MEXANIK TEBRANISHLAR VA TO‘LQINLAR

Yuklangan vaqt

2024-07-16

Yuklab olishlar soni

1

Sahifalar soni

24

Faytl hajmi

556,6 KB


MEXANIK TEBRANISHLAR VA TO‘LQINLAR Ma’ruza rejasi: Tebranishlar xaqida umumiy ma’lumotlar. Garmonik tebranishlar va tebranma harakat tenglamasi. Tebranma harakat qilayotgan jismning energiyasi. Matematik mayatnik. Fizik mayatnik. Mayatniklarning qurilishda qo‘llanilishi. To‘lqinlar. Tebranma harakatning elastik muhitdagi tarqalishi. Yassi va sferik to‘lqinlar tenglamalari. To‘lqinlarning interfrensiyasi va diffraksiyasi. Turg‘un to‘lqinlar. Tovush to‘lqinlari. Ultratovush. Ma’lum vaqtdan keyin qaytariladigan harakatlarga yoki jarayonlarga tebranishlar deb ataladi. Bunga soat mayatnigini, musiqa asbobining torining titrashi, yurakning harakati misol bo‘ladi. Tebranishlar ikkiga bo‘linadi: erkin va majburiy tebranishlar. Biror tashqi kuch ta’sirida muvozanat vaziyatidan chiqarilganda va tashqi kuch ta’siri to‘xtatilganda ham davom etadigan tebranma harakat erkin yoki xususiy tebrinishlar deyiladi. Tashqi davriy o‘zgaruvchan kuchlar ta’sirida sodir bo‘ladigan tebranishlar majburiy tebranishlar deyiladi. Tebranma harakat quyidagi kattaliklar yordamida ifodalanadi: Tebranma harakat qilayotgan jismning muvozanat vaziyatidan chetga chiqishi siljish deb, siljishning maksimal qiymati esa siljish amplitudas deb ataladi. Jismning bitta to‘liq tebranishi amalga oshishi uchun ketgan vaqtga tebranish davri(T ) deb ataladi. Agar t vaqtda vomida jism N marta tebrangan bo‘lsa, uning davri: N T  t Vaqt birligi ichida tebranishlar soniga tebranish chastotasi ( ) deb ataladi: MEXANIK TEBRANISHLAR VA TO‘LQINLAR Ma’ruza rejasi: Tebranishlar xaqida umumiy ma’lumotlar. Garmonik tebranishlar va tebranma harakat tenglamasi. Tebranma harakat qilayotgan jismning energiyasi. Matematik mayatnik. Fizik mayatnik. Mayatniklarning qurilishda qo‘llanilishi. To‘lqinlar. Tebranma harakatning elastik muhitdagi tarqalishi. Yassi va sferik to‘lqinlar tenglamalari. To‘lqinlarning interfrensiyasi va diffraksiyasi. Turg‘un to‘lqinlar. Tovush to‘lqinlari. Ultratovush. Ma’lum vaqtdan keyin qaytariladigan harakatlarga yoki jarayonlarga tebranishlar deb ataladi. Bunga soat mayatnigini, musiqa asbobining torining titrashi, yurakning harakati misol bo‘ladi. Tebranishlar ikkiga bo‘linadi: erkin va majburiy tebranishlar. Biror tashqi kuch ta’sirida muvozanat vaziyatidan chiqarilganda va tashqi kuch ta’siri to‘xtatilganda ham davom etadigan tebranma harakat erkin yoki xususiy tebrinishlar deyiladi. Tashqi davriy o‘zgaruvchan kuchlar ta’sirida sodir bo‘ladigan tebranishlar majburiy tebranishlar deyiladi. Tebranma harakat quyidagi kattaliklar yordamida ifodalanadi: Tebranma harakat qilayotgan jismning muvozanat vaziyatidan chetga chiqishi siljish deb, siljishning maksimal qiymati esa siljish amplitudas deb ataladi. Jismning bitta to‘liq tebranishi amalga oshishi uchun ketgan vaqtga tebranish davri(T ) deb ataladi. Agar t vaqtda vomida jism N marta tebrangan bo‘lsa, uning davri: N T  t Vaqt birligi ichida tebranishlar soniga tebranish chastotasi ( ) deb ataladi:
T t N  1   ya’ni, chastota davrga teskari bo‘lgan kattalik. Vaqt o‘tishi bilan amplitudasining moduli o‘zgarmas qoladigan tebranishga so‘nma stebranishlar deb ataladi. Aksincha vaqt o‘tishi bilana mplitudasi kamayib boruvchi tebranishga esa so‘nuvchi tebranishlar deyiladi. Tebranayotga nnuqtaningistalgan vaqtdagi muvozanat holatidan qanchalik siljiganligini va bu nuqta qaysi yo‘nalishda harakatlanayotganligini ifodalaydigan kattalik tebranishfazasi deb ataladi. 2π sekund ichida ro‘y beradigan tebranishlar soniga teng bo‘ladigan kattalikka doiraviy yoki siklik chastota ( ) deyiladi, ya’ni    2 2   Т ifoda orqali aniqlanadi. Tebranma harakatning eng sodda turi bu – garmonik tebranishdir. Agar tebranma harakatni ifodalashlovchi biror fizik kattalik (masalan, muvozanat holatidan siljish masofasi, og‘ish burchagi, tezligi) miqdori vaqt o‘tishi bilan sinus yoki kosinus qoidasi bo‘yicha o‘zgarsa, bunday tebranishlarga garmonik tebranishlar deb ataladi1. Garmonik tebranishlar qonuniyatlarini ko‘rish uchun prujinaga mahkamlangan sharchaning tebranma harakatini tahlil qilaylik (3–rasm ). Sharchaga ta’sir qilayotgan elastiklik kuchining x o‘qiga proektsiyasi kx Fx   ko‘rinishda yoziladi. Elastiklik kuchi ta’sirida bo‘lgan sistema uchun Nyutonning ikkinchi qonuni kx max   yoki kx dt m d x   2 2 (83) 1 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [17] T t N  1   ya’ni, chastota davrga teskari bo‘lgan kattalik. Vaqt o‘tishi bilan amplitudasining moduli o‘zgarmas qoladigan tebranishga so‘nma stebranishlar deb ataladi. Aksincha vaqt o‘tishi bilana mplitudasi kamayib boruvchi tebranishga esa so‘nuvchi tebranishlar deyiladi. Tebranayotga nnuqtaningistalgan vaqtdagi muvozanat holatidan qanchalik siljiganligini va bu nuqta qaysi yo‘nalishda harakatlanayotganligini ifodalaydigan kattalik tebranishfazasi deb ataladi. 2π sekund ichida ro‘y beradigan tebranishlar soniga teng bo‘ladigan kattalikka doiraviy yoki siklik chastota ( ) deyiladi, ya’ni    2 2   Т ifoda orqali aniqlanadi. Tebranma harakatning eng sodda turi bu – garmonik tebranishdir. Agar tebranma harakatni ifodalashlovchi biror fizik kattalik (masalan, muvozanat holatidan siljish masofasi, og‘ish burchagi, tezligi) miqdori vaqt o‘tishi bilan sinus yoki kosinus qoidasi bo‘yicha o‘zgarsa, bunday tebranishlarga garmonik tebranishlar deb ataladi1. Garmonik tebranishlar qonuniyatlarini ko‘rish uchun prujinaga mahkamlangan sharchaning tebranma harakatini tahlil qilaylik (3–rasm ). Sharchaga ta’sir qilayotgan elastiklik kuchining x o‘qiga proektsiyasi kx Fx   ko‘rinishda yoziladi. Elastiklik kuchi ta’sirida bo‘lgan sistema uchun Nyutonning ikkinchi qonuni kx max   yoki kx dt m d x   2 2 (83) 1 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [17]
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda, k - prujina bikrligi, m - prujinaga osilgan jism massasi.(83) ifodagi x dt d x   2 2 bilan belgilaymiz va undagi hadlarni bir tamonga o‘tkazamiz. So‘ngra m ga bo‘lib, m  2 k (84) belgilash kiritsak, quyidagicha bir o‘lchovli garmonik tebranishning differensial 3-Rasm. tenglamasi hosil bo‘ladi2, ya’ni 0 2   x x   (85) U holda, ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin(  0  t A x yoki ) cos(  0  t A x (86) 2 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [24] ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda, k - prujina bikrligi, m - prujinaga osilgan jism massasi.(83) ifodagi x dt d x   2 2 bilan belgilaymiz va undagi hadlarni bir tamonga o‘tkazamiz. So‘ngra m ga bo‘lib, m  2 k (84) belgilash kiritsak, quyidagicha bir o‘lchovli garmonik tebranishning differensial 3-Rasm. tenglamasi hosil bo‘ladi2, ya’ni 0 2   x x   (85) U holda, ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin(  0  t A x yoki ) cos(  0  t A x (86) 2 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [24]
bu yerda, A - siljishning maksimal qiymati – amplituda. ) (  0 t - tebranma harakatningtebranish fazasi, 0  - boshlang‘ich faza,  - esa tebranishning siklik chastotasi deb ataladi. Cho‘zilmas va vaznsiz ipga osilgan, massasi bir nuqtada mujassamlashgan va faqat og‘irlik kuchi ta’sirida tebranma harakat qila oladigan sistemaga matematik mayatnik deb ataladi. Matematik mayatnik ipi vertikal vaziyatda bo‘lsa, sharchaga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchi ( P  ) ipning taranglik kuchi (T  ) bilan muvozanatlashadi (5 – rasm). Lekin mayatnikni muvozanat vaziyatidan biror  burchakka og‘dirsak, sharchaning og‘irlik kuchi ( P  ) va ipning taranglik kuchi (T  ) bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi. Natijada ularning teng ta’sir etuvchisi T P F      bo‘ladi. Bu yerda, F  5-Rasm. - ipga perpendikulyar yo‘nalga qaytaruvchi kuch. Mayatnik mg sin F    og‘irlik kuchining tashkil etuvchisi ta’sirida tebrana boshlaydi. Kichik burchaklar uchun sin  bo‘lgani uchun yuqoridagi ifoda mg F    (87) bu yerda, A - siljishning maksimal qiymati – amplituda. ) (  0 t - tebranma harakatningtebranish fazasi, 0  - boshlang‘ich faza,  - esa tebranishning siklik chastotasi deb ataladi. Cho‘zilmas va vaznsiz ipga osilgan, massasi bir nuqtada mujassamlashgan va faqat og‘irlik kuchi ta’sirida tebranma harakat qila oladigan sistemaga matematik mayatnik deb ataladi. Matematik mayatnik ipi vertikal vaziyatda bo‘lsa, sharchaga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchi ( P  ) ipning taranglik kuchi (T  ) bilan muvozanatlashadi (5 – rasm). Lekin mayatnikni muvozanat vaziyatidan biror  burchakka og‘dirsak, sharchaning og‘irlik kuchi ( P  ) va ipning taranglik kuchi (T  ) bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi. Natijada ularning teng ta’sir etuvchisi T P F      bo‘ladi. Bu yerda, F  5-Rasm. - ipga perpendikulyar yo‘nalga qaytaruvchi kuch. Mayatnik mg sin F    og‘irlik kuchining tashkil etuvchisi ta’sirida tebrana boshlaydi. Kichik burchaklar uchun sin  bo‘lgani uchun yuqoridagi ifoda mg F    (87)
ko‘rinishga keladi. Bu kuch ta’sirida sharcha l radiusli aylana yoyi bo‘ylab muvozanat vaziyati tomon harakatlanadi. Mayatnikning mazkur harakati aylanma harakat dinamikasining tenglamasi M  I  (88) bilan ifodalanadi. Bunda I – sharchaning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti,  – uning burchak tezlanishi, M esa F  kuchning O o‘qqa nisbatan momenti bo‘lganligi tufayli I  ml2 , 2 2 dt   d  , mg sin M   formulalardan foydalanib (26.2) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:   sin 2 2 2 mg dt ml d   yoki, 0 sin 2 2     l g dt d (89) Agar burchakning kichik qiymatlariga mos keluvchi tebranishlarni tekshirish bilan cheklansak, sin ni  bilan almashtirish mumkin. Natijada (89) ifoda 0 2 2     l g dt d ko‘rinishgakeladi. Bunda, l  2 g belgilashkiritsak, 0 2 2 2      dt d (90) tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning yechimi oldingi bo‘limda ko‘rganimizdek, ) cos( 0 0       t (26.5) ko‘rinishda bo‘ladi. Demak, kichik amplitudali tebranishlar uchun matematik mayatnikning og‘ish burchagi α vaqt bo‘yicha garmonik tarzda o‘zgarar ekan. U holda,  T  2 danfoydalanib,matematik mayatnikning ko‘rinishga keladi. Bu kuch ta’sirida sharcha l radiusli aylana yoyi bo‘ylab muvozanat vaziyati tomon harakatlanadi. Mayatnikning mazkur harakati aylanma harakat dinamikasining tenglamasi M  I  (88) bilan ifodalanadi. Bunda I – sharchaning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti,  – uning burchak tezlanishi, M esa F  kuchning O o‘qqa nisbatan momenti bo‘lganligi tufayli I  ml2 , 2 2 dt   d  , mg sin M   formulalardan foydalanib (26.2) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:   sin 2 2 2 mg dt ml d   yoki, 0 sin 2 2     l g dt d (89) Agar burchakning kichik qiymatlariga mos keluvchi tebranishlarni tekshirish bilan cheklansak, sin ni  bilan almashtirish mumkin. Natijada (89) ifoda 0 2 2     l g dt d ko‘rinishgakeladi. Bunda, l  2 g belgilashkiritsak, 0 2 2 2      dt d (90) tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning yechimi oldingi bo‘limda ko‘rganimizdek, ) cos( 0 0       t (26.5) ko‘rinishda bo‘ladi. Demak, kichik amplitudali tebranishlar uchun matematik mayatnikning og‘ish burchagi α vaqt bo‘yicha garmonik tarzda o‘zgarar ekan. U holda,  T  2 danfoydalanib,matematik mayatnikning
tebranish davri uchun g l T    2 2   (91) ifodaga ega bo‘lamiz. Demak, kichik og‘ishlarda matematik mayatnikning tebraniish davri mayatnik uzundigiga va erkin tushish tezlanishiga bog‘liq bo‘lib, mayatnik tebranishlarining amplitudasiga hamda sharchaning massasiga bog‘liq emas. Fizik mayatnik deb, inertsiya markazidan o‘tmaydigan gorizontal qo‘zg‘almas aylanish o‘qi atrofida og‘irlik kuchi ta’sirida harakatlana oladigan qattiq jismga aytiladi. Aylanish o‘qi fizik mayatnikning osilish o‘qi deb ham ataldi. 6-Rasm. Fizik mayatnikning inertsiya markazi (C) dan osilish o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyar (OC) chiziq vertikal chiziq bilan mos tushgan holda mayatnik muvozanat vaziyatida bo‘ladi. Muvozanat vaziyatidan biror burchakka og‘dirilganda (6- rasm) P  va T  kuchlarning teng ta’sir etuvchisi–fizik mayatnikni muvozanat vaziyati tomon tebranish davri uchun g l T    2 2   (91) ifodaga ega bo‘lamiz. Demak, kichik og‘ishlarda matematik mayatnikning tebraniish davri mayatnik uzundigiga va erkin tushish tezlanishiga bog‘liq bo‘lib, mayatnik tebranishlarining amplitudasiga hamda sharchaning massasiga bog‘liq emas. Fizik mayatnik deb, inertsiya markazidan o‘tmaydigan gorizontal qo‘zg‘almas aylanish o‘qi atrofida og‘irlik kuchi ta’sirida harakatlana oladigan qattiq jismga aytiladi. Aylanish o‘qi fizik mayatnikning osilish o‘qi deb ham ataldi. 6-Rasm. Fizik mayatnikning inertsiya markazi (C) dan osilish o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyar (OC) chiziq vertikal chiziq bilan mos tushgan holda mayatnik muvozanat vaziyatida bo‘ladi. Muvozanat vaziyatidan biror burchakka og‘dirilganda (6- rasm) P  va T  kuchlarning teng ta’sir etuvchisi–fizik mayatnikni muvozanat vaziyati tomon
qaytarishga intiluvchi F  kuch paydo bo‘ladi. Fizik mayatnikning harakati uchun aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yoziladi:   sin 2 2 mgh dt I d   (92) bunda, I – fizik mayatnikning osilish o‘qiga nisbatan inersiya momenti, m– fizik mayatnik massasi, h esa fizik mayatnikning osilish o‘qi va inersiya markazi orasidagi masofa. Kichik tebranishlar uchun sin  ekanligini hisobga olsak, (92) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi: 0 2 2     I mgh dt d yoki, 0 2 2 2      dt d (93) Oxirgi tenglamada I mgh  2  (94) belgilash kiritamiz va fizik mayatnikning kichik og‘ishlaridagi tebranishlar–garmonik tebranishlar bo‘lib, ularning tebranish davri mgh I T    2 2   (95) formula orqali aniqlanadi. Endi, fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘lgan davr bilan tebranadigan matematik mayatnikning uzunligini topaylik. Buning uchun, matematik mayatnik tebranish davrini fizik mayatnik tebranish davriga tenglashtiramiz: mgh I g l   2 2  Yuqoridagi ifodadan l ning qiymatini topamiz va uni Kl deb belgilaymiz: mh I lK  (96) qaytarishga intiluvchi F  kuch paydo bo‘ladi. Fizik mayatnikning harakati uchun aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yoziladi:   sin 2 2 mgh dt I d   (92) bunda, I – fizik mayatnikning osilish o‘qiga nisbatan inersiya momenti, m– fizik mayatnik massasi, h esa fizik mayatnikning osilish o‘qi va inersiya markazi orasidagi masofa. Kichik tebranishlar uchun sin  ekanligini hisobga olsak, (92) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi: 0 2 2     I mgh dt d yoki, 0 2 2 2      dt d (93) Oxirgi tenglamada I mgh  2  (94) belgilash kiritamiz va fizik mayatnikning kichik og‘ishlaridagi tebranishlar–garmonik tebranishlar bo‘lib, ularning tebranish davri mgh I T    2 2   (95) formula orqali aniqlanadi. Endi, fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘lgan davr bilan tebranadigan matematik mayatnikning uzunligini topaylik. Buning uchun, matematik mayatnik tebranish davrini fizik mayatnik tebranish davriga tenglashtiramiz: mgh I g l   2 2  Yuqoridagi ifodadan l ning qiymatini topamiz va uni Kl deb belgilaymiz: mh I lK  (96)
Yuqoridagi ifoda bilan aniqlanadigan Kl uzunlik fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi deb ataladi. Unga quyidagicha ta’rif beriladi: fizik mayatnikning barcha massasini fikran bitta nuqtaga to‘plab va bu moddiy nuqtani Kl uzunlikdagi ipga osib vujudga keltirilgan matematik mayatnikning tebranish davri mavjud fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘ladi. Xulosa qilib, matematik va fizik mayatniklar texnikaning turli sohalarida, xususan soatsozlikda keng qo‘llaniladi. Ularning tebranish davri formulalari muhim ahamiyatga ega bo‘lib, erkin tushish tezlanishini va murakkab jismlarning inertsiya momentlarini aniqlashda muhim ahamiyat kasb etadi. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil  siklik chastota bilan, ammo turlicha 01  va 02  boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (29.1 – rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, ) sin( 01 1 1    t A x va ) sin( 02 2 2    t A x ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish 2 1 x x x   , nataijaviy amplituda esa 2 1 A A A   ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin( 0 2 1      t A x x x (29.1) bu yerda, (7) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, 2 2 1 1 2 2 1 1 0 cos cos sin sin      A A A A tg    (29.2) shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan ) cos( 2 02 01 2 1 2 2 12       A A A A A (29.3) ifoda hosil qilinadi. Yuqoridagi ifoda bilan aniqlanadigan Kl uzunlik fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi deb ataladi. Unga quyidagicha ta’rif beriladi: fizik mayatnikning barcha massasini fikran bitta nuqtaga to‘plab va bu moddiy nuqtani Kl uzunlikdagi ipga osib vujudga keltirilgan matematik mayatnikning tebranish davri mavjud fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘ladi. Xulosa qilib, matematik va fizik mayatniklar texnikaning turli sohalarida, xususan soatsozlikda keng qo‘llaniladi. Ularning tebranish davri formulalari muhim ahamiyatga ega bo‘lib, erkin tushish tezlanishini va murakkab jismlarning inertsiya momentlarini aniqlashda muhim ahamiyat kasb etadi. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil  siklik chastota bilan, ammo turlicha 01  va 02  boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (29.1 – rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, ) sin( 01 1 1    t A x va ) sin( 02 2 2    t A x ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish 2 1 x x x   , nataijaviy amplituda esa 2 1 A A A   ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin( 0 2 1      t A x x x (29.1) bu yerda, (7) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, 2 2 1 1 2 2 1 1 0 cos cos sin sin      A A A A tg    (29.2) shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan ) cos( 2 02 01 2 1 2 2 12       A A A A A (29.3) ifoda hosil qilinadi.
Agarda, fazalar farqi      2 1 yoki )1  (2 n  bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi 2 1 A A A   (29.4) ko‘rinishda bo‘ladi. Agar fazalar farqi 0 2 1    yoki 2n bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: 2 1 A A A   (29.5) 7 – Rasm. Agarda, fazalar farqi      2 1 yoki )1  (2 n  bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi 2 1 A A A   (29.4) ko‘rinishda bo‘ladi. Agar fazalar farqi 0 2 1    yoki 2n bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: 2 1 A A A   (29.5) 7 – Rasm.
Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta elastik kx Fel   kuch ta’sirida garmonik tebranma harakat qilayotgan bo‘lsin3. Harakatlanayotgan moddiy nuqta  tezlikka ega bo‘lsa, moddiy nuqtaning kinetik energiyasi 2 Ek  m2 ifoda orqali aniqlanadi. Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning tezligi uchun   ) sin( ) cos( 0 0             t A t dt A d dt dx (97) ifoda o‘rinli. Shuning uchun, kinetik energiya formulasi quyidagicha yoziladi: ) sin ( 2 1 0 2 2 2      t A m Ek (98) Potensial energiyaning qiymati esa moddiy nuqtani muvozanat vaziyatidan x masofaga siljitish uchun elastiklik kuchi ( F el ) ning bajargan ishi bilan aniqlanadi4: ) cos ( 2 1 2 1 0 2 2 2 0 0         t kA kx kxdx Fdx E x x p (100) (99) va (100) lardagi sinus va kosinusning maksimal qiymati 1 ga teng. Shuning uchun, tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning kinetik va potensial energiyalarining maksimal qiymatlari uchun quyidagi ifodalar o‘rinli: 2 2 2 1 A m Ek   (101) 2 2 Ep  1 kA (102) Moddiy nuqtaning tebranish jarayonida navbatma-navbat kinetik energiyaning potensial energiyaga va aksincha, potensial energiyaning kinetik energiyaga aylanishi sodir bo‘ladi. Mayatnik muvozanat vaziyatidan qaytayotganda tezlanuvchan harakat qiladi, bunda uning potensial energiyasi kinetik energiyaga aylanadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tayotganda mayatnikning kinetik energiyasi maksimal qiymatga erishadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tib 3 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [12] 4 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [290] Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta elastik kx Fel   kuch ta’sirida garmonik tebranma harakat qilayotgan bo‘lsin3. Harakatlanayotgan moddiy nuqta  tezlikka ega bo‘lsa, moddiy nuqtaning kinetik energiyasi 2 Ek  m2 ifoda orqali aniqlanadi. Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning tezligi uchun   ) sin( ) cos( 0 0             t A t dt A d dt dx (97) ifoda o‘rinli. Shuning uchun, kinetik energiya formulasi quyidagicha yoziladi: ) sin ( 2 1 0 2 2 2      t A m Ek (98) Potensial energiyaning qiymati esa moddiy nuqtani muvozanat vaziyatidan x masofaga siljitish uchun elastiklik kuchi ( F el ) ning bajargan ishi bilan aniqlanadi4: ) cos ( 2 1 2 1 0 2 2 2 0 0         t kA kx kxdx Fdx E x x p (100) (99) va (100) lardagi sinus va kosinusning maksimal qiymati 1 ga teng. Shuning uchun, tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning kinetik va potensial energiyalarining maksimal qiymatlari uchun quyidagi ifodalar o‘rinli: 2 2 2 1 A m Ek   (101) 2 2 Ep  1 kA (102) Moddiy nuqtaning tebranish jarayonida navbatma-navbat kinetik energiyaning potensial energiyaga va aksincha, potensial energiyaning kinetik energiyaga aylanishi sodir bo‘ladi. Mayatnik muvozanat vaziyatidan qaytayotganda tezlanuvchan harakat qiladi, bunda uning potensial energiyasi kinetik energiyaga aylanadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tayotganda mayatnikning kinetik energiyasi maksimal qiymatga erishadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tib 3 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [12] 4 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [290]
mayatnik ikkinchi tomonga og‘a boshlagach, uning kinetik energiyasi potensial energiyaga aylana boshlaydi. Eng chetki og‘ish vaziyatida mayatnik potensial energiyasi maksimal qiymatga erishadi, kinetik energiyasi esa nolga teng bo‘ladi. Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qilayotgan ixtiyoriy vaziyatidagi to‘liq energiyasi kinetik va potensial energiyalar yig‘indisidan iborat: ) cos ( 2 1 ) sin ( 2 1 0 2 2 0 2 2 2            t kA t A m E E E p k (103) (103) ifodani k  m2 hisobga olib quyidagicha yozish mumkin: 2 2 1 k A E  (104) Shunday qilib, garmonik tebranishning to‘liq energiyasi o‘zgarmas va tebranish amplitudasining kvadratiga to‘g‘ri proporsional ekan. 1-Rasm. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil  siklik chastota bilan, ammo turlicha 01  va 02  boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (2– rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, ) sin( 01 1 1    t A x va ) sin( 02 2 2    t A x mayatnik ikkinchi tomonga og‘a boshlagach, uning kinetik energiyasi potensial energiyaga aylana boshlaydi. Eng chetki og‘ish vaziyatida mayatnik potensial energiyasi maksimal qiymatga erishadi, kinetik energiyasi esa nolga teng bo‘ladi. Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qilayotgan ixtiyoriy vaziyatidagi to‘liq energiyasi kinetik va potensial energiyalar yig‘indisidan iborat: ) cos ( 2 1 ) sin ( 2 1 0 2 2 0 2 2 2            t kA t A m E E E p k (103) (103) ifodani k  m2 hisobga olib quyidagicha yozish mumkin: 2 2 1 k A E  (104) Shunday qilib, garmonik tebranishning to‘liq energiyasi o‘zgarmas va tebranish amplitudasining kvadratiga to‘g‘ri proporsional ekan. 1-Rasm. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil  siklik chastota bilan, ammo turlicha 01  va 02  boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (2– rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, ) sin( 01 1 1    t A x va ) sin( 02 2 2    t A x
ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish 2 1 x x x   , nataijaviy amplituda esa 2 1 A A A   ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin( 0 2 1      t A x x x (105) bu yerda, (2) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, 2 2 1 1 2 2 1 1 0 cos cos sin sin      A A A A tg    (106) 2-Rasm. shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan ) cos( 2 02 01 2 1 2 2 12       A A A A A (107) ifoda hosil qilinadi. Agarda, fazalar farqi      2 1 yoki )1  (2 n  bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi 2 1 A A A   (108) ko‘rinishda bo‘ladi. ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish 2 1 x x x   , nataijaviy amplituda esa 2 1 A A A   ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) sin( 0 2 1      t A x x x (105) bu yerda, (2) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, 2 2 1 1 2 2 1 1 0 cos cos sin sin      A A A A tg    (106) 2-Rasm. shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan ) cos( 2 02 01 2 1 2 2 12       A A A A A (107) ifoda hosil qilinadi. Agarda, fazalar farqi      2 1 yoki )1  (2 n  bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi 2 1 A A A   (108) ko‘rinishda bo‘ladi.
Agar fazalar farqi 0 2 1    yoki 2n bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: 2 1 A A A   (109) Mexanik to‘lqin deb, mexanik tebranishlarning elastik muhitda tarqalish jarayoniga aytiladi. To‘lqinlar tebranishlari va tarqalish yo‘nalishlariga qarab ikki turga bo‘linadi: bo‘ylama va ko‘ndalang to‘lqinlar. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalayotgan yo‘nalish bo‘yicha bo‘lsa, bunday to‘lqinlar bo‘ylama to‘lqinlar deyiladi. Bo‘ylama to‘lqin tezligi quyidagi formuladan aniqlanadi:   E  (110) bu yerda, E –Yung moduli,  - muhitning zichligi. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalish yo‘nalishiga tik bo‘lsa, bunday to‘lqin ko‘ndalang to‘lqin deyiladi va uning tarqalish tezligi quyidagi formuladan topiladi5:   G k  (111) bunda, G – siljish moduli yoki siljish deformatsiyasini ifodalovchi kattalik. Qattiq jismlardan tashqari suyuqlik va gaz siqilganda bosim ortadi, bu bosim kuchi siqilish deformatsiyasidagi elastiklik kuchi vazifasini bajaradi. Shuning uchun, suyuqlik va gazlarda faqat bo‘ylama to‘lqinlar tarqaladi. Ko‘ndalang to‘lqinlar esa, siljish deformatsiyasiga ega bo‘lgan muhitda, ya’ni faqat qattiq jismlarda va ikki muhit chegarasida tarqala oladi. 5 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [37-45] Agar fazalar farqi 0 2 1    yoki 2n bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: 2 1 A A A   (109) Mexanik to‘lqin deb, mexanik tebranishlarning elastik muhitda tarqalish jarayoniga aytiladi. To‘lqinlar tebranishlari va tarqalish yo‘nalishlariga qarab ikki turga bo‘linadi: bo‘ylama va ko‘ndalang to‘lqinlar. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalayotgan yo‘nalish bo‘yicha bo‘lsa, bunday to‘lqinlar bo‘ylama to‘lqinlar deyiladi. Bo‘ylama to‘lqin tezligi quyidagi formuladan aniqlanadi:   E  (110) bu yerda, E –Yung moduli,  - muhitning zichligi. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalish yo‘nalishiga tik bo‘lsa, bunday to‘lqin ko‘ndalang to‘lqin deyiladi va uning tarqalish tezligi quyidagi formuladan topiladi5:   G k  (111) bunda, G – siljish moduli yoki siljish deformatsiyasini ifodalovchi kattalik. Qattiq jismlardan tashqari suyuqlik va gaz siqilganda bosim ortadi, bu bosim kuchi siqilish deformatsiyasidagi elastiklik kuchi vazifasini bajaradi. Shuning uchun, suyuqlik va gazlarda faqat bo‘ylama to‘lqinlar tarqaladi. Ko‘ndalang to‘lqinlar esa, siljish deformatsiyasiga ega bo‘lgan muhitda, ya’ni faqat qattiq jismlarda va ikki muhit chegarasida tarqala oladi. 5 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [37-45]
Bo‘ylama to‘lqinlarga tovush to‘lqinlarini misol qilib olish mumkin. Ko‘ndalang to‘lqinlarga esa suyuqlik sirtida, rezina shnur, tor va shu kabilar bo‘ylab tarqalgan to‘lqinlar misol bo‘la oladi. To‘lqin ifodalashistikalari: to‘lqin tarqalish yo‘nalishida ikkita ketma – ket bir xil fazada tebranayotgan nuqtalar orasidagi masofa to‘lqin uzunligi deb ataladi. T       bu yerda,  - to‘lqinning tarqalish tezligi, T - tebranish davri,  - tebranish chastotasi. Birhil fazada tebranayotgan zarralarning geometrik o‘rniga to‘lqinsirti deb ataladi. To‘lqin sirtlari turli shakllarda bo‘lishi mumkin. Eng sodda holda ular yassi va sferik sfera shaklda bo‘ladi. Bu hollarda to‘lqinlar mos holda yassi va sferik to‘lqinlar deyiladi. Yassi to‘lqinda to‘lqin sirtlari bir–biriga parallel bo‘lgan tekisliklarda, sferik to‘lqinda esa konsentrik sferalardan iborat bo‘ladi. Muhitda to‘lqin tarqalish yo‘nalishidagi ixtiyoriy zarraning o‘z muvozanat holatidan qaysi tomonga va qanchaga uzoqlashganligini ko‘rsatuvchi tenglamaga harakat tenglamasi deb ataladi. Faraz qilaylik, ox yo‘nalishda ko‘ndalang to‘lqin tarqalayotgan bo‘lsin ( 3- rasm). Muhitning M nuqtasidagi zarra “y”o‘qi bo‘yicha tebranayotgan bo‘lsin. Zarraning tebranishi garmonik bo‘lsa, uning harakat tenglamasi t A y sin  ko‘rinishdaifodalanadi. Endi, tebranish markazidan (O zarradan) xmasofada turgan M zarani harakatini ko‘raylik. Agar O zarra tvaqtdan buyon tebranayotgan bo‘lsa, M zarra t  vaqt 3–Rasm. Bo‘ylama to‘lqinlarga tovush to‘lqinlarini misol qilib olish mumkin. Ko‘ndalang to‘lqinlarga esa suyuqlik sirtida, rezina shnur, tor va shu kabilar bo‘ylab tarqalgan to‘lqinlar misol bo‘la oladi. To‘lqin ifodalashistikalari: to‘lqin tarqalish yo‘nalishida ikkita ketma – ket bir xil fazada tebranayotgan nuqtalar orasidagi masofa to‘lqin uzunligi deb ataladi. T       bu yerda,  - to‘lqinning tarqalish tezligi, T - tebranish davri,  - tebranish chastotasi. Birhil fazada tebranayotgan zarralarning geometrik o‘rniga to‘lqinsirti deb ataladi. To‘lqin sirtlari turli shakllarda bo‘lishi mumkin. Eng sodda holda ular yassi va sferik sfera shaklda bo‘ladi. Bu hollarda to‘lqinlar mos holda yassi va sferik to‘lqinlar deyiladi. Yassi to‘lqinda to‘lqin sirtlari bir–biriga parallel bo‘lgan tekisliklarda, sferik to‘lqinda esa konsentrik sferalardan iborat bo‘ladi. Muhitda to‘lqin tarqalish yo‘nalishidagi ixtiyoriy zarraning o‘z muvozanat holatidan qaysi tomonga va qanchaga uzoqlashganligini ko‘rsatuvchi tenglamaga harakat tenglamasi deb ataladi. Faraz qilaylik, ox yo‘nalishda ko‘ndalang to‘lqin tarqalayotgan bo‘lsin ( 3- rasm). Muhitning M nuqtasidagi zarra “y”o‘qi bo‘yicha tebranayotgan bo‘lsin. Zarraning tebranishi garmonik bo‘lsa, uning harakat tenglamasi t A y sin  ko‘rinishdaifodalanadi. Endi, tebranish markazidan (O zarradan) xmasofada turgan M zarani harakatini ko‘raylik. Agar O zarra tvaqtdan buyon tebranayotgan bo‘lsa, M zarra t  vaqt 3–Rasm.
davomida tebranadi. Bunda,  -tebranishlarning Omarkazidan M zaragacha tarqalish vaqti. Demak, M nuqtaning tebranish tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) ( sin     t A y bunda,    x ,  - to‘lqin tarqalish tezligi. U holda, yuqoridagi ifodani hisobga olib, ) ( sin     t A y (112) ko‘rinishga keladi. (112) – ifoda vaqtning ixtiyoriy paytida muhitning ixtiyoriy nuqtasidagi zarrachani siljiganligini aniqlashga imkon beradi, ya’ni uni “x”o‘qi bo‘yicha tarqalayotgan yassito‘lqintenglamasi deb ataladi. Birnecha tebranishlarning qo‘shilib bir–birini kuchaytirishi yoki susaytirishiga interferensiya deb ataladi. To‘lqinlar interferensiyasi uchun interferensiyalanuvchi tebranishlar umumiy manbaga ega bo‘lishi kerak: ya’ni, chastotasi bir hil bo‘lishi va fazalar farqi o‘zgarmas bo‘lishi kerak. Ikkita to‘lqinning interferensiyasini aniqlashda bizga ma’lum tebranishlarning qo‘shish formulalaridan foydalanamiz. S1 vaS2 manbalardan tarqalayotgan ikkita kogorent to‘lqinning siklik chastotasi  bo‘lsin, u holda S1 vaS2 dan 1y va 2y masofada turgan R nuqtada quyidagi ikkita tebranish qo‘shiladi (4–rasm ): ) sin( 01 1 1    t A x ) sin( 02 2 2    t A x davomida tebranadi. Bunda,  -tebranishlarning Omarkazidan M zaragacha tarqalish vaqti. Demak, M nuqtaning tebranish tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ) ( sin     t A y bunda,    x ,  - to‘lqin tarqalish tezligi. U holda, yuqoridagi ifodani hisobga olib, ) ( sin     t A y (112) ko‘rinishga keladi. (112) – ifoda vaqtning ixtiyoriy paytida muhitning ixtiyoriy nuqtasidagi zarrachani siljiganligini aniqlashga imkon beradi, ya’ni uni “x”o‘qi bo‘yicha tarqalayotgan yassito‘lqintenglamasi deb ataladi. Birnecha tebranishlarning qo‘shilib bir–birini kuchaytirishi yoki susaytirishiga interferensiya deb ataladi. To‘lqinlar interferensiyasi uchun interferensiyalanuvchi tebranishlar umumiy manbaga ega bo‘lishi kerak: ya’ni, chastotasi bir hil bo‘lishi va fazalar farqi o‘zgarmas bo‘lishi kerak. Ikkita to‘lqinning interferensiyasini aniqlashda bizga ma’lum tebranishlarning qo‘shish formulalaridan foydalanamiz. S1 vaS2 manbalardan tarqalayotgan ikkita kogorent to‘lqinning siklik chastotasi  bo‘lsin, u holda S1 vaS2 dan 1y va 2y masofada turgan R nuqtada quyidagi ikkita tebranish qo‘shiladi (4–rasm ): ) sin( 01 1 1    t A x ) sin( 02 2 2    t A x