1 ODDIY CHIZIQLI BIR FAKTORLI REGRESSION MODELLAR VA ULARNI QURISHDA EXCEL VA MATHCAD AMALIY DASTURLARIDAN FOYDALANISH. CHIZIQSIZ REGRETSION MODELLAR. Mathcad dasturi yordamida regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini topish Mathcad dasturi tarkibida turli xil ko‘rinishdagi regressiya tenglamalari koeffitsiyentlarini topishga mo‘ljallangan o‘nlab standart funksiyalar mavjud. Chiziqli regressiya koeffitsiyentlarini topishga mo‘ljallangan standart funksiyalar 1. Slope(x,y) funksiyasi. Ushbu funksiya 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ko‘rinishdagi chiziqli regressiya tenglamasining 𝑎0 koeffitsiyentini topadi. Unga murojaat: ao:=slope(x,y) yoki slope(x,y)= [ao] 2. intercept(x,y) - funksiyasi chiziqli regressiya tenglamasining 𝑎1 koeffitsiyentini hisoblaydi. Funksiyaga murojaat: a1:= intercept(x,y) yoki intercept(x,y) = [a1] 3. line(x,y) va medfit(x,y) funksiyalari. Bu vektor funksiyalar chiziqli regressiya tenglamasining ikkala koeffitsiyentini topadi. Ularga murojaat: 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑥, 𝑦) = [𝑎0 𝑎1] 𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦) = [𝑎0 𝑎1] 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑘 ≔ 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑥, 𝑦) 𝑘 = (𝑎0, 𝑎1)𝑇 𝑣𝑎 𝑝 ≔ 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦) 𝑝 = (𝑎0, 𝑎1)𝑇 2 Bu yerda 𝑘 va 𝑝 lar koordinatalari 𝑎0 va 𝑎1 lardan iborat vektorlar. Chiziqli regressiya tenglamasini quyidagi ko‘rinishlarning birida yozish mumkin: 𝑓(𝑡) ≔ 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑥, 𝑦)1 ∙ 𝑡 + 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑥, 𝑦)0 𝑓(𝑡) ≔ 𝑘1 ∙ 𝑡 + 𝑘0 𝑓(𝑡) ≔ 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦)1 ∙ 𝑡 + 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦)0 𝑓(𝑡) ≔ 𝑝1 ∙ 𝑡 + 𝑝0 Eslatma: 𝑙𝑖𝑛𝑒 funksiyasi 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡 funksiyaga qaraganda chiziqli regressiya koeffitsiyentlarini aniqrok topadi. 4. corr(x,y) funksiyasi. Mazkur funksiya chiziqli bog‘lanishlar uchun korrelyasiya koeffitsiyentini topadi. Funksiyaga murojaat: 𝑟𝑥𝑦 ≔ 𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑥, 𝑦) 𝑟𝑥𝑦 =< 𝑠𝑜𝑛 > Ko‘phad ko‘rinishdagi regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini topish uchun standart funksiyalar 1. regress(x,y,t) va interp(a,x,y,t) funksiyalar. Bu funksiyalar birgalikda ishlatiladi. regress(x,y,t) funsiyasining birinchi uchta elementi interp funksiyasi uchun foydalaniladigan maxsus sonlardan, qolgan elementlari esa (3) ko‘rinishdagi t darajali algebraik ko‘phad koeffitsiyentlarining son qiymatlaridan iborat massivni hosil qilishda foydalaniladi. Bu yerda t (algebraik ko‘phadning darajasi) 1, 2, ... qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Amaliyotda t<5 qiymatlar tavsiya etiladi. 2. interp(a,x,y,t) funksiyasi. Ushbu funksiya koeffitsiyentlari regress funksiyasi yordamida hosil qilingan ko‘phad (regressiya tenglamasi) qiymatini istalgan t nuqtada yoki nuqtalarda hisoblash uchun xizmat qiladi. Umumiy holda ularga murojaat quyidagicha bo‘ladi: 3 a ≔ regress(x, y, m) aT = (in1 in2 in2 a0 a1 ⋯ am) (22) f(t) ≔ interp(a, x, y, t) (23) Bu yerda in1, in2 , in2 yuqorida ta’kidlangan va foydalanuvchining bilishi shart bo‘lmagan sonlar. Oxirgi (23) tenglamadan regressiya tenglamasini grafigini qurishda foydalanish maqsadga muvofiqdir. 3. linfit(x,y,F) funksiyasi. Bu funksiya koordinatalari (4) ko‘rinishda berilgan regressiya tenglamasining a0, a1, ⋯ , am koeffitsiyentlari son qiymatlaridan tashkil topgan vektorni topish uchun xizmat qiladi. Bu yerda F koordinatalari berilgan f0(x), f1(x), ⋯ , fm(x) funksiyalardan iborat vektor. Ushbu funksiyaga murojaat quyidagicha amalga oshiriladi: F(t) ≔ (f0(x), f1(x), ⋯ , fm(x))T (24) k ≔ linfit(x, y, F) f(t) ≔ k ∙ F(t) (25) Maxsus ko‘rinishda berilgan regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini topish uchun standart funksiyalar Maxsus ko‘rinishdagi regressiya tenglamalari erkli o‘zgaruvchi x va uchta a, b, c yoki ikkita a, b o‘zgarmaslarga bog‘lik bo‘ladi, ya’ni y = f(x, a, b, c) yoki y = f(x, a, b) Masalan eksponensial, logistik, darajali, trigonometrik va logarifmik funksiyalar ko‘rinishda berilgan regressiya tenglamalari shular jumlasiga kiradi. Mathcad dasturi tarkibida bunday ko‘rinishda berilgan regressiya teng-lamalarining koeffitsiyentlarini topishga mo‘ljallangan standart funksiyalar mavjud. Ularning argumentida koordinatalari a, b, c koeffitsiyentlarning boshlang‘ich qiymatlaridan tashkil topgan vektor beriladi. Demak, yuqoridagi standart funksiyalardan farqli, yangi talab, 4 qidirilayotgan a, b, c o‘zgarmaslarning boshlang‘ich qiymatlari berilishi zarur. Boshlang‘ich qiymatni foydalanuvchining o‘zi tanlaydi. Bu turga tegishli standart funksiyalar quyidagilardan iborat: 1. expfit(x,y,g) funksiyasi. Ushbu funksiya a, b, c o‘zgarmaslar qiymatini regress-siya tenglamasi 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒𝑏𝑥 + 𝑐 (eksponensial) ko‘rinishda bo‘lganda topadi. Bu yerda g koordinatalari berilgan a0, b0, c0 kabi boshlangich qiymatlardan iborat bo‘lgan vektor. Funksiyaga murojaat: p ≔ expfit(x, y, g) p = (a b c)T 2. lgsfit(x,y,g) funksiyasi. Regressiya tenglamasi be cx a x f    1 ( ) (logistik) ko‘rinishda bo‘lganda a, b, c larni topadi. Funksiyaga murojaat: p ≔ lgsfit(x, y, g) p = (a b c)T 3. pwfit(x,y,g) funksiyasi. Regressiya tenglamasini 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑐 (darajali) funksiya ko‘rinishda qidirilganda a, b, c koeffitsiyentlarni topadi. Funksiyaga murojaat: p ≔ pwfit(x, y, g) p = (a b c)T 4. sinfit(x,y,g) fuksiya. Ushbu funksiya regressiya tenglamasi 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ sin(𝑥 + 𝑏) + 𝑐 ko‘rinishda bo‘lganda a, b, c larni son qiymatlarini beradi. Funksiyaga murojat: p ≔ sinfit(x, y, g) p = (a b c)T 5. logfit(x,y,g) va lnfit(x,y,g) funksiyalari. Bu standart funksiyalardan regressiya tenglamasi mos ravishda 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ ln(𝑥 + 𝑏) + 𝑐 va 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ ln(𝑥) + 𝑏 funksiyalar ko‘rinishda berilganda a, b, c o‘zgarmaslar qiymatini aniqlashda foydalaniladi. Ularga murojaat yukoridagi standart funksiyalarga murojaat kabi bo‘ladi: 5 p ≔ logfit(x, y, g) p = (a b c)T p ≔ lnfit(x, y, g) p = (a b)T Yuqorida keltirilgan barcha standart funksiyalarda berilgan x va u argumentlarning koordinatalari mos ravishda tajriba nuqtalarining abssissa va ordinatalaridan tashkil topgan vektorlardir, ya’ni: x = (x1, x2, ⋯ , xn)T va y = (y1, y2, ⋯ , yn)T. Barcha standart funksiyalarni quyidagi jadvalga jamlash mumkin; t/r Standart funksiyalarning yozilishi Standart funksiyalar yordamida koeffitsiyentlari topiladigan regressiya tenglamasining ko‘rinishi 1. 𝑙𝑖𝑛𝑒(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 2. 𝑚𝑒𝑑𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 3. 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠(𝑥, 𝑦, 𝑚) 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑚 ∙ 𝑥𝑚 4. 𝑙𝑖𝑛𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎0 ∙ 𝑓0(𝑥) + 𝑎1 ∙ 𝑓1(𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑚 ∙ 𝑓𝑚(𝑥) 5. 𝑒𝑥𝑝𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑒𝑏𝑥 + 𝑐 6. 𝑙𝑔𝑠𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 1 + 𝑏 ∙ 𝑒−𝑐𝑥 7. 𝑝𝑤𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑐 8. 𝑠𝑖𝑛𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ sin(𝑥 + 𝑏) + 𝑐 9. 𝑙𝑜𝑔𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ ln(𝑥 + 𝑏) + 𝑐 10. 𝑙𝑛𝑓𝑖𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ ln(𝑥) + 𝑏 Misol. Uch xil usulda ishlab chiqarilgan halqa tukli matolarni (HTM) (to‘quv, trikotaj va noto‘qima matolarni) eng ahamiyatli xossasi suv shimuvchanlik qonuniyati tajribaviy o‘rganilgan. Tajribalar natijasida olingan ma’lumotlar quyida berilgan (7.1 - rasm). 6 𝑡 (vaqt), minut 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 45 60 To‘quv HTMni suv shimuvchanligi, sm/min 5 20 30 35 40 45 51 54 60 65 70 80 Trikotaj HTMni suv shimuvchanligi, sm/min 5 80 90 95 100 120 135 145 155 160 180 190 Noto‘qima HTMni suv shimuvchanligi, sm/min 5 20 22 25 28 30 35 37 39 40 43 50 7.1- rasm. O‘tkazilgan tajribalar natijalari Tajribada olingan ma’lumotlarni qayta ishlab, qaralayotgan jarayonning sodda matematik modeli sifatida matolarni suv shimuvchanlik qonuniyatini aks ettiruvchi regressiya tenglamalarini tuzing. Qo‘yilgan masalani MS Excel vositasida yechish algoritmi Regressiya tenglamasi qanday ko‘rinishda bo‘lishini bilish maqsadida, dekart koordinatalar sistemasida tajriba nuqtalarini belgilab olamiz. Buning uchun t vaqtga mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi turdagi matolar uchun olingan tajriba nuqtalarini MS EXCEL ish oynasining A, V, S va D ustunlariga ma’lumotlarni joylashtiramiz (7.2- rasm). 7 7.2- rasm. Tajriba natijalarini EXCEL ish maydoniga joylashtirish Ushbu ma’lumotlardan foydalanib, MS EXCEL dasturi vositasida grafik hosil qilamiz. Buning uchun A, V, S va D ustunga kiritilgan ma’lumotlarni ajratamiz va MS EXCELning «Вставка» menyusining «Диограмма» bandining «Точечная» tugmasini bosib unda «Точечная с маркерами» turini tanlaymiz (7.3 - rasm). 7.3 - rasm. Tajriba natijalari uchun grafik qurish To’quv matoning suv shimuvchanligi, sm/min Trikotaj matoning suv shimuvchanligi, sm/min Noto’qima matoning suv shimuvchanligi, sm/min t (vaqt), minut t (vaqt), minut 8 Olingan nuqtali grafiklarni tahrirlab, Excel ish sahifasida quyidagi tasvirni hosil kilamiz (7.4 - rasm.): 7.4 - rasm. Tajriba natijalarining grafigi Hosil qilingan grafiklardan ko‘rinib turibdiki, tajribalar asosida o‘rganilayotgan jarayon logarifmik qonuniyatga bo‘ysunar ekan. Bu esa regressiya tenglamasini 𝑦 = 𝑓(𝑡, 𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 𝑏 (26) ko‘rinishda qidirish lozimligini bildiradi. Buning uchun hosil qilingan grafiklardan birini faollashtiramiz (masalan, To‘quv matoning suv shimuvchanligi grafigini tanlaymiz), natijada MS EXCEL dasturi bosh menyusidagi «Макет» bo‘limidan «Анализ» tugmasini bosamiz, hosil bo‘lgan darchadan «Линия тренда» tugmasini bosamiz, hosil bo‘lgan ro‘yxatdan «Дополнительные параметры линии тренда...» tugmasini bosamiz (7.5- rasm). sm/min . To’quv matoning suv shimuvchanligi, sm/min Trikotaj matoning suv shimuvchanligi, sm/min Noto’qima matoning suv shimuvchanligi, sm/min t, min. 9 7.5 - rasm. «Liniya trenda» mulokot oynasini ishga tushirish Natijada «Формат линии тренда» muloqot oynasi hosil bo‘ladi (7.6 - rasm). Bu oynaning «Параметры линии тренда» bandidan «Lогарифмическая»ni, «показывать уравнение на диаграмме» va «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» bandilarini belgilangandan so‘ng «Закрыть» tugmasini bosamiz (7.6- rasm). 7.6 - rasm. «Формат линии тренда» mulokot oynasining «Параметры» bandi Natijada tanlangan nuqtali grafik ustida regressiya tenglamasi chizig‘i, regressiya tenglamasi va uning aniqlik darajasi R2 ni qiymati hosil bo‘ladi (7.7- rasm). 10 7.7- rasm. To‘quv HTM uchun olingan regressiya tenglamasi va uning grafigi Demak, qidirilayotgan koeffitsiyentlar 𝑎 = 16,37, 𝑏 = 8,978 ga teng bo‘lib, regressiya tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lar ekan: 𝑦1 = 16,37 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 8,978 (27) 𝑅1 2 = 0,98 qiymatdan olingan regressiya tenglamasini tajriba natijalariga mosligi (adekvatligi)ni ko‘rish mumkin. Trikotaj usulda Lambda dasggoxida va Noto‘qima usulda Lirapol mashinasida ishlab chiqarilgan HTM lar uchun ham regressiya tenglamasi hamda 𝑅2 ning qiymati yuqorida keltirilgan algoritmlar yordamida topildi va ular mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga va qiymatlarga ega bo‘lar ekan (7.8- rasm): 𝑦2 = 38,13 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 34,45 𝑅2 2 = 0,946 (28) 𝑦3 = 9,094 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 10,46 𝑅3 2 = 0,957 (29) To’quv matoning suv shimuvchanligi, sm/min Trikotaj matoning suv shimuvchanligi, sm/min Noto’qima matoning suv shimuvchanligi, sm/min Логорифмическая (To’quv matoning suv shimuvchanligi, sm/min) t, min. sm/ min. 11 7.8- rasm. To‘quv, Trikotaj va Noto‘qima matolar uchun olingan regressiya tenglamalari va ularning grafiklari Qo’yilgan masalani MathCAD vositasida yechish algoritmi Regressiya tenglamasi qanday ko‘rinishda bo‘lishini bilish maqsadida, dekart koordinatalar sistemasida tajriba nuqtalarini belgilab olamiz. Buning uchun 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 va 𝑡 lar orqali elementlari mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi turdagi matolar uchun olingan tajriba nuqtalarining ordinatalari va abssissalaridan iborat bo‘lgan vektor funksiyalarni kiritamiz: 12 Ushbu ma’lumotlardan foydalanib, MathCAD dasturi vositasida tajriba nuqtalarining grafiklarini hosil qilamiz (7.9- rasm). 7.9- rasm. Tajriba nuqtalarini MathCAD dasturi vositasida tasvirlash Bu yerda - , , lar mos ravishda to‘quv trikotaj, va noto‘qima matolar uchun tajriba nuqtalarining belgisi. Hosil qilingan grafiklardan ko‘rinib turibdiki, tajribalar asosida o‘rganilayotgan jarayon logarifmik qonuniyatga bo‘ysunar ekan. Bu esa regressiya tenglamasini 𝑦 = 𝑓(𝑡, 𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 𝑏 (30) ko‘rinishda qidirish lozimligini bildiradi. Yuqorida (30) tenglik ko‘rinishda aniqlangan regressiya tenglamasi- dagi 𝑎, 𝑏 koeffitsiyentlarni topish uchun MathCAD dasturi tarkibidagi Minimize yoki Infit funksiyasidan foydalanish mumkin. Birinchi turdagi HTM uchun regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini MathCAD dasturi yordamida topish algoritmi quyidagi ketma-ketliklardan tashkil topadi: 13 Demak, qidirilayotgan koeffitsiyentlar 𝑎 = 16,374, 𝑏 = 8,978 ga teng bo‘lib, regressiya tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lar ekan: 𝑧1(𝑡) = 16,374 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 8,978 (31) Olingan regressiya tenglamasini tajriba natijalariga mosligi (adekvatligi) (31) formula yordamida berilgan korrelyasiya indeksi qiymatini hisoblash yo‘li bilan aniqlanadi:             n i y i n i i i M y Y y 1 2 1 2 1  (32) Bu yerda 𝑦𝑖 - tajriba natijasida olingan 𝑖 - qiymat; 𝑌𝑖 - regressiya tenglamasining 𝑡𝑖 dagi qiymati;     n i i y y n M 1 1 (o‘rta qiymat). Korrelyasiya indeksi [0, 1] kesmada qiymat qabul qiladi va bu qiymat birga qancha yaqin bo‘lsa, regressiya tenglamasi shunchalik aniq topilgan hisoblanadi. Biz qarayotgan hol uchun korrelyasiya indeksi MathCAD dasturi yordamida topiladi. Uni qiymati va topish algoritmi (33) tengliklarda berilgan. 14 Trikotaj va noto‘qima usulda ishlab chikarilgan HTM lar uchun ham regressiya tenglamasi hamda korrelyasiya indekslari yukorida keltirilgan algoritmlar yordamida topildi va ular mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga va qiymatlarga ega bo‘ldi: 𝑧2(𝑡) = 38,132 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 34,452 𝛾 = 0.9729 (34) 𝑧3(𝑡) = 9,094 ∙ 𝑙 𝑛(𝑡) + 10,466 𝛾 = 0.9784 (35) Qaralgan uchta hol uchun MathCAD dasturi yordamida bitta koordinata sistemasida tajriba nuqtapari va olingan regressiya tenglamalari grafiklari 7.10- rasmda keltirilgan. 7.10 - rasm. Tajriba nuqtalari va regressiya tenglamalarining grafiklari 15 Regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini lnfit(t,y) funksiyasi yordamida aniqlash algoritmi: Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki, Minimize va lnfit funksiyalari bir xil natija berar ekan. Yukoridagi (31), (34) va (35) formulalarda berilgan regressiya tenglamalari yordamida vaqtning istalgan kichik oralig‘ida matolarni suv shimuvchanlik qobiliyatini aniqdash imkoniyatiga ega bo‘lamiz.