Moslik va munosabatlar: Ikkita to`plam elеmеntlari orasidagi moslik. Moslikning grafi va grafigi. To`plamni to`plamga o`zaro bir qiymatli akslantirish. Tеng quvvatli to`plamlar.

Yuklangan vaqt

2024-06-04

Yuklab olishlar soni

7

Sahifalar soni

13

Faytl hajmi

262,4 KB


Ilmiybaza.uz Moslik va munosabatlar: Ikkita to`plam elеmеntlari orasidagi moslik. Moslikning grafi va grafigi. To`plamni to`plamga o`zaro bir qiymatli akslantirish. Tеng quvvatli to`plamlar. Ma’ruza matni: Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Ikkita to’plam elementlari orasidagi moslik. 2. Moslikning grafi va grafigi. 3. Moslik turlari. 4. Ekvivalentlik munosabati. 5. Ekvivalentlik munosabatining to’plamni sinflarga ajratish bilan bog’liqligi. 6. Tartib munosabati. Ilmiybaza.uz Moslik va munosabatlar: Ikkita to`plam elеmеntlari orasidagi moslik. Moslikning grafi va grafigi. To`plamni to`plamga o`zaro bir qiymatli akslantirish. Tеng quvvatli to`plamlar. Ma’ruza matni: Ma’ruza mashg’ulotining rejasi: 1. Ikkita to’plam elementlari orasidagi moslik. 2. Moslikning grafi va grafigi. 3. Moslik turlari. 4. Ekvivalentlik munosabati. 5. Ekvivalentlik munosabatining to’plamni sinflarga ajratish bilan bog’liqligi. 6. Tartib munosabati. Ilmiybaza.uz 1. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslikni ko‘rishdan oldin, ikki to‘plam dekart ko‘paytmasi va uning qism to‘plamlarini misollar yordamida eslaylik. Aytaylik bizga va to‘plamlari berilgan bo‘lsin. U holda ga ega bo‘lamiz. Bu dekart ko‘paytma 64 ta qism to‘plamga ega. 1-Ta’rif dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami va to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Binar so‘zi lotincha bis so‘zidan olingan bo‘lib, ikki to‘plam elementlari orasida so‘z borishini bildiradi. Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: f: A → B yoki A 𝑓→ B. Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo‘la oladi. to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi. to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi. to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror moslikdagi juftliklar to‘plami ya’ni , bu yerda Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlanadi. Misollar: 1. va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz ( 12-chizma) { , , } X  a b c { , } m n Y  ),( ; )} ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; {( ; c n c m b n b m a n a m Y X   X Y G f X Y f d t s , , , X X Y Y Y X G f   Gf R ( , ) x y xRy Y Х у х   , } 9,7,5,3 X  { { 6,4 } Y X Y Ilmiybaza.uz 1. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslikni ko‘rishdan oldin, ikki to‘plam dekart ko‘paytmasi va uning qism to‘plamlarini misollar yordamida eslaylik. Aytaylik bizga va to‘plamlari berilgan bo‘lsin. U holda ga ega bo‘lamiz. Bu dekart ko‘paytma 64 ta qism to‘plamga ega. 1-Ta’rif dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami va to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Binar so‘zi lotincha bis so‘zidan olingan bo‘lib, ikki to‘plam elementlari orasida so‘z borishini bildiradi. Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: f: A → B yoki A 𝑓→ B. Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo‘la oladi. to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi. to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi. to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror moslikdagi juftliklar to‘plami ya’ni , bu yerda Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlanadi. Misollar: 1. va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz ( 12-chizma) { , , } X  a b c { , } m n Y  ),( ; )} ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; {( ; c n c m b n b m a n a m Y X   X Y G f X Y f d t s , , , X X Y Y Y X G f   Gf R ( , ) x y xRy Y Х у х   , } 9,7,5,3 X  { { 6,4 } Y X Y Ilmiybaza.uz 12-chizma Natijada biz va to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega bo‘lamiz . 2. , grafini chizaylik (13-chizma) 13-chizma Bunda aniqlanish sohasi , Qiymatlar to‘plami . Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura moslikning grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni grafigini chizamiz. (14-chizma) 14-chizma X Y { , , , , } X  a b c d e { , , , } m n p q Y  {( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )} d p c q c n b p a n G f  { , , , } a b c d { , , } p q n X Y R R Ilmiybaza.uz 12-chizma Natijada biz va to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega bo‘lamiz . 2. , grafini chizaylik (13-chizma) 13-chizma Bunda aniqlanish sohasi , Qiymatlar to‘plami . Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura moslikning grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni grafigini chizamiz. (14-chizma) 14-chizma X Y { , , , , } X  a b c d e { , , , } m n p q Y  {( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )} d p c q c n b p a n G f  { , , , } a b c d { , , } p q n X Y R R Ilmiybaza.uz Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan: va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini qaraylik va grafigini yasaylik moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. (15-chizma) 15-chizma Ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi. Agar moslik grafigi , bo‘sh bo‘lsa ( ) moslik bo‘sh moslik deyiladi. Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud bo‘lishi mumkin. va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish mumkin. Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan va mosliklar mosliklar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat xSy moslikka aytiladiki, moslik faqat va faqat yoki mavjud bo‘lsa bo‘ladi. Shuningdek moslikka teskari moslik ham mavjud. moslikka teskari moslik ko‘rinishda yoziladi va barcha (x,y) elementlar juftligi uchun (y, x) juftliklar mavjud bo’ladi. Misollar: • f : R → R da berilgan f (х) = х2 - х + 1, х ∈ R moslik. • f : R → C da berilgan F (х) = (х - 1) + ix2, х ∈ R moslik. • Z + ⊆ Z bo’lsin. g: Z2 → R da berilgan g (m) = cos(2 𝝅 𝒏), n ∈ moslik. • h : R × R → R da berilgan f(x, y) = x – y, x, y ∈ R moslik. X  R { 6,4 } Y X Y f G Y X  G f f   G X Y X Y X Y xRy y xK xSy xRy y xK y xR x y -1 R Ilmiybaza.uz Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan: va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini qaraylik va grafigini yasaylik moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. (15-chizma) 15-chizma Ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi. Agar moslik grafigi , bo‘sh bo‘lsa ( ) moslik bo‘sh moslik deyiladi. Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud bo‘lishi mumkin. va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish mumkin. Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan va mosliklar mosliklar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat xSy moslikka aytiladiki, moslik faqat va faqat yoki mavjud bo‘lsa bo‘ladi. Shuningdek moslikka teskari moslik ham mavjud. moslikka teskari moslik ko‘rinishda yoziladi va barcha (x,y) elementlar juftligi uchun (y, x) juftliklar mavjud bo’ladi. Misollar: • f : R → R da berilgan f (х) = х2 - х + 1, х ∈ R moslik. • f : R → C da berilgan F (х) = (х - 1) + ix2, х ∈ R moslik. • Z + ⊆ Z bo’lsin. g: Z2 → R da berilgan g (m) = cos(2 𝝅 𝒏), n ∈ moslik. • h : R × R → R da berilgan f(x, y) = x – y, x, y ∈ R moslik. X  R { 6,4 } Y X Y f G Y X  G f f   G X Y X Y X Y xRy y xK xSy xRy y xK y xR x y -1 R Ilmiybaza.uz • γ: R × R → R da berilgan γ (х, у) = х2 + у2 moslik. • q: Z → Z da berilgan q (n)= 𝟏 𝟐(n2 + n), n ∈ Z moslik. • μ: Z + → {-1, 0, 1} da berilgan: • h : R×R → С da berilgan h (х, у) = х + iу, х, у ∈ R moslik. • σ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} moslik quyidagicha ifodalangan σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 61 1. Munosabat turlari. 1-Ta’rif: Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi. 2-Ta’rif: Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi. 1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 197 -bet f f f f а b s d t z y x Ilmiybaza.uz • γ: R × R → R da berilgan γ (х, у) = х2 + у2 moslik. • q: Z → Z da berilgan q (n)= 𝟏 𝟐(n2 + n), n ∈ Z moslik. • μ: Z + → {-1, 0, 1} da berilgan: • h : R×R → С da berilgan h (х, у) = х + iу, х, у ∈ R moslik. • σ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} moslik quyidagicha ifodalangan σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 61 1. Munosabat turlari. 1-Ta’rif: Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi. 2-Ta’rif: Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi. 1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 197 -bet f f f f а b s d t z y x Ilmiybaza.uz 3-Ta’rif: Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik funksional deyiladi. 4-Ta’rif: Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, moslik in’ektiv deyiladi. 5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyiladi. f f f f а b s d t z y x e f Ilmiybaza.uz 3-Ta’rif: Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik funksional deyiladi. 4-Ta’rif: Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, moslik in’ektiv deyiladi. 5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyiladi. f f f f а b s d t z y x e f Ilmiybaza.uz 6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi. 7-Ta’rif: va to‘plamlar orasidagi moslik biektiv akslantirish bo‘lsa, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan deyiladi. Moslik turlariga misollar keltiramiz. Misol: Aytaylik - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘plami, esa shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin. Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi. X Y f X Y X Y X Y Ilmiybaza.uz 6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi. 7-Ta’rif: va to‘plamlar orasidagi moslik biektiv akslantirish bo‘lsa, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan deyiladi. Moslik turlariga misollar keltiramiz. Misol: Aytaylik - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘plami, esa shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin. Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi. X Y f X Y X Y X Y Ilmiybaza.uz Agar bu akslantirishda har bir ilgakga bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi. Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi. Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli) bu akslantirish biektiv bo‘ladi. 8-Ta’rif: va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan: Agar , bo‘lsa, u holda bo‘ladi, chunki, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. 9-Ta’rif: Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi. Masalan: X= {a; b; c; d}; Y= {x; y;z;t}; Gf= {(a;x),(b; y); (c;z), (d;t)} bo’lsa, f moslik X va Y to’plamlar orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik bo’ladi. Chekli va cheksiz to’plamlar elementlari soni to’plam quvvati deb yuritiladi va n(A), n(B), n(N) kabi yoziladi. Masalan, A={a; b; c; d}bo’lsa, n(A) = 4 bo’ladi. O’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish yordamida chekli va cheksiz to’plamlar elementlari sonini taqqoslash mumkin. 10-ta’rif. X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli yoki ekvivalent deyiladi va X~Y ko’rinishda yoziladi. Bu holda n(X) = n(Y)bo’ladi. 11-ta’rif. Barcha natural sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi. X Y Y X ~ { , , , , } X a b c d e { , , , , } Y x y z t p Y X ~ X Y N Ilmiybaza.uz Agar bu akslantirishda har bir ilgakga bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi. Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi. Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli) bu akslantirish biektiv bo‘ladi. 8-Ta’rif: va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan: Agar , bo‘lsa, u holda bo‘ladi, chunki, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. 9-Ta’rif: Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi. Masalan: X= {a; b; c; d}; Y= {x; y;z;t}; Gf= {(a;x),(b; y); (c;z), (d;t)} bo’lsa, f moslik X va Y to’plamlar orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik bo’ladi. Chekli va cheksiz to’plamlar elementlari soni to’plam quvvati deb yuritiladi va n(A), n(B), n(N) kabi yoziladi. Masalan, A={a; b; c; d}bo’lsa, n(A) = 4 bo’ladi. O’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish yordamida chekli va cheksiz to’plamlar elementlari sonini taqqoslash mumkin. 10-ta’rif. X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli yoki ekvivalent deyiladi va X~Y ko’rinishda yoziladi. Bu holda n(X) = n(Y)bo’ladi. 11-ta’rif. Barcha natural sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi. X Y Y X ~ { , , , , } X a b c d e { , , , , } Y x y z t p Y X ~ X Y N Ilmiybaza.uz Agar istalgan cheksiz to’plamning har bir elementiga biror qoida yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to’plam elementlari natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo’ladi va bunday to’plam sanoqli to’plam hisoblanadi. Natural sonlar to’plamining istalgan cheksiz qism to’plami sanoqlidir. Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz: Hatto barcha butun sonlar to’plami ham sanoqli ekanini ko’rsatish mumkin. 1-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi. Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi. 1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12 ta bo’lishi mumkin. 2-misol. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar to’plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o’tamiz. Ilmiybaza.uz Agar istalgan cheksiz to’plamning har bir elementiga biror qoida yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to’plam elementlari natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo’ladi va bunday to’plam sanoqli to’plam hisoblanadi. Natural sonlar to’plamining istalgan cheksiz qism to’plami sanoqlidir. Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz: Hatto barcha butun sonlar to’plami ham sanoqli ekanini ko’rsatish mumkin. 1-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi. Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi. 1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12 ta bo’lishi mumkin. 2-misol. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar to’plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o’tamiz. Ilmiybaza.uz Parallellik munosabati: a) refleksiv, chunki ixtiyoriy a to’g’ri chiziq uchun a||a bo’ladi; b) simmetrik, chunki a||b bo’lsa, b||a bo’ladi; c) tranzitiv, chunki a||b va b||c bo’lsa, a||c bo’ladi (parallel to’g’ri chiziqlar xossasiga ko’ra). 3-misol. kasrlar to‘plamida tenglik munosabati berilgan. (18- chizma) 18-chizma Bu munosabat: 1) Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng; 2) Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi; 3) Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi. Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar . Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.   15 12 ; 3 10 ; 2 7; 2 6; 1 5;1 1 X X       7 12 , 1 6 ; 2 15 , 1 10 ; 3 5; 2 1 Ilmiybaza.uz Parallellik munosabati: a) refleksiv, chunki ixtiyoriy a to’g’ri chiziq uchun a||a bo’ladi; b) simmetrik, chunki a||b bo’lsa, b||a bo’ladi; c) tranzitiv, chunki a||b va b||c bo’lsa, a||c bo’ladi (parallel to’g’ri chiziqlar xossasiga ko’ra). 3-misol. kasrlar to‘plamida tenglik munosabati berilgan. (18- chizma) 18-chizma Bu munosabat: 1) Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng; 2) Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi; 3) Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi. Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar . Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.   15 12 ; 3 10 ; 2 7; 2 6; 1 5;1 1 X X       7 12 , 1 6 ; 2 15 , 1 10 ; 3 5; 2 1 Ilmiybaza.uz 4-misol. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Bu munosabat Z to’plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi: [𝟎] = {… , −𝟏𝟒, −𝟕, 𝟎, 𝟕, 𝟏𝟒, … } [𝟏] = {… , −𝟏𝟑, −𝟔, 𝟏, 𝟖, 𝟏𝟓, … } [𝟐] = {… , −𝟏𝟐, −𝟓, 𝟐, 𝟗, 𝟏𝟔, … } [𝟑] = {… , −𝟏𝟏, −𝟒, 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟒, … } [𝟒] = {… , −𝟏𝟎, −𝟑, 𝟒, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒, … } [𝟓] = {… , −𝟗, −𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟐, … } [𝟔] = {… , −𝟖, −𝟏, 𝟔, 𝟕, 𝟏𝟑, … }2 Consider the equivalence relation “≡ (mod 7)” on the set Z of integers. We have the following decomposition of Z into exactly 7 equivalence classes: [0] = {. . . , −14, −7, 0, 7, 14, . . .} [1] = {. . . , −13, −6, 1, 8, 15, . . .} [2] = {. . . , −12, −5, 2, 9, 16, . . .} [3] = {. . . , −11, −4, 3, 10, 14, . . .} [4] = {. . . , −10, −3, 4, 11, 14, . . .} [5] = {. . . , −9, −2, 5, 7, 12, . . .} [6] = {. . . , −8, −1, 6, 7, 13, . . .} 2. Tartib munosabati Endi tartib munosabatini qaraymiz. «Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joylashishi tartibi, o‘zbek alfavitida harflarning kelish tartibi va hokazo. Ta’rif. Agar to‘plamdagi R munosabat tranzitiv va antisimmetrik bo‘lsa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyiladi. to‘plam esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi. 2 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 202 -bet X X Ilmiybaza.uz 4-misol. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Bu munosabat Z to’plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi: [𝟎] = {… , −𝟏𝟒, −𝟕, 𝟎, 𝟕, 𝟏𝟒, … } [𝟏] = {… , −𝟏𝟑, −𝟔, 𝟏, 𝟖, 𝟏𝟓, … } [𝟐] = {… , −𝟏𝟐, −𝟓, 𝟐, 𝟗, 𝟏𝟔, … } [𝟑] = {… , −𝟏𝟏, −𝟒, 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟒, … } [𝟒] = {… , −𝟏𝟎, −𝟑, 𝟒, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒, … } [𝟓] = {… , −𝟗, −𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟐, … } [𝟔] = {… , −𝟖, −𝟏, 𝟔, 𝟕, 𝟏𝟑, … }2 Consider the equivalence relation “≡ (mod 7)” on the set Z of integers. We have the following decomposition of Z into exactly 7 equivalence classes: [0] = {. . . , −14, −7, 0, 7, 14, . . .} [1] = {. . . , −13, −6, 1, 8, 15, . . .} [2] = {. . . , −12, −5, 2, 9, 16, . . .} [3] = {. . . , −11, −4, 3, 10, 14, . . .} [4] = {. . . , −10, −3, 4, 11, 14, . . .} [5] = {. . . , −9, −2, 5, 7, 12, . . .} [6] = {. . . , −8, −1, 6, 7, 13, . . .} 2. Tartib munosabati Endi tartib munosabatini qaraymiz. «Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joylashishi tartibi, o‘zbek alfavitida harflarning kelish tartibi va hokazo. Ta’rif. Agar to‘plamdagi R munosabat tranzitiv va antisimmetrik bo‘lsa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyiladi. to‘plam esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi. 2 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 202 -bet X X Ilmiybaza.uz Masalan, to‘plamni «kichik» munosabati yordamida tartiblashtirish mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfida o‘quvchilar «katta» va «kichik» munosabatlari bilan keyinchalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa» munosabatlari bilan tanishadilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar to‘plamida tartib o‘rnatiladi. Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo’linadi va bu bo’linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo’lishi bilan bog’liq. «Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo’lsa, «katta emas» va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi. Nazorat uchun savollar: 1. Ekvivalеntlik va tartib munоsabatlarini ta’riflang. 1. Ekvivalеntlik va tartib munоsabatlarini misоllar yordamida tushuntiring 2. Munosabat turlarini ayting. 3. To’plamni to’plamga o’zaro bir qiymatli akslantirish. 4. Teng quvvatli to’plamlar. 5. Qanday to’plamlar teng quvvatli deyiladi? 6. Binar munosabat ta’rifini bering. 7. Binar munosabatning grafi va grafigi deb nimaga aytiladi? 8. Binar munosabat turlarini ko’rsating. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(17-26 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (34-40 bet) 18} ,9,6,3 X  { Ilmiybaza.uz Masalan, to‘plamni «kichik» munosabati yordamida tartiblashtirish mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfida o‘quvchilar «katta» va «kichik» munosabatlari bilan keyinchalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa» munosabatlari bilan tanishadilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar to‘plamida tartib o‘rnatiladi. Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo’linadi va bu bo’linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo’lishi bilan bog’liq. «Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo’lsa, «katta emas» va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi. Nazorat uchun savollar: 1. Ekvivalеntlik va tartib munоsabatlarini ta’riflang. 1. Ekvivalеntlik va tartib munоsabatlarini misоllar yordamida tushuntiring 2. Munosabat turlarini ayting. 3. To’plamni to’plamga o’zaro bir qiymatli akslantirish. 4. Teng quvvatli to’plamlar. 5. Qanday to’plamlar teng quvvatli deyiladi? 6. Binar munosabat ta’rifini bering. 7. Binar munosabatning grafi va grafigi deb nimaga aytiladi? 8. Binar munosabat turlarini ko’rsating. Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(17-26 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (34-40 bet) 18} ,9,6,3 X  { Ilmiybaza.uz 2. David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (197 bet) Ilmiybaza.uz 2. David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (197 bet)