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = (0,7) ∪ (9,12) 𝐺1 = (−1,8) 𝐺2 = (8,14) 𝐴 ∩ 𝐺1 = (0,7) 𝐴 ∩ 𝐺2 = (9,12) (𝐴 ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = ∅ 𝐴 → bog`lanishsiz 𝐴 ∩ 𝐺1 ≠ ∅ 𝐴 ∩ 𝐺2 ≠ ∅ Agar 𝐴 to`plamni ∀ 2 ta nuqtasini shu to`plam ichida tutashtirish mumkin bo`lsa, u bog`lanishli bo`ladi. bog`lanishli. Ilmiybaza.uz bog`lanishsiz. Misol-5: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = 𝑁 𝐺1 = (0; 9.1) 𝐺2 = (9.3; ∞) 𝑁 ∩ 𝐺1 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ≠ ∅ 𝑁 ∩ 𝐺2 = {𝑛, 𝑛 > 9, 𝑛 ∈ 𝑁} ≠ ∅ (𝑁 ∩ 𝐺1) ∪ (𝑁 ∩ 𝐺2) = 𝑁 (𝑁 ∩ 𝐺1) ∩ (𝑁 ∩ 𝐺2) = ∅ 𝑁 →bog`lanishsiz to`plam. Teorema-1: 𝑋 topologik fazoda 𝐴 bog`lanishli to`plam bo`lsa 𝐴̅ yopig`i ham bog`lanishli bo`ladi. Isbot: Faraz qilaylik 𝐴 bog`lanishli 𝐴̅ bog`lanishsiz bo`lsin. U holda shunday 𝐺1; 𝐺2 mavjudki  (𝐴̅ ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = 𝐴̅  (𝐴̅ ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = ∅  𝐴̅ ∩ 𝐺1 ≠ ∅ 𝐴̅ ∩ 𝐺2 ≠ ∅ o`rinli bo`lishi kerak. 𝐴̅ ⊃ 𝐴 ekanligidan (𝐴 ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = ∅ 𝐴 ∩ 𝐺1 ≠ ∅ 𝐴 ∩ 𝐺2 ≠ ∅ Ilmiybaza.uz Bulardan 𝐴 ni bog`lanishsiz to`plam ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazga zid. Bu zidlik teoremani isbotlaydi. 𝑥 nuqta tegishli bo`lgan barcha bog`lanishli to`plamlar birlashmasi bog`lanishlilik komponentasi deyiladi va 𝐻𝑥 kabi belgilanadi. Teorema-2: Bog`lanishlilik komponentasi yopiq to`plam. Isbot: Agar 𝐻 bog`lanishli to`plam bo`lsa, 𝐻̅ ham bog`lanishli bo`ladi. 𝐻 ⊂ 𝐻̅ → kompotenta ta`rifiga ko`ra 𝐻 = 𝐻̅ → 𝐻 yopiq to`plam ekanligi kelib chiqadi. Teorema-3: 𝑥 , 𝑦 nuqtalar uchun 𝐻𝑥 va 𝐻𝑦 komponentalar kesishmaydi yoki ustma – tushadi. Isbot: Agar 𝐻𝑥 ∩ 𝐻𝑦 ≠ ∅ 𝐻𝑥 ∪ 𝐻𝑦 = 𝐻 bog`lanishli to`plam bo`ladi. 𝑥 ∈ 𝐻 , 𝑦 ∈ 𝐻 𝐻𝑥 ⊂ 𝐻 ; 𝐻𝑦 ⊂ 𝐻 lekin 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 ni komponentaligidan 𝐻𝑥 = 𝐻𝑦 teorema isbotlandi. Xulosa 1-misol: 𝑋 = 𝑅′ da 𝐴 = (1,6) ni tekshiring. 𝐺1 = (0, 𝑎) 𝐺2 = (𝑏, 7) 3) (𝐴 ∩ 𝐺1) ≠ ∅ (𝐴 ∩ 𝐺2) ≠ ∅ 2) (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = ∅ 𝑎 > 1 𝑏 < 6 𝑎 ≤ 𝑏 1) (𝐴 ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 𝑎 > 𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ∅ 𝐺1, 𝐺2 ⊂ ∅ 𝐴 → bog`lanishli to`plam. 2-misol: 𝑋 = 𝑅′ da 𝐴 = 𝑄 𝐺1 = (−∞; 𝑎) 𝐺2 = (𝑏; ∞) 3) (𝐴 ∩ 𝐺1) ≠ ∅ (𝐴 ∩ 𝐺2) ≠ ∅ 2) (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = ∅ 𝑎 ≤ 𝑏 1) (𝐴 ∩ 𝐺1) ∪ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎 = 𝑏 = √2 𝐺1 = (−∞; √2) 𝐺2 = (√2: ∞) 𝐴 → bog`lanishsiz to`plam. Ilmiybaza.uz 3-misol: 𝑋 = 𝑅 𝐴 = 𝑁 𝑖𝑛𝑡𝐴 =? 𝜕𝐴 =? 𝐴̅ =? 𝑥 = 2 𝐵𝑟(𝑥) = (2 − 𝑟; 2 + 𝑟) ⊄ 𝐴 𝑥 = 𝑥0 𝑥0 ∈ (𝑥0 − 𝑟1; 𝑥0 + 𝑟2) = 𝑈𝑥0 𝑈𝑥0 ∉ 𝑁 𝑖𝑛𝑡𝑁 = ∅ 𝑥 = 2 𝑈𝑥 = (1.5; 2.5) (𝑈𝑥 = (2 − 𝑟1; 2 + 𝑟2) { 𝑈𝑥 ∩ 𝑁 ≠ ∅ 𝑈𝑥 ∩ (𝑥 𝑁) ≠ ∅ ⁄ 𝑥 = 2 ∈ 𝜕𝑁 𝑥 = 2.9 𝑈𝑥 = {2.19; 2.91} 𝑈𝑥 ∩ 𝑁 = ∅ 2.9 ∉ 𝜕𝑁 𝜕𝑁 = 𝑁 𝑁̅ = 𝜕𝑁 ∪ 𝑖𝑛𝑡𝑁 = 𝑁 ∪ ∅ = 𝑁 4-misol: 𝑋 = 𝑅 𝑖𝑛𝑡𝑄 𝜕𝑄 𝑄̅ 𝑄 → Ratsional sonlar. 𝑥 = 𝑥0 𝑥0 ∈ (𝑥0 − 𝑟1; 𝑥0 + 𝑟2) = 𝑈𝑥0 𝑈𝑥 ∉ 𝑄 𝑖𝑛𝑡𝑄 = ∅ 𝑥 = 2 𝑈𝑥 = (2 − 𝑟1; 2 + 𝑟2) { 𝑈𝑥 ∩ 𝑄 ≠ ∅ 𝑈𝑥 ∩ (𝑥 𝑄) ≠ 0 ⁄ 𝜕𝑄 ⊂ 𝑅 𝑄̅ = 𝜕𝑄 ∪ 𝑖𝑛𝑡𝑄 = 𝑅 ∪ ∅ = 𝑅