Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni. Reja 1. Ortogonal va ortonormal tizimlar 2. Ortogonal proektsiyalar 3. Unitar fazolar Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ixtiyoriy ikkita nol’dan farqli x va y vektorlar orasvdash burchak ta`rifini kiritishga imkon beradi: ( , ) cos| | | | x y arc x y    chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan ( , ) 1. | | | | x y x  y  Yunaltirilgan kesmalar fazosida burchakning bu ta`rifi burchakning oddiy ta`rifiga aylanadi. T a ` r i f. Agar x va y vektorlar orasidagi burchak 2  ga teng bo`lsa, bu vektorlar ortogonal deyiladi. Agar x va y vektorlar ortogonal bo`lsa, u xolda ( , ) x y  0 . Aksincha, nol’dan farqli x va y vektorlar uchun ( , ) x y  0 bo`lsa, ular ortogonal. Demak, yuqoridagi ta`rifni quyidagicha aytsa xam bo`ladi. Agar nol’dan farqli x va y vektorlar uchun ( , ) x y  0 bo`lsa, ular ortogonal deyiladi. Evklid fazosidagi vektorlar tizimiga kiruvchi xar qanday ikkita vektor ortogonal bo`lsa, bu tizim ortogonal deyiladi. Agar ortogonal tizimga kiruvchi xar bir vektorning uzunligi birga teng bo`lsa, bu tizim ortonormal deyiladi. Xar qanday ortogonal tizimni, undagi xar bir vektorni uzunligiga bo`lab, ortonormal tizimga aylantirish mumkin. Misol ko`ramiz. [ , ] C a b evklid fazosida 2 1 n  vektordan iborat ushbu 1,cos , sin , cos2 , sin2 ,...,cos , sin t t t t nt nt vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun 2 0 cos sin 0, kt mt dt    2 0 0, cos cos , 0 2 , 0, агар k m kt mtdt агар k m агар k m                2 0 0, sin sin , . агар k m kt tdt агар k m           Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu 1 cos sin cos sin , , ,..., , 2 t t nt nt      ortonormal tizimni olamiz. Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud. Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning 1 { ,..., } n e e kanonik bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki i  k bo`lganda ( , ) 0 i e ek  . Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga kelamiz. V evklvd fazosida 1 { ,..., } n e e ortonormal bazis va 1,..., n   sonlar x vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda 1 1 ( , ) ( ) . n n k i i k i i k k i i x e e e e e                 Demak 1 ( , ) . n k k k x x e e   Agar 1,..., n   sonlar u vektorning o`sha bazisdagi ko-ordinatalari bo`lsa, u xolda , 1 1 ( , ) ( , ) . n n i k i k k k i k k x y e e          Xususan, y  x uchun 2 1 ( , ) n k k x x    va 2 1 | | . n k k x     V fazo sifatida tekislikdagi yo`naltirilgan kesmalar fazosini olsak, oxirgi tenglik Pifagorning klassik teoremasini beradi. SHuning uchun oxirgi tasdiqqa Pifagor teoremasining juda keng umumlashmasi deb qarash mumkin. ORTOGONAL PROEKTSIYALAR V evklid fazosida V1 qismfazo va x V vektor berilgan bo`lsin. Agar x vektor 1 V qismfazoning xar bir vektoriga ortogonal bo`lsa, x vektor 1 V qismfazoga ortogonal deyiladi. Ta`rif. 1 V qismfazoga tegshili bo`lmagan x V vektor uchun shunday 1 1 x V vektor topilsaki, 1 x  x vektor 1 V qismfazoga ortogonal bo`lsa, bunday x1 vektor x vektorning 1 V qismfazoga ortogonal proektsiyasi (soyasi) deb ataladi. Xususan, agar x vektor 1 V qismfazoga ortogonal bo`lsa, u xolda nol’ vektor x vektorning 1 V ga ortogonal proektsiyasi bo`ladi. 1-t e o r e m a. Agar 1 1 x V vektor x V vektortng ortogonal proektsiyasi bo`lsa, u xolda x1 vektorga teng bo`lmagan xar qanday 1 z V vektor uchun 1 | | | | x z x x    tengsizlik o`rinli (ya`ni evklid metrikasida x1 vektor 1 V fazoda x vektorga eng yaqin vektor). I s b o t. Xaqiqatan, 1 z  x vektor 1 V ning nol’dan farqli vektori va 1 1 ( , ) 0. x x z x    SHuning uchun 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 | | ( , ) (( ) ( ),( ) ( )) | | | | | | x z x z x z x x z x x x z x x x z x x x                   Bundan 1 | | | |. x z x x    2-t e o r e m a. Agar 1 V - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u xolda 1 V ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona 1 1 x V ortogonal proektsiyaga ega. Isbot. 1 V ning biror 1 { ,..., } k e e ortonormal bazisini olamiz. U xolda 1 1 1 ( , ) k i i i x x e e V     vektor x vektorning V1 ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir 1,2,..., m k  uchun 1 ( ) ( , )( ) ( , ). k q m i i m m i x e x e e e x e     Demak, 1 ( , ) 0 m x  x e  . SHuning uchun xar qanday 1 1 k m m m y e V      vektor uchun 1 1 1 ( , ) ( , ) 0. k m m m x x y x x e        Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi. Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, [ , ] C a b fazoda evklid metrikasida et uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi kelib chiqadi. Misol ko`ramiz. Ushbu 0 1 ( cos sin ) n k k k kt kt        ko`rinishdagi xar qanday funktsiya n darajali trigonometrik ko`pxad deb ataladi. Darajasi n  barcha trigonometrik ko`pxadlar [ , ] C a b fazoning 2 1 n  o`lchamli T qismfazosini xosil qiladi. YUqorida ko`rilgan ushbu 1 cos sin cos sin , , ,..., , 2 t t nt nt      tizim bu qismfazoning ortonormal bazisini xosil qiladi. Agar ( ) f t funktsiya [0,2 ]  segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u xolda 2-teoremaning isbotida ko`rsatilganiga ko`ra, uning n T qismfazoga ortogonal proektsiyasi (ya`ni evklid metrikasida bu funktsiyaga eng yaqin bo`lgan trigonometrik ko`pxad) 0 1 ( cos sin ) 2 n k k k kt kt        ko`pxaddir, bu erda 2 2 0 0 1 1 ( )cos , ( )sin k k f t ktdt f t ktdt           Bu tengliklar bilan aniqlangan k  va k  koeffitsientlar ( ) f t funktsiyaning Fur’e koeffitsientlari deyiladi. UNITAR FAZOLAR Unitar fazo - evklid fazosining kompleks ko`rinishi. Ta`rif. Agar V kompleks chiziqli fazoda ikki vektor argumentli (x,y) kompleks qiymatli funktsiya uchun ushbu: 1) xar qanday ,x y V uchun ( , ) ( , ); x y  y x 2) xar qanday 1 , 2 , x x y V uchun 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ); x x y x y x y    3) xar qanday , , x y V C    uchun ( , ) ( , ); x y x y   4) xar qanday nol`dan farqli x V vektor uchun ( , ) x x  0 shartlar bajarilsa, u V kompleks chiziqli fazodagi skalyar ko`paytma deb ataladi. Skalyar ko`paytma aniqlangan V kompleks chiziqli fazo esa unitar deb ataladi. Ravshanki, unitar fazoning xar qanday qismfazosi xam unitar fazo. Ikkinchi va uchinchi shartlar skalyar ko`paytma birinchi argumenti bo`yicha chiziqli ekanligini ko`rsatadi. Bundan va birinchi shartdan ikkinchi argumenti bo`yicha 2-turchiziqli ekanligi, ya`ni 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y y x y x y x y x y       shartlarning xar qanday 1 2 , , , , x y y y V C    uchun bajarilishi kelib chiqadi (isbotlang). Bularga ko`ra, unitar fazodagi skalyar ko`paytma ermit formasi bo`lib, unga mos kvadratik forma musbat. Misol ko`ramiz. Agar n C fazoda ( 1 ,..., n) x    va ( 1 ,..., n ) y    skalyar ko`paytmani 1 ( , ) n k k k x y     n C tenglik bilan kiritsak, n C unitar fazoga aylanadi (tekshiring). Evklid fazosidagi kabi unitar fazoda xam, Gram determinanti tushunchasi kiritiladi va vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lsa, ularning Gram determinanti musbat ekanligi va aks xolda - nol’ga teng ekanligi isbotlanadi. Bu teoremani ikkita vektordan iborat tizimga tatbiq qilib, unitar fazo uchun Koshi- Bunyakovskiy tengsizligini olamiz. Unitar fazoda bu tengsizlikning ko`rinishi quyidagicha: | ( , ) |2 ( , ) ( , ). x y x x y y  Unitar fazoda vektorning uzunligi xuddi evklid fazodagidek ta`riflanadi: uchun | | ( , ). x x x  Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan V unitar fazoning xar qanday x,y vektorlari uchun | | | | | | x y x y    tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu evklid fazodagi kabi unitar fazoda ushbu ( , ) | | x y x y    tenglik orqali metrika kiritishga imkon beradi. Unitar fazoda ikkita vevstor orasidagi burchak tushunchasi kiritilmaydi, ammo ortogonallik tushunchasi kiritiladi: agar unitar fazodagi nol’dan farqli ikkita vektorning skalyar ko`paytmasi nol’ga teng bo`lsa, ular ortogonal deb ataladi. Ortogonal va ortonormal tizim tushunchalari xuddi evklid fazosidagidek kiritiladi. Unitar fazoda ortonormal bazislarning mavjudligi ermit formalar xaqidagi teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Agar V unitar fazoda 1 { ,..., } n e e ortonormal tizim berilgan va 1 1 , n n k k k k k k x e y e         Bu fazodagi vektorlar bo`lsa, evklid fazodagi kabi, ushbu 1 2 2 1 ( , ), ( 1, ), ( , ) , | | | | n k k k k k n k k x e k n x y x             tengliklarni olamiz. Bu paragrafdagi keltirilgan teoremalarning isbotlarini mustaqil bajarish tavsiya qilinadi.