Oddiy differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalani taqribiy yechish usullari Чекли айирмалар усулининг ишчи алгоритми ва дастурий таъминоти Демак, бизга қуйидаги (f x ) q( x ) (y x ) x ) ('y p( x ) x ) (''y    (1) иккинчи тартибли, ўзгарувчан коэффициентли оддий дифференциал тенгламанинг x  [ a b, ] оралиқнинг четки нуқталарида қўйилган        2 1 0 2 1 0 g ('y b ) g (y b ) g m a ) ('y m m (y a ) (2) чегаравий шартларни қаноатлантирувчи сонли-тақрибий ечимини топиш лозим бўлсин. Бу ерда p(x), q(x), f(x) лар [a, b] оралиқда узлуксиз функциялар синфига киради. m0,m1,m2,g0,g1,g2- ўзгармаслар, яъни чегаравий шарт белгилари. Юқоридаги масалани сонли-тақрибий усул ҳисобланмиш чекли айирмалар усули билан ечиш учун ечим қидириладиган [a,b] оралиқда қуйидаги тўрни киритамиз, яъни оралиқни координаталари xiah формула билан аниқланувчи тугун нуқталар билан бўлакларга бўламиз, бу ерда n a b h   , n-тугун нуқталар сони. xi нуқталар учун Юқоридаги (1) тенглама ўринли бўлгани учун, уни шу нуқталарда ёзиб оламиз: f ( x ) q( x ) (y x ) x ) ('y p( x ) x ) (''y i i i i i i    қулайлик учун, бу тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз: i i i i i i f q y p 'y ''y    (3) Мавжуд (2) дифференциал тенгламадаги yi`, yi`` ҳосилалар ўрнига ҳосил қилинган чекли аймрмали формулаларни қўямиз ва (3) дифференциал тенглама ўрнига ҳосилалар қатнашмаган ва yi номаълумлардан иборат тенгламаларни ҳосил қиламиз. Амалда қуйидаги чекли-айирмали формулалардан кенг фойдаланилади: 1.Ўнг чекли-айирмали формула: h y y y i i i x   1 , , хатолик даражаси 0(h) 2. Чап чекли айирмали-формула: h y y y i i i x 1 ,    , хатолик даражаси 0(h) 3. Марказий чекли-айирмали формула: h y y y i i x i 2 1 1 ,     , хатолик даражаси 0(h) Ҳосил қилинган чекли-айирмали формулаларни (3) дифференциал тенгламага қўямиз: i i i i i i i i i f q y h y p y h y y y           2 2 1 1 2 1 1 . Ҳосил бўлган тенгламани ҳар иккала томонини h2 га кўпайтирамиз ва мос ҳадларни группалаймиз: 2 1 2 1 2 ) 1( ) (2 2 ) 1( f h p h y h q y p h y i i i i i i i         бўлади. қуйидагича белгилашлар киритиш натижасида: i i i i h q B h p A 2 2 2 1     i i i i h f D h p C 2 2 1    (4) қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз: i i i i i i i D C y B y A y      1 1 (5) Ҳосил бўлган система y0,y1,..,yn лардан иборат (n1)та номаълумли, (n- 1) та тенгламадан иборат уч диагоналли чизиқли тенгламалар системасидан иборат. Маълумки, тенгламалар системасининг ягона ечимини аниқлаш учун тенгламалар ва номаълумлар сони тенг бўлиши керак. Шунинг учун иккита тенгламани чегаравий шарт ҳисобига тўлдириб оламиз. Ҳосил қилинган тенгламаларни (5) тенгламалар системасига “улаймиз” ва натижада (n1)та номаълумли, (n1)та тенгламадан иборат y0,y1,..,yn номаълумларга нисбатан ёзилган қуйидаги чизиқли алгебраик тенгламалар системасига эга бўламиз:             n n n n n i i i i i i C B y y A C y B y y A C B y y A 1 1 1 0 1 0 0 0 ( 1 ,1 n i   ) (6) Шунинг учун, бундай махсус системаларни ечишнинг махсус усуллари ишлаб чиқилган. Бу усулларнинг энг соддаси, дастурлашга қулайи, хатолар йиғилмасини ҳосил қилмайдигани “ҳайдаш” усули ҳисобланади. қуйида “Ҳайдаш” усулининг қисқача моҳияти билан танишиб чиқамиз. Махсус, диагоналли системаларни ечишга мўлжалланган “Ҳайдаш” усули икки босқичдан иборат:  номаълум коэффицентларни аниқлаш (тўғри) босқичи  системанинг ечимларини аниқлаш (тескари) босқичи 1-босқичда (6) системанинг номаълум ечимини қуйидаги кўринишда қидирамиз: i 1 i 1 i 1 i y y        (7) бу ерда: i1 ; i1 лар номаълум ҳайдаш коэффициентлари. n n A B A B    1 0 0 1 ,   , 2-босқичда i  ; 1i номаълум коэффицентларнинг барча қийматлари топилгач (7) реккурент формула ёрдамида қидирилаётган ечим yi ларни топиш мумкин, бу ерда ҳам реккурент формуланинг ишлаши учун дастлабки қиймат сифатида yn ни аниқлаш лозим. n n n n n n n B A B C y      қидирилаётган yn ҳисоблангач, i 1 i 1 i 1 i y y         реккурент формуласи ёрдамида (yi) барча қолган ечимлар топилади. Бу жараён i га нисбатан тескари тартибда бўлгани учун, уни ҳайдашнинг тескари босқичи деб атаймиз. Демак, олдимизга қўйилган масалани, яъни берилган масалани ўзгарувчан коэффицентли, иккинчи тартибли, оддий дифференциал тенгламани чекли айирмали формулалар ёрдамида сонли-тақрибий усулда ечиш учун ишчи алгоритм ҳосил қилдик. 2-Misol. Қуйидаги аниқ чегаравий масалани кўрайлик: yII-2yIx3y12x2-8x3x7 дифференциал тенгламани y(0)0, y(1)1 чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечимини топиш керак. Бу ерда ишчи алгоритм учун керак бўладиган бошланғич маълумотлар сифатида: p(x)-2, q(x)x3, f(x)12x2- 8x3x7; m01; m10; m20; g01; g10; g21 қийматларни киритамиз. Усулга мос алгоритм блок-схемаси қуйидагича кўринишда бўлади: Бошл. h (b- a)/ n 0 0 1 0 0 1 ; A C A       1 ,1   n i ih a xi   i i i i i i i i f h p D h C q h p B h A            2 2 ; ( / 2) 1 ; 2 ; ( / 2) 1 ( ) , , ( ), ( ), , , , , , , , 2 1 0 2 1 0 f x a b p x q x n g g g m m m 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 ; ; ; ; ; hg g C B hm g C hg A m m B hm A n n n          i i i i i i i i i i i i C B D C C B A             1 1 ; 1 Алгоритмнинг дастур матни : program chekli_a; uses crt; const n=10; var m0,m1,m2,g0,g1,g2,a,b,h,x:real; A0,B0,C0,An,Bn,Cn,Ai,Bi,Ci,Di:real; i:integer; al,be:array[1..n] of real; y:array[0..n] of real; function p(x:real):real; begin p:=-2;end; function q(x:real):real; begin q:=x*x*x;end; function f(x:real):real; begin f:=12*x*x-8*x*sqr(x)+exp(7*ln(x));end; begin write('m0,m1,m2,g0,g1,g2='); n n n n i n n B A B C y        i  n  0,1 1 1 1       i i i i y y   n i  ,0 yi тамом 1 “Хайдаш”нинг тескари йули Натижаларни чикариш. readln(m0,m1,m2,g0,g1,g2); write('a,b='); readln(a,b); h:=(b-a)/n; A0:=h*m0-m1; B0:=m1; C0:=h*m2; An:=h*g0+g1; Bn:=-g1; Cn:=h*g2; al[1]:=-B0/A0; be[1]:=C0/A0; for i:=1 to n-1 do begin x:=a+i*h; Ai:=1+(h/2)*P(x);Bi:=2-h*h*q(x); Ci:=1-(h/2)*P(x);Di:=h*h*f(x); al[i+1]:=Ai/(Bi-Ci*al[i]); be[i+1]:=(Ci*be[i]-Di)/(Bi-Ci*al[i]); end; y[n]:=(Cn-Bn*be[n])/(An+Bn*al[n]); for i:=n-1 downto 1 do y[i]:=y[i+1]*al[i+1]+be[i+1]; for i:=0 to n do writeln(y[i]:2:8,' ',sqr(h*i)*sqr(h*i):2:8,' ', abs(y[i]- sqr(i*h)*sqr(i*h)):2:8); end. Чекли-айирмалар усулига доир натижалар: Юқоридаги тенглама учун дастур таъминотини ишлатиб кўриб, олинган натижаларни куйидаги жадвалда келтирамиз: x Тақрибий Аниқ Хатолик 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.00000000 0.00006966 0.00108964 0.00712884 0.02411037 0.06051107 0.12722581 0.23757174 0.40729307 0.65456559 1.00000000 0.00000000 0.00010000 0.00160000 0.00810000 0.02560000 0.06250000 0.12960000 0.24010000 0.40960000 0.65610000 1.00000000 0.00000000 0.00016966 0.00051036 0.00097116 0.00148963 0.00198893 0.00237419 0.00252826 0.00230693 0.00153441 0.00000000 Натижалардан ва хатолик миқдорини кам эканлигидан ишлаб чиқилган алгоритмдан амалда масалалар ечишда фойдаланиш мумкин деган хулоса келиб чиқади. Галёркин усулининг ишчи алгоритми ва дастурий таъминоти Бизга қуйидаги чегаравий масала берилган бўлсин, яъни:   f ( x) (y x ) q( x ) p( x ) y ( x ) y x        (1) дифференциал тенглама ва        2 1 0 2 1 0 g ('y b ) g (y b ) g m a ) ('y m m (y a ) (2) чегаравий шартни қаноатлантирувчи ечимни топиш керак. Галёркин усулида чегаравий масаланинг ечимини қуйидаги кўринишда қидириш таклиф этилади.     n 1 i i i 0 c u ( x ) u ( x ) (y x ) (3) 1.Галеркин усули:     n j j j n x c x x u 1 0 ( ) ( ) ( )   0 1 ( , ) ( , ), n j j i i j c L f L         ( , ) ( ) ( ) , , 1,... a b f g f x g x dx i j n    2.Ритц усули: ( ) ( , ) 2( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) min b b a a F u Lu u u f u x Lu x dx u x f x dx Lu f          , 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) n n n j j j j i i j j u x x c x c L f L                . 3. Базис фунцияларни танлаш: 1) 1-тур чегара шартлар: u (a)=A, u(b)=B , 1 0( ) ( )( )/( ) x A B A x a b a       , а) ( ) ( ) ( ), 1 i i x x a b x i      ; б) ( ) ( ) sin( ), 1. i i x a x i b a       2) 2-тур чегара шартлар: u (a)=A, u (b)=B   , 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( )( ) /(2( )) x x dx Ax B A x a b a C           , а) 1 2 ( ) ( ) ( ) , 1 i i x x a b x i       ; б) ( ) ( ) ( ), 1 i i x a x Cos i b a       3) 3-тур чегара шартлар: 0 1 0 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) u a u a A u b u b B           , 0 0 1 0 0 1 ( ) ( ) , ( ( ) ) , x x a A b a B                       1 2 ) ( ) ( ) ( ) , 1; i i a x x a b x i       1 ) ( ) ( ) [ ( )], 1. i i i b x x a x a i         2 0 1 0 1 ( ) ( 2)( ) , 1. ( ) ( 1) i b a i b a i b a i                4.Назарий саволлар ва топшириклар 1. Галёркин усули Тарихан аввал Ритц усули, сўнг Галёркин усули пайдо бўлган. Кейин улар вариацион-проекцион усуллар группаси ёки Галёркин усуллар группаси деб атала бошланди. Галёркин усулида ҳам Ритц усулида ҳам тақрибий аналитик ечим қуйидаги кўринишда изланади: ,) ( ( ) ) ( 1 0     n j j j n x c x x u   (1) бу ерда  ( ) j x базис функциялар, уларга қуйидаги чегара шартлар қўйилади: 0 0 0 1 0 1 0 ( ) , ( ) , ( ) ( ) 0, 1,2,..., . i i i l x l x l x l x i n            . Четланиш ва тақрибий ечим хатолигини киритамиз: 1 2 0 1 ( ) ( , , ,.., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); n n n n n j j j x x c c c Lu x f x L x c L x f x             (2) 1 2 ( ) ( , , ,.., ) ( ) ( ) n n n n r x r x c c c u x u x    (3) Галеркин усулида четланиш ( ) n x базис функцияларга ортогонал қилиб олинади: ( ) ( ) 0, 1,2,..., . b n i a x x dx i n      (4) ёки батафсилроқ j 0 1 c (L , ) ( , ), 1,... . n j i i j f L i n          (5) бу ерда яна (f,g)-скаляр кўпайтма ( , ) ( ) ( ) , , 1,.. b j i j i a L L x x dx i j n        . Базис функцияларнинг тўлиқлиги четланишни тобора нолга интилишига сабаб бўлади: lim ( ) 0 n n x    (6) яъни un ( ), x n   да тобора Lu=f тенгламани қанотлантириб боради. Мисол. Яна ўша мисолни қарайлик '' , 0 , (0) 0, ( ) 0 Lu u u x x l u u l         . n=2 дейлик. У ҳолда 1 2 c , c коэффицентлар 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), c L c L f c L c L f               системадан топилади. Равшанки, 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 2 2 1 0 0 ( , ) ( 2 (1 )) (1 ) , ( , ) (2 6 (1 )) (1 ) ( , ) ( 2 (1 )) (1 ) , ( , ) (2 6 2(1 )) (1 ) L x x x x dx L x x x x x dx L x x x x dx L x xL x x x dx                                  x dx x f x dx x f ) 1( ) ( , , ) 1( ) , ( 1 0 3 2 1 0 2 1          Интегралларни ҳисоблаб қуйидаги системага келамиз: 1 2 1 2 3 /10 3 1/12, 3 / 20 13 /105 1/ 20. c c c c     Бу системанинг ечими 1 2 71/369, 7/ 41 c c   Демак, тақрибий ечим қуйидагича бўлар экан 2( ) (1 )(71/369 7 / 41). u x x x x    2.Ритц усули. Ушбу интегрални қараймиз:       b a b a u x f x dx u x Lu x dx u f Lu u F u ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ) 2( , , ) ( ( ) Афсуски, Ритц усулида операторга янги шарт қўйиш керак. Масалан, оператор симметрик ва мусбат аниқланган бўлиши керак: (Lu,v)=(u,Lv),(Lu,u)  с(u,u),c>0, u,v.  Ана шундай ҳолдагина Ритц усули тенгламалари системаси Галеркин усули системаси билан устма-уст тушади. Лекин Ритц усули назарий жиҳатдан қулай яқинлашиш имкониятларига эга. Ритц усули асосида қуйидаги теорема ётади: Теорема 1.Агар u(x) функция Lu=f(x) тенглама ечими бўлса,у F(u) функционалга энг кичик қиймат беради (ва аксинча,минимал функция тенглама ечими бўлади). Исбот. w=v+u янги функцияни қарайлик. Равшанки, ( ) ( , ) 2( , ) ( ) 2( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) F w Lw w w f F u Lu f v Lv v F u Lv v F u          Демак, F(u) миқдор F(w) лар ичида энг кичик экан. Бу теорема квадратик функционалнинг минимуми ҳақидаги теорема дейилади. Тескариси қуйидагича исботланади: 2 2 ( ) ( ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) 2 ( , ) ( , ), F u h F u Lu h Lh h f h F u Lu f h Lh h                ( ) 0 ( , ) 0, F u h Lu f h h Lu f             . Теорема натижаси сифатида Lu=f(x) тенглама ечимини (1) кўринишда излаб номаълум коэффициентларни F(un) функционалга энг кичик қиймат бериш шартидан топилади. Равшанки, 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )) 2( , ) 2 ( , ), ( ) / 2 ( , ) 2( , ) n n n n n n n j j j j j j j j j n n j j j j j j n n n j i j i j j j i j n n i j j i i j F u Lu u u f L c L c c f L c L c L c c L f c f dF u dc c L L f                                                        0, 1,2........ . i n   ёки n i L f L c i i j n j j 1,..., ), , ( ) , ( 0 1          Шундай қилиб Ритц тенгламалар системаси( , ) ( , ), ( , ) ( , ) Lu u c u u Lu v u Lv   шартларда Галеркин тенгламалар системаси билан устма уст тушар экан. Галеркин усулида (Lu,v)=(u,Lv), (Lu,u)c(u,u), шартлар талаб қилинмайди. 3. Базис фунцияларни танлаш 1-тур чегара шартлар: ( ) , ( ) u a A u b B   . 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) , ( ) ) B A x A x a a A b B b a           ) ( ) ( ) ( ), 1, ( ) ( ) 0. i i i i a x x a b x i a b          ( ) ) ( ) sin( ), 1 ( ) ( ) 0. i i i i x a b x i a b b a           2-тур чегара шартлар: ( ) , ( ) u a A u b B     0( ) ( ) B A x A x a b a       , 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 2( ) B A x x dx Ax x a C b a           , 0 0 ( ( ) , ( ) a A b B       ). 1 2 ) ( ) ( ) ( ) , 1 i i a x x a b x i       2 1 ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( 1) 2 ( ), ( ) ( ) 0. i i i i i x i x a b x x a b x a b                    ( ) ( ) ) ( ) ( ), 1, ( ( ) ( , ( ) ( ) 0. i i i i i x a i i x a b x Cos i x Sin a b b a b a b a                      3-тур чегара шартлар: 0 1 0 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) u a u a A u b u b B           0 0 1 0 0 1 ( ) ( ) , ( ( ) ) , x x a A b a B                       0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0, | |, | |, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A D D B D B b a b a D D x x a x a D D                                1 2 ) ( ) ( ) ( ) , 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) 0) i i i i i i a x x a b x i a a b b                 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )], 1. i i i i i i b x x a x a x a x a i                1 0 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0. ( ) ( 1) ( ) ( 2)( ) i i i i i i i i a a a a x i x a i x a                         1 2 1 0 1 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [( 1) ( ) ( 2)( ) ] 0 i i i i i i i i b b b a b a i b a i b a                         2 0 1 [ ( ) ( ) ] [ ( 1) ( 2)( )] 0 i i b a b a i i b a               2 0 1 0 1 ( ) ( 2)( ) , 1. ( ) ( 1) i b a i b a i b a i                Мисол: ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3 0 (2) (2) 3 ,0 (2) ), 2( 1)(2 )1 ( ) )1 (2 1)( ( ) ( ,0 (2) ,1 ) , (2 )1 ( ( ) ) 2 8 , 5 8 13 ( ) 8 , 13 8, 5 2, 5 5.2 4 3 3 3 ,5.0 7 3 ,5.0 2 ) (3 ,1 ( ) )1 : 1 ) ( ) ( 5.0 (2) ,1 3 (2) )1( ] 2,1[ , 3 6 2 2 1 1 0 2 1 2 2 1 0 0 2 3 5 6 4 x c x c x x u x x x x i x i x x x x x x x Ечиш x y x y y y y x x x y x y y x i i i i i i i i i                                                                                      Галёркин ва ЭКК усулларининг дастури Галёркин усулининг MathCAD даги дастури ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u t p t u t q t u t f t      2 3 ( ): sin( ) ( ): cos( ) ( ): 6 3 sin( ) cos( ) p t t q t t f t t t t t t      Оралиқ, параметрлар 0 0 n :=3.14 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t :=0 t :=1   Қадам, базис функция n 0 h:=(t -t )/n (j,t):=sin(j* *t) i:=1..n Origin:=0   ЧАТС элементлари ( , ) : ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t j t p t t q t t          0 0 0 ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t t p t t q t t           1 , 0 : ( , ) ( , ) ai j i t j t dt     1 0 : ( ) ( , ) ib t i t dt    A матрица, b ўнг томон 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 : a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a                  1 2 3 4 5 : b b b b b b                  Коэф. -р 1 c : A b     : 0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987 T c     Ечим 5 0 1 ( ): ( ) ( , ) j j u t t c j t      Қийматлар (0.2) 0.013 (0.4) 0.062 (0.6) 0.073 (0.8) 0.042 u u u u     Энг кичик квадратлар усули ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u t p t u t q t u t f t      2 3 ( ): sin( ) ( ): cos( ) ( ): 6 3 sin( ) cos( ) p t t q t t f t t t t t t      Оралиқ, параметрлар 0 0 n :=3.14 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t :=0 t :=1   Қадам, базис функция n 0 h:=(t -t )/n (j,t):=sin(j* *t) i:=1..n Origin:=0   ЧАТС элементлари ( , ) : ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t j t p t t q t t          0 0 0 ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t t p t t q t t           1 , 0 : ( , ) ( , ) ai j i t j t dt     1 0 : ( ) ( , ) ib t i t dt    A матрица, b ўнг томон 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 : a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a                  1 2 3 4 5 : b b b b b b                  Коэф. -р 1 c : A b     : 0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987 T c     Ечим 5 0 1 ( ): ( ) ( , ) j j u t t c j t      Қийматлар (0.2) 0.013 (0.4) 0.063 (0.6) 0.074 (0.8) 0.043 u u u u     Усулларнинг қийматларини нуқталарда солиштирамиз: Усуллар/Нуқтала р 0. 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Коллокация - 10Е -3 0.01 3 0.03 5 0.05 6 0.05 6 0.06 7 0.05 4 0.03 4 0.01 5 Галёркин - 10Е -3 0.01 3 0.03 8 0.06 2 0.07 4 0.07 3 0.06 1 0.04 2 0.02 1 ЭКК усули - 10Е -3 0.01 3 0.03 9 0.06 3 0.07 5 0.07 4 0.06 2 0.04 3 0.02 2 Энди эътиборимизни яна ечимни қидиришга қаратсак, формуладаги с1,с2,...,сn-лар қийматлари номаълум былган ўзгармаслар ҳисобланади. u0(x), u1(x),...,un(x) лар эса щисоб ишларини бажарувчи томонидан танлаб олинадиган [a, b] кесмада икки марта узлуксиз дифференциалланувчи, чизиқли боғлиқ бўлмаган функциялар ҳисобланади, яъни улар базис системасини ташкил қилиб, ўзаро ортогоналлик шартини қаноатланириши керак. Базис функциялар танлангач, тафовут функциясини минималлаштириш шартидан фойдаланиб, керакли алмаштиришлар бажарамиз ва натижада с1, с2 ызгарувчилардан иборат тенгламалар системаси щосил былади.        2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b m c c m b m c m c Системанинг коэффицентларини эса (mij) интегралларни ҳисоблаш ёрдамида топилади. c1,c2 номаълумларни ЧАТСни ечишнинг бирор усули ёрдамида (одатда Гаусс усулидан фойдаланилади) топамиз. c1,c2 ларни топгач, yn(x) тақрибий аналитик ечимни u ( x ) c u ( x ) c u ( x ) x ) (y 2 2 1 1 0      кыринишида ёза оламиз. Юқорида кўриб, ўрганиб чиқилган назарий амалларни қуйидаги чегаравий масала устида бажаришни ташкил қилайлик, Чегаравий масаланинг дифференциал тенгламаси қуйидагича кўринишда берилган бўлсин: 7 3 2 3 x 8x 12x y x 2 'y ''y       Дифференциал тенгламанинг ечимига қўйилган чегаравий шартларга эса y00, y11. Дастлаб берилган масаланинг чегаравий шартларни қаноатлантирадиган базис функцияларни танлаб олишимиз лозим: 1) u0(x)ни берилган чегаравий шарт, яъни u0(0)0 ва u0(1)1 шартни қаноатлантирадиган қилиб, қуйидагича танлаб оламиз: u0(x)x. 2) u1(x) ва u2(x) ларни эса берилган чегаравий шартга мос бир жинсли шартларни, яъни u1(0)0, u1(1)0 ва u2(0)0 ва u2(1)0 шартни қаноатлантирадиган ва ўзаро чизиқли боғлиқсиз қилиб, қуйидагича танлаб оламиз: x . x 1) x ( x ( x ) u x; x 1) (x x ( x ) u 2 3 2 2 2 1         Ишчи формулаларда фойдаланиладиган қуйидаги операторни   ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ' '' q x y x f x y x y x L y    базис функциялардаги кўринишларини щисоблашни ташкил қилайлик. .2 10 6 4 6 2 6 ) ( 2 ) 2(3 2 6 ] [ 2 5 6 5 6 2 2 3 3 2 2                  x x x x x x x x x x x x x x x L u 2 x x 2 0 x x 2 'x ''x L[u ] 2 4 3 0         Энди қуйидаги тенгламалар системасининг коэффициентлари ва озод ҳадларини щисоблашни ташкил этайлик.        2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 b m c c m b m c m c (4) Бу ерда           1 0 1 0 2 4 5 1 1 11 x )dx; 4 ) ( x 4x x ( x L[u ] u ( x )dx m            1 0 1 0 2 2 5 6 1 2 12 x )dx 2 ) ( x 10x 6x x ( x L[u ] u ( x )dx m ;             1 0 1 0 2 3 4 5 2 1 21 x ) dx 4 ) ( x 4x x ( x L[u ] u ( x ) dx m ;          1 0 2 3 2 5 6 22 x ) dx 2 ) ( x 10x 6x x ( x m ; x )dx; 2 ) ( x x x 8x (12x b 2 1 0 2 7 3 2 1         x )dx; 2 ) ( x x x 8x (12x b 2 3 1 0 2 7 3 2 2         Барча коэффицентлар маълум бўлгач, яъни уларни аниқ интегралларни тақрибий ҳисоблаш усулидан фойдаланиб ҳисоблангач, ҳосил бўлган чизиқли алгебраик тенгламалар системаси (4) ни c1 ва c2 номаълумларга нисбатан ечишни Гаусс усули билан ташкил қиламиз. Ҳосил қилинган натижаларни, яъни c1 ва c2 ларнинг қийматларини u ( x ) c u ( x ) c u ( x ) y 2 2 1 1 0      формулага 4 4x x x x x 2 4x 2 x ) x ( x 1) 2( 2x 2 [u ] L 4 5 4 5 2 3 1                қўйиб, берилган чегаравий масаланинг тақрибий-аналитик ечимини ҳосил қиламиз. Галёркин усулининг ишчи алгоритми учун блок-схема Бошланди n Интеграллаш оралиги (a,b) Дифференциал тенгламанинг коэффицентлари P(x),q(x),f(x) хис-ш процедураси u ( x ),u ( x ),...,u ( x ) n 1 0 базис функцияларни хис-ш процедураси ) n,1 i( b ) n,1 ; j n,1 i( m i ij    ларни хис-ш процедурасига мурожаат Гаусс усулини хисоблаш процедурасига мурожаат. c u ( x ) ... c u ( x ) c u ( x ) u ( x ) y ,...,c c, c n n 2 2 1 1 0 n 2 1      Тамом Алгоритмнинг дастур матни: Program Galerkin; Const q=2; Type Mas=array[1..q,1..q] of real; Mas1=array[1..q] of real; Var fx,lu0,lu1,lu2,a,b,z,x,h:Real; m:Mas; C,M1:Mas1; i:Integer; Function F(X:Real; K:Integer):Real; var u0,u1,u2,u3:real; begin lu0:=Sqr(x)-2; u1:=Sqr(x)-x; lu1:=sqr(x)*sqr(x)*x-x*x*x*x-4*x+4; lu2:=Sqr(x)*Sqr(x)*Sqr(x)-sqr(x)*sqr(x)*x-6*x*x+10*x-2; fx:=12*x*x-8*x*x*x+sqr(x)*sqr(x)*sqr(x)*x; case K of 1:F:=lu1*u1; 2:F:=lu2*u1; 3:F:=lu1*u1*x; 4:F:=lu2*u1*x; 5:F:=(fx-lu0)*u1; 6:F:=(fx-lu0)*u1*x; end; end; function Integ(a,b:Real; k:Integer):Real; var y,h1:Real; i:Integer; begin h1:=(b-a)/20; y:=(f(a,k)+f(b,k))/2; write(y:12:3); for i:=1 to 19 do y:=y+f(a+i*h1,k); y:=y*h1; Integ:=y; writeln(y:12:3); end; Procedure Gauss(A:Mas; B:Mas1; Var x:Mas1; N:Integer); var k,m,l:Integer; s:Real; begin for k:=1 to n-1 do for m:=k+1 to n do begin for l:=k+1 to n do A[m,l]:=A[m,l]-A[m,k]*A[k,l]/A[k,k]; B[m]:=B[m]-A[m,k]*B[k]/A[k,k]; end; x[n]:=B[n]/A[n,n]; for k:=n-1 downto 1 do begin s:=0; for i:=k+1 to n do s:=s+A[k,i]*X[i]; X[k]:=(B[k]-s)/A[k,k]; end; end; begin Write('a,b=');Readln(a,b); M[1,1]:=Integ(a,b,1); M[1,2]:=Integ(a,b,2); M[2,1]:=Integ(a,b,3); M[2,2]:=Integ(a,b,4); M1[1]:=Integ(a,b,5); M1[2]:=Integ(a,b,6); Gauss(M,M1,C,q); For i:=1 to q do writeln(c[i]:12:4); For I:=0 to 10 do begin h:=(b-a)/10; x:=a+i*h; z:=x+c[1]*(x*x-x)+c[2]*(x*x*x-x*x); Writeln('x=',x:2:2,' z=',z:2:8,' a=', sqr(x)*sqr(x):2:8,' ', abs(z- sqr(x)*sqr(x)):2:8); end; end. 1. Тажриба ишидан олинган натижалар ва уларнинг тащлили. Юқоридаги мисол учун дастур таъминотини ишлатиб кўриб, олинган натижалар қуйидаги жадвалда келтирилган: c[1]= 0.7431 c[2]= 1.9562 x тақрибий аниқ хатолик x=0.0 x=0.1 x=0.2 x=0.3 x=0.4 x=0.5 x=0.6 x=0.7 x=0.8 x=0.9 x=1.0 0.00000000 0.01551908 0.01851317 0.02071920 0.03387413 0.06971492 0.13997851 0.25640186 0.43072193 0.67467566 1.00000000 0.00000000 0.00010000 0.00160000 0.00810000 0.02560000 0.06250000 0.12960000 0.24010000 0.40960000 0.65610000 1.00000000 0.00000000 0.01541908 0.01691317 0.01261920 0.00827413 0.00721492 0.01037851 0.01630186 0.02112193 0.01857566 0.00000000 Натижалардан ва хатолик миқдорини кам эканлигидан ишлаб чиқилган алгоритмлардан амалий масалалар ечишда фойдаланиш мумкин деган хулоса келиб чиқади. Берилган иккинчи тартибли оддий дифференциал тенгламани берилган чегаравий шартларни қаноатлантирувчи тақрибий ечимини чекли-айирмалар ва Галёркин усуллари билан ҳисобланг. Дифференциал тенглама чегаравий шарт 1 y''-4xcosxy'+sinxy=-sinx-4xcosxsinx+sin2x y(0)=0 y'(/2)=0 2 y''-5xy'-3cosxy=-sinx-5xcosx-3sinxcosx y(0)=0 y(/2)=1 3 y''-y'+x3y=12x2-4x3+x7 y(0)=0 y(1)=1 4 y''-2x2y'+y=-cosx+2x2sinx+cosx y(0)=1 y(/2)=0 5 y''+4xy'-2sinxy=ex+4xex-2sinxex y(0)=1 y'(1)=e 6 y''+5x3y'-2y=6x+15x5 -2x3 y(0)=0 y'(1)=3 7 y''-3x3y' +5xy=20x3-15x7+5x6 y(0)=0 y'(1)=5 8 y''-exsinxy=-4sin2x-e2sinxsin2x y'(0)=2 y(/2)=0 9 y''+20xy'+y=-sinx+20xcosx+sinx y'(0)=1 y(/2)=1 10 y''+5xy'+y=cosx-5xsinx+cosx y'(0)=1 y(/2)=1 11 Y''-2y' +x5y=20x3-10x4+x10 y(0)=0 y'(1)=5 12 y''+exy'+cosxy=ex+e2x +excosx y(0)=1 y(1)=e 13 y''+3xy'-cosxy=ex+3xex -excosx y(0)=1 y(1)=e 14 y''+4x3y'+exy=-4sin2x-8x3 cos2x+exsin2x y(0)=0 y(/4)= 1 15 y''+exy'-sinxy=4e2x+2xe3x -e2xsinx y(0)=1 y(1)=e2 16 y''-2y'-4sinxy=-cosx-2sinx-4cosxsinx y(0)=1 y(/2)= 0 17 y''+2xy'-sinxy=-sinx+2xcosx-sin2x y(0)=0 y(/2)= 1 18 y''+xy'+y=-9sin3x+3xcos3x+sin3x y(0)=0 y'(/6)= 1 19 y''+2sin6xy'=12x2+8x3sin6x y'(0)=0 y'(1)= 4 20 y''+4xy'+2y=9e3x+12xe3x +2e3x y(0)=1 y'(1)=3e3 21 y''-2x3y'+exy=-cosx+2x3sinx+excosx y(0)=1 y(/2)= -1 22 y''-3x2y'-cosxy=-cosx-3x2sinx-cos2x y(0)=1 y(/2)= 0 23 y''-3y' -x3y=12x2-12x3-x7 y(0)=0 y'(1)=4 24 y''+excosxy=-sinx+ex cosxsinx y(0)=0 y'(/2)=0 25 y''-exy'+cosxy=ex-e2x +cosxex y(0)=1 y'(1)=e