Оддий дифференциал тенгламаларга олиб келувчи амалий масалалар Режа: 1. Дифференциал тенгламаларга келтириладиган табиий фанлар масалалари. 2. Ечим, умумий ечим тушунчалари. 3. Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли тенгламалар. Коши масаласи. 4. Коши масаласининг ечими ҳақидаги теорема. Таянч иборалар. Биринчи тартибли тенгламалар, умумий ечим, Коши масаласи, эквивалентлик леммаси, Гронуолл леммаси, Пикар теоремаси. Ҳозирги кунда фан-техника ривожланиб борган сари математикани роли ортиб бормоқда. Шу жумладан математикадан физика, механика ва астрономия ҳамда иқтисодий масалаларни ечишда, биологик жараёнларни тахлил этишда ва бошқа кўп соҳаларда фойдаланилади. Бу соҳалардаги жараёнларни математик модели дифференциал тенгламалар номи билан юритилади. Номаълум функциянинг ҳосиласи ёки дифференциали қатнашган тенглама дифференциал тенглама дейилади. Агар номаълум функция бир аргументли бўлса, у ҳолда тенглама оддий дифференциал тенглама деб, агар номаълум функция кўп ўзгарувчили бўлса, у ҳолда тенглама хусусий ҳосилали дифференциал тенглама деб айтилади. Мисол. Фараз қилайлик моддий нуқта ОX ўқи бўйлаб харакат қилсин. Харакат функцияси f(t) бўлсин. Бундан ташқари бирор t=t0 моментда унинг абсциссаси x0 қийматни қабул қилсин. Шу моддий нуқтани харакат қонунини топинг. Бу масаланинг математик модели     0 0 , x x t f t dt dx   кўриниш билан ифодаланади. Мисол. Радиактив модда ҳисобланган радийни парчаланиш тезлиги унинг миқдорига тўғри пропорциолнал. Фараз қилайлик, t моментда R0 г радий бор бўлсин. Ихтиёрий t моментда R г радий миқдорини аниқланг. Агар пропорционаллик коэффициенти c(c>0)га тенг бўлса, у ҳолда масала ушбу дифференциал тенгламани ечишга келтирилади. cl t R     Бу тенгламани t=t0да R=R0га тенг бўладиган ечими R=R0e-c(t-t0) функция билан ифодаланади. Юқоридаги масалалардан кўринадики битта дифференциал тенгламани бир неча функциялар қаноатлантириши мумкин, шунинг учун дифференциал тенгламалар назариясининг асосий мақсади берилган тенгламанинг барча ечимларини топиш ва уларнинг хусусиятларини ўрганишдан иборат. Дифференциал тенгламаларни тартиби тенгламада қатнашган энг юқори тартибли ҳосила тартиби билан аниқланади. Таъриф:. Ушбу F (x,y, y)= 0 (1) тенглама ҳосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади. Таъриф: Ушбу ( ; ) f x y dx dy  (2) кўринишдаги тенглама ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади. Таъриф: Битта ўзгармас сонга боғлиқ y= (x,С) (3) (1) тенгламанинг ечимлари оиласини ифодаловчи функция тенгламанинг умумий ечими дейилади . Таъриф: Агар      ) , ( ) , ( ' ' x C y x C y x   муносабатлардан c параметрни йўқотиш мумкин бўлиб, натижада (2) тенглама ҳосил бўлса, у ҳолда (3) функция (2) тенгламанинг умумий ечими дейилади. Таъриф: Умумий (3) ечимдан С параметрни аниқ сонли қийматлари учун ҳосил бўлган ечими хусусий ечим деб аталади. Юқорида келтирилган 1 ва 2 масалалардаги (t0, x0), (t0,R0) нуқталардан ўтувчи ечимларни ягоналиги муҳим аҳамиятга эга, шунинг учун берилган (t0 ,x 0) нуқтадан битта ечим ўтса шу нуқтада ягоналик ўринли деб юритилади. Таъриф: Ягоналик ўринли бўлмаган ечим махсус ечим дейилади. Мисол. Тенгламани ечинг 0) ( 2 '   y y y Бу ерда y0 деб олиб 1 2   y y ёки   y   1 тенгликка эга бўламиз. Бундан  c x c x y     ёки    c x c x y     2 умумий ечимга эга бўламиз. Бундан ташқари y0 ҳам тенгламанинг ечими, бу махсус ечим бўлади. y=0 ни , яoни ОХ ўқини ихтиёрий нуқтасидан     0 2 0 x x x x y    ярим параболар ўтади. Дифференциал тенгламалар назариясининг асосий масалалардан бири Коши масаласи деб юритилади.  f x y dx dy ,  (4) кўринишидаги тенглама учун Коши масаласи қуйидагича қўйилади. Коши масаласи : (1) тенгламанинг y(x0)=y0 (5) шартни қаноатлантирадиган ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади ёки бошланғич масала деб юритилади. Бунда x0 ва y0 берилган сонлар бўлиб f(x,y) функция аниқланган соҳага тегишли бўлади. (4) тенгламанинг ечими бўлган y=(x) ёки ошкормас кўринишда (x,y) функцияни мос эгри чизиғи (графиги) интеграл чизиқ деб аталади. Коши масаласи, геометрик нуқтаий-назардан қараганда барча интеграл чизиқлар ичидан берилган (x0,y0) нуқтадан ўтувчи интеграл чизиқни топиш масаласидир. Мисол. Коши масаласининг ечими мавжудми?         0 0) ( 0) ,0 ( 0 0 y y x y x dx dy кўриш мумкинки бу Коши масаласини ечими мавжуд эмас. Демак, Коши масаласи ҳар доим ҳам ечимига эга эмас, агар ечим мавжуд бўлса у ягона бўладими? каби савол берилиши табиий. Ечимининг ягоналиги дифференциал тенгламалар олинган жараёнларда бирор қонун мавжуд бўлиб бошқа қонун йўқлигини, харакат ёки жараён фақат шу қонун орқали амалга ошишини билдиради. Юқорида қўйилган саволга қуйидаги Пикар теоремаси жавоб беради. Теорема. (Пикар теоремаси) Агар (4) тенгламада f(x,y) функция 1. D={(x,y): x0-axx0+a, y0-byy0+b} тўғри тўртбурчакда узлуксиз, (демак унда чегараланган, яъни |f(x,y)|  M, M>0 , (6) 2 . у ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантирса, у ҳолда (4) тенгламани (5) шартини қаноатлантирадиган ва        M a b h h x x , min , 0 интервалда аниқланган ягона ечими мавжуд. Теоремада келтирилган Липшиц шарти D соҳада аниқланган икки ўзгарувчили f(x,y) функция учун қуйидагича бўлади. Ихтиёрий (x,y1), (x,y2)D нуқталар учун ушбу     2 1 2 1 , , y L y f x y f x y    (7) тенгсизлик ўринли бўлса, f(x,y) D соҳада у бўйича Липшиц шартини қаноатлантиради дейилади. L – Липшиц ўзгармаси. Эслатма. Теоремадаги Липшиц шартини бажарилишини талаб қилиш ўрнига f(x,y) функциядан у бўйича ҳосилани узлуксизлигини талаб қилиш мумкин. Яъни   0 , ,      const K K y f x y . Энди Пикар теоремасини исбот қилишга ўтамиз. Бунинг учун авва-ло қуйидаги иккита леммани келтирамиз. Лемма 1. (эквивалентлик леммаси) Агар y=(x) функция x0 нуқтани ўз ичига олган бирор J интервалда аниқланган бўлиб (4), (5), Коши масаласининг ечими бўлса, у ҳолда y=(x) функция J интервалда          x x f t y t dt y x y 0 , 0 (8) интеграл тенгламанинг ечими бўлади ва аксинча, агар y=(x) функция (8) тенгламанинг ечими бўлса, у ҳолда y=(x) функция (4), (5), Коши масаласини ечими бўлади. Исбот. y=(x) функция (1) тенгламанинг ечими бўлганлиги учун      x  f x dx x d   ,  айният ўринли бўлади. Бу айниятни x0 дан x гача интеграллаймиз (x0,xJ)            x x t dt f t x x 0 , 0    (5) шартдан фойдалансак,          x x t dt f t y x 0 , 0   . Бу тенгликдан кўринадики, y=(x) функция (8) тенгламанинг ечими. Энди тескарисига исботлаймиз, y=(x) функция (8) нинг ечими бўлса, (x) ни (8)га қўямиз ва ундан ҳосила оламиз.              x  f x t dt f t dx d o t dt f t dx y d x x x x x     , , , 0 0 0                         Демак,      x  f x x   ,   бу тенглик y=(x) функция (4) тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатади. Лемма исбот бўлди. Лемма 2. (Гронуолл леммаси) Агар u(x) функция     h x x 0 0, интервалда манфиймас, узлуксиз бўлиб, шу интервалда ушбу     0 ,0 , 0      B A B u t dt A x u x x (9) интеграл тенгсизликни қаноатлантирса, шу u(x) функция учун қуйидаги           h x x x Ae u x x B x 0 0, 0 , тенгсизлик ўринли бўлади Хусусий ҳолда агар A=0 бўлса u(x)=0. Ушбу лемманинг исботи       v x e u x B x x  0  белгилаш киритиб, (9) га қўйиш билан исботланади. Юқоридаги икки леммадан фойдаланиб, теоремани исботлаш мумкин. Пикар теоремасининг исботи ,мавжудлиги. 1. Леммага кўра (4), (5) масала ўрнига унга эквивалент бўлган        x x f t y t dt y y 0 , 0 интеграл тенгламани ечиш масаласини кўрамиз. Ечимни кетма-кет яқинлашиш усули билан излаймиз. |x-x0|h интервалда аниқланган функциялар кетма-кетлигини тузамиз.                                               x x n n x x x x t dt f t y y x y f t y t dt y x y f t y t dt y y x y x y 0 0 0 1 0 1 0 2 0 1 0 0 , , , , Бу функцияларнинг графиги кўрилаётган |x-x0|h интервалда    b y y h x x x y Dh      | |, | :| , 0 0 тўғри тўрт бурчакдан чиқиб кетмаслигини асослаб қўямиз, яoни n=0,1,2,… учун (xn,yn)Dh бўлиб n=0 бўлсин, унда (x0,y0)Dh n=1 да               , , min | | , , , | | 0 0 0 0 1 0 0 0 0                              M a b h b Mh x x M dt M dt f t y t f t y t dt y f t y t dt y y x y x x x x x x x x Худди шундай n=2 да           b Mh x M x f t y t dt f t y t dt y x y x x x x          | | , , | | 0 0 2 0 0 , ихтиёрий n учун           b Mh x M x dt M t dt f t y t dt f t y y x y x x x x n x x n              | | , , 0 1 1 0 0 0 0 , эслатиб ўтамизки бунда биз қуйидаги формуладан фойдаландик        x x x x f x dx x dx f 0 0 . Шундай қилиб, кўрилган    yn x  функциялар кетма-кетлиги |x-x0|h оралиқда аниқланган ва узлуксиз. Бу функционал кетма-кетликни текис яқинлашувчи эканлигини исботлаймиз. Ушбу функционал қаторни қарайлик                 ... ... 1 1 2 0 1 0         y  x x y y x x y y y x y n n (10) Унинг n - хусусий йиғиндиси Sn(x)=yn(x) ва   1 0 1 lim ! 1! lim 1 1          n h l n M h l n h M l n n n n n n бўлиб, яқинлашувчи. Математик анализ фанидаги Даламбер аломатининг формуласи         узоклашувчи ,1 ,1 якинлашувчи lim 1 q q q a a n n n Хулоса қилиб шуни айтишимиз мумкинки сонли қаторни яқинлашувчилигидан Вейерштрасс теоремасига кўра (10) функционал қатор y=(x) функцияга текис яқинлашувчи ва лимит функцияси ҳам узлуксиз функция бўлади. Эндиги босқичда y=(x) лимит функция (4), (5) масаланинг ечими эканлигини исботлаймиз. Бунинг учун n да           x x n f t y t dt y x y 0 , 0 1 (11) тенгликдан          x x t dt f t y x 0 , 0   (12) тенглик келиб чиқишини исботлаш зарур. Равшанки,                    dt y t t l f t y t dt t f t f t y t dt t dt t f x x n x x n x x n x x          0 0 0 0 , , , ,    yn(x) кетма-кетлик (x) функцияга текис яқинлашганлигидан ихтиёрий >0 берилганда ҳам шундай n0 номер топиладики n>n0 бўлганда   lh y x n     тенгсизлик ўринли бўлади. Шунинг учун                      h h x h x dt l lh y t dt t l x x x x n | | 0 0 0 яoни               x x n x x f t y t dt t dt t f 0 0 , , тенгсизлик ўринли, бундан                       x x x x n n x x n n t dt f t dt y t f t t y t dt f 0 0 0 , , lim , lim  бу эса (11) тенгликдан (12) келиб чиқишини кўрсатади. Юқорида кўрсатилган исботлардан қисқа қилиб шуни айтиш мумкин, (4), (5) Коши масаласининг ечимини мавжудлигини |x-x0|h оралиқда 1- леммага кўра интеграл тенгламага келтирилади ҳамда бу интеграл тенгламанинг ечими кетма-кет яқинлашиш усули ёрдамида мавжудлигини ва бу функция лимит функция эканлигини кўрсатилади. Энди (4), (5) Коши масаласининг ечими мавжуд бўлса, ягона эканлигини кўрсатамиз. Масала ечимининг ягоналиги: Фараз қилайлик (4), (5) масаласининг иккита ечими мавжуд бўлсин. (x) ва (x) лар |x-x0|h интервалда аниқланган бўлиб, |x-x0|h интервал уларнинг умумий аниқланиш интервали бўлсин. Шу интервалда (x)(x) эканлигини кўрсатамиз. (x) ва (x) ечим бўлганлиги учун        x  f x dx d x f x dx d     , , ,   . Бундан  h x x 0, 0  интервал учун                         x x x x x x t dt t l t dt f t t dt f t x x 0 0 0 , ,       , яoни             x x t dt t l x x 0     Бу тенгсизликка Гронуолл леммасини A=0 деб олиб, қўлласак, у ҳолда (x)=(x) эканлиги келиб чиқади, яoни леммадаги u(x) функция сифатида u(x)=(x)-(x) айирмани олиб, леммадаги тенгсизликда A=0 бўлса u(x)=0 бўлади ёки (x)=(x) Биз x h x x 0, 0  учун кўрсатдик. Шунга ўхшаш x 0  0 x  h, x учун ҳам мулохаза юритиш мумкин. Шундай қилиб, Пикар теоремаси тўла исбот этилди. Мисол. Қуйидаги Коши масаласининг ечимига яқинлашувчи ечимнинг биринчи учта ҳадини топинг.   0 0 2     y y x y Бунда   0 ,0 , , 0 0 2     y x y x f x y n=0 да y=0 n=1 да     2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 1 x t tdt dt t x y x x x         n=2 да   20 2 4 2 0 5 2 0 4 0 2 2 2 x x dt t t dt t t x y x x                              Демак, 20 2 2 , ,0 5 2 2 2 1 0 x x y x y y     . Бу ечим теорема шартига кўра фақат x=0 нуқтанинг бирор атрофида мавжуд бўлади. f(x,y) функция бутун (x,y) текисликда аниқланган ва узлуксиз бўлганлиги учун ихтиёрий D={(x,y): x0-axx0+a, y0-byy0+b} соҳани, яoни a ва b ни олиш мумкин. Унда 2 2 max b a y x M     бўлади. Ечим эса       2 , | min | b a b a x интервалда мавжуд ва ягона бўлади.