MEXANIK TEBRANISHLAR VA TO‘LQINLAR. Reja: Tebranishlar xaqida umumiy ma’lumotlar. Garmonik tebranishlar va tebranma harakat tenglamasi. Tebranma harakat qilayotgan jismning energiyasi. Matematik mayatnik. Fizik mayatnik. Mayatniklarning qurilishda qo‘llanilishi. To‘lqinlar. Tebranma harakatning elastik muhitdagi tarqalishi. Yassi va sferik to‘lqinlar tenglamalari. To‘lqinlarning interfrensiyasi va diffraksiyasi. Turg‘un to‘lqinlar. Tovush to‘lqinlari. Ultratovush. Ma’lum vaqtdan keyin qaytariladigan harakatlarga yoki jarayonlarga tebranishlar deb ataladi. Bunga soat mayatnigini, musiqa asbobining torining titrashi, yurakning harakati misol bo‘ladi. Tebranishlar ikkiga bo‘linadi: erkin va majburiy tebranishlar. Biror tashqi kuch ta’sirida muvozanat vaziyatidan chiqarilganda va tashqi kuch ta’siri to‘xtatilganda ham davom etadigan tebranma harakat erkin yoki xususiy tebrinishlar deyiladi. Tashqi davriy o‘zgaruvchan kuchlar ta’sirida sodir bo‘ladigan tebranishlar majburiy tebranishlar deyiladi. Tebranma harakat quyidagi kattaliklar yordamida ifodalanadi: Tebranma harakat qilayotgan jismning muvozanat vaziyatidan chetga chiqishi siljish deb, siljishning maksimal qiymati esa siljish amplitudas deb ataladi. Jismning bitta to‘liq tebranishi amalga oshishi uchun ketgan vaqtga tebranish davri( T ) deb ataladi. Agar t vaqtda vomida jism N marta tebrangan bo‘lsa, uning davri: T= t N Vaqt birligi ichida tebranishlar soniga tebranish chastotasi ( ν ) deb ataladi: ν=N t = 1 T ya’ni, chastota davrga teskari bo‘lgan kattalik. Vaqt o‘tishi bilan amplitudasining moduli o‘zgarmas qoladigan tebranishga so‘nma stebranishlar deb ataladi. Aksincha vaqt o‘tishi bilana mplitudasi kamayib boruvchi tebranishga esa so‘nuvchi tebranishlar deyiladi. Tebranayotga nnuqtaningistalgan vaqtdagi muvozanat holatidan qanchalik siljiganligini va bu nuqta qaysi yo‘nalishda harakatlanayotganligini ifodalaydigan kattalik tebranishfazasi deb ataladi. 2π sekund ichida ro‘y beradigan tebranishlar soniga teng bo‘ladigan kattalikka doiraviy yoki siklik chastota ( ω ) deyiladi, ya’ni ω=2π Т =2πν ifoda orqali aniqlanadi. Tebranma harakatning eng sodda turi bu – garmonik tebranishdir. Agar tebranma harakatni ifodalashlovchi biror fizik kattalik (masalan, muvozanat holatidan siljish masofasi, og‘ish burchagi, tezligi) miqdori vaqt o‘tishi bilan sinus yoki kosinus qoidasi bo‘yicha o‘zgarsa, bunday tebranishlarga garmonik tebranishlar deb ataladi1. Garmonik tebranishlar qonuniyatlarini ko‘rish uchun prujinaga mahkamlangan sharchaning tebranma harakatini tahlil qilaylik (3–rasm ). Sharchaga ta’sir qilayotgan elastiklik kuchining x o‘qiga proektsiyasi Fx=−kx ko‘rinishda yoziladi. Elastiklik kuchi ta’sirida bo‘lgan sistema uchun Nyutonning ikkinchi qonuni max=−kx yoki m d2 x dt2 =−kx (83) ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda, k - prujina bikrligi, m - prujinaga osilgan jism massasi. (83) ifodagi d2x dt2 =¨x bilan belgilaymiz va undagi hadlarni bir tamonga o‘tkazamiz. So‘ngra m ga bo‘lib, k m=ω2 (84) belgilash kiritsak, quyidagicha bir o‘lchovli garmonik tebranishning differensial 1 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [17] 3-Rasm. tenglamasi hosil bo‘ladi2, ya’ni ¨x+ω2 x=0 (85) U holda, ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: x=Asin(ωt+α0) yoki x=Acos(ωt+α0) (86) bu yerda, A - siljishning maksimal qiymati – amplituda. (ωt+α 0) - tebranma harakatningtebranish fazasi, α0 - boshlang‘ich faza, ω - esa tebranishning siklik chastotasi deb ataladi. Cho‘zilmas va vaznsiz ipga osilgan, massasi bir nuqtada mujassamlashgan va faqat og‘irlik kuchi ta’sirida tebranma harakat qila oladigan sistemaga matematik mayatnik deb ataladi. Matematik mayatnik ipi vertikal vaziyatda bo‘lsa, sharchaga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchi ( ⃗P ) ipning taranglik kuchi ( ⃗T ) bilan muvozanatlashadi (5 – rasm). Lekin mayatnikni muvozanat vaziyatidan biror α burchakka og‘dirsak, sharchaning og‘irlik kuchi ( ⃗P ) va ipning taranglik kuchi ( ⃗T ) bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi. Natijada ularning teng ta’sir etuvchisi ⃗F=⃗P+⃗T bo‘ladi. Bu yerda, ⃗F 2 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [24] 5-Rasm. - ipga perpendikulyar yo‘nalga qaytaruvchi kuch. Mayatnik ⃗F=−mgsinα og‘irlik kuchining tashkil etuvchisi ta’sirida tebrana boshlaydi. Kichik burchaklar uchun sinα≈α bo‘lgani uchun yuqoridagi ifoda ⃗F=−mgα (87) ko‘rinishga keladi. Bu kuch ta’sirida sharcha l radiusli aylana yoyi bo‘ylab muvozanat vaziyati tomon harakatlanadi. Mayatnikning mazkur harakati aylanma harakat dinamikasining tenglamasi M=I⋅ε (88) bilan ifodalanadi. Bunda I – sharchaning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti, ε – uning burchak tezlanishi, M esa ⃗F kuchning O o‘qqa nisbatan momenti bo‘lganligi tufayli I=ml2 , ε=d2α dt2 , M=−mgsinα formulalardan foydalanib (26.2) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: ml2 d2α dt 2 =−mg sin α yoki, d2α dt2 + g l sin α=0 (89) Agar burchakning kichik qiymatlariga mos keluvchi tebranishlarni tekshirish bilan cheklansak, sin α ni α bilan almashtirish mumkin. Natijada (89) ifoda d2α dt2 + g l α=0 ko‘rinishgakeladi. Bunda, g l =ω2 belgilashkiritsak, d2α dt 2 +ω2α=0 (90) tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning yechimi oldingi bo‘limda ko‘rganimizdek, α=α0cos(ωt+ϕ0) (26.5) ko‘rinishda bo‘ladi. Demak, kichik amplitudali tebranishlar uchun matematik mayatnikning og‘ish burchagi α vaqt bo‘yicha garmonik tarzda o‘zgarar ekan. U holda, T=2 π ω danfoydalanib,matematik mayatnikning tebranish davri uchun T=2 π ω =2π√ l g (91) ifodaga ega bo‘lamiz. Demak, kichik og‘ishlarda matematik mayatnikning tebraniish davri mayatnik uzundigiga va erkin tushish tezlanishiga bog‘liq bo‘lib, mayatnik tebranishlarining amplitudasiga hamda sharchaning massasiga bog‘liq emas. Fizik mayatnik deb, inertsiya markazidan o‘tmaydigan gorizontal qo‘zg‘almas aylanish o‘qi atrofida og‘irlik kuchi ta’sirida harakatlana oladigan qattiq jismga aytiladi. Aylanish o‘qi fizik mayatnikning osilish o‘qi deb ham ataldi. 6-Rasm. Fizik mayatnikning inertsiya markazi (C) dan osilish o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyar (OC) chiziq vertikal chiziq bilan mos tushgan holda mayatnik muvozanat vaziyatida bo‘ladi. Muvozanat vaziyatidan biror burchakka og‘dirilganda (6- rasm) ⃗P va ⃗T kuchlarning teng ta’sir etuvchisi–fizik mayatnikni muvozanat vaziyati tomon qaytarishga intiluvchi ⃗F kuch paydo bo‘ladi. Fizik mayatnikning harakati uchun aylanma harakat dinamikasining asosiy tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yoziladi: I d2α dt2 =−mghsinα (92) bunda, I – fizik mayatnikning osilish o‘qiga nisbatan inersiya momenti, m – fizik mayatnik massasi, h esa fizik mayatnikning osilish o‘qi va inersiya markazi orasidagi masofa. Kichik tebranishlar uchun sin α≈α ekanligini hisobga olsak, (92) ifoda quyidagi ko‘rinishga keladi: d2α dt 2 + mgh I α=0 yoki, d2α dt2 +ω2α=0 (93) Oxirgi tenglamada ω2=mgh I (94) belgilash kiritamiz va fizik mayatnikning kichik og‘ishlaridagi tebranishlar–garmonik tebranishlar bo‘lib, ularning tebranish davri T=2 π ω =2π√ I mgh (95) formula orqali aniqlanadi. Endi, fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘lgan davr bilan tebranadigan matematik mayatnikning uzunligini topaylik. Buning uchun, matematik mayatnik tebranish davrini fizik mayatnik tebranish davriga tenglashtiramiz: 2π√ l g=2 π√ I mgh Yuqoridagi ifodadan l ning qiymatini topamiz va uni lK deb belgilaymiz: lK= I mh (96) Yuqoridagi ifoda bilan aniqlanadigan lK uzunlik fizik mayatnikning keltirilgan uzunligi deb ataladi. Unga quyidagicha ta’rif beriladi: fizik mayatnikning barcha massasini fikran bitta nuqtaga to‘plab va bu moddiy nuqtani lK uzunlikdagi ipga osib vujudga keltirilgan matematik mayatnikning tebranish davri mavjud fizik mayatnikning tebranish davriga teng bo‘ladi. Xulosa qilib, matematik va fizik mayatniklar texnikaning turli sohalarida, xususan soatsozlikda keng qo‘llaniladi. Ularning tebranish davri formulalari muhim ahamiyatga ega bo‘lib, erkin tushish tezlanishini va murakkab jismlarning inertsiya momentlarini aniqlashda muhim ahamiyat kasb etadi. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil ω siklik chastota bilan, ammo turlicha α01 va α02 boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (29.1 – rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, x1= A1sin(ωt +α 01) va x2= A2sin(ωt +α 02) ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish x=x1+x2 , nataijaviy amplituda esa A=A1+ A2 ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: x=x1+x2=A sin(ωt+α 0) (29.1) bu yerda, (7) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, tg α0= A1sin α 1+ A2sin α2 A1cosα 1+ A2cosα 2 (29.2) shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan A=√A1 2+ A2 2+2 A1 A2cos(α01−α02) (29.3) ifoda hosil qilinadi. Agarda, fazalar farqi α1−α2=π yoki (2n+1)π bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi A=A1−A2 (29.4) ko‘rinishda bo‘ladi. 0  x y o 01  02  01 02   1A 2A A 7 – Rasm. Agar fazalar farqi α1−α2=0 yoki 2nπ bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: A=A1+ A2 (29.5) Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta elastik Fel=−kx kuch ta’sirida garmonik tebranma harakat qilayotgan bo‘lsin3. Harakatlanayotgan moddiy nuqta υ tezlikka ega bo‘lsa, moddiy nuqtaning kinetik energiyasi Ek=mυ2 2 ifoda orqali aniqlanadi. Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning tezligi uchun υ=dx dt = d dt [ Acos(ωt+α0)]=−Aωsin(ωt+α0) (97) ifoda o‘rinli. Shuning uchun, kinetik energiya formulasi quyidagicha yoziladi: Ek=1 2 mω2 A2sin2(ωt+α 0) (98) Potensial energiyaning qiymati esa moddiy nuqtani muvozanat vaziyatidan x masofaga siljitish uchun elastiklik kuchi ( F el ) ning bajargan ishi bilan aniqlanadi4: Ep=∫ 0 x Fdx=∫ 0 x kxdx= 1 2 kx2= 1 2 kA2 cos2(ωt +α 0) (100) (99) va (100) lardagi sinus va kosinusning maksimal qiymati 1 ga teng. Shuning uchun, tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning kinetik va potensial energiyalarining maksimal qiymatlari uchun quyidagi ifodalar o‘rinli: Ek=1 2 mω2 A2 (101) Ep=1 2 kA 2 (102) Moddiy nuqtaning tebranish jarayonida navbatma-navbat kinetik energiyaning potensial energiyaga va aksincha, potensial energiyaning kinetik energiyaga aylanishi sodir bo‘ladi. Mayatnik muvozanat vaziyatidan qaytayotganda tezlanuvchan harakat qiladi, bunda uning potensial energiyasi kinetik energiyaga aylanadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tayotganda mayatnikning kinetik energiyasi maksimal qiymatga erishadi. Muvozanat vaziyatidan o‘tib mayatnik ikkinchi tomonga og‘a boshlagach, uning kinetik energiyasi potensial energiyaga aylana boshlaydi. Eng chetki og‘ish vaziyatida mayatnik potensial energiyasi maksimal qiymatga erishadi, kinetik energiyasi esa nolga teng bo‘ladi. 3 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [12] 4 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [290] Garmonik tebranma harakat qilayotgan moddiy nuqtaning harakat qilayotgan ixtiyoriy vaziyatidagi to‘liq energiyasi kinetik va potensial energiyalar yig‘indisidan iborat: E=Ek+E p=1 2 mω2 A2sin2(ωt+α 0)+ 1 2 kA2cos2(ωt+α0) (103) (103) ifodani k=mω2 hisobga olib quyidagicha yozish mumkin: E=1 2 kA2 (104) Shunday qilib, garmonik tebranishning to‘liq energiyasi o‘zgarmas va tebranish amplitudasining kvadratiga to‘g‘ri proporsional ekan. 1-Rasm. Moddiy nuqta bir vaqtda bir qancha garmonik tebranishlarda ishtirok eta oladi. Bunda nuqtaning qandaydir vaqt momentidagi siljishi nuqtaning har bir tebranma harakatda alohida ishtirok etib olgan siljishlarining geometrik (vektor) yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, bir hil yo‘nalishda tarqalayotgan ikkita tebranish bir hil ω siklik chastota bilan, ammo turlicha α01 va α02 boshlang‘ich fazalar bilan tebranishda qo‘shilayotgan bo‘lsin (2– rasm). U holda, garmonik tebranma harakat tenglamalari, x1= A1sin(ωt +α 01) va x2= A2sin(ωt +α 02) ko‘rinishda ifodalanadi. Bunda natijaviy siljish x=x1+x2 , nataijaviy amplituda esa A= A1+ A2 ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, natijaviy tebranishning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: x=x1+x2=A sin(ωt+α 0) (105) bu yerda, (2) – rasmga muvofiq boshlang‘ich faza esa, tg α0= A1sin α1+ A2sin α2 A1cosα1+ A2cosα 2 (106) 2-Rasm. shakldagi trigonometrik ifoda orqali aniqlanadi. Natijaviy amplituda uchun kosinuslar teoramasiga asosan A=√A1 2+ A2 2+2 A1 A2cos(α01−α02) (107) ifoda hosil qilinadi. Agarda, fazalar farqi α1−α2=π yoki (2n+1)π bo‘lsa, tebranishlar fazasi qarama – qarshi bo‘ladi. U holda tebranishlarning natijaviy amplitudasi A=A1−A2 (108) ko‘rinishda bo‘ladi. Agar fazalar farqi α1−α2=0 yoki 2nπ bo‘lsa, u holda tebranishlar fazalar bo‘yicha bir hil bo‘ladi va natijaviy amplituda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: A=A1+ A2 (109) Mexanik to‘lqin deb, mexanik tebranishlarning elastik muhitda tarqalish jarayoniga aytiladi. To‘lqinlar tebranishlari va tarqalish yo‘nalishlariga qarab ikki turga bo‘linadi: bo‘ylama va ko‘ndalang to‘lqinlar. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalayotgan yo‘nalish bo‘yicha bo‘lsa, bunday to‘lqinlar bo‘ylama to‘lqinlar deyiladi. Bo‘ylama to‘lqin tezligi quyidagi formuladan aniqlanadi: υδ=√ E ρ (110) bu yerda, E –Yung moduli, ρ - muhitning zichligi. Agar muhit zarralarining tebranishi to‘lqin tarqalish yo‘nalishiga tik bo‘lsa, bunday to‘lqin ko‘ndalang to‘lqin deyiladi va uning tarqalish tezligi quyidagi formuladan topiladi5: υk=√ G ρ (111) bunda, G – siljish moduli yoki siljish deformatsiyasini ifodalovchi kattalik. Qattiq jismlardan tashqari suyuqlik va gaz siqilganda bosim ortadi, bu bosim kuchi siqilish deformatsiyasidagi elastiklik kuchi vazifasini bajaradi. Shuning uchun, suyuqlik va gazlarda faqat bo‘ylama to‘lqinlar tarqaladi. Ko‘ndalang to‘lqinlar esa, siljish deformatsiyasiga ega bo‘lgan muhitda, ya’ni faqat qattiq jismlarda va ikki muhit chegarasida tarqala oladi. Bo‘ylama to‘lqinlarga tovush to‘lqinlarini misol qilib olish mumkin. Ko‘ndalang to‘lqinlarga esa suyuqlik sirtida, rezina shnur, tor va shu kabilar bo‘ylab tarqalgan to‘lqinlar misol bo‘la oladi. To‘lqin ifodalashistikalari: to‘lqin tarqalish yo‘nalishida ikkita ketma – ket bir xil fazada tebranayotgan nuqtalar orasidagi masofa to‘lqin uzunligi deb ataladi. λ=υ ν =υ⋅T bu yerda, υ - to‘lqinning tarqalish tezligi, T - tebranish davri, ν - tebranish chastotasi. Birhil fazada tebranayotgan zarralarning geometrik o‘rniga to‘lqinsirti deb ataladi. To‘lqin sirtlari turli shakllarda bo‘lishi mumkin. Eng sodda holda ular yassi va sferik sfera shaklda bo‘ladi. Bu hollarda to‘lqinlar mos holda yassi va sferik to‘lqinlar deyiladi. Yassi to‘lqinda to‘lqin sirtlari bir–biriga parallel bo‘lgan tekisliklarda, sferik to‘lqinda esa konsentrik sferalardan iborat bo‘ladi. 5 Jasprit Singh: Modern Phyusics for Engineers 2014. Page [37-45] x O 3–Rasm. y  x My Muhitda to‘lqin tarqalish yo‘nalishidagi ixtiyoriy zarraning o‘z muvozanat holatidan qaysi tomonga va qanchaga uzoqlashganligini ko‘rsatuvchi tenglamaga harakat tenglamasi deb ataladi. Faraz qilaylik, ox yo‘nalishda ko‘ndalang to‘lqin tarqalayotgan bo‘lsin ( 3- rasm). Muhitning M nuqtasidagi zarra “y”o‘qi bo‘yicha tebranayotgan bo‘lsin. Zarraning tebranishi garmonik bo‘lsa, uning harakat tenglamasi y=Asinωt ko‘rinishdaifodalanadi. Endi, tebranish markazidan (O zarradan) xmasofada turgan M zarani harakatini ko‘raylik. Agar O zarra tvaqtdan buyon tebranayotgan bo‘lsa, M zarra t−τ vaqt davomida tebranadi. Bunda, τ -tebranishlarning Omarkazidan M zaragacha tarqalish vaqti. Demak, M nuqtaning tebranish tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: y=Asinω(t−τ ) bunda, τ=x υ , υ - to‘lqin tarqalish tezligi. U holda, yuqoridagi ifodani hisobga olib, y=Asinω(t−τ ) (112) ko‘rinishga keladi. (112) – ifoda vaqtning ixtiyoriy paytida muhitning ixtiyoriy nuqtasidagi zarrachani siljiganligini aniqlashga imkon beradi, ya’ni uni “x”o‘qi bo‘yicha tarqalayotgan yassito‘lqintenglamasi deb ataladi. Birnecha tebranishlarning qo‘shilib bir–birini kuchaytirishi yoki susaytirishiga interferensiya deb ataladi. To‘lqinlar interferensiyasi uchun interferensiyalanuvchi tebranishlar umumiy manbaga ega bo‘lishi kerak: ya’ni, chastotasi bir hil bo‘lishi va fazalar farqi o‘zgarmas bo‘lishi kerak. S2 4–Rasm. 1y S1 P1 P2 ' 1y 1y 2 y Ikkita to‘lqinning interferensiyasini aniqlashda bizga ma’lum tebranishlarning qo‘shish formulalaridan foydalanamiz. S1 vaS2 manbalardan tarqalayotgan ikkita kogorent to‘lqinning siklik chastotasi ω bo‘lsin, u holda S1 vaS2 dan y1 va y2 masofada turgan R nuqtada quyidagi ikkita tebranish qo‘shiladi (4–rasm ): x1= A1sin(ωt−α01) x2= A2sin(ωt−α02) U holda, natijaviy tebranish amplitudasi A=√A1 2+ A2 2+2 A1 A2cos(α01−α02) (113) bo‘lgan natijaviy tebranishni beradi. α01−α02=2 π λ ( y2−y1) bo‘lgani uchun (113) ifodani quyidagi ko‘rinishda yozamiz: A=√A1 2+ A2 2+2 A1 A2cos 2πΔ λ (114) bu yerda, Δ=y2−y1 interferensiyalanuvchi to‘lqinlarning yo‘llar farqi. Agarda interferensiyalanuvchi to‘lqinlarning yo‘llar farqi to‘lqinning yarim uzunligiga juft karrali bo‘lsa, ya’ni Δ=2n λ 2 (n=0,1,2,3…) shart bajarilganda tebranishlar kuchayadi. Agar interferensiyalanuvchi to‘lqinlarning yo‘llar farqi to‘lqinning yarim uzunligiga toq karrali bo‘lsa, u holda