METRIKA VA METRIK FAZO (METRIKA VA METRIKA AKSIOMALARI, BOG`LANISHLI VA BOG`LANISHSIZ TO`PLAMLAR, METRIKA VA METRIK FAZOGA OID MISOLLAR)

Yuklangan vaqt

2024-04-28

Yuklab olishlar soni

2

Sahifalar soni

6

Faytl hajmi

46,5Β KB


Ilmiybaza.uz MAVZU: METRIKA VA METRIK FAZO REJA: ASOSIY QISM. I. METRIKA VA METRIKA AKSIOMALARI. II. BOG`LANISHLI VA BOG`LANISHSIZ TO`PLAMLAR. III. TO`PLAMNING CHEGARAVIY, URINISH NUQTALARI. XULOSA: METRIKA VA METRIK FAZOGA OID MISOLLAR. Metrik fazo – bu biror bo`sh bo`lmagan to`plamdagi ikki element orasidagi masofani aniqlash ma`lum demakdir. Bu ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash amali ma`lum bir shartlarni yoki akslantirishlarni qanoatlantirishi shart bo`ladi. Bu shartlar masofa yoki metrika aksiomalari deb yuritiladi. Metrik fazo matematikaning deyarli barcha sohalariga tadbiq etiladi. Fazoda ikki nuqta orasidagi masofa ma`lum bo`lsa, nuqtalarning o`zaro yaqinligini, nuqta va to`plamning, ikki to`plamning yaqinligini aniqlasa bo`ladi. Bu esa, fazoning, figuralarning turli geometrik xossalarini o`rganishda muhim ahamiyatga egadir. Ilmiybaza.uz MAVZU: METRIKA VA METRIK FAZO REJA: ASOSIY QISM. I. METRIKA VA METRIKA AKSIOMALARI. II. BOG`LANISHLI VA BOG`LANISHSIZ TO`PLAMLAR. III. TO`PLAMNING CHEGARAVIY, URINISH NUQTALARI. XULOSA: METRIKA VA METRIK FAZOGA OID MISOLLAR. Metrik fazo – bu biror bo`sh bo`lmagan to`plamdagi ikki element orasidagi masofani aniqlash ma`lum demakdir. Bu ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash amali ma`lum bir shartlarni yoki akslantirishlarni qanoatlantirishi shart bo`ladi. Bu shartlar masofa yoki metrika aksiomalari deb yuritiladi. Metrik fazo matematikaning deyarli barcha sohalariga tadbiq etiladi. Fazoda ikki nuqta orasidagi masofa ma`lum bo`lsa, nuqtalarning o`zaro yaqinligini, nuqta va to`plamning, ikki to`plamning yaqinligini aniqlasa bo`ladi. Bu esa, fazoning, figuralarning turli geometrik xossalarini o`rganishda muhim ahamiyatga egadir.
Ilmiybaza.uz Bizga 𝑋 fazo va 𝑋 βˆ— 𝑋 to`g`ri ko`paytma berilgan bo`lsin. 𝜌: π‘₯ βˆ— π‘₯ β†’ π‘₯ funksiya uchun 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0 , 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 0 faqat x=y da. 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝜌(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) shartlar bajarilsa, bu funksiya metrika deyiladi. 1,2,3 shartlar bajarilsa metrika aksiomalari deyiladi. (π‘₯, 𝜌) juftlik metrik metrik fazo deyiladi. Misol-1: π‘₯ = 𝑅′ |βˆ’π‘Ž| = |π‘Ž| 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| β‰₯ 0 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = |βˆ’(𝑦 βˆ’ π‘₯)| = |𝑦 βˆ’ π‘₯| = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = |π‘₯ βˆ’ 𝑧 + 𝑧 βˆ’ 𝑦| ≀ |π‘₯ βˆ’ 𝑧| + |𝑧 βˆ’ 𝑦| = 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) Misol-2: 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| metrika emas. 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| β‰₯ 0 |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| = 0 π‘₯2 βˆ’ 𝑦2 = 0 π‘₯2 = 𝑦2 π‘₯ = ±𝑦 Misol-3: 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| = 1 |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = 0 π‘₯ = 𝑦 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 ≀ 𝑒|π‘₯βˆ’π‘§| βˆ’ 1 + 𝑒|π‘§βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| ≀ 𝑒|π‘₯βˆ’π‘§| + π‘’π‘§βˆ’π‘¦ βˆ’ 1 π‘₯ = 1 𝑦 = 1 z=1 𝑒2 ≀ 𝑒 + 𝑒 βˆ’ 1 Bizga 𝑋 fazo va unda 𝐴 to`plam berilgan bo`lsin. Shunday 𝐺1 , 𝐺2 ochiq to`plamlar mavjud bo`lib, 1. (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 2. (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 3. 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… bo`lsa 𝐴 to`plam bog`lanishsiz to`plam deyiladi. Ilmiybaza.uz Bizga 𝑋 fazo va 𝑋 βˆ— 𝑋 to`g`ri ko`paytma berilgan bo`lsin. 𝜌: π‘₯ βˆ— π‘₯ β†’ π‘₯ funksiya uchun 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0 , 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 0 faqat x=y da. 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝜌(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) shartlar bajarilsa, bu funksiya metrika deyiladi. 1,2,3 shartlar bajarilsa metrika aksiomalari deyiladi. (π‘₯, 𝜌) juftlik metrik metrik fazo deyiladi. Misol-1: π‘₯ = 𝑅′ |βˆ’π‘Ž| = |π‘Ž| 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| β‰₯ 0 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = |βˆ’(𝑦 βˆ’ π‘₯)| = |𝑦 βˆ’ π‘₯| = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = |π‘₯ βˆ’ 𝑧 + 𝑧 βˆ’ 𝑦| ≀ |π‘₯ βˆ’ 𝑧| + |𝑧 βˆ’ 𝑦| = 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(π‘₯, 𝑧) + 𝜌(𝑧, 𝑦) Misol-2: 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| metrika emas. 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| β‰₯ 0 |π‘₯2 βˆ’ 𝑦2| = 0 π‘₯2 βˆ’ 𝑦2 = 0 π‘₯2 = 𝑦2 π‘₯ = ±𝑦 Misol-3: 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 1. 𝜌(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| = 1 |π‘₯ βˆ’ 𝑦| = 0 π‘₯ = 𝑦 2. 𝜌(π‘₯, 𝑦) = 𝜌(𝑦, π‘₯) 3. 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 ≀ 𝑒|π‘₯βˆ’π‘§| βˆ’ 1 + 𝑒|π‘§βˆ’π‘¦| βˆ’ 1 𝑒|π‘₯βˆ’π‘¦| ≀ 𝑒|π‘₯βˆ’π‘§| + π‘’π‘§βˆ’π‘¦ βˆ’ 1 π‘₯ = 1 𝑦 = 1 z=1 𝑒2 ≀ 𝑒 + 𝑒 βˆ’ 1 Bizga 𝑋 fazo va unda 𝐴 to`plam berilgan bo`lsin. Shunday 𝐺1 , 𝐺2 ochiq to`plamlar mavjud bo`lib, 1. (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 2. (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 3. 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… bo`lsa 𝐴 to`plam bog`lanishsiz to`plam deyiladi.
Ilmiybaza.uz Agar bunday 𝐺1 , 𝐺2 lar mavjud bo`lmasa 𝐴 to`plam bog`lanishli to`plam deyiladi. Agar 𝐴 = 𝑋 deb olsak bog`lanishli fazo kelib chiqadi. Misol-4: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = (0,7) βˆͺ (9,12) 𝐺1 = (βˆ’1,8) 𝐺2 = (8,14) 𝐴 ∩ 𝐺1 = (0,7) 𝐴 ∩ 𝐺2 = (9,12) (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝐴 β†’ bog`lanishsiz 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… Agar 𝐴 to`plamni βˆ€ 2 ta nuqtasini shu to`plam ichida tutashtirish mumkin bo`lsa, u bog`lanishli bo`ladi. bog`lanishli. Ilmiybaza.uz Agar bunday 𝐺1 , 𝐺2 lar mavjud bo`lmasa 𝐴 to`plam bog`lanishli to`plam deyiladi. Agar 𝐴 = 𝑋 deb olsak bog`lanishli fazo kelib chiqadi. Misol-4: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = (0,7) βˆͺ (9,12) 𝐺1 = (βˆ’1,8) 𝐺2 = (8,14) 𝐴 ∩ 𝐺1 = (0,7) 𝐴 ∩ 𝐺2 = (9,12) (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝐴 β†’ bog`lanishsiz 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… Agar 𝐴 to`plamni βˆ€ 2 ta nuqtasini shu to`plam ichida tutashtirish mumkin bo`lsa, u bog`lanishli bo`ladi. bog`lanishli.
Ilmiybaza.uz bog`lanishsiz. Misol-5: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = 𝑁 𝐺1 = (0; 9.1) 𝐺2 = (9.3; ∞) 𝑁 ∩ 𝐺1 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} β‰  βˆ… 𝑁 ∩ 𝐺2 = {𝑛, 𝑛 > 9, 𝑛 ∈ 𝑁} β‰  βˆ… (𝑁 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝑁 ∩ 𝐺2) = 𝑁 (𝑁 ∩ 𝐺1) ∩ (𝑁 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝑁 β†’bog`lanishsiz to`plam. Teorema-1: 𝑋 topologik fazoda 𝐴 bog`lanishli to`plam bo`lsa 𝐴̅ yopig`i ham bog`lanishli bo`ladi. Isbot: Faraz qilaylik 𝐴 bog`lanishli 𝐴̅ bog`lanishsiz bo`lsin. U holda shunday 𝐺1; 𝐺2 mavjudki ο‚· (𝐴̅ ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = 𝐴̅ ο‚· (𝐴̅ ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = βˆ… ο‚· 𝐴̅ ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴̅ ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… o`rinli bo`lishi kerak. 𝐴̅ βŠƒ 𝐴 ekanligidan (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… Ilmiybaza.uz bog`lanishsiz. Misol-5: 𝑋 = 𝑅′ 𝐴 = 𝑁 𝐺1 = (0; 9.1) 𝐺2 = (9.3; ∞) 𝑁 ∩ 𝐺1 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} β‰  βˆ… 𝑁 ∩ 𝐺2 = {𝑛, 𝑛 > 9, 𝑛 ∈ 𝑁} β‰  βˆ… (𝑁 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝑁 ∩ 𝐺2) = 𝑁 (𝑁 ∩ 𝐺1) ∩ (𝑁 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝑁 β†’bog`lanishsiz to`plam. Teorema-1: 𝑋 topologik fazoda 𝐴 bog`lanishli to`plam bo`lsa 𝐴̅ yopig`i ham bog`lanishli bo`ladi. Isbot: Faraz qilaylik 𝐴 bog`lanishli 𝐴̅ bog`lanishsiz bo`lsin. U holda shunday 𝐺1; 𝐺2 mavjudki ο‚· (𝐴̅ ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = 𝐴̅ ο‚· (𝐴̅ ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴̅ ∩ 𝐺2) = βˆ… ο‚· 𝐴̅ ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴̅ ∩ 𝐺2 β‰  βˆ… o`rinli bo`lishi kerak. 𝐴̅ βŠƒ 𝐴 ekanligidan (𝐴 ∩ 𝐺1) βˆͺ (𝐴 ∩ 𝐺2) = 𝐴 (𝐴 ∩ 𝐺1) ∩ (𝐴 ∩ 𝐺2) = βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺1 β‰  βˆ… 𝐴 ∩ 𝐺2 β‰  βˆ