Mexanik to‘lqinlar Reja: 1. To’lqin hodisalari 2. Yassi to’lqinning siljish va differensial tenglamasi 3. To’lqin energiyasi. Umov vektori Tayanch iboralari : To’lqin, mexanik to’lqin, to’lqin manbai, to’lqin fronti, to’lqin sirti, yassi to’lqinlar, sferik to’lqinlar, to’lqin nuri, bo’ylama to’lqinlar, ko’ndalang to’lqinlar, to’lqin tenglamasi, fazaviy tezlik, to’lqin paketi, guruhli tezlik, energiya oqimining zichligi, to’lqin uzunligi, energiya oqimi zichligining vektori , Umov vektori. 18.1 To’lqin hodisalari Fazoda modda yoki maydonlarni turli ko’rinishdagi g’alayonlanishining tarqalishi - to’lqin deb ataladi. To’lqin hodisasi g’alayonlanish energiyasining ko’chishida namoyon bo’ladi. Mexanik to’lqin - bu g’alayonlanish yoki tebranishning elastik muhitdagi tarqalish jarayonidir. Bu to’lqinlarni yuzaga keltiruvchi jism to’lqin manbai deb ataladi. Muhitning tebranayotgan zarrachalarini hali tebranishga ulgurmaganlaridan ajratuvchi sirt to’lqin fronti deb ataladi. Bir xil fazalarda tebranayotgan nuqtalardan o’tuvchi sirt to’lqin sirti deb ataladi. O’z navbatida to’lqin fronti to’lqin sirtlarining biridir. To’lqin sirtlarining shakli manbalarning joylashishi va muhitning xususiyati bilan aniqlanadi. Quyidagi to’lqinlar mavjuddir: Yassi to’lqinlar, ular faqat bir xil yo’nalishda tarqaladilar (ularning to’lqin sirti tarqalish yo’nalishiga perpendikulyardir); Sferik to’lqinlar - manbadan barcha yo’nalishlarda tarqaladilar (to’lqin sirtlari konsentrik sferalardan iborat bo’ladi); Silindrik va b. to’lqinlar. To’lqin tarqalish yo’nalishini ko’rsatuvchi chiziq to’lqin nuri deb ataladi. Izotrop muhitlarda to’lqin nurlari to’lqin sirtlariga normaldir. Muhitda hosil bo’ladigan elastik deformasiyalarning xarakteriga qarab ularni ko’ndalang va bo’ylama to’lqinlarga ajratish mumkin. Bo’ylama to’lqinlarda muhitning zarrachalari to’lqin tarqalish yo’nalishi bo’ylab tebranadilar. Bo’ylama to’lqinlarning tarqalishi elastik muhitning siqilish va cho’zilish deformasiyalariga bog’liqdir va barcha muhitlarda: suyuqlik, qattiq jism va gazlarda sodir bo’ladi. Bo’ylama to’lqinlarning tarqalish tezligi υб=√ E ρ , (18.1.1) dan iborat. Bu yerda E - Yung moduli,  - elastik muhitning zichligi. Ko’ndalang to’lqinlarda muhit zarrachalari to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar yo’nalishlarda tebranadilar. Ko’ndalang to’lqinning tarqalishi siljish deformasiyasiga bog’liq bo’ladi va u faqat qattiq jismlarda kuzatiladi. Ko’ndalang to’lqin tarqalish tezligi quyidagidan iborat: υK=√ G ρ , (18.1.2) Bu yerda G - siljish moduli. Yung moduli siljish modulidan katta bo’lgani uchun (E > G), bo’ylama to’lqin tezligi ko’ndalang to’lqin tezligidan kattadir. υб>υК Muhitdagi elastik to’lqinlarning istalgan boshqa tartibli muhit zarrachalarini harakatidan sezilarli farqi -to’lqin tarqalishi modda ko’chishi bilan bog’liq bo’lmaganligidandir. Zarrachalar faqat o’zlarining muvozanat holatlari atrofida tebranadilar. 18.2 Yassi to’lqinning siljish va differensial tenglamasi To’lqin jarayonining xarakteristikasi deb muhit zarrachalarining muvozanat holatlaridan siljishiga aytiladi. Siljishning vaqtga va koordinataga bog’liqligi to’lqin tenglamasi deb ataladi. Misol uchun, to’lqin manbai koordinatasi boshi 0 nuqta bo’lsin va ξ= Asin( ωt+ϕ) (18.2.1) qonun bo’yicha garmonik tebranish hosil qilsin. Bu yerda A ,ω,ϕ - tebranishning amplitudasi, siklik chastotasi va boshlang’ich fazasidir. U holda 0X o’qidagi M nuqtada ξ kattalikning tebranishi ξ0 tebranishdan faza bo’yicha orqada qoladi. ξ=ASin [(ωt−τ )+ϕ]= ASin(ωt− ω υ х+ϕ)= ASin (ωt−kx+ϕ ) , (18.2.2) Bu yerda τ= X υ – to’lqinning 0M = X masofaga yetib kelishi uchun zarur bo’lgan vaqt (18.1 - rasm), k=ω υ =2π Tυ =2π λ – to’lqin soni, λ=υT – to’lqin uzunligidir. 18.1 - rasm. Garmonik tebranuvchi to’lqin To’lqin uzunligi deb T bir davrga teng vaqtda to’lqin frontini ko’chgan masofasiga aytiladi. Nuqta ko’chishining masofaga bog’liq grafigida bir-biriga yaqin ikkita maksimum orasidagi masofa to’lqin uzunligiga tengdir. To’lqin soni deb 2 masofadagi uzunlik birligida joylashadigan to’lqin uzunliklari soniga aytiladi. 18.2.2 – tenglama yassi to’lqinning tenglamasini eslatadi. Yassi to’lqinning amplitudasi barcha tebranayotgan nuqtalar amplitudasi bir-xil ekanligini bildiradi, chunki yassi to’lqin tarqalganda, har birlik vaqtda, tebranma harakatga muhitning bir xil hajmi jalb qilinadi. Sferik to’lqin tarqalganda, manbadan to’lqin fronti uzoqlashganda, bir xil vaqtda, tebranma harakatga oshib boruvchi miqdorda muhit hajmi jalb qilinadi. Shu sababli vaqt o’tishi bilan amplituda kamayib boradi: ξ= A0 τ Sin (ωt−kr+ϕ ) , (18.2.3) bu yerda A - muhitning r - masofadagi nuqtalarida to’lqin amplitudasidir. Istalgan to’lqinning funksiyasi to’lqin deb ataluvchi differensial tenglamaning yechimidir. OX yo’nalishda tarqalayotgan yassi to’lqin uchun to’lqin tenglamasini topib ko’ramiz. ξ dan t va x bo’yicha ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni olamiz. ∂2 ξ ∂t 2 =−ω2 ASin (ωt−kx+ϕ )=−ω2ξ , (18.2.4) ∂2ξ ∂ x2=−k 2 ASin (ωt−kx+ϕ)=−k2ξ Ikki tenglamaning o’ng taraflarini taqqoslasak ∂2ξ ∂ x2= 1 υ2 ∂2 ξ ∂t2 , (18.2.5) 0X o’qi bo’yicha tarqalayotgan yassi to’lqinning to’lqin tenglamasiga ega bo’lamiz . Bu yerda k2 ω2=( 2π λ ⋅ T 2π) 2 , λ T =υ . Umumiy holda, istalgan yo’nalishlarda tarqaladigan to’lqin uchun, ξ x, y, z kordinatalar va t vaqtga bog’liq bo’ladi ∂ 2ξ ∂x2+ ∂ 2ξ ∂ y2+ ∂ 2ξ ∂ z2= 1 υ2 ∂ 2 ξ ∂t2 , (18.2.6) Sinusoidal to’lqinlarning tarqalish tezligi fazaviy tezlik deb ataladi. U fazaning belgilangan qiymatiga mos keladigan to’lqin sirtlarining ko’chish tezligini bildiradi ωt−kx+ϕ=const bu yerdan x=ω k t=const dx dt =ω k =α T =υ , (18.2.7) Amalda, doimo to’lqinlar guruhiga duch kelamiz, ya’ni real to’lqin, yaqin chastotaga ega bo’lgan ko’p sonli cinusoidal to’lqinlarning ustma-ust tushgan to’lqin paketidan iborat bo’ladi. Bu to’lqin paketining tarqalish tezligi - guruhli tezlik deb ataladi. Umumiy holda u fazaviy tezlik bilan mos tushadi. Fazaviy tezlik guruhli tezlik bilan quyidagichabog’langan: U=υ−λ dυ dt , (18.2.8) Agarda, har xil uzunlikdagi to’lqinlar bir xil tezlik bilan tarqalgansa dυ dλ=0 teng bo’ladi, ya’ni guruhli tezlik fazaviy bilan mos tushadi. 18.3 To’lqin energiyasi. Umov vektori To’lqin jarayoni tebranayotgan bir nuqtadan ikkinchisiga energiyani uzatish bilan bog’liqdir. Agarda dV hajm elementida m massali n ta tebranayotgan zarrachalar bo’lsa, u holda har bir zarrachaning energiyasi mω 2 2 A2 dan iborat bo’ladi. Energiyaning hajmiy zichligi, ya’ni birlik hajmdagi zarrachalar energiyasi w= dE dV =(m/V )ω2 A2 2 =ω2 A2 2 ρ , (18.3.1) bu yerda  = m/V - muhit zichligidir. Birlik vaqtda to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar bo’lgan birlik sirt yuzasidan ko’chiriladigan energiya - energiya oqimining zichligi deb ataladi. Uni shunday tasavvur etish mumkin: Kesimi dS va dℓ=υdt bo’lgan kichik silindr bo’ylab (18.2 - rasm), 18.2 - rasm. To’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar bo’lgan birlik yuzadan ko’chiriladigan energiya oqimi to’lqin  fazaviy tezlik bilan tarqalayotgan bo’lsin. Bu silindr hajmidagi energiya quyidagiga teng bo’ladi. dE=wdV =wυdtds Energiya oqimi zichligi esa j= dE ds⋅dt =w⋅υ⋅dt⋅ds ds⋅dt =w⋅υ=Sw2 A2υ 2 , (18.3.2) ga teng bo’ladi. Buni vektor ko’rinishda shunday ifodalash mumkin ⃗j=w⃗υ Energiya ko’chishi bo’yicha yo’nalgan bu vektor energiya oqimi zichligining vektori yoki Umov vektori deb ataladi. Qaytarish uchun nazorat savollari 1. To’lqin nima? 2. Qanday to’lqinlarni bilasiz? 3. To’lqinlarning tarqalish tezligi qanday fizik kattaliklarga bog’liq? 4. To’lqinlarning faza va guruh tezligini tushuntirib bering. 5. To’lqinning siljish tenglamasi qanday ko’rinishda? 6. Differensial ko’rinishi qanday yoziladi? 7. Umov vektorini tushintiring.