Ilmiybaza.uz
Moslik va munosabatlar: Ikkita to`plam elеmеntlari orasidagi moslik.
Moslikning grafi va grafigi. To`plamni to`plamga o`zaro bir qiymatli
akslantirish. Tеng quvvatli to`plamlar.
Ma’ruza matni:
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi:
1. Ikkita to’plam elementlari orasidagi moslik.
2. Moslikning grafi va grafigi.
3. Moslik turlari.
4. Ekvivalentlik munosabati.
5. Ekvivalentlik munosabatining to’plamni sinflarga ajratish bilan bog’liqligi.
6. Tartib munosabati.
Ilmiybaza.uz
1. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik.
Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslikni ko‘rishdan oldin, ikki to‘plam
dekart ko‘paytmasi va uning qism to‘plamlarini misollar yordamida eslaylik.
Aytaylik bizga
va
to‘plamlari berilgan bo‘lsin. U holda
ga ega bo‘lamiz. Bu dekart ko‘paytma 64 ta qism to‘plamga ega.
1-Ta’rif
dekart ko‘paytmaning istalgan
qism to‘plami
va
to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Binar so‘zi lotincha bis so‘zidan olingan
bo‘lib, ikki to‘plam elementlari orasida so‘z borishini bildiradi.
Moslik lotin alifbosining
kabi harflari bilan belgilanadi va
quyidagicha yoziladi: f: A → B yoki A
𝑓→ B.
Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol
bo‘la oladi.
to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi.
to‘plamning moslikda
ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi.
to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi.
to‘plamning moslikda
qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi.
to‘plam moslikning grafigi deyiladi.
grafik biror
moslikdagi
juftliklar to‘plami ya’ni
, bu yerda
Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar)
yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi.
Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali
tasvirlanadi.
Misollar: 1.
va
to‘plamlar orasidagi «katta»
mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini
nuqtalar bilan belgilaymiz va
to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan
to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz ( 12-chizma)
{ , , }
X a b c
{ , }
m n
Y
),( ; )}
),( ; ),( ;
),( ; ),( ;
{( ;
c n
c m
b n
b m
a n
a m
Y
X
X Y
G f
X
Y
f d t s
, ,
,
X
X
Y
Y
Y
X
G f
Gf
R
( , )
x y
xRy
Y
Х у
х
,
}
9,7,5,3
X {
{ 6,4 }
Y
X
Y
Ilmiybaza.uz
12-chizma
Natijada biz
va
to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega
bo‘lamiz .
2.
,
grafini chizaylik (13-chizma)
13-chizma
Bunda aniqlanish sohasi
, Qiymatlar to‘plami
.
Sonli
va
to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata
tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi.
Buning uchun
moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida
nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura
moslikning
grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni grafigini chizamiz. (14-chizma)
14-chizma
X
Y
{ , , , , }
X a b c d e
{ , , , }
m n p q
Y
{( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )}
d p
c q
c n
b p
a n
G f
{ , , , }
a b c d
{ , , }
p q
n
X
Y
R
R
Ilmiybaza.uz
Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti
bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi.
Masalan:
va
to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini
qaraylik va grafigini yasaylik moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. (15-chizma)
15-chizma
Ta’rif. Agar ikkita
va
to‘plamlar orasidagi mosliklarning
grafigi
dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi.
Agar moslik grafigi
, bo‘sh bo‘lsa (
) moslik bo‘sh moslik deyiladi.
Ixtiyoriy ikkita
va
to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud
bo‘lishi mumkin.
va
dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish
mumkin.
Masalan,
va
to‘plamlar orasida berilgan
va
mosliklar
mosliklar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat xSy moslikka
aytiladiki,
moslik faqat va faqat
yoki
mavjud bo‘lsa bo‘ladi.
Shuningdek moslikka teskari moslik ham mavjud.
moslikka
teskari moslik
ko‘rinishda yoziladi va barcha (x,y) elementlar juftligi
uchun (y, x) juftliklar mavjud bo’ladi.
Misollar:
• f : R → R da berilgan f (х) = х2 - х + 1, х ∈ R moslik.
• f : R → C da berilgan F (х) = (х - 1) + ix2, х ∈ R moslik.
• Z + ⊆ Z bo’lsin. g: Z2 → R da berilgan g (m) = cos(2
𝝅 𝒏), n ∈
moslik.
• h : R × R → R da berilgan f(x, y) = x – y, x, y ∈ R moslik.
X R
{ 6,4 }
Y
X
Y
f
G
Y
X
G f
f
G
X
Y
X
Y
X
Y
xRy
y
xK
xSy
xRy
y
xK
y
xR
x
y
-1
R
Ilmiybaza.uz
• γ: R × R → R da berilgan γ (х, у) = х2 + у2 moslik.
• q: Z → Z da berilgan q (n)=
𝟏
𝟐(n2 + n), n ∈ Z moslik.
• μ: Z + → {-1, 0, 1} da berilgan:
• h : R×R → С da berilgan h (х, у) = х + iу, х, у ∈ R moslik.
• σ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} moslik quyidagicha ifodalangan
σ: 1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 5 3 4 1 61
1. Munosabat turlari.
1-Ta’rif: Agar
moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan
ustma-ust tushsa,
moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi.
2-Ta’rif: Agar
-moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan
ustma-ust tushsa,
moslik syur’ektiv deyiladi.
1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 197 -bet
f
f
f
f
а
b
s
d
t
z
y
x
Ilmiybaza.uz
3-Ta’rif: Agar
moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi
to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa,
moslik funksional
deyiladi.
4-Ta’rif: Agar
moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi
to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa,
moslik
in’ektiv deyiladi.
5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyiladi.
f
f
f
f
а
b
s
d
t
z
y
x
e
f
Ilmiybaza.uz
6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi.
7-Ta’rif:
va
to‘plamlar orasidagi
moslik biektiv akslantirish
bo‘lsa,
va
to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan deyiladi.
Moslik turlariga misollar keltiramiz.
Misol: Aytaylik
- kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘plami,
esa
shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin.
Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda
to‘plam
to‘plamga akslantirish bo‘ladi.
X
Y
f
X
Y
X
Y
X
Y
Ilmiybaza.uz
Agar bu akslantirishda har bir ilgakga bittadan ortiq palto ilinmagan
bo‘lsa(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi.
Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq
paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi.
Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli) bu
akslantirish biektiv bo‘ladi.
8-Ta’rif:
va
to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan
bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha
ko‘rinishda yoziladi.
Masalan: Agar
,
bo‘lsa, u holda
bo‘ladi, chunki,
va
to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish
mumkin.
9-Ta’rif: Barcha natural sonlar to‘plami
ga teng quvvatli to‘plamlar
sanoqli to‘plam deyiladi.
Masalan:
X= {a; b; c; d};
Y= {x; y;z;t}; Gf= {(a;x),(b; y);
(c;z), (d;t)} bo’lsa, f moslik X va Y
to’plamlar orasidagi o’zaro bir qiymatli
moslik bo’ladi.
Chekli
va
cheksiz
to’plamlar
elementlari soni to’plam quvvati deb yuritiladi va n(A), n(B), n(N) kabi
yoziladi. Masalan, A={a; b; c; d}bo’lsa, n(A) = 4 bo’ladi. O’zaro bir
qiymatli moslik o’rnatish yordamida chekli va cheksiz to’plamlar elementlari
sonini taqqoslash mumkin.
10-ta’rif. X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan
bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli yoki ekvivalent deyiladi va X~Y ko’rinishda
yoziladi. Bu holda n(X) = n(Y)bo’ladi.
11-ta’rif. Barcha natural sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar
sanoqli to’plam deyiladi.
X
Y
Y
X ~
{ , , , , }
X a b c d e
{ , , , , }
Y x y z t p
Y
X ~
X
Y
N
Ilmiybaza.uz
Agar istalgan cheksiz to’plamning har bir elementiga biror qoida
yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to’plam elementlari
natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo’ladi va bunday to’plam
sanoqli to’plam hisoblanadi. Natural sonlar to’plamining istalgan cheksiz
qism to’plami sanoqlidir.
Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz:
Hatto barcha butun sonlar to’plami ham sanoqli ekanini ko’rsatish
mumkin.
1-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa,
u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati
bo’ladi.
1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati
berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi
bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir
oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat
tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan
bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat
ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda
tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12
ta bo’lishi mumkin.
2-misol.
Tekislikdagi
to’g’ri
chiziqlar
to’plamida
parallellik
munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi
to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini
eslatib o’tamiz.
