Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni.
Reja
1. Ortogonal va ortonormal tizimlar
2. Ortogonal proektsiyalar
3. Unitar fazolar
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ixtiyoriy ikkita nol’dan farqli x va y vektorlar
orasvdash burchak ta`rifini kiritishga imkon beradi:
( , )
cos|
| |
|
x y
arc
x
y
chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
( , )
1.
|
| |
|
x y
x
y
Yunaltirilgan kesmalar fazosida burchakning bu ta`rifi burchakning oddiy
ta`rifiga aylanadi.
T a ` r i f. Agar x va y vektorlar orasidagi burchak 2
ga teng bo`lsa, bu
vektorlar ortogonal deyiladi.
Agar x va y vektorlar ortogonal bo`lsa, u xolda ( , )
x y 0
. Aksincha, nol’dan
farqli x va y vektorlar uchun ( , )
x y 0
bo`lsa, ular ortogonal.
Demak, yuqoridagi ta`rifni quyidagicha aytsa xam bo`ladi. Agar nol’dan
farqli x va y vektorlar uchun ( , )
x y 0
bo`lsa, ular ortogonal deyiladi.
Evklid fazosidagi vektorlar tizimiga kiruvchi xar qanday ikkita vektor
ortogonal bo`lsa, bu tizim ortogonal deyiladi. Agar ortogonal tizimga kiruvchi xar
bir vektorning uzunligi birga teng bo`lsa, bu tizim ortonormal deyiladi. Xar
qanday ortogonal tizimni, undagi xar bir vektorni uzunligiga bo`lab, ortonormal
tizimga aylantirish mumkin.
![Misol ko`ramiz. [ , ]
C a b evklid fazosida 2
1
n vektordan iborat ushbu
1,cos , sin , cos2 , sin2 ,...,cos
, sin
t
t
t
t
nt
nt
vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun
2
0
cos
sin
0,
kt
mt dt
2
0
0,
cos
cos
,
0
2 ,
0,
агар k
m
kt
mtdt
агар k
m
агар k
m
2
0
0,
sin
sin
,
.
агар k
m
kt
tdt
агар k
m
Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu
1
cos
sin
cos
sin
,
,
,...,
,
2
t
t
nt
nt
ortonormal tizimni olamiz.
Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud.
Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning
1
{ ,..., }
n
e
e
kanonik
bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki i
k
bo`lganda ( ,
)
0
i
e ek
.
Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga
kelamiz.
V evklvd fazosida
1
{ ,..., }
n
e
e
ortonormal bazis va
1,...,
n
sonlar x
vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda
1
1
( ,
)
(
)
.
n
n
k
i i k
i
i k
k
i
i
x e
e e
e e
Demak
1
( ,
) .
n
k
k
k
x
x e e
](/media/image/ortonormal-sistemalar-ortogonallashtirish-jarayoni393page_2.png "Misol ko`ramiz. [ , ]
C a b evklid fazosida 2
1
n vektordan iborat ushbu
1,cos , sin , cos2 , sin2 ,...,cos
, sin
t
t
t
t
nt
nt
vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun
2
0
cos
sin
0,
kt
mt dt
2
0
0,
cos
cos
,
0
2 ,
0,
агар k
m
kt
mtdt
агар k
m
агар k
m
2
0
0,
sin
sin
,
.
агар k
m
kt
tdt
агар k
m
Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu
1
cos
sin
cos
sin
,
,
,...,
,
2
t
t
nt
nt
ortonormal tizimni olamiz.
Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud.
Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning
1
{ ,..., }
n
e
e
kanonik
bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki i
k
bo`lganda ( ,
)
0
i
e ek
.
Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga
kelamiz.
V evklvd fazosida
1
{ ,..., }
n
e
e
ortonormal bazis va
1,...,
n
sonlar x
vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda
1
1
( ,
)
(
)
.
n
n
k
i i k
i
i k
k
i
i
x e
e e
e e
Demak
1
( ,
) .
n
k
k
k
x
x e e
")
Misol ko`ramiz. [ , ]
C a b evklid fazosida 2
1
n vektordan iborat ushbu
1,cos , sin , cos2 , sin2 ,...,cos
, sin
t
t
t
t
nt
nt
vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun
2
0
cos
sin
0,
kt
mt dt
2
0
0,
cos
cos
,
0
2 ,
0,
агар k
m
kt
mtdt
агар k
m
агар k
m
2
0
0,
sin
sin
,
.
агар k
m
kt
tdt
агар k
m
Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu
1
cos
sin
cos
sin
,
,
,...,
,
2
t
t
nt
nt
ortonormal tizimni olamiz.
Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud.
Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning
1
{ ,..., }
n
e
e
kanonik
bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki i
k
bo`lganda ( ,
)
0
i
e ek
.
Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga
kelamiz.
V evklvd fazosida
1
{ ,..., }
n
e
e
ortonormal bazis va
1,...,
n
sonlar x
vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda
1
1
( ,
)
(
)
.
n
n
k
i i k
i
i k
k
i
i
x e
e e
e e
Demak
1
( ,
) .
n
k
k
k
x
x e e
Agar
1,...,
n
sonlar u vektorning o`sha bazisdagi ko-ordinatalari bo`lsa, u
xolda
,
1
1
( , )
( ,
)
.
n
n
i
k
i
k
k
k
i k
k
x y
e e
Xususan, y
x
uchun
2
1
( , )
n
k
k
x x
va
2
1
|
|
.
n
k
k
x
V fazo sifatida tekislikdagi yo`naltirilgan kesmalar fazosini olsak, oxirgi
tenglik Pifagorning klassik teoremasini beradi. SHuning uchun oxirgi tasdiqqa
Pifagor teoremasining juda keng umumlashmasi deb qarash mumkin.
ORTOGONAL PROEKTSIYALAR
V evklid fazosida V1 qismfazo va x
V
vektor berilgan bo`lsin. Agar x
vektor
1
V qismfazoning xar bir vektoriga ortogonal bo`lsa, x vektor
1
V
qismfazoga ortogonal deyiladi.
Ta`rif.
1
V qismfazoga tegshili bo`lmagan x
V
vektor uchun shunday
1
1
x
V
vektor topilsaki,
1
x
x
vektor
1
V qismfazoga ortogonal bo`lsa, bunday x1
vektor x vektorning
1
V qismfazoga ortogonal proektsiyasi (soyasi) deb ataladi.
Xususan, agar x vektor
1
V qismfazoga ortogonal bo`lsa, u xolda nol’ vektor
x vektorning
1
V ga ortogonal proektsiyasi bo`ladi.
1-t e o r e m a. Agar
1
1
x
V
vektor x
V
vektortng ortogonal proektsiyasi
bo`lsa, u xolda x1 vektorga teng bo`lmagan xar qanday
1
z
V
vektor uchun
1
|
| |
|
x
z
x
x
tengsizlik o`rinli (ya`ni evklid metrikasida x1 vektor
1
V fazoda x
vektorga eng yaqin vektor).
I s b o t. Xaqiqatan,
1
z
x
vektor
1
V ning nol’dan farqli vektori va
1
1
(
,
)
0.
x
x z
x
SHuning uchun
![2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
|
|
(
,
)
((
)
(
),(
)
(
))
|
|
|
|
|
|
x
z
x
z x
z
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
Bundan
1
|
| |
|.
x
z
x
x
2-t e o r e m a. Agar
1
V - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u
xolda
1
V ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona
1
1
x
V
ortogonal
proektsiyaga ega.
Isbot.
1
V ning biror
1
{ ,..., }
k
e
e
ortonormal bazisini olamiz. U xolda
1
1
1
( , )
k
i
i
i
x
x e e
V
vektor x vektorning V1 ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir
1,2,...,
m
k
uchun
1
(
)
( , )(
)
( ,
).
k
q m
i
i m
m
i
x e
x e
e e
x e
Demak,
1
(
,
)
0
m
x
x e
. SHuning uchun xar qanday
1
1
k
m m
m
y
e
V
vektor uchun
1
1
1
(
, )
(
,
)
0.
k
m
m
m
x
x y
x
x e
Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud
bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, [ , ]
C a b fazoda evklid metrikasida et
uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo
funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi
kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu
0
1
(
cos
sin
)
n
k
k
k
kt
kt
](/media/image/ortonormal-sistemalar-ortogonallashtirish-jarayoni393page_4.png "2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
|
|
(
,
)
((
)
(
),(
)
(
))
|
|
|
|
|
|
x
z
x
z x
z
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
Bundan
1
|
| |
|.
x
z
x
x
2-t e o r e m a. Agar
1
V - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u
xolda
1
V ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona
1
1
x
V
ortogonal
proektsiyaga ega.
Isbot.
1
V ning biror
1
{ ,..., }
k
e
e
ortonormal bazisini olamiz. U xolda
1
1
1
( , )
k
i
i
i
x
x e e
V
vektor x vektorning V1 ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir
1,2,...,
m
k
uchun
1
(
)
( , )(
)
( ,
).
k
q m
i
i m
m
i
x e
x e
e e
x e
Demak,
1
(
,
)
0
m
x
x e
. SHuning uchun xar qanday
1
1
k
m m
m
y
e
V
vektor uchun
1
1
1
(
, )
(
,
)
0.
k
m
m
m
x
x y
x
x e
Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud
bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, [ , ]
C a b fazoda evklid metrikasida et
uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo
funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi
kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu
0
1
(
cos
sin
)
n
k
k
k
kt
kt
")
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
|
|
(
,
)
((
)
(
),(
)
(
))
|
|
|
|
|
|
x
z
x
z x
z
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
z
x
x
x
Bundan
1
|
| |
|.
x
z
x
x
2-t e o r e m a. Agar
1
V - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u
xolda
1
V ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona
1
1
x
V
ortogonal
proektsiyaga ega.
Isbot.
1
V ning biror
1
{ ,..., }
k
e
e
ortonormal bazisini olamiz. U xolda
1
1
1
( , )
k
i
i
i
x
x e e
V
vektor x vektorning V1 ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir
1,2,...,
m
k
uchun
1
(
)
( , )(
)
( ,
).
k
q m
i
i m
m
i
x e
x e
e e
x e
Demak,
1
(
,
)
0
m
x
x e
. SHuning uchun xar qanday
1
1
k
m m
m
y
e
V
vektor uchun
1
1
1
(
, )
(
,
)
0.
k
m
m
m
x
x y
x
x e
Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud
bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, [ , ]
C a b fazoda evklid metrikasida et
uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo
funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi
kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu
0
1
(
cos
sin
)
n
k
k
k
kt
kt
