Mexanik tebranishlar Reja: 1. Tebranma harakat haqida tushuncha 2. Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi 3. Garmonik tebranma harakat energiyasi 4. Prujinali mayatnik 5. Fizik mayatnik 6. Matematik mayatnik 7. Tebranishlarni qo’shish 8. Erkin so’nuvchi mexanik tebranishlar 9. Erkin mexanik tebranishlar 10. Tebranishlarning so’nish koeffisiyenti 11. So’nishning logarifmik dekrementi va tizimning aslligi. Tayanch iboralar: Tebranish, xususiy tebranishlar, garmonik tebranishlar, tebranish davri, tebranishlar chastotasi, qaytaruvchi kuch, kvazielastik kuch, differensial tenglama, fizik mayatnik, prujinali mayatnik, matematik mayatnik. So’nuvchi tebranish, erkin mexanik tebranish, so’nish koeffisiyenti, xususiy chastota, so’nish dekrementi, so’nishning logarifmik dekrementi. 16.1. Tebranma harakat haqida tushuncha Vaqt o’tishi bilan takrorlanuvchi harakat yoki fizik jarayonlar tebranishlar deb ataladi. Tabiatda va texnikada tebranma harakatlar keng tarqalgandir. Misol uchun soat mayatnigining tebranishi, o’zgaruvchan elektr toki va boshqalar. Shuning uchun tebranma harakatlarning fizik tabiatiga qarab ularni mexanik, elektromagnit tebranishlar va boshqalarga ajratish mumkin. Ammo tebranma harakat yoki jarayonlar turli bo’lishiga qaramay, ularning barchasi umumiy qonuniyatlar asosida yuzaga keladi. Jism yoki fizik jarayon muvozanat vaziyatiga ega bo’lishi zarur va uni shu holatidan chiqarish va avvalgi vaziyatiga qaytaruvchi kuchlar mavjud bo’lishi kerak. Agar jism dastlab olgan energiyasi hisobiga muvozanatdan chiqib, tashqi kuch yo’q holatida o’z tebranishlarini ancha vaqt amalga oshirib tursa, bunday tebranishlar erkin yoki xususiy tebranishlar deb ataladi. Ular orasida eng sodda ko’rinishi garmonik tebranishlardir. 16.2. Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi Garmonik tebranishlarda tebranuvchi kattaliklar vaqt o’tishi bilan sinus yoki kosinus qonuniyatlariga bo’ysungan holda o’zgarishi kuzatiladi: y=A⋅Sin(ω0t+ϕ) , (16.2.1) bu yerda u – tebranuvchi kattalik, A - tebranuvchi kattalikning amplitudasi (maksimal siljishi), ω0=2π T =2πν - doiraviy yoki siklik chastota,  t = 0 vaqtdagi tebranishning boshlang’ich fazasi, ω0t+ϕ . t – vaqtdagi tebranish fazasi. Garmonik tebranuvchi tizimning ayrim holatlari tebranish davri deb ataluvchi - T vaqtdan so’ng takrorlanib turadi. Bu davr ichida tebranish fazasi 2 ga o’zgaradi, ya’ni: ω0(t+T )+ϕ=(ω0t+ϕ )+2π Bu yerdan tebranish davri quyidagiga teng bo’ladi: T=2 π ω0 , (16.2.2) Tebranish davriga teskari bo’lgan kattalik, birlik vaqt ichidagi to’la tebranishlar sonini belgilaydi va u tebranishlar chastotasi deb ataladi: ν= 1 T , (16.2.3) Chastota birligi Gers bilan o’lchanadi va 1 Gers - 1 sekund davomida 1 sikl tebranish bo’lishini ko’rsatadi. 16.1 - rasm. Moddiy nuqtaning aylana bo’ylab harakati Garmonik tebranishlarga bir misol keltiramiz. M nuqta A radiusli aylana bo’ylab ω=2π T burchak tezlik bilan tekis harakatlanayotgan bo’lsin (16.1 - rasm). Harakat boshlanishida, t = 0 da nuqta M0 holatda deb hisoblaymiz. Shu nuqtaga o’tkazilgan A = 0M0 aylananing radiusi M nuqtaning burchak tezligiga teng tezlik bilan ko’rsatgich yo’nalishida aylanadi. Agar t = 0 da radius gorizontal o’q bilan  burchak hosil qilgan bo’lsa, t vaqt o’tgandan so’ng esa ( t + ) qiymatga ega bo’ladi. M nuqta aylana bo’ylab  burchak tezlik bilan harakatlanganda uning tik diametrga proyeksiyasi N aylana markazi atrofida garmonik tebranishlar hosil qiladi. N nuqtaning tik diametr bo’yicha siljishi yoki tebranishi sinus qonuni bilan ifodalanadi: y=Asin( ωt+ϕ) , (16.2.4) bu yerda u – M nuqtaning tik diametrga proyeksiyasi N nuqtaning 0 aylana markaziga nisbatan holatidir va tebranuvchi kattalik hisoblanadi. M nuqtaning 0X o’qqa proyeksiyasi ham shunday qonun asosida tebranadi: х=Acos(ωt+ϕ) (16.2.4) – ifodada t ni t + T bilan olmashtirib, ω=2π T ga tengligini hisobga olsak, M nuqtaning tik diametrga proyeksiyasi N ni 0 nuqta atrofidagi tebranish qiymatiga ega bo’lamiz va x siljish kattaligining davriy ravishda o’zgarishini kuzatamiz. Gorizontal o’q bo’yicha vatqning o’zgarishini, vertikal o’q bo’yicha esa siljishining o’zgarishini keltirsak, siljishning o’zgarishini grafik ravishda tassavur qilish mumkin. Natijada sinusoida qonuniyatini kuzatamiz (16.2 - rasm). Bu yerda istalgan vertikal AV kesma shu vaqtdagi siljishni ko’rsatadi, A1V1 – amplitudaning maksimal qiymatini, T – tebranish davrini ko’rsatadi. 16.2 - rasm. Moddiy nuqtaning aylana trayektoriyasidagi holatini u – o’qqa proyeksiyasining garmonik tebranishi Garmonik tebranishlarning grafik tasvirlash usullaridan yana biri vektor diagrammalar usuli hisoblanadi (16.3 - rasm). 16.3 - rasm. Garmonik tebranishning vektor diagramma orqali grafik tasviri 0 nuqta atrofida ω0 o’zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan, miqdor jihatdan o’zgarmas A amplitudaga teng bo’lgan vektorni tasavvur qilamiz. Istalgan t vaqtdagi A vektorning vertikal o’qqa proyeksiyasi siljishga tengdir, gorizontal o’q bilan hosil qilgan burchagi esa tebranishning fazasini bildiradi. N nuqtaning siljishini t vaqt ichidagi bosib o’tgan yo’li deb hisoblasak, t vaqtdagi uning tezligi quyidagiga teng bo’ladi: υ=dy dt =ωA cos(ωt+ϕ) , (16.2.5) Tezlanishni ham shunday aniqlaymiz: a=dυ dt =−ω2 Asin(ωt +ϕ)=−ω2 y , (16.2.6) Garmonik tebranayotgan nuqtaning tezlanishi siljishga proporsional bo’lib, ishorasi yo’nalishga teskaridir. (16.2.1) - (16.2.5) - va (16.2.6) - ifodalar garmonik tebranishning kinematik qonunlaridir (16.4 - rasm). (16.2.6) - ifodaning ikki tarafini tebranayotgan nuqtaning massasiga ko’paytirsak, garmonik tebranish dinamikasining qonuniga ega bo’lamiz. 16.4 - rasm. Garmonik tebranish kinetik parametrlarining vaqtga bog’liq o’zgarishlari Vektor ko’rinishda quyidagicha ifodalanadi: ⃗F=m⃗a=−mω2 A sin(ωt+ϕ )=−mω2 y , (16.2.7) Garmonik tebranayotgan jismga quyilgan kuch siljishga teskari yo’nalgan bo’lib, u jismni muvozanat holatiga qaytarishga intiladi, shu sababli bu kuch - qaytaruvchi kuch deb ataladi. 16.3 Garmonik tebranma harakat energiyasi Kuchning siljishga bog’liqligi deformasiya ta’siridagi elastik kuchni eslatgani uchun, uni goh paytda kvazielastik kuch deb ham ataladi. O’z navbatida kvazielastik kuchlar tortishish yoki elastik kuchlarga o’xshab konservativ kuchlarga o’xshaydilar. Shu sababli, garmonik tebranayotgan jismlarning to’la mexanik energiyasi o’zgarmasdir, ya’ni energiyaning saqlanish qonuniga amal qiladi E=T +U=const , (16.3.1) Garmonik qonuniyat bilan tebranayotgan jismning kinetik energiyasi quyidagicha ifodalanadi: T=mυ2 2 =mω2 A2cos2(ωt+ϕ) 2 , (16.3.2) Kinetik energiya maksimal qiymatga ega bo’lganida potensial energiya U nolga teng bo’ladi. U holda to’la energiya E=mω2 A2 2 ga teng bo’ladi. Boshqa vaqtlarda potensial energiya shunday ifodalanadi: U=E−T= mω2 A2 2 −mω2 A2cos2(ωt+ϕ) 2 = mω2 A2sin2(ωt +ϕ) 2 , (16.3.3) Dinamikaning ikkinchi qonunidan, tebranayotgan jismlar uchun quyidagi ifodani o’rinli deb hisoblasa bo’ladi: F=ma=m d2 y dt 2 =−mω2 y , d2 y dt2 +ω2 y=0 , (16.3.4) Bu ifoda garmonik tebranishlarning differensial tenglamasi deb ataladi. Uning yechimi y=A⋅sin(ωt +ϕ ) dan iboratdir. 16.4 Prujinali mayatnik Garmonik tebranma harakat qiluvchi tizimlarga turli ko’rinishdagi mayatniklarni misol tariqasida keltirish mumkin. Prujinali mayatnik – yuqori tarafi qo’zg’almas etib qotirilgan spiralli prujinaning pastiga ilingan m – massali yukchadan iboratdir (16.5 - rasm). 16.5 - rasm. Prujinali mayatnik Prujinaning massasi yukchaning massasidan juda kichik deb hisoblanadi. Shuning uchun uning massasi hisobga olinmaydi. Yukcha a holatda bo’lganida, yukning og’irligi bilan cho’zilgan prujinaning elastiklik kuchi muvozanatda ekanligini e’tiborga olamiz. Agar spiralli prujinani cho’zib, yukchani V nuqtaga siljitib qo’yib yuborsak, u holatda yukcha yuqori va pastga qarab tebrana boshlaydi. Demak, t vaqtda, yukcha V nuqtada bo’lganida yukchaga ta’sir etuvchi kuchni quyidagicha ifodalaymiz: F=−ky , (16.4.1) Bu yerda k – prujinaning elastiklik kuchi, u yukning siljishiga (u) ga proporsionaldir. Agarda prujinali mayatnikning garmonik tebranishini hisobga olsak, (16.4.1) - ifodani (16.2.7) – ifoda bilan solishtirib quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: ⃗F=m⃗a=−mω2⋅A⋅sin(ωt+ϕ)=−mω2 ⃗y=−k ⃗y k=mω2=m 4 π2 T2 , (16.4.2) Prujinali mayatnikning tebranish davri T=2π√ m k , (16.4.3) ga teng bo’ladi. 16.5 Fizik mayatnik Fizik mayatnik – bu og’irlik markazi S nuqtadan o’tgan, 0 o’q markazi atrofida tebranadigan jismdan iboratdir (16.6 - rasm). 16.6 - rasm. Fizik mayatnik Bu yerda 0 – tebranish o’qi markazi, S – tebranayotgan m – massali jismning og’irlik markazi, mg – jismning og’irlik kuchi, ℓ – fizik mayatnikning yelkasi. Agar mayatnik kichik  burchakka og’dirilsa, mayatnikka qo’yilgan kuch momenti M=−mgℓ⋅sinϕ≈−mgℓ⋅ϕ , (16.5.1) ga teng bo’ladi. Aylanma harakatning asosiy qonunini M=I d2ϕ dt2 , (16.5.2) (16.5.1) va (16.5.2) – ifodalarni tenglashtirsak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz I d2ϕ dt 2 =−mgℓ⋅ϕ d2ϕ dt 2 + mg ℓ I ϕ=0 , (16.5.3) Bundan fizik mayatnikning siklik chastotasi ω=√ mgℓ I ga teng bo’linishi ko’rinib turibdi. Fizik mayatnikning tebranish davrini quyidagicha ifodalash mumkin: T=2π√ I mgℓ . (16.5.4) 16.6 Matematik mayatnik Matematik mayatnik – og’irligi hisobga olinmaydigan ℓ uzunlikdagi ipga osilgan m massali moddiy nuqtadir (16.7 - rasm). U fizik mayatnikning xususiy holidir. Ip vertikal o’qdan kichik  burchakka siljitilsa, m massali moddiy nuqtaning inersiya momenti I=mℓ2 16.7 - rasm. Matematik mayatnik ga teng bo’ladi. (16.5.4) - ifodaga inersiya momenti qiymatini qo’ysak, matematik mayatnikning tebranish davri ifodasiga ega bo’lamiz: T=2π√ I mgℓ =2π√ mℓ2 mgℓ =2π√ ℓ g , (16.6.1) 16.7. Tebranishlarni qo’shish Ayrim tebranuvchi tizimlarda jism bir vaqtning o’zida bir necha harakatda qatnashishi mumkin. Shunday tizimlardan biri quyidagi 16.8 - rasmda keltirilgan. m massali jism rasm tekisligida ℓ1 uzunlikdagi oddiy mayatnik singari tebranadi. Shu tekislikka perpendikulyar yo’nalishda esa, ℓ2 uzunlikdagi mayatnik kabi tebranadi. Shu sababli, jismning natijaviy harakatini aniqlash zarur bo’ladi. 16.8 - rasm. m massali jismning bir-biriga perpendikulyar tekisliklardagi tebranishi Quyida garmonik tebranishlarni qo’shishning ayrim hollarini ko’rib chiqamiz. Bir yo’nalishdagi tebranishlarni qo’shish. Jism chastotalari bir xil, amplituda va fazalari farq qiladigan ikkita y1=A1sin(ωt+ϕ1) , y2=A2sin(ωt+ϕ2) , (16.7.1) tebranishlarda ishtirok etadi deb hisoblaymiz. Tebranishlarni vektorlar diagrammasi usulidan foydalanib qo’shish qulaydir (16.9 - rasm). 16.9 - rasm. Bir yo’nalishdagi tebranishlarni vektorlar diagrammasi usulida qo’shish ⃗A1 va ⃗A2 vektorlar bir xil ω burchak tezlik bilan aylanishlari sababli, fazalar siljishi doimo o’zgarmasdir. Natijaviy tebranish tenglamasi quyidagichadir: y=y1+ y2=Asin(ωt+ϕ) , (16.7.2) ⃗A vektor ⃗A1 va ⃗A2 vektorlarning geometrik yig’indisiga teng, ya’ni ⃗A=⃗A1+ ⃗A2 , uning ustiga oldingi ω burchak tezlik bilan aylanadi. Natijaviy tebranishning amplitudasi kvadrati quyidagiga teng: A2=A1 2+ A2 2+2 A1 A2cos(ϕ1−ϕ2) , (16.7.3) ϕ boshlang’ich faza tgϕ= B ⃗C O ⃗C nisbat bilan aniqlanadi yoki tg ϕ= A1sin ϕ1+ A2sin ϕ2 A1cosϕ1+ A2cosϕ2 , (16.7.4) ga tengdir. Shunday qilib, jism bir xil chastotali, bir yo’nalishda sodir bo’ladigan ikkita garmonik tebranishlarda qatnashib, o’sha chastotali, o’sha yo’nalishda garmonik tebranadi. (16.7.3) - ifodadan, A amplituda ϕ1−ϕ2=mπ bo’lganda maksimal, ϕ1−ϕ2=(2m−1) π 2 bo’lganda minimal va A1=A2 bo’lganda nol qiymatlarga ega bo’lishi ko’rinib turibdi. Bu yerda m=0,1,2,3,..., qiymatlarni qabul qiladi. Natijaviy tebranishga o’sha yo’nalishda ω burchak tezlikli uchinchi tebranishni qo’shilishi shu chastotali yangi garmonik tebranishga olib keladi. 16.8. Erkin so’nuvchi mexanik tebranishlar Vaqt o’tishi bilan tebranish tizimining energiyasi asta-sekin yo’qotilishiga bog’liq tebranishlar – so’nuvchi tebranishlar deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, energiya zahirasi muhitning qarshiligi, ishqalanish kuchlarini yengishga sarf bo’ladi va tebranish so’na boshlaydi, tebranish amplitudasi asta-sekin kamaya boradi. Bu xollarda erkin so’nuvchi tebranma harakatlar kuzatiladi. Mexanik tebranma harakatlarda ishqalanish hisobiga energiya issiqlik energiyasiga o’tib kamaya boradi. 16.9. Erkin mexanik tebranishlar So’nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasini keltirib chiqarishga harakat qilamiz. Tebranuvchi jismga qaytaruvchi kuch va jismning harakat tezligiga proporsional bo’lgan qarshilik kuchlarning yig’indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik. Bu yerda Fq = −r dy dt qarshilik kuchi, r - qarshilik koeffisiyenti, dy dt - harakat tezligi, “–“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi yo’nalishiga teskari ekanligini bildiradi. OU o’q bo’ylab to’g’ri chiziqli so’nuvchi tebranish uchun Nyutonning II qonuni quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: m d2 y dt 2 =F+Fк=−mω 02 y−r dy dt , (16.9.1) Bu yerda (y) - tebranuvchi kattalik, ω0 - qarshilik kuchi yo’qligidagi tebranishlar chastotasi yoki tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir. Tenglikning hadlarini m ga bo’lsak quyidagi ifodaga ega bo’lamiz: d2 y dt 2 + r m dy dt +ω 02 y=0 , (16.9.2) Bu ifoda erkin so’nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi deb ataladi. 16.10. Tebranishlarning so’nish koeffisiyenti Bu yerda r m=2 β , β - so’nish koeffisiyenti deb ataladi. (16.9.2) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin: d2 y dt2 +2 β dy dt +ω 02 y=0 , (16.10.1) Bu tenglamaning yechimi y= A0e−βt sin (ω't+ϕ) , (16.10.2) dan iboratdir. Bu yerda, ω '=√ω 02−β2 so’nuvchi tebranishning chastotasidir ω '=√ω 02−β2=√ ω 02− r2 4m2 , (16.10.3) Muhitning qarshiligi yo’q holatda (r = 0) (16.10.3) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga tenglashadi ω '=ω0 . (16.10.2) - funksiya ko’rinishiga qarab, tizimning harakatini ω ' chastotali, amplitudasi vaqt bo’yicha o’zgaradigan quyidagi A (t)=A0e−βt so’nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu yerda A0 - vaqtning boshlang’ich holatidagi tebranish amplitudasidir. 16.10 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog’liq egri chiziqlari keltirilgan. 16.10 - rasm. Erkin so’nuvchi tebranishning amplitudasining vaqtga bog’liq o’zgarishi Egri chiziqlarning yuqorigisi A (t)=A0e−βt funksiya grafigini belgilaydi. Bu yerda A0 va y0 boshlang’ich momentdagi amplituda va siljishning qiymatlaridir. Boshlang’ich siljish y0 o’z vaqtida, A0 dan tashqari, boshlang’ich fazaga ham bog’liqdir: y0=A0sin α