MOSLIK VA UNING TURLARI. BINAR MUNOSABATLAR VA ULARNING XOSSALARI (To’plamdagi munosabat uning xossalari: Reflektsiv, antireflektsiv, simmetrik, assimmetrik, antisimmetrik va tranzitiv)

Yuklangan vaqt

2024-04-11

Yuklab olishlar soni

2

Sahifalar soni

16

Faytl hajmi

364,9 KB


MOSLIK VA UNING TURLARI. BINAR MUNOSABATLAR VA ULARNING XOSSALARI Reja: 1. Moslik va uning turlari. Moslik va munosabatlar. 2. Ikkita to’plam elementlari orasidagi moslik. Moslikning grafi va grafigi. 3.To’plamdagi munosabat uning xossalari: Reflektsiv, antireflektsiv, simmetrik, assimmetrik, antisimmetrik va tranzitiv. MOSLIK VA UNING TURLARI. BINAR MUNOSABATLAR VA ULARNING XOSSALARI Reja: 1. Moslik va uning turlari. Moslik va munosabatlar. 2. Ikkita to’plam elementlari orasidagi moslik. Moslikning grafi va grafigi. 3.To’plamdagi munosabat uning xossalari: Reflektsiv, antireflektsiv, simmetrik, assimmetrik, antisimmetrik va tranzitiv. Tayanch iboralar: Moslik, munosabatlar, Tеng quvvatli to`plam, Moslikning grafi va grafigi Ma’ruza matni: 1. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslikni ko‘rishdan oldin, ikki to‘plam dekart ko‘paytmasi va uning qism to‘plamlarini misollar yordamida eslaylik. Aytaylik bizga va to‘plamlari berilgan bo‘lsin. U holda ga ega bo‘lamiz. Bu dekart ko‘paytma 64 ta qism to‘plamga ega. 1-Ta’rif dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami va to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Binar so‘zi lotincha bis so‘zidan olingan bo‘lib, ikki to‘plam elementlari orasida so‘z borishini bildiradi. Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: f: A → B yoki A 𝑓→ B. Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo‘la oladi. to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi. to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi. to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror moslikdagi juftliklar to‘plami ya’ni , bu yerda Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlanadi. { , , } X  a b c { , } m n Y  ),( ; )} ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; {( ; c n c m b n b m a n a m Y X   X Y G f X Y f d t s , , , X X Y Y Y X G f   Gf R ( , ) x y xRy Y у Х х   , Tayanch iboralar: Moslik, munosabatlar, Tеng quvvatli to`plam, Moslikning grafi va grafigi Ma’ruza matni: 1. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslikni ko‘rishdan oldin, ikki to‘plam dekart ko‘paytmasi va uning qism to‘plamlarini misollar yordamida eslaylik. Aytaylik bizga va to‘plamlari berilgan bo‘lsin. U holda ga ega bo‘lamiz. Bu dekart ko‘paytma 64 ta qism to‘plamga ega. 1-Ta’rif dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami va to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Binar so‘zi lotincha bis so‘zidan olingan bo‘lib, ikki to‘plam elementlari orasida so‘z borishini bildiradi. Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: f: A → B yoki A 𝑓→ B. Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo‘la oladi. to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi. to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi. to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror moslikdagi juftliklar to‘plami ya’ni , bu yerda Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlanadi. { , , } X  a b c { , } m n Y  ),( ; )} ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; {( ; c n c m b n b m a n a m Y X   X Y G f X Y f d t s , , , X X Y Y Y X G f   Gf R ( , ) x y xRy Y у Х х   , Misollar: 1. va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz ( 12-chizma) 12-chizma Natijada biz va to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega bo‘lamiz . 2. , grafini chizaylik (13-chizma) 13-chizma Bunda aniqlanish sohasi , Qiymatlar to‘plami . Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura moslikning grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni grafigini chizamiz. (14-chizma) } 9,7,5,3 X  { { 6,4 } Y X Y X Y { , , , , } X  a b c d e { , , , } m n p q Y  {( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )} d p c q c n b p a n G f  { , , , } a b c d { , , } p q n X Y R R Misollar: 1. va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘plamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalardan to‘plam elementlarini tasvirlovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz ( 12-chizma) 12-chizma Natijada biz va to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega bo‘lamiz . 2. , grafini chizaylik (13-chizma) 13-chizma Bunda aniqlanish sohasi , Qiymatlar to‘plami . Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘lgan figura moslikning grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni grafigini chizamiz. (14-chizma) } 9,7,5,3 X  { { 6,4 } Y X Y X Y { , , , , } X  a b c d e { , , , } m n p q Y  {( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; )} d p c q c n b p a n G f  { , , , } a b c d { , , } p q n X Y R R 14-chizma Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan: va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini qaraylik va grafigini yasaylik moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. (15-chizma) 15-chizma Ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi. Agar moslik grafigi , bo‘sh bo‘lsa ( ) moslik bo‘sh moslik deyiladi. Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud bo‘lishi mumkin. va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish mumkin. Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan va mosliklar mosliklar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat xSy moslikka aytiladiki, moslik faqat va faqat yoki mavjud bo‘lsa bo‘ladi. Let’s give some examples (some very familiar):  f : R → R is given by f (x) = x2 − x + 1, x ∈ R  f : R → C is given by f (x) = (x − 1) + ix2, x ∈ R  Let Z+ ⊆ Z be the set of positive integers and define g : Z2 → R X  R { 6,4 } Y X Y f G Y X  G f f   G X Y X Y X Y xRy y xK xSy xRy xKy 14-chizma Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan: va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini qaraylik va grafigini yasaylik moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. (15-chizma) 15-chizma Ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi. Agar moslik grafigi , bo‘sh bo‘lsa ( ) moslik bo‘sh moslik deyiladi. Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud bo‘lishi mumkin. va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish mumkin. Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan va mosliklar mosliklar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat xSy moslikka aytiladiki, moslik faqat va faqat yoki mavjud bo‘lsa bo‘ladi. Let’s give some examples (some very familiar):  f : R → R is given by f (x) = x2 − x + 1, x ∈ R  f : R → C is given by f (x) = (x − 1) + ix2, x ∈ R  Let Z+ ⊆ Z be the set of positive integers and define g : Z2 → R X  R { 6,4 } Y X Y f G Y X  G f f   G X Y X Y X Y xRy y xK xSy xRy xKy by g(m) = cos(2π/n), n ∈ Z+  h : R × R → R is given by f (x, y) = x − y, x, y ∈ R.  γ : R × R → R is given by γ(x, y) = x2 + y2  q : Z → Z is given by q(n) = 1 2 (n2 + n), n ∈ Z  µ : Z+ → {−1, 0, 1} is given by 𝜇 (n) = { 1 if n is the product of an even number of distinct primes -1 if n is the product of an odd number of distinct primes 0 if n is not the product of distinct primes Thus, for example, µ(1) = 0. Also, µ(6) = 1, as 6 = 2 · 3, the product of two distinct primes. Likewise, µ(5) = µ(30) = −1, and µ(18) = 0.  h : R × R → C is given by h(x, y) = x + iy, x, y ∈ R  σ : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} is represented by σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 6 Shuningdek moslikka teskari moslik ham mavjud. moslikka teskari moslik ko‘rinishda yoziladi va barcha (x,y) elementlar juftligi uchun (y, x) juftliklar mavjud bo’ladi. Misollar: • f : R → R da berilgan f (х) = х2 - х + 1, х ∈ R moslik. • f : R → C da berilgan F (х) = (х - 1) + ix2, х ∈ R moslik. • Z + ⊆ Z bo’lsin. g: Z2 → R da berilgan g (m) = cos(2 𝝅 𝒏), n ∈ moslik. • h : R × R → R da berilgan f(x, y) = x – y, x, y ∈ R moslik. • γ: R × R → R da berilgan γ (х, у) = х2 + у2 moslik. y xR x y -1 R by g(m) = cos(2π/n), n ∈ Z+  h : R × R → R is given by f (x, y) = x − y, x, y ∈ R.  γ : R × R → R is given by γ(x, y) = x2 + y2  q : Z → Z is given by q(n) = 1 2 (n2 + n), n ∈ Z  µ : Z+ → {−1, 0, 1} is given by 𝜇 (n) = { 1 if n is the product of an even number of distinct primes -1 if n is the product of an odd number of distinct primes 0 if n is not the product of distinct primes Thus, for example, µ(1) = 0. Also, µ(6) = 1, as 6 = 2 · 3, the product of two distinct primes. Likewise, µ(5) = µ(30) = −1, and µ(18) = 0.  h : R × R → C is given by h(x, y) = x + iy, x, y ∈ R  σ : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} is represented by σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 6 Shuningdek moslikka teskari moslik ham mavjud. moslikka teskari moslik ko‘rinishda yoziladi va barcha (x,y) elementlar juftligi uchun (y, x) juftliklar mavjud bo’ladi. Misollar: • f : R → R da berilgan f (х) = х2 - х + 1, х ∈ R moslik. • f : R → C da berilgan F (х) = (х - 1) + ix2, х ∈ R moslik. • Z + ⊆ Z bo’lsin. g: Z2 → R da berilgan g (m) = cos(2 𝝅 𝒏), n ∈ moslik. • h : R × R → R da berilgan f(x, y) = x – y, x, y ∈ R moslik. • γ: R × R → R da berilgan γ (х, у) = х2 + у2 moslik. y xR x y -1 R • q: Z → Z da berilgan q (n)= 𝟏 𝟐(n2 + n), n ∈ Z moslik. • μ: Z + → {-1, 0, 1} da berilgan: • h : R×R → С da berilgan h (х, у) = х + iу, х, у ∈ R moslik. • σ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} moslik quyidagicha ifodalangan σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 61 Nazorat uchun savollar. 1. Binar munosabat ta’rifini bering. 2. Binar munosabatning grafi va grafigi deb nimaga aytiladi? 3. Binar munosabat turlarini ko’rsating. 1. Munosabat turlari. 1-Ta’rif: Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi. 2-Ta’rif: Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi. 1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 197 -bet f f f f а b s d t z y x • q: Z → Z da berilgan q (n)= 𝟏 𝟐(n2 + n), n ∈ Z moslik. • μ: Z + → {-1, 0, 1} da berilgan: • h : R×R → С da berilgan h (х, у) = х + iу, х, у ∈ R moslik. • σ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {1, 2, 3, 4, 5, 6} moslik quyidagicha ifodalangan σ: 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 5 3 4 1 61 Nazorat uchun savollar. 1. Binar munosabat ta’rifini bering. 2. Binar munosabatning grafi va grafigi deb nimaga aytiladi? 3. Binar munosabat turlarini ko’rsating. 1. Munosabat turlari. 1-Ta’rif: Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi. 2-Ta’rif: Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi. 1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 197 -bet f f f f а b s d t z y x 3-Ta’rif: Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik funksional deyiladi. 4-Ta’rif: Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, moslik in’ektiv deyiladi. 5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyiladi. f f f f а b s d t z y x e f 3-Ta’rif: Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik funksional deyiladi. 4-Ta’rif: Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, moslik in’ektiv deyiladi. 5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyiladi. f f f f а b s d t z y x e f 6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi. 7-Ta’rif: va to‘plamlar orasidagi moslik biektiv akslantirish bo‘lsa, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan deyiladi. Moslik turlariga misollar keltiramiz. Misol: Aytaylik - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘plami, esa shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin. Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi. Agar bu akslantirishda har bir ilgakga bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi. Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi. X Y f X Y X Y X Y 6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi. 7-Ta’rif: va to‘plamlar orasidagi moslik biektiv akslantirish bo‘lsa, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan deyiladi. Moslik turlariga misollar keltiramiz. Misol: Aytaylik - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘plami, esa shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin. Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi. Agar bu akslantirishda har bir ilgakga bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi. Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin) bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi. X Y f X Y X Y X Y Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli) bu akslantirish biektiv bo‘ladi. 8-Ta’rif: va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan: Agar , bo‘lsa, u holda bo‘ladi, chunki, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. 9-Ta’rif: Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi. Masalan: X= {a; b; c; d}; Y= {x; y;z;t}; Gf= {(a;x),(b; y); (c;z), (d;t)} bo’lsa, f moslik X va Y to’plamlar orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik bo’ladi. Chekli va cheksiz to’plamlar elementlari soni to’plam quvvati deb yuritiladi va n(A), n(B), n(N) kabi yoziladi. Masalan, A={a; b; c; d}bo’lsa, n(A) = 4 bo’ladi. O’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish yordamida chekli va cheksiz to’plamlar elementlari sonini taqqoslash mumkin. 10-ta’rif. X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar tengquvvatli yoki ekvivalent deyiladi va X~Y ko’rinishda yoziladi. Bu holda n(X) = n(Y)bo’ladi. 11-ta’rif. Barcha natural sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi. Agar istalgan cheksiz to’plamning har bir elementiga biror qoida yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to’plam elementlari natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo’ladi va bunday to’plam sanoqli to’plam hisoblanadi. Natural sonlar to’plamining istalgan cheksiz qism to’plami sanoqlidir. X Y Y X ~ { , , , , } X a b c d e { , , , , } Y x y z t p Y X ~ X Y N Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli) bu akslantirish biektiv bo‘ladi. 8-Ta’rif: va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan: Agar , bo‘lsa, u holda bo‘ladi, chunki, va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. 9-Ta’rif: Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi. Masalan: X= {a; b; c; d}; Y= {x; y;z;t}; Gf= {(a;x),(b; y); (c;z), (d;t)} bo’lsa, f moslik X va Y to’plamlar orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik bo’ladi. Chekli va cheksiz to’plamlar elementlari soni to’plam quvvati deb yuritiladi va n(A), n(B), n(N) kabi yoziladi. Masalan, A={a; b; c; d}bo’lsa, n(A) = 4 bo’ladi. O’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish yordamida chekli va cheksiz to’plamlar elementlari sonini taqqoslash mumkin. 10-ta’rif. X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar tengquvvatli yoki ekvivalent deyiladi va X~Y ko’rinishda yoziladi. Bu holda n(X) = n(Y)bo’ladi. 11-ta’rif. Barcha natural sonlar to’plami N ga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi. Agar istalgan cheksiz to’plamning har bir elementiga biror qoida yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to’plam elementlari natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo’ladi va bunday to’plam sanoqli to’plam hisoblanadi. Natural sonlar to’plamining istalgan cheksiz qism to’plami sanoqlidir. X Y Y X ~ { , , , , } X a b c d e { , , , , } Y x y z t p Y X ~ X Y N Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz: Hatto barcha butun sonlar to’plami ham sanoqli ekanini ko’rsatish mumkin. Nazorat uchun savollar: Adabiyotlar ro’yxati: Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(17-26 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (34-40 bet) 2. David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (197 bet) 1. Munosabat turlarini ayting. 2. To’plamni to’plamga o’zaro bir qiymatli akslantirish. 3. Teng quvvatli to’plamlar. 4. Qanday to’plamlar teng quvvatli deyiladi? 5. 1.To’plam elementlari orasidagi munosabat. Biz to‘plamlarni o‘rganganda ularni taqqoslab, ular kesishadi yoki teng, yoki biri ikkinchisini qismi deb to‘plamlar orasidagi munosabatni qaradik. Natural sonlar to‘plamini qaraganda sonlar orasidagi turli - tuman bog‘lanishlarni ko‘ramiz. Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz: Hatto barcha butun sonlar to’plami ham sanoqli ekanini ko’rsatish mumkin. Nazorat uchun savollar: Adabiyotlar ro’yxati: Asosiy adabiyotlar 1. Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon- iqbol, 2007. 363b.(17-26 bet) Qo‘shimcha adabiyotlar 1. Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (34-40 bet) 2. David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. (197 bet) 1. Munosabat turlarini ayting. 2. To’plamni to’plamga o’zaro bir qiymatli akslantirish. 3. Teng quvvatli to’plamlar. 4. Qanday to’plamlar teng quvvatli deyiladi? 5. 1.To’plam elementlari orasidagi munosabat. Biz to‘plamlarni o‘rganganda ularni taqqoslab, ular kesishadi yoki teng, yoki biri ikkinchisini qismi deb to‘plamlar orasidagi munosabatni qaradik. Natural sonlar to‘plamini qaraganda sonlar orasidagi turli - tuman bog‘lanishlarni ko‘ramiz. Masalan, 7 soni 6 sonidan katta, 12 soni 9 sonidan 3ta ko‘p, 3 soni 2 sonidan keyin keladi va hokazo. 6. Xuddi shunga o‘xshash, geometriyada figuralarning tengligi va o‘xshashligi, to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligi kabi munosabatlar qaraladi. 7. Bulardan ko‘rinadiki, matematikada asosan, ikki ob’ekt orasidagi munosabat qaraladi, bunga binar munosabatlar deyiladi. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan munosabatlar orasida umumiylik bormi, yo‘qmi degan masalani qarasak, u yoki bu munosabatlarni qarashda biz berilgan to‘plamlar sonlaridan tashkil topgan tartiblangan juftliklar bilan amallar bajarishni ko‘ramiz. 8. Masalan: to‘plamda 1 ta ko‘p munosabatini qarasak, «5 soni 4 sonidan 1 ta ko‘p», «6 soni 5 sonidan 1 ta ko‘p». Shu to‘plamda katta munosabatni qarasak «5>4», «6>4», «6>5». Shunga o‘xshash kichik munosabatini qarasak «4 soni 5 sonidan 1 ta kam», «5 soni 6 sonidan 1 ta kam». 9. Keltirilgan misoldagi «1 ta ko‘p» munosabat uchun {(5;4), (6;5)} to‘plam, «katta» munosabati uchun {(5;4), (6;4), (6;5)} to‘plam, «kichik» munosabati uchun {(4;5), (5;6)} to‘plamlarga ega bo‘lamiz. Bu to‘plamlar esa elementlari to‘plam elementlaridan hosil qilingan sonlar juftliklari to‘plami bilan aniqlanadi. Boshqacha aytganda, bu to‘plamlar to‘plam Dekart ko‘paytmasining elementlaridan tashkil topgan qism to‘plamlardir, ya’ni 10. : 11. Bundan ko‘rinadiki, ko‘rib o‘tilgan munosabtlar Dekart ko‘paytmaning qism to‘plami bilan aniqlanar ekan. 12. 1-Ta’rif. to‘plamning istalgan qism to‘plami binar munosabat deyiladi. Binar munosabatlar lotin alfavitining bosh harflari P, K, R, S… bilan belgilanadi. } 6;5;4  { X } 6;5;4  { X } 6;5;4  { X  X {( 4;4 ),( 5;4 ),( 6;4 ),( 4;5 ),( 5;5 ),( 6;5 ),( 4;6 ),( 5;6 ),( 6;6 )} X X X  X  X G Masalan, 7 soni 6 sonidan katta, 12 soni 9 sonidan 3ta ko‘p, 3 soni 2 sonidan keyin keladi va hokazo. 6. Xuddi shunga o‘xshash, geometriyada figuralarning tengligi va o‘xshashligi, to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligi kabi munosabatlar qaraladi. 7. Bulardan ko‘rinadiki, matematikada asosan, ikki ob’ekt orasidagi munosabat qaraladi, bunga binar munosabatlar deyiladi. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan munosabatlar orasida umumiylik bormi, yo‘qmi degan masalani qarasak, u yoki bu munosabatlarni qarashda biz berilgan to‘plamlar sonlaridan tashkil topgan tartiblangan juftliklar bilan amallar bajarishni ko‘ramiz. 8. Masalan: to‘plamda 1 ta ko‘p munosabatini qarasak, «5 soni 4 sonidan 1 ta ko‘p», «6 soni 5 sonidan 1 ta ko‘p». Shu to‘plamda katta munosabatni qarasak «5>4», «6>4», «6>5». Shunga o‘xshash kichik munosabatini qarasak «4 soni 5 sonidan 1 ta kam», «5 soni 6 sonidan 1 ta kam». 9. Keltirilgan misoldagi «1 ta ko‘p» munosabat uchun {(5;4), (6;5)} to‘plam, «katta» munosabati uchun {(5;4), (6;4), (6;5)} to‘plam, «kichik» munosabati uchun {(4;5), (5;6)} to‘plamlarga ega bo‘lamiz. Bu to‘plamlar esa elementlari to‘plam elementlaridan hosil qilingan sonlar juftliklari to‘plami bilan aniqlanadi. Boshqacha aytganda, bu to‘plamlar to‘plam Dekart ko‘paytmasining elementlaridan tashkil topgan qism to‘plamlardir, ya’ni 10. : 11. Bundan ko‘rinadiki, ko‘rib o‘tilgan munosabtlar Dekart ko‘paytmaning qism to‘plami bilan aniqlanar ekan. 12. 1-Ta’rif. to‘plamning istalgan qism to‘plami binar munosabat deyiladi. Binar munosabatlar lotin alfavitining bosh harflari P, K, R, S… bilan belgilanadi. } 6;5;4  { X } 6;5;4  { X } 6;5;4  { X  X {( 4;4 ),( 5;4 ),( 6;4 ),( 4;5 ),( 5;5 ),( 6;5 ),( 4;6 ),( 5;6 ),( 6;6 )} X X X  X  X G 13. Boshqacha aytganda, X to’plam elementlari orasidagi munosabat deb R = (X×X,G r) juftlikka aytiladi, bu yerda G R⊂X×X. 14. Agar X to’plamda berilgan R munosabatda a∈X elementga b∈Xelement mos kelsa, «aelement b element bilanR munosabatda» deyiladi va aRb deb yoziladi, bu yerda (a; b)∈G R. 15. Xususiy holda teng to’plamlar orasidagi moslik X to’plam elementlari orasidagi binar munosabat deyiladi. X odamlar to’plami bo’lsa, unda «do’st bo’lmoq», «bitta shaharda yashamoq», «qarindosh bo’lmoq» kabi munosabatlar bo’ladi. Sonlar orasida «teng», «katta», «kichik», «karrali», «katta emas», «bo’luvchisi» va h. k. munosabatlar, geometrik shakllar to’plamida «tengdoshlik», «parallellik», «perpendikularlik» va boshqa mu- nosabatlar haqida gapirish mumkin. 16. Matematikada binar munosabatlar , , , , , kabi belgilar orqali berilgan. 17. Fix a positive integer m and recall that if a ∈ Z then m|a means that a is a multiple of m. Now let R be the relation on the set Z of integers defined by aRb ⇔ m|(a − b). 18. This relation is, as we have seen, customarily denoted “mod m” and read “congruence modulo m.” Thus if m = 7, then we can say that 1 ≡ 15 (mod 7)” where we read this as “1 is congruent to 15modulo 7.” 19. Note, in particular, that if m = 7 then the integers which are congruent modulo 7 to −1 are precisely those of the form −1 + 7k, k = 0, ±1, ±2, … 20. 21. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Ma’lumki, a va b butun sonlarini m natural soniga bo‘lishda bir xil r (0 <r ≤m) qoldiq hosil bo‘lsa, a va b sonlari m modul bo‘yicha taqqoslanadigan (teng qoldiqli) sonlar deyiladi va a ≡b (mod m) ko‘rinishda belgilanadi. a soni b soniga m modul bo‘yicha taqqoslanishini ifodalovchi a≡b (mod m) bog‘lanish taqqoslama deb o‘qiladi. 22. Masalan: 27 =5 ×5 +2, 12 =5 ×2+2 bo‘lgani uchun 27 ≡ 12(mod 5). a  b a  b a  b a  b a || b a  b 13. Boshqacha aytganda, X to’plam elementlari orasidagi munosabat deb R = (X×X,G r) juftlikka aytiladi, bu yerda G R⊂X×X. 14. Agar X to’plamda berilgan R munosabatda a∈X elementga b∈Xelement mos kelsa, «aelement b element bilanR munosabatda» deyiladi va aRb deb yoziladi, bu yerda (a; b)∈G R. 15. Xususiy holda teng to’plamlar orasidagi moslik X to’plam elementlari orasidagi binar munosabat deyiladi. X odamlar to’plami bo’lsa, unda «do’st bo’lmoq», «bitta shaharda yashamoq», «qarindosh bo’lmoq» kabi munosabatlar bo’ladi. Sonlar orasida «teng», «katta», «kichik», «karrali», «katta emas», «bo’luvchisi» va h. k. munosabatlar, geometrik shakllar to’plamida «tengdoshlik», «parallellik», «perpendikularlik» va boshqa mu- nosabatlar haqida gapirish mumkin. 16. Matematikada binar munosabatlar , , , , , kabi belgilar orqali berilgan. 17. Fix a positive integer m and recall that if a ∈ Z then m|a means that a is a multiple of m. Now let R be the relation on the set Z of integers defined by aRb ⇔ m|(a − b). 18. This relation is, as we have seen, customarily denoted “mod m” and read “congruence modulo m.” Thus if m = 7, then we can say that 1 ≡ 15 (mod 7)” where we read this as “1 is congruent to 15modulo 7.” 19. Note, in particular, that if m = 7 then the integers which are congruent modulo 7 to −1 are precisely those of the form −1 + 7k, k = 0, ±1, ±2, … 20. 21. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Ma’lumki, a va b butun sonlarini m natural soniga bo‘lishda bir xil r (0 <r ≤m) qoldiq hosil bo‘lsa, a va b sonlari m modul bo‘yicha taqqoslanadigan (teng qoldiqli) sonlar deyiladi va a ≡b (mod m) ko‘rinishda belgilanadi. a soni b soniga m modul bo‘yicha taqqoslanishini ifodalovchi a≡b (mod m) bog‘lanish taqqoslama deb o‘qiladi. 22. Masalan: 27 =5 ×5 +2, 12 =5 ×2+2 bo‘lgani uchun 27 ≡ 12(mod 5). a  b a  b a  b a  b a || b a  b 23. Yoki, agar m = 7 bo’lsa, 1 ≡ 15 (mod 7) bo’ladi. 24. Shu narsa ma’lumki, a ≡b (mod m) taqqoslama a - b ayirma m ga qoldiqsiz bo‘lingandagina o‘rinli bo‘ladi. 25. E’tibor beringki, m = 7 bo’lsa, 7 modul bo’yicha taqqoslanadigan butun sonlarninig umumiy ko’rinishi -1 + 7k shaklda bo’ladi, bu yerda k = 0, ± 1, ± 2,. , ..2 26. 2. To’plamdagi munosabatning grafi va grafigi. 27. Munosabatlarni graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlash mumkin. Masalan: to‘plam elementlari uchun «karrali» munosabatini ko‘ramiz va uning grafini chizamiz (16-chizma). 18 soni 3 ga karrali, 18 soni 6 ga karrali, 18 soni 9 ga karrali va hokazo. to‘plamdagi ixtiyoriy son o‘z-o‘ziga karrali bo‘lgani uchun oxiri ustma-ust tushadigan strelkalar mavjud. Bunday strelkalar sirtmoqlar deyiladi. 28. 29. Munosabat grafi chekli to’plamlar uchun quyidagicha chiziladi: to’plam elementlari nuqtalar bilan belgilanadi, mos elementlar strelkalar bilan tutashtiriladi. Masalan, X = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} to’plam elementlari orasida P: «x > y» munosabat berilgan. 30. U quyidagi juftliklar to’plami orqali 31. ifoda qilinadi: 2 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 200 -bet 18} ;9;6;3 { X X 23. Yoki, agar m = 7 bo’lsa, 1 ≡ 15 (mod 7) bo’ladi. 24. Shu narsa ma’lumki, a ≡b (mod m) taqqoslama a - b ayirma m ga qoldiqsiz bo‘lingandagina o‘rinli bo‘ladi. 25. E’tibor beringki, m = 7 bo’lsa, 7 modul bo’yicha taqqoslanadigan butun sonlarninig umumiy ko’rinishi -1 + 7k shaklda bo’ladi, bu yerda k = 0, ± 1, ± 2,. , ..2 26. 2. To’plamdagi munosabatning grafi va grafigi. 27. Munosabatlarni graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlash mumkin. Masalan: to‘plam elementlari uchun «karrali» munosabatini ko‘ramiz va uning grafini chizamiz (16-chizma). 18 soni 3 ga karrali, 18 soni 6 ga karrali, 18 soni 9 ga karrali va hokazo. to‘plamdagi ixtiyoriy son o‘z-o‘ziga karrali bo‘lgani uchun oxiri ustma-ust tushadigan strelkalar mavjud. Bunday strelkalar sirtmoqlar deyiladi. 28. 29. Munosabat grafi chekli to’plamlar uchun quyidagicha chiziladi: to’plam elementlari nuqtalar bilan belgilanadi, mos elementlar strelkalar bilan tutashtiriladi. Masalan, X = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} to’plam elementlari orasida P: «x > y» munosabat berilgan. 30. U quyidagi juftliklar to’plami orqali 31. ifoda qilinadi: 2 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 200 -bet 18} ;9;6;3 { X X 32. G={(4; 3), (5; 3), (5; 4), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (7; 3), (7; 4), (7; 5), (7; 6), (8; 3), (8; 4), (8; 5), (8; 6), (8; 7), (9; 3), (9; 4), (9; 5), (9; 6), (9; 7)}. 33. Uning grafi I.14-rasmdagi ko’rinishda bo’ladi. Yoki Y= {2; 4; 5; 6; 8} to’plamda Q: «x soni ysoniga karrali» 34. («x⋮y») munosabati berilgan bo’lsin. Munosabat grafida birinchisi ikkinchisiga karrali sonlar juftligidan iborat bo’ladi. G= {(2; 2), (4; 2), (4; 4), (5; 5), (6; 2), (6; 6), (8; 2), (8; 4), (8; 8)} munosabat grafida (2; 2) juftlikni ko’rsatuvchi strelkaning boshi ham, oxiri ham bitta nuqtada bo’ladi, bunday strelkani «halqa» deb ataymiz. Munosabat grafi I.15-rasmdagi kabi chiziladi: 35. 36. 3.Munosabat xossalari. 37. 1-ta’rif. Agar X to‘plamning har bir elementi o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), uholda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi. 38. Masalan, «x = y», «a||b», «x⋮y» munosabatlar refleksivdir. 39. Refleksiv munosabat grafida har bir element atrofida halqa bo’ladi (2.5-banddagi 2-misol). 40. 2-ta’rif.Agar X to ‘plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to ‘plamda antirefleksiv deyiladi. 41. Masalan, «a < b», «a > b», «a⊥b» munosabatlar antirefleksivdir. 32. G={(4; 3), (5; 3), (5; 4), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (7; 3), (7; 4), (7; 5), (7; 6), (8; 3), (8; 4), (8; 5), (8; 6), (8; 7), (9; 3), (9; 4), (9; 5), (9; 6), (9; 7)}. 33. Uning grafi I.14-rasmdagi ko’rinishda bo’ladi. Yoki Y= {2; 4; 5; 6; 8} to’plamda Q: «x soni ysoniga karrali» 34. («x⋮y») munosabati berilgan bo’lsin. Munosabat grafida birinchisi ikkinchisiga karrali sonlar juftligidan iborat bo’ladi. G= {(2; 2), (4; 2), (4; 4), (5; 5), (6; 2), (6; 6), (8; 2), (8; 4), (8; 8)} munosabat grafida (2; 2) juftlikni ko’rsatuvchi strelkaning boshi ham, oxiri ham bitta nuqtada bo’ladi, bunday strelkani «halqa» deb ataymiz. Munosabat grafi I.15-rasmdagi kabi chiziladi: 35. 36. 3.Munosabat xossalari. 37. 1-ta’rif. Agar X to‘plamning har bir elementi o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), uholda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi. 38. Masalan, «x = y», «a||b», «x⋮y» munosabatlar refleksivdir. 39. Refleksiv munosabat grafida har bir element atrofida halqa bo’ladi (2.5-banddagi 2-misol). 40. 2-ta’rif.Agar X to ‘plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to ‘plamda antirefleksiv deyiladi. 41. Masalan, «a < b», «a > b», «a⊥b» munosabatlar antirefleksivdir. 42. Antirefleksiv munosabat grafida birorta ham halqa bo’lmaydi(2.5- banddagi 1-misol). 43. 3-ta’rif. Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx bir vaqtda bajarilsa, R simmetrik munosabat deyiladi. 44. Masalan, «a||b», «a⊥b», «a = b» munosabatlari simmetrikdir. Simmetrik munosabat grafida har bir strelkaga parallel qaytuvchi strelka bo’ladi. 45. 4-ta’rif.Agar X to’plamda berilgan R munosabatda xRy va yRx shartlardan faqat bittasi o ‘rinli bo’lsa, R munosabat asimmetrik munosabatdeyiladi. 46. Masalan, «a > b», «a < b» munosabatlari asimmetrikdir. 47. Asimmetrik munosabat grafida birorta ham halqa va qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi. 48. 5-ta’rif. Agar X to ‘plamda R munosabat uchun xRy va yRx shartlar faqat x = y bo’lgan holda bajarilsa, u holda R antisimmetrik munosabat deyiladi. 49. Masalan, «a>b», «a≤b», «a⋮b», «a soni b sonining bo’luvchisi» kabi munosabatlar antisimmetrik munosabat bo’ladi. Antisimmetrik munosabat grafida halqalar bo’ladi, lekin qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi. 50. 6-ta’rif. Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va yRz ekanligidan xRz ekanligi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv deyiladi. 51. Masalan,«a>b», «a = b», «a||b», «a⋮b» kabi munosabatlar tranzitivdir. Tranzitiv munosabat grafida x dan y ga, y dan z ga bo- ruvchi strelkalar bo’lsa, albatta x dan zga boruvchi strelka ham bo’lishi kerak (I.16- rasm). 42. Antirefleksiv munosabat grafida birorta ham halqa bo’lmaydi(2.5- banddagi 1-misol). 43. 3-ta’rif. Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx bir vaqtda bajarilsa, R simmetrik munosabat deyiladi. 44. Masalan, «a||b», «a⊥b», «a = b» munosabatlari simmetrikdir. Simmetrik munosabat grafida har bir strelkaga parallel qaytuvchi strelka bo’ladi. 45. 4-ta’rif.Agar X to’plamda berilgan R munosabatda xRy va yRx shartlardan faqat bittasi o ‘rinli bo’lsa, R munosabat asimmetrik munosabatdeyiladi. 46. Masalan, «a > b», «a < b» munosabatlari asimmetrikdir. 47. Asimmetrik munosabat grafida birorta ham halqa va qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi. 48. 5-ta’rif. Agar X to ‘plamda R munosabat uchun xRy va yRx shartlar faqat x = y bo’lgan holda bajarilsa, u holda R antisimmetrik munosabat deyiladi. 49. Masalan, «a>b», «a≤b», «a⋮b», «a soni b sonining bo’luvchisi» kabi munosabatlar antisimmetrik munosabat bo’ladi. Antisimmetrik munosabat grafida halqalar bo’ladi, lekin qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi. 50. 6-ta’rif. Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va yRz ekanligidan xRz ekanligi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv deyiladi. 51. Masalan,«a>b», «a = b», «a||b», «a⋮b» kabi munosabatlar tranzitivdir. Tranzitiv munosabat grafida x dan y ga, y dan z ga bo- ruvchi strelkalar bo’lsa, albatta x dan zga boruvchi strelka ham bo’lishi kerak (I.16- rasm).